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2015-2016学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系章末检测 新人教A版选修4-1

时间:2015-11-21


2015-2016 学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系章末检测 新 人教 A 版选修 4-1
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.给出下列命题: ①任一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形; ③任一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆; ④任一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形. 其中真命题有( A.1 个 C.2 个 B.3 个 D.4 个 )

1.解析:①③正确;②④错误.故选 C. 答案:C 2.等腰三角形 ABC 的腰 AB=AC=4 cm,若以 A 为圆心,2 cm 为半径的圆与 BC 相切, 则∠BAC 的度数为( )

A.30° C.90°

B.60° D.120°

2.解析:由题意知△ABC 底边上的高为 2 cm,腰 AB=AC=4 cm, ∴∠B=∠C=30°, ∴∠BAC=120°.故选 D. 答案:D 3.如图所示,四边形 ABCD 内接于⊙O,且 AC,BD 交于点 P,则此图形中一定相似的三 角形有( )

A.4 对 C.2 对

B.3 对 D.1 对
1

3.解析:△APD∽△BPC,△APB∽△DPC. 答案:C 4.半径为 5 cm 的圆内有两条平行线,其长分别为 6 cm 和 8 cm,则两平行线弦之间的 距离为( )

A.1 cm 或 7 cm B.1 cm 或 4 cm C.1 cm D.4 cm

4.解析:两条平行弦若在圆心同侧,则两平行弦之间的距离为 1 cm;若在圆心两侧, 则两平行弦之间的距离为 7 cm.故选 A. 答案:A 5.如图所示,点 P 为弦 AB 上一点,连接 OP,过点 P 作 PC⊥OP,PC 交⊙O 于 C,若 AP =4,PB=2,则 PC 的长是( )

A. 2 C.2 2

B.2 D.3

5.解析:延长 CP 交⊙O 于 D,∵PC⊥OP,∴PC=PD,又∵AP·PB=PC·PD, ∴AP·AB=PC ,即 PC =4×2,∴PC=2 2. 答案:C 6.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以 BC 上一点 O 为圆心作圆
2 2

O 与 AB 相切于 E,与 AC 相切与 C,又与 BC 的另一个交点为 D,则线段 BD 的长为(

)

A.1 B. 1 2

2

C. D.

1 3 1 4

6.解析:连接 OE,则 OE⊥AB,∵∠C=90°,AC=4,BC=3,∴△OBE∽△ABC,AB=5, ∴ = =

OE OB BC-OE OE 3-OE 4 4 1 ,即 = ,∴OE= ,∴BD=BC-2OE=3-2× = . AC AB AB 4 5 3 3 3
答案:C 7.如图所示,AB,CD 为⊙O 的两条弦,若 AB=2CD,则( )

︵ ︵ A.AB>2CD ︵ ︵ B.AB<2CD ︵ ︵ C.AB=2CD ︵ ︵ D.AB与 2CD的大小关系不能确定 7.解析:如图所示,

︵ ︵ 作弦 DE=CD,则CE=2CD,连接 CE,∵在△CDE 中,CD+DE>CE,∴2CD>CE,∵AB= ︵ ︵ ︵ ︵ 2CD,∴AB>CE,∴AB>CE,即AB>2CD.故选 A. 答案:A 8.如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,BC 与以 AD 为直径的圆 O 相切于点 E,AB=9,CD=4, 则四边形 ABCD 的面积为( )

3

A.78 B.65 C.45 D.37 8.解析:设⊙O 与 AB 交于 F,分别连接 OE,DF,则 DF=BC,如图所示,根据切线的性 质可得 OE⊥BC,

∴OE∥AB∥CD, ∵O 是 AD 的中点, 1 1 13 ∴OE= (AB+CD)= (4+9)= , 2 2 2 由题意知 AF=AB-CD=5, 在 Rt△ADF 中,

DF= AD2-AF2= 132-52=12.
1 1 ∴S 四边形 ABCD= (AB+CD)·DF= ×13×12=78.故选 A. 2 2 答案:A 9.如图所示,⊙O 内切于直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°,E,F,G,H 分别为 切点,若 CD=4 cm,AB=8 cm,则⊙O 的面积为( )

4

A.16π cm B. 64 2 π cm 9

2

8 2 C. π cm 3 D.64π cm
2

9.解析:如图所示,作 CM⊥AB 于 M,设 CM=x cm, ∴AD=CM=x cm.

