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高中数学竞赛:解析几何(2)0


高中数学竞赛专题: 《解析几何》试题
一、选择题
1. (04 湖南)已知曲线 C : y ? 值范围是( ) A. (? 2 ? 1, 2 ) B. (?2, 2 ? 1) C. [0, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1)

? x 2 ? 2 x 与直线 l : x ? y ? m ? 0 有两个交点,则 m 的取

r />2.(集训试题)过椭圆 C:

x2 y2 , ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) 3 2

延长 PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的 取值范围为( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2


x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是 3. (05 全国)方程 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线



4. (06 浙江)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 ? 2 ,则满足条件的 直线 L 共有( )条. A.1 B.2 C .3 D.4 5.(2006 年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线 方程为( )

A . y 2 ? ?12 x

B . y 2 ? 12 x
2

C . y 2 ? ?16 x

D . y 2 ? 16 x

6. (2006 年江苏)已知抛物线 y ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点, 使得△ POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有

? A? 0 个

? B? 2 个

?C ? 4 个

? D? 6 个

7. (200 6 天津)已知一条直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的两支分别相交于 P 、 a2 b2


Q 两点, O 为原点,当 OP ? OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于(
(A)

ab b2 ? a2

ab (B) 2 b ? a2

b2 ? a2 (C) ab

b2 ? a2 (D) ab

8.(2006 年浙江省预赛)设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为
2
2

1 , 3

则集合 M ? {( x, y ) y ? x ? 1}, N ? {( x, y ) y ? x ? 1} 的交集 M ? N 所表示的图形面 积为 (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

1

(B)

4 . 3

9. (06 安徽)过原点 O 引抛物线 y ? x 2 ? ax ? 4a 2 的切线,当 a 变化时,两个切点分别在抛物 线( A. y ? )上

1 2 3 x , y ? x2 2 2

B. y ?

3 2 5 x , y ? x2 2 2

2 2 C . y ? x , y ? 3x

2 2 D. y ? 3 x , y ? 5 x

10.若在抛物线 y ? ax (a ? 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ,且该
2

圆与抛物线没有别的公共点,则 r 的最大值是( ) A.

1 2a

B.

1 a

C. a

D . 2a

11. (06 江苏)已知抛物线 y2=2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( ) A.0 个 B.2 个 C .4 个 D.6 个 12. (06 全国)如图 3,从双曲线
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2

左焦点 F 引圆 x ? y ? a 的切线,切点为 T.延长 FT 交双曲线右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐 标原点,则 | MO | ? | MT | 与 b ? a 的大小关系为( A. | MO | ? | MT |? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a )

B. | MO | ? | MT |? b ? a D.不确定

x2 y2 13. (05 四川)双曲线 2 ? 2 ? 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1 , A2 , P 是该双曲线右支上任 a b
意一点,则分别以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定 ( )

A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 14. (02 湖南)已知 A(-7,0) ,B(7,0) ,C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且

过 A、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为( ) (奥析 263) A.双曲线 B.椭圆 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 15. (03 全国)过抛物线 y ? 8( x ? 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60O 的直线。若此直线与抛物线
2

交于 A、B 两点, 弦 AB 的中垂线与轴交于点 P, 则线段 PF 的长等于 ( A.

) (奥析 263)

16 3

B.

8 3

C.

16 3 3

D. 8 3

二、填空题
1.若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 程为 4 x ? 4 x ? y ? 2 y ? 0
2 2

x2 y2 ? ? 1 截得线段的中点的轨迹方 2 8

x2 y2 2.(200 6 天津)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,长轴的两个端点为 A 、 B ,若椭圆 a b
上存在点 Q ,使 ?AQB ? 120 ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是
?

[

6 ,1) . 3

3. (04 湖南)设 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上异于长轴端点的任意一点, F1 、 F2 分别是其左、 16 9
2

右焦点, O 为中心,则 | PF1 | ? | PF2 | ? | OP | ? _

25 _.

4. (05 湖南) 一张坐标纸对折一次后, 点 A(0,4) 与点 B(8,0) 重叠, 若点 C (6,8) 与点 D(m, n) 重叠,则 m ? n ? ___14.8___; 5.在正△ ?ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点,则以 B 、 C 为焦点且过点 D 、 E 的 双曲线的离心率是 3 ? 1 .

