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高考立体几何专题复习


立体几何
一、考点分析
基本图形
1.棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

?斜棱柱 ? 底面是正多形 ① 棱柱 ? 棱垂直于底面 ? ? 正棱柱 ★ ? ????? ????? ? 直棱柱 ? ? ? ?其他棱柱? ?
②四棱柱

/>底面为平行四边形 底面为正方形
D' C' A' B'
l

平行六面体 正四棱柱

侧棱垂直于底面 侧棱与底面边长相等

直平行六面体 底面为矩形 正方体
S

长方体
E' F' 侧面

高 侧棱

顶点

侧面

底面 侧棱 E F A B
A

D C

底面
D O B H C

斜高

2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3.球 球的性质: ①球心与截面圆心的连线垂直于截面; ★② r ?

R2 ? d 2 (其中,球心到截面的距离为
球心

球面 轴 半径 O R A r

d、球的半径为 R、截面的半径为 r) ★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长 方体,球与正方体等的内接与外切.
D' A' O B' O C' A' C'

d O1

B

D A B

C A c

1

注:球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式: S球 ? 4? R ,V球 ?
2

4 3 ? R (其中 R 为球的半径) 3

平行垂直基础知识网络★★★

平行与垂直关系可互相转化

平行关系
1. a ? ? , b ? ? ? a // b 2. a ? ? , a // b ? b ? ? 3. a ? ? , a ? ? ? ? // ? 4. ? // ? , a ? ? ? a ? ? 5. ? // ? , ? ? ? ? ? ? ?
??

垂直关系

平面几何知识

平面几何知识

线线平行 判定

线线垂直 判定

性质 判定

性质

判定推论

性质 判定

面面垂直定义 面面垂直

线面平行

面面平行

线面垂直

异面直线所成的角,线面角,二面角的求法★★★
1.求异面直线所成的角 ? ? ? 0?,90?? : 解题步骤:一找(作) :利用平移法找出异面直线所成的角; (1)可固定一条直线平移 另一条与其相交; (2)可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二 证:证明所找(作)的角就是异面直线所成的角(或其补角) 。常需要证明线线平行; 三计算:通过解三角形,求出异面直线所成的角; 2 求直线与平面所成的角 ? ??0?,90?? :关键找“两足” :垂足与斜足 解题步骤: 一找: 找 (作) 出斜线与其在平面内的射影的夹角 (注意三垂线定理的应用) ; 二证:证明所找(作)的角就是直线与平面所成的角(或其补角) (常需证明线面垂直) ;三 计算:常通过解直角三角形,求出线面角。 3 求二面角的平面角 ? ??0,? ? 解题步骤:一找:根据二面角的平面角的定义,找(作)出二面角的平面角; 二证: 证明所找(作)的平面角就是二面角的平面角(常用定义法,三垂线法,垂面法) ; 三计算: 通过解三角形,求出二面角的平面角。

2

二、典型例题
考点一:三视图
1.一空间几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的体积为_________________.
2 2

2

2 正(主)视图

2 侧(左)视图 第1题

俯视图

2.若某空间几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积是________________.

第2题

第3题 .

3.一个几何体的三视图如图 3 所示,则这个几何体的体积为

4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图 4 所示,则此几何体的体积是

.

a
3 正视图 2 左视图

1 1
俯视图

第4题

第5题
3

5.如图 5 是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ?

.

6.已知某个几何体的三视图如图 6,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是 .

20

20 正视图

20 侧视图

10 10 20 俯视图

第6题

第7题

7.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是

cm3
3

8.设某几何体的三视图如图 8(尺寸的长度单位为 m) ,则该几何体的体积为_________m 。

2 2 2 2
1

3

2 3 2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

2

第7题 第8题 9.一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个 几何体的侧面积为_________________.

图9 4

10.一个三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如图 10 所示(单 位 cm) ,则该三棱柱的表面积为_____________.