由题意知 DG=DH,AE=AH,∴DG+AE=x cm.由题意知 CG=CF,BE=BF,∴BC=CG+BE =(12-x)cm.∵DC=4 cm,AB=8 cm, 16 8 2 2 ∴BM=4 cm,∴(12-x) =x +16,解得 x= ,∴⊙O 的半径为 cm, 3 3 2 ?8? 64 2 ∴S⊙O=π ·? ? = π (cm) . 9 ?3? 答案:B 10.如图所示,AB 是圆 O 的直径,直线 MN 切圆 O 于 C,CD⊥AB 于 D,AM⊥MN 于 M,BN ⊥MN 于 N,则下列结论错误的是( )

5

A.∠1=∠2=∠3 B.AM·CN=CM·BN C.CM=CD=CN D.△ACM∽△ABC∽△CBN 10.解析:由弦切角定理得∠1=∠2,又知△ABC 为直角三角形,CD⊥AB, ∴∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3, 即 A 正确;由题意知△ACM∽△CBN,∴ = ,∴AM·BN=CM·CN,即 B 不正确;∵∠ 1=∠3,CM⊥AM,CD⊥AB,∴CM=CD,同理可得 CN=CD,∴CM=CD=CN,即 C 则; 易知△ACN∽△ABC∽△CBN,即 D 正确.故选 B. 答案:B 11. 如图所示, 四边形 ABCD 为圆内接四边形, AB 是直径, MN 切⊙O 于点 C, ∠BCM=38°, 那么∠ABC 的度数是( )

AM CM CN BN

A.38° C.68°

B.52° D.42°

11.解析:如图,连接 AC,

6

因为 MN 切⊙O 于点 C, 所以∠BAC=∠BCM=38°.又 AB 是⊙O 的直径, 所以∠ABC=90° -∠BAC=52°. 答案:B 3 12.如图所示,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,连接 CD,若⊙O 的半径 r= , 2

AC=2,则 cos B 的值是(

)

A. C.

3 5 B. 2 3 5 2 2 D. 3

12.解析:cos B=cos D,又因为 AD 为直径,所以 cos D= = 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

DC AD

3 -2 5 = . 3 3

2

2

13.如图所示,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为 直径的圆与 AB 交于点 D,则

BD =________. DA

7

BD BC 4 13.解析:如图所示,连接 CD,则 CD⊥AB,由题意知△BCD∽△CAD,所以 = = , DC CA 3

所以

BD2 16 = ,① DC2 9
2

又 CD =AD·BD,② 所以

BD2 16 BD 16 = ,即 = AD·BD 9 AD 9

16 答案: 9 14.如图所示,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=

CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为________.
14.解析:设 BE=a,则 AF=4a,FB=2a. 1 2 ∵AF·FB=DF·FC,∴8a =2,∴a= . 2 1 7 ∴AF=2,FB=1,BE= ,∴AE= . 2 2 又∵CE 为圆的切线, 1 7 7 2 ∴CE =EB·EA= × = , 2 2 4 ∴CE= 答案: 7 . 2 7 2

8

15.在射线 OA 上取一点 P,使 OP=4 cm,以 P 为圆心作直径为 4 cm 的圆,若⊙P 与射 线 OB 有两个交点,则锐角∠AOB 的取值范围为________. π π 15.解析:当 OB 与圆相切时,∠AOB= ,故当 OB 与圆有两个交点时,0≤∠AOB< . 6 6 π 答案:[0, ) 6 16.如图所示,AB 是⊙O 的直径,CB 切⊙O 于点 B,CD 切⊙O 于点 D,交 BA 的延长线于 点 E,若 ED= 3,∠ADE=30°,则△BDC 的外接圆的直径为________.

16.解析:连接 OD,则∠ODB=∠OBD=∠ADE=30°,∴∠AOD=∠ODB+∠OBD=60°, ∴△AOD 是正三角形. ∵CB,CD 均与圆相切, ∴∠ODC=∠OBC=90°, ∴O,B,C,D 四点共圆, ∴∠C=∠AOD=60°,从而∠E=90°-60°=30°,由题意可证得△EAD≌△DOB, ∴BD=DE= 3.由正弦定理知△BCD 的外接圆直径 2R= 答案:2 三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分) 17.(10 分)如图所示,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2),圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上).求证 AB∶AC 为定值. 3 = =2. sin C sin 60°

BD

17.解析:如图所示,连接 AO1 并延长,分别交圆 O1 和圆 O2 于点 D 和点 E,连接 BD,CE. 因为圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 在 AD 上,故 AD,AE 分别为圆 O1、O2 的直径,从而

9

π AB AD 2r1 r2 ∠ABD=∠ACE= ,所以 BD∥CE.于是 = = = .所以 AB∶AC 为定值. 2 AC AE 2r2 r1 18.(12 分)如图所示,PA,PB 分别切圆 O 于 A,B,过 AB 与 OP 的交点 M 作弦 CD,连接

PC,
求证 = .