6. (03 全国) 设 F1、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的一点, 且|PF1|: |PF2|=2: 9 4
4 . (奥析 264)

1.则三角形 PF1F2 的面积为

7. (04 全国)给定两点 M(-1,2) ,N(1,4) ,点 P 在 x 轴上移动. 当 ?MPN 取最大时, 点 P 的坐标为 (1,0) . (奥析 265)

8. (03 山东) 设曲线 2 x ? y ? 4 x ? 6 上与原点距离最大和最小的点分别为 M、 N, 则|MN|=
2 2

15 .(奥析 266)
9. ( 04 全国)已知 M ? {( x, y) | x ? 2 y ? 3}, N ? {( x, y) | y ? mx ? b}. 若对于所有的
2 2

m ? R ,均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是 [?

6 6 , ] (奥析 267) 2 2

10. (00 全国)平面上的整点到直线 25x-15y+12=0 的距离中的最小值是

34 . 85
.

11.(99 全国)满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2 <2 的整点的个数有 16

12. (00 河北)在圆 x2+y2-5x=0 内,过点 ( , ) 有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的

5 3 2 2

取值范围为

[?

2 5 5 , ] 5 2

.

13.设 P 是抛物线 y2=2x 上的点,Q 是圆(x-5)2+y2=1 上的点,则|PQ|的最小值为 2

.

14.点 A 是直线 l : y ? 3x 上一点,且在第一象限,点 B 的坐标为(3,2) ,直线 AB 交 x 轴 正半轴于点 C ,那么三角形 AOC 面积的最小值是

28 3

三、解答题
1.已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方 作半圆交抛物线与不同的两点 M、N,设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF 的值.(2)是否存在这样的 a 的值,使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如 存在,求出 a 的值;如不存在,说明理由。 答案(1)8; (2)不存在。 (利用定义法)

2.圆 x2+y2=8,点 A(2,0) ,动点 M 在圆上,0 为原点,求 ?OMA 的最大值。

? 4
3. (03 山东)椭圆 C: Ax ? By ? 1 与直线 ? :x+2y=7 相交于 P、Q 两点,点 R 的坐标为
2 2

(2,5).若 ?PQR 是等腰三角形, ?PRQ ? 90 ,求 A、B 的值。 (奥析 265)
O

A?

3 2 ,B ? 35 35
2 2

4.已知曲线 M : x ? y ? m , x ? 0 , m 为正常数.直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直,且依 次交直线 y ? x 、曲线 M 、直线 y ? ?x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点, O 为坐标原点. (1)若 | AB |?| BC |?| CD | ,求证: ?AOD 的面积为定值; (2) 若 ?B O C 的面积等于 ?AOD 面积的 求证: | AB |?| BC |?| CD | .

1 , 3 y

A

B
O

B P

解: (1)设直线 l : y ? kx ? b 代入

C D

x
A Q C

x 2 ? y 2 ? m 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? 2bkx ? b 2 ? m ? 0 ,

? ? 0 得: b 2 ? m(1 ? k 2 ) ? 0 ,
设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) ,则有 x1 ? x 2 ?

? (b 2 ? m) 2bk x x ? , ,设 A( x3 , y3 ) , 1 2 1? k 2 1? k 2

D( x 4 , y 4 ) , 易得:x3 ?

b ?b 1 ,x4 ? , 由 | AB |?| BC |?| CD | 得 | BC |? | AD | , 1? k 1? k 3

2bk 2 4(b 2 ? m) 1 2b 1 ) ? ? | | ,整理得: 故 | x1 ? x2 |? | x3 ? x 4 | ,代入得 ( 3 1? k 2 1? k 2 1? k 2 3

b2 ?

9 b b m(k 2 ? 1) ,又 | OA |? 2 | | , | OD |? 2 | | , ?AOD ? 90? , 8 1? k 1? k

b2 9 ? m 为定值. ? S ?AOD = 2 |1? k | 8
(2) 设 BC 中点为 P ,AD 中点为 Q 则 x p ?

x ? x4 x1 ? x2 bk bk ? xQ ? 3 ? , , 2 2 2 1? k 1? k 2

所以 x P ? xQ , P 、 Q 重合,从而 | AP |?| DP | ,从而 | AB |?| CD | ,又 ?BOC 的面积 等于 ?AOD 面积的

1 1 ,所以 | BC |? | AD | ,从而 | AB |?| BC |?| CD | . 3 3

5.已知点 A

?

5 ,0 和曲线

?

x2 、P 2、…、 Pn .若 P1 A 、 ? y 2 ? 1 2 ? x ? 2 5 , y ? 0 上的点 P 1 4

?

?

P2 A 、…、 Pn A 成等差数列且公差 d >0,(1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式.(2). 若

?1 1 ? d ?? , ? ,是否存在满足条件的 n(n ? N * ) .若存在,求出 n 可取的所有值,若不存在,说 5 5 ? ?
明理由. 解(1)∵d>0,故为递增数列∴ P 1 A 最小, P n A 最大. 由方程

x2 4 ? y 2 ? 1 2 ? x ? 2 5 , y ? 0 知 A( 5 ,0) 是它的右焦点 ,L: x ? 是它的右 4 5
Pn A ? 3


?

?

5 ?2 准线, ∴ P 1A ?

于是 3 ? ( 5 ? 2) ? (n ? 1)d

d?

5? 5 (n ? 1) …………………………-5 分 n ?1
设 n ? (5 5 ? 4,26 ? 5 5 )

(2)∵ d ? ( , 又∵ n ? N
*

1 1 ) 5 5



1 5? 5 1 ? ? 5 n ?1 5

∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这

七个值.- - - - - - - - -- - - - -9 分

6. (04 全国)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B(?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。

4 3

4 4 点 Px ( ,y ) ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 。 3 3 1 1 到 AB、AC、BC 的距离依次为 d1 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d 2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 |, d3 ?| y | 。依 5 5
解: (Ⅰ) 直线 AB、 AC、 BC 的方程依次为 y ? 设, d1d 2 ? d3 , 得 |16 x ? (3 y ? 4) |? 25 y ,
2 2 2 2

即 16 x ? (3 y ? 4) ? 25 y ? 0, 或16 x ? (3 y ? 4) ? 25 y ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0与双曲线T:8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

......5 分

(Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x ? 2 y ? 3 y ? 2 ? 0
2 2 2 2



与双曲线 T: 8x ? 17 y ? 12 y ? 8 ? 0 ② 因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点.

1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1 ? d 2 ? d3 ,解得 D (0, ) ,且知它在圆 2
S 上.直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程 为 y ? kx ?

1 2



(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y ?

1 平行于 x 轴,表 2

明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点, 所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......10 分 (ii)当 k ? 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点 只能有两种情况:

1 , 直线 L 的方程为 x ? ?(2 y ? 1) . 2 5 4 5 4 代入方程②得 y(3 y ? 4) ? 0 ,解得 E ( , )或F(- , ). 表明直线 BD 与曲线 T 有 2 3 3 3 3
情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k ? ?

个交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 k ? ? 轨迹有 3 个公共点。 ......15 分

1 时,L 恰好与点 P 的 2

情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ? ?

1 ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 2

?8 x 2 ? 17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ? 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实 1 y ? kx ? ? ? 2
数解,消去 y 并化简得 (8 ? 17k 2 ) x 2 ? 5kx ?

25 ? 0 该方程有唯一实数解的充要条件是 4

8 ? 17k 2 ? 0
2


2

或 (?5k ) ? 4(8 ? 17k )

25 ?0 4



.解方程④得

k ??

2 34 2 ,解方程⑤得 k ? ? . 2 17
1 2 34 2 ,? ,? } 2 17 2

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ?

7. (04 湖南)在周长为定值的 ?ABC 中,已知 | AB |? 6 ,且当顶点 C 位于定点 P 时,cos C 有最小值为

7 .(1)建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.(2)过点 A 作直线与(1) 25

中的曲线交于 M 、 N 两点,求 | BM | ? | BN | 的最小值的集合. 解:(1) 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值, 所以 C 点的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆, 所以焦距 2c=|AB|=6. 因为

cos C ?

| CA | 2 ? | CB | 2 ?6 2 (| CA | ? | CB |) 2 ? 2 | CA || CB | ?36 2a 2 ? 18 ? ? ?1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |

又 | CA | ? | CB |? (

2a 2 18 18 7 2 所以 cos C ? 1 ? 2 , 由题意得 1 ? 2 ? ) ? a2 , , a ? 25 . 2 25 a a
x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) 25 16

此时, |PA|=|PB|, P 点坐标为 P(0, ±4).所以 C 点的轨迹方程为

(2)不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900 时,设

其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 (

1 k2 2 3 2 9k 2 ? )x ? k x ? ( ? 1) ? 0 25 16 8 16

显然有 △≥0, 所以 x1 ? x 2 ? ? 而由椭圆第二定义可得

150 k 2 225 k 2 ? 400 , x x ? 1 2 16 ? 25k 2 16 ? 25k 2

3 3 9 | BM | ? | BN |? (5 ? x1 )(5 ? x 2 ) ? 25 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 5 5 25 144 450 k 81k ? 144 531k ? 144 531 531 ? 25 ? ? ? 25 ? ? 25 ? ? 2 2 2 16 25 16 ? 25k 16 ? 25k 16 ? 25k 2 k ? 25
2 2 2

k2 ?

144 16 144 ? 531 的最小值,即考虑 1 ? 25 531 取最小值,显然. 只要考虑 16 16 k2 ? k2 ? 25 25 k2 ?
当 k=0 时, | BM | ? | BN | 取最小值 16. 当直线 MN 的倾斜角为 900 时,x1=x2=-3,得 | BM | ? | BN |? (

34 2 ) ? 16 5



x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) ,故 k ? 0 ,这样的 M、N 不存在,即 | BM | ? | BN | 的最小 25 16

值的集合为空集.

8. (04 四川)已知椭圆ε :

x2 y2 ,动圆 ? : x 2 ? y 2 ? R 2 ,其中 b<R<a. 若 ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b

A 是椭圆ε 上的点,B 是动圆 ? 上的点,且使直线 AB 与椭圆ε 和动圆 ? 均相切,求 A、 B 两点的距离 AB 的最大值. 解:设 A ?x1 , y1 ? 、B ?x 2 , y 2 ? ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 因为 A 既在椭圆
? y1 ? kx1 ? m ? 线 AB 上,从而有 ? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a (1) (2)

? 上又在直

将(1)代入(2)得 a 2 k 2 ? b 2 x 2 ? 2kma2 x ? a 2 m 2 ? b 2 ? 0

?

?

?

?

由于直线 AB 与椭圆

? 相切,故 ? ? ?2km a ?
ka 2 m

2 2

? 4a 2 m 2 ? b 2 a 2 k 2 ? b 2 ? 0

?

??

?

从而可得 m 2 ? b 2 ? a 2 k 2 , x1 ? ?

(3)……………………5 分

同理,由 B 既在圆 ? 上又在直线 AB 上, 可得 m 2 ? R 2 1 ? k 2 , x 2 由(3) 、 (4)得 k 2 ?
2 2

?

?

??

k a2 ? R2 m

?

? (4)10 分
k a2 ? R2 m
2

R2 ? b2 a ?R
2 2
2

, x 2 ? x1 ?

?

?
? ?
2

所以 AB ? ?x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? 1 ? k 2 ?x 2 ? x1 ? ? ?

?

?

?a

2

? R2 R2 ? b2 a 2b 2 ab ? ? 2 2 ? a 2 ? b 2 ? R 2 ? 2 ? ?a ? b ? ? ? R ? ? ? ?a ? b ? ???????15分 2 R R R ? ?

??

?

m2 k 2 a 2 ? R2 ? R2 m2
2

?

?a

2

? R2 R2

?

2

?

R2 ? b2 a2 ? R2

即 AB ? a ? b ,当且仅当 R ? ab 时取等号所以 A 、 B 两点的距离 AB 的最大值为
a ? b . ……………20 分.

9. (05 全国)过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物 线上,E 在线段 AC 上,

AE BF ? ?1 ,F 在线段 BC 上, ? ?2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD EC FC

与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程。 解一:过抛物线上点 A 的切线斜率为: y ? ? 2 x | x ?1 ? 2,?切线 AB 的方程为

1 y ? 2 x ? 1. ? B、D 的坐标为 B(0,?1), D( ,0),? D 是线段 AB 的中点. ………………5 2
分 设 P( x, y ) 、 C ( x0 , x0 ) 、 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y 2 ) ,则由
2

AE ? ?1 知, EC


x1 ?

2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 , y1 ? ; 1 ? ?1 1 ? ?1

BE ? ?2 , FC

2 ? 2 x0 ? 1 ? ? 2 x0 x2 ? , y2 ? . 1 ? ?2 1 ? ?2

∴EF 所在直线方程为:
2 1 ? ?1 x 0 1 ? ?1 x 0 x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ? , 2 2 ? 1 ? ? 2 x 0 1 ? ?1 x 0 ? 2 x0 1 ? ?1 x0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1

y?

化简得 [(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )] y ? [(? 2 ? ?1 ) x0 ? 3]x ? 1 ? x0 ? ? 2 x0 . …①…………10 分
2 2

2 2 2 x0 x ? x0 1 当 x0 ? 时,直线 CD 的方程为: y ? …② 2 x0 ? 1 2

x ?1 ? x? 0 ? 1 ? 3 联立①、②解得 ? ,消去 x 0 ,得 P 点轨迹方程为: y ? (3x ? 1) 2 . ……… 2 3 ? y ? x0 ? 3 ?
15 分 当 x0 ?

1 3 1 1 3 1 1 时,EF 方程为: ? y ? ( ?2 ? ?1 ? 3) x ? ? ?2 , CD 方程为: x ? , 2 2 4 4 2 4 2

1 ? ? x? , ? ? 2 ? 2 ? 联立解得 ? ? 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ x0 ? 1,? x ? . 3 ? y ? 1 .? ? ? 12 ? ?

1 2 (3x ? 1) 2 ( x ? ). …………………………20 分 3 3 1 解二:由解一知,AB 的方程为 y ? 2 x ? 1, B(0,?1), D( ,0), 故 D 是 AB 的中点. ……5 2
∴所求轨迹方程为 y ? 分 令? ?

CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t 2 ? ? 1 ? ?2 , 则 t1 ? t 2 ? 3. 因为 CD 为 ?ABC 的中线, CP CE CF

? S ?CAB ? 2S ?CAD ? 2S ?CBD .


S S t ?t 1 CE ? CF S ?CEF 1 1 1 3 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? )? 1 2 ? ,? ? ? , t1t 2 CA ? CB S ?CAB 2S ?CAD 2S ?CBD 2 t1? t 2? 2t1t 2? 2t1t 2? 2

? P 是 ?ABC 的重心. ……………………………………………………………10 分
设 P( x, y ), C ( x0 , x0 ), 因点 C 异于 A,则 x0 ? 1, 故重心 P 的坐标为
2

x?

2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ? 1 ? 1 ? x0 x2 2 1 ? , ( x ? ), y ? ? 0 , 消去 x0 , 得 y ? (3x ? 1) 2 . 3 3 3 3 3 3

故所求轨迹方程为 y ?

1 2 (3x ? 1) 2 ( x ? ). ………………………………………20 分 3 3

10. (05 湖南)过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一条直线和 x轴、y轴 分别相交于 M、N 两点,试求 (其中 O 为坐标原点) OM ? ON ? MN 的最大值。 解:过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作一圆与 x 轴、 y 轴分别相切于点 A、B,且使点 P(3 ? 2 2 ,4) 在优弧 AB 上,则圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 ,于是过点 P(3 ? 2 2 ,4) 作圆的
2 2

切 线 和 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 M 1 , N1 两 点 , 圆 为 Rt?OM 1 N1 的 内 切 圆 , 故

OM 1 ? ON1 ? M 1 N1 ? 6
若过点 P 的直线 MN 不和圆相切,则作圆的平行于 MN 的切线和 x 轴、 y 轴分别相交 于 M 0 , N 0 两点, 则 OM 0 ? ON 0 ? M 0 N 0 ? 6 。 由折线 M 0 MNN0 的长大于 M 0 N 0 的长 及切线长定理,得 OM ? ON ? MN ