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2016年初三数学创新杯竞赛试卷(含答案)

时间:2016-12-25


2014 年湖州市初三数学竞赛试题
(2014 年 12 月 14 日 上午 9:00—11:00) 题 得 号 分 一 1-8 二 9-14 15 16 三 17 18 总分

评卷人 复查人 答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答. 3.可以用计算器 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分). 1.已知|a+b|+|a-b|-2b=

0,在数轴上给出了如图所示的关于 a,b 的四种位置关系,则可 能成立的有( ) 2.解答书写时不要超过装订线.

A.1 种

B.2 种

C.3 种

D.4 种 )

3 2.已知 a 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的一个实数根,则直线 y ? ax ? 1 ? a 不经过(

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. ( x2 ? x ? 2)6 ? a12 x12 ? a11x11 ? a10 x10 ? …+a1x ? a0 , 则 a1 2 ? a1 0 ? a 8? a 6 ? a 4? a = 2 ( ) (A)64 (B)32 (C) -32 (D)-64

4. 如图,四边形 ABCD 是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形 BEF 的半径为 2,圆心角为 60°,则 图中阴影部分的面积是( )

A.

2? ? 3 3

B.

2? 3 ? 3 2

C.

??

3 2

D.

?? 3

第4题

5. A、B、C 三个足球队举行单循环赛,下表给出了部分比赛信息: 球队 比赛场次 胜 负 平 A 2 2场 B 2 1场 C 2 则 A、B 两队比赛时,A 队与 B 队进球数之比为( A.2∶0 B.3∶0 C.2∶1 D.3∶1 进球数 2 3 ) 失球数 1 4 7

?a ? 1(a ? b) ? 6.定义新运算: a⊕b= ? a ,则函数 y=3⊕x 的图象大致是( ? (a ? b且b ? 0) ? ? b

)

y

W C P B
第7题图

7..如图,∠XOY=90° ,OW 平分∠XOY,PA⊥OY,PB⊥OX,PC⊥OW. 若 OC= 2 -1,则 OA+OB+OC=( A.3 B. 2 C.1 D. ) A O

1 2

x

8.我们用 f ( x ) 代替函数中的变量 y,如: y ? x ? 3 可以记作 f ( x ) ? x ? 3 , “当 x=1,y=4” 可以记作“ f (1) ? 4 ” .现有函数 f1 ( x ) ? 2 x , f 2 ( x ) ?
2 , f 3 ( x ) ? ?6( x ? 1)( x ? 2) , x

? 100 ? ? 100 ? ? 101 ? ? 197 ? 记 I k ? f k (1) ? f k ? ? ? fk ? ? ? fk ? ? ? ? ? fk ? ? ? f k (2) , ? 99 ? ? 99 ? ? 99 ? ? 99 ?

其中 k=1,2,3,则下列结论正确的是( A. I 1 ? I 2 ? I 3 B. I 2 ? I1 ? I 3

) D . I 3 ? I 2 ? I1

C. I 2 ? I 3 ? I 1

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9.有一组数满足 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a4 ? a2 ? 2, a5 ? a3 ? 0, a6 ? a4 ? 2, ?, 按此规律进行下去,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ___________.

D 10.如图,菱形 ABCD 的边长为 a,点 O 是对角线 A C 上的一点, 且 OA=a,O B =OC=OD=1,则 a 的值等于__________. O B

C

A 11.直线 y ?

第 10 题
C O

1 x ? k 与 x 、y 轴的交点分别为 A、B,如果 S△AOB≤1, 2
A

那么 k 的取值范围是 。 12.如图,在圆 O 中有折线 ABCO ,BC=6,CO=4,

B

?B ? ?C ? 60 ,则 AB 的长为
?

第 12 题 13.如图,直线 y ? k1 x ? 2 与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点 A、B,点 C、D 在线段 y AB 上.若反比例函数 则

y?

k2 x

的图象经过点 C、D,且 BD=CD, 。

B D C O
第 13 题

k1 ? k2 的值等于

A

x

14.二次函数 y ? x ? 2ax ? a 在 ? 1 ? x ? 2 上有最小值 ? 4 ,则 a 的值为___________.
2

三、解答题(共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分,满分 50 分) 15.如图,点 A(m,6) ,B(n,1)在反比例函数图象上,AD⊥x 轴于点 D,BC⊥x 轴于 点 C,DC=5. (1)求 m,n 的值并写出反比例函数的表达式; (2)连接 AB,在线段 DC 上是否存在一点 E,使△ ABE 的面积等于 5?若存在,求出 点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

第 15 题

16. 下面图像反映的是甲、乙两人以每分钟 80 米的速度从公司出发步行到火车站乘车的 过程.在去火车站的途中,甲突然发现忘带预购的火车票,于是立刻以同样的速度返 回公司,然后乘出租车赶往火车站,途中与乙相遇后,带上乙一同到火车站,结果到 火车站的时间比预计步行到火车站的时间早到了 3 分钟. ⑴甲、乙离开公司 分钟时发现忘记带火车票;图中甲、乙预计步行到火车站 ; (不要求写自变量的取值范围)

时路程 s 与时间 t 的函数解析式为

⑵求出图中出租车行驶时路程 s 与甲、乙两人出发时间 t 的函数解析式; (不要求写自 变量的取值范围) ⑶求公司到火车站的距离.
S (米)

B
480

A C
12 16

O

t (分钟)

第 16 题

17 甲. (S) 已知,如图:在 ?ABC 中, ?C ? 90?, AC ?

1 BC .以 BC 为底作等腰直角 ?BCD , E 是 2

CD 的中点,求证: AE ? EB .

第 17 题 17 乙. (T) 已知,如图:在Δ ABC 中,AB=AC,∠BAC=80°,O 是Δ ABC 内一点,∠OBC=10°, A ∠OCA=20°.求∠OAC 的度数.

O B C

18.如图,已知抛物线 y=ax2+bx 经过点 A( 10,0 )和 B( 8,4 ).点 P 是 x 轴正半轴上的一个动 点,过点 P 作 x 轴的垂线段,与直线 OB 交于点 C,延长 PC 到 Q,使 QC=PC.过点 Q 的直线分别与 x 轴、y 轴相交于点 D、E,且 OD=OE,直线 DE 与直线 OB 相交于点 F.设 OP=t. (1)请直接写出抛物线和直线 OB 的函数解析式; (2)当点 Q 落在抛物线上时,求 t 的值; (3)连结 BD: ①请用含 t 的代数式表示点 F 的坐标; ②当以点 B、D、F 为顶点的三角形与△OEF 相似时, 求 t 的值. O E Q C P F D A x B B y

第 18 题

2014 年湖州市初三数学竞赛试题评分意见与参考答案
一、选择题 1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8. B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9.2600 12.10 10. 13. ?

5 ?1 2

11.-1≤ k ≤1 14. 5 或

8 9

1 ? 17 , 2

三、解答题(共 4 题,分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分,满分 50 分) 15.解:由题意,得: ,解得: 设反比例函数解析式为 y= , ∴A(1,6) ,B(6,1) ,------------,将 A(1,6)代入得:k=6, 4分

k x

∴ 反比例函数解析式为 y=

6 ; ---------------------x

2分

(2)存在,设 E(x,0) ,则 DE=x﹣1,CE=6﹣x, ∵AD⊥x 轴,B ⊥x 轴,∴∠ADE=∠BCE=90° , C 连接 AE,BE, 则 S△ ABE=S 四边形 ABCD-S△ ADE-S△ BCE

1 2 1 = (35 ? 5 x) =5; 2
16. (1) 6 S=80t

= ? (BC+AD)?DC-DE?AD-CE?BC? ------- ------------4分 2分

解得:x=5,∴ E点坐标为(5,0) .-------------

----- ------- -------------4 分

(2)点 B 的坐标为(16,1280) ∵ 直线 BC 过点(12,0)和(16,1280) ∴ ?12k ? b ? 0 解得: ?k ? 320

? ?16k ? b ? 1280

? ?b ? ?3840

S=320t-3840

------ -------.------ -------------.4 分

(3)设原来预计x分钟到达火车站,则由题意得

80x ? 320( x ? 3) ? 3840
解得x=20,80x=1600 米 即公司到火车站的距离为 1600 米 .------ -------------.4 分

17(甲). 证明: 过 E 作 EF // BC 交 BD 于 F
? ?ACE ? ?ACB ? ?BCE ? 135? ?DFE ? ?DBC ? 45? ? ?EFB ? 135?

-------.2 分

又 EF // BC

1 2

1 AC ? BC 2
------ -------.------ -------------.4 分 -----.------ -------------.2 分

?EF ? AC CE ? FB

??EFB ? ?ACE ?

? ? 又? ?DBE ? ?DEB ? 90??

?CEA ? ?DBE

-----.------ -------------.2 分

??DEB ??CEA ? 90?
故 ?AEB ? 90?

------ -------.------ -------------.1 分 ------ -------.------ -------------.1 分

? AE ? EB
17(乙).解: 作∠CBD=10°,且 BD=BA 则Δ ABD 是等边三角形, A ---.------ -------------.2 分

∴ AD=AB, ---.------ -------------.2 分 又 AB=AC,∴ AD=AC, ∠DAC=80°-60°=20° ∴ ∠ACD=80°----------.2 分 ∴ ∠BCD=80°-50°=30°=∠BCO B ∴ ∴ ∵ ∴ Δ BDC≌Δ BOC ---.------ -------------.2 分 BO=BD=AB ∠ABO=40°,∴ ∠BAO=70° ---.------ -------------.2 分 ∠OAC=10° ------ -------.------ -------------.2 分

O C D

18. 解:
1 5 (1)抛物线的函数解析式是 y ? ? x 2 ? x ,- ---------2 分 4 2 1 直线 OB 的函数解析式是 y ? x ; - ---------2 分 2 (2)∵OP=t,PC⊥x 轴于点 P,交直线 OB 于点 C,
1 ∴PC= t ,∴PQ= t ,即 Q(t,t) ,------ -----------.2 分 2

y

E Q C O F

B

PG D

A

1 5 当点 Q 落在抛物线上时, t ? ? t 2 ? t , 4 2

x B

解得: t ? 6 ; ------ -----------.- ---------2 分

(3)①作 FG⊥x 轴于点 G,设 FG=n, 由(2)得:PQ= t ,∵OD=OE,OD⊥OE, ∴ ?ODE ? 45? ,∴△PDQ 是等腰直角三角形 ∴PD= PQ= t ,∴OD=2t, 同理可得:FG= DG= n ,∴OG= 2t ? n , 将 x= 2t ? n ,y=n 代入 y ?
1 2 x 得: n ? t , 2 3

4 4 2 ∴OG= t ,∴F( t , t ) ; 3 3 3

------ -----------.- ---------2 分
2 2 2 5 t, t , FD ? FG 2 ? DG 2 ? 3 3

②由(3)①得:OF= FG 2 ? OG 2 ? ∵ ED ? 2 2t , OB ? 4 5 , ∴BF= OB ? OF ? 4 5 ?

4 2 5 2t , t , EF ? ED ? FD ? 3 3

Ⅰ. 当点 F 在射线 OB 的点 B 的右侧时: ∠BFD>90° ,而△OEF 中无钝角, 故此时△OEF 与△DBF 不相似; Ⅱ.当点 F 在线段 OB 上时: ∵∠OFE=∠BFD,∴OE 和 BD 是对应边,

2 5 4 t 2t 10 OF EF 3 当△OEF∽△DBF 时, ,即 3 ? ,解得: t ? , ? 3 DF BF 2 2 2 5 t 4 5? t 3 3
OF EF 当△OEF∽△BDF 时, ,即 ? BF DF

2 5 4 t 2t 3 ,解得: t ? 4 . ? 3 2 5 2 2 4 5? t t 3 3

∴t ?

10 或 4. 3

------ -----------.- ---------4 分


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