PC OD CM OM

18.证明:连接 OA,OB,OD,由相交弦定理知 CM·MD=AM·AM=AM . 由题意知 OA⊥PA,OB⊥PB, ∴O,A,P,B 四点共圆, ∴AM·MB=PM·MO.又 AM=MB, ∴AM =PM·MO, ∴MC·MD=PM·MO, 即
2

2

MO MC = ,又∠OMD=∠CMP, MD MP PC OD CM OM

∴△ODM∽△CPM,∴ = . 19.(12 分)如图所示,已知△ABC 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,以 AO 为直径的⊙D 交

AB 于点 E,交 BO 的延长线于点 F,EG 切⊙O 于 G.求证:
(1)AE=BE; (2)EG⊥OB; (3)2AE =GF·AC.
2

19.证明:(1)连接 OE,∵OA 为⊙D 的直径, ∴OE⊥AE.∵OA=OB,∴AE=BE. (2)连接 DE,∵D 是 AO 的中点,E 是 AB 的中点,∴DE∥OB,∵EG 与⊙O 相切,
10

∴DE⊥EG,∴EG⊥OB. (3)连接 EF,∵OA=OB,∴∠ABO=∠A, 又∵∠F=∠A(同弧所对的圆周角相等), ∴∠ABO=∠F, ∴EF=BE, ∵EG⊥BO, ∴∠FGE =90°.∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ABC=90°.∴∠FGE=∠ABC,∴△FGE∽△ABC,∴ 又∵AE=BE,∴AB=2AE, 又∵EF=BE,BE=AE,∴EF=AE, ∴ = ,∴2AE =GF·AC. 2AE AC

GF EF = , AB AC

GF

AE

2

20.(12 分)在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2 2,⊙A 的半径为 1,若点 O 在 BC 边上运动(与点 B,C 不重合),设 BO=x,△AOC 的面积为 y(如图所示). (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作⊙O,当⊙O 与⊙A 相切时,求△AOC 的面积.

20.解析:(1)过点 A 作 AH⊥BC 于点 H. 1 ∵∠BAC=90°,AB=AC=2 2,∴BC=4,AH= BC=2, 2 1 ∴S△AOC= AH·CO=4-x, 2 即 y=-x+4(0<x<4). (2)当点 O 与点 H 重合时,⊙O 与⊙A 相交,不合题意.当点 O 与点 H 不重合时,在 Rt △AOH 中,

AO2=AH2+OH2=4+(2-x)2=x2-4x+8.∵⊙A 的半径为 1,⊙O 的半径为 x,∴当⊙A
7 2 2 与⊙O 外切时,(x+1) =x -4x+8,解得 x= . 6 7 17 7 2 2 此时△AOC 的面积 y=4- = ; 当⊙A 与⊙O 内切时, (x-1) =x -4x+8, 解得 x= , 6 6 2 7 1 17 此时△AOC 的面积 y=4- = .∴当⊙A 与⊙O 相切时,△AOC 的面积为 2 2 6
11

21.(12 分)如图所示,AC 切⊙O 于点 A,AB 为⊙O 的弦,AB=AC,BC 交⊙O 于点 E,⊙

O 的弦 AD∥BC,AO 交 DE 于点 G,AO 的延长线交 BE 于点 F.
(1)求证四边形 ADEC 是平行四边形; 1 2 (2)求证 EG = CF·CB. 8

21.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵AD∥BC,∴∠BED=∠D. 又∵∠B=∠D,∴∠BED=∠C,∴DE∥AC. 又∵AD∥CE,∴四边形 ADEC 是平行四边形. (2)∵AC 切⊙O 于 A,∴FA⊥AC.由(1)知 DE∥AC,∴FA⊥DE.又∵FA 过圆心 O,∴G 为 DE 的中点.由(1)知四边形 ADEC 是平行四边形,∴DE=AC,∴AC=2EG.又∵AC =CE·CB,∴ 1 AD DG EG2= CE·CB.∵四边形 ADEC 是平行四边形,∴AD∥EF,∴ = .又∵DG=EG,∴AD=EF. 4 EF EG 又 AD=EC,∴EF=EC, 1 1 2 ∴EC= CF.又∵EG = CE·CB, 2 4 1 2 ∴EG = CF·CB. 8 22.(12 分)如图所示,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O 与斜边 AC 交于 D,E 是
2

BC 边上的中点,连接 DE.
(1)DE 与半圆 O 相切吗?若相切,请加以证明,若不相切,请说明理由; (2)若 AD,AB 的长是方程 x -10x+24=0 的两个实根,求直角边 BC 的长.
2

12

解析:(1)DE 与半圆 O 相切.理由如下:

连接 OD,BD,如图所 示.∵AB 是半圆 O 的直径, ∴∠BDA=90° ∴∠BDC=90°. ∵在 Rt△BDC 中,E 是 BC 边上的中点, ∴DE=BE,∴∠EBD=∠BDE. ∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB. 又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°, ∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°. ∴OD⊥DE.又∵OD 是半圆 O 的半径, ∴DE 与半圆 O 相切. (2)∵在 Rt△ABC 中,BD⊥AC, ∴Rt△ABD∽Rt△ACB,∴ = ∴AC=

AB AD 2 ,即 AB =AD·AC AC AB

AB2 . AD
2 2

由 AD,AB 的长是方程 x -10x+24=0 的两个实数根,解方程 x -10x+24=0, 得 x1=4,x2=6.∵AD<AB, ∴AD=4,AB=6,∴AC=

AB2 =9. AD

∵在 Rt△ABC 中,AB=6,AC=9, ∴BC= AC -AB = 81-36=3 5.
2 2

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