正视图 俯视图 图 10

11. 如图 11 所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一 个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为_____________.



图 11

图 12

图 13

12. 如图 12,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个 圆,那么几何体的侧面积为_____________. 13.已知某几何体的俯视图是如图 13 所示的边长为 2 的正方形, 主视图与左视图是边长为 2 的正三角形,则其表面积是_____________. 14. 如果一个几何体的三视图如图 14 所示 ( 单位长度 : cm ), 则此几何体的表面积是 _____________.

图 14

15.一个棱锥的三视图如图图 9-3-7,则该棱锥的全面积(单位: cm )_____________.

2

正视图

左视图 图 15

俯视图

5

16. 图 16 是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是_____________. 2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
图 16 图 17

17.如图 17,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为______________. 18.若一个底面为正三角形、 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图 9-3-14 所示, 则这个棱柱 的体积为______________.

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

图 18

考点二 体积、表面积、距离、角 注:1-6 体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15 线面角

1. 将一个边长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了___________. 2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与此正四面 体的表面积的比值为___________. 3.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5 ,那么它的体积为_______________. 4.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的

1 ,则它的体积是原来的______________. 2
. .

5.已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π ,则它的体积是 6.平行六面体 AC1 的体积为 30,则四面体 AB1CD1 的体积等于

7. 如图 7, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E , F 分别是 A1 D1 ,C1 D1 中点, 求异面直线 AB1 与 EF 所成角的角______________. 8. 如图 8 所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点, 则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为_____________.
6

第8题
' ' ' ' ' '

第7题

9.正方体 ABCD ? A B C D 中,异面直线 CD 和 BC 所成的角的度数是_________________.

10.如图 9-1-3,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? 3BC, BC ? CC1 ,则异面直线 AA1 与 BC1 所成的角是_________,异面直线 AB 与 CD1 所成的角的度数是______________

图 13 11. 如图 9-1-4,在空间四边形 ABCD 中, AC ? BD 点,则 EF 与 AC 所成角的大小为_____________. 12. 正方体 AC1 中, AB1 与平面 ABC1D1 所成的角为 .
A C? B D , E , F 分别是 AB、CD 的中

13.如图 13 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AA1 ,则直线 CB1 与平面 AA1 B1 B 所成角的正 弦值为_______________.

14. 如图 9-3-6,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 BD1 与平面 ABCD 所成的角的正切
7

值为_______________.
P

D1 A1
C

O
A1

C1 B1

D
A M B

C
A1

A
A1

A1

B
A1

图 9-3-6 图7

图 9-3-1

15. 如图 9-3-1, 已知 ?ABC 为等腰直角三角形, P 为空间一点, 且 AC ? BC ? 5 2, PC ? AC , PC ? BC , PC ? 5 , AB 的中点为 M ,则 PM 与平面 ABC 所成的角为 16.如图 7,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到 平面 AB C1D1 的距离为__________________. 17.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 ______________. 18.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 , AA 1 ? 1, 则顶点 A、B 间的球面距离是_________________. 19. 已 知 点 A, B, C , D 在 同 一 个 球 面 上 , AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若

AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是

.

20. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是_________________. 21.△ABC 的顶点 B 在平面 a 内, A、C 在 a 的同一侧,AB、BC 与 a 所成的角分别是 30°和 45°,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5,则 AC 与 a 所成的角为_________. 22.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为_____________. 23 . 已 知 点 A, B, C , D 在 同 一 个 球 面 上 , AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若

AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是

.

24.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二

8

面角的度数为________ . 25.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 表面积等于____________.
26.已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为

32 ? ,则正方体的棱长为_________. 3

27. 一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为_________.

考点四

平行与垂直的证明

1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

D1
A1

C1

B1
D

E

C
B

A

2.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,O 是底 ABCD 对角线的交点.求证: (1) C1O∥面 AB1D1 ; D1 C (2) AC ? 面 AB1D1 . 1

1

A1 D O A

B1

C B

9

3.如图, PA ? 矩形 ABCD 所在平面, M 、 N 分别是 AB 和 PC 的中点. (Ⅰ)求证: MN ∥平面 PAD ; P (Ⅱ)求证: MN ? CD ;
? (Ⅲ)若 ?PDA ? 45 ,求证: MN ? 平面 PCD .

A M B

N D C

4. 如图 (1) , ABCD 为非直角梯形, 点 E, F 分别为上下底 AB, CD 上的动点, 且 EF ? CD 。 现将梯形 AEFD 沿 EF 折起,得到图(2) (1)若折起后形成的空间图形满足 DF ? BC ,求证: AD ? CF ; (2)若折起后形成的空间图形满足 A, B, C , D 四点共面,求证: AB / / 平面 DEC ; D F C A A E 图(1) B E 图(2) B D

F

C

10

5.如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, N 为 AE 的中点,AF=AB=BC=FE= (I) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (II) 证明 BN // 平面 CDE;

F N A B C M

E

1 AD 2

D

6.在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD 是正三角形, 且与底面 ABCD 垂直,已知菱形 ABCD 中∠ADC=60°, M 是 PA 的中点,O 是 DC 中点. (1)求证:OM // 平面 PCB; (2)求证:PA⊥CD; (3)求证:平面 PAB⊥平面 COM.

P

C

M

B

O D
A

11

7.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD
F D E P

C

A

B

8.正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长是 3 , 侧棱长是 3, 点 E, F 分别在 BB1, DD1 上,且 AE⊥A1B,AF⊥A1D. (1)求证:A1C⊥面 AEF; (2)求二面角 A-EF-B 的大小; (3)点 B1 到面 AEF 的距离.

考点五 异面直线所成的角,线面角,二面角
1.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD.求证: (1)平面 PAC⊥平面 PBD; (2)求 PC 与平面 PBD 所成的角;

12

2.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异 面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 _____________.

3.正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 底面边长为 1,侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对 角线 E1D 与 BC1 所成的角是___________________. 4. 若正四棱锥的底面边长为 2 3 cm,体积为 4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大 小是________. 5. 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中, AB ? AC, PA ? 平面 ABCD, 且 PA =AB,点 E 是 PD 的中点.(1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB// 平面 AEC;

a (3)若 PA ? AB ?AC ?

,求三棱锥 E-ACD 的体积; (4)求二面角 E-AC-D 的大小.

考点六 线面、面面关系判断题
1.已知直线l、m、平面α 、β ,且l⊥α ,m ? β ,给出下列四个命题: (1)α ∥β ,则l⊥m (2)若l⊥m,则α ∥β (3)若α ⊥β ,则l∥m (4)若l∥m,则α ⊥β 其中正确的是__________________.

、n 是空间两条不同直线, ?、? 是空间两条不同平面,下面有四个命题: 2. m


m ? ? ,n ? ? , ? ? ? ? m ? n  ;



m ? n, ? ? ? , m ? ? ? n ? ?   ;

13



m ? n, ? ? ? , m ?? ? n ? ?   ;



m ? ? , m ? n, ? ? ? ? n ? ?   ;

其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号) 。 3. l 为一条直线, ?,?,? 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ① ? ? ?,? ? ? ? ? ? ? ;② ? ? ?,? ∥? ? ? ? ? ;③ l ∥?,l ? ? ? ? ? ? . 其中正确的命题有_________________. 4. 对于平面 ? 和共面的直线 m 、 (1)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? (3)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n 其中真命题的序号是_____________. 5. 关于直线m、n与平面 ? 与 ? ,有下列四个命题: ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ;

n,
(2)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n (4)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥ n

③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; ④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n ; 其中真命题的序号是_________________. 6. 已知两条直线

m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题:
② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ?

其中正确命题的序号是_______________. 7.给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________. ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 ④若直线

l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线.

14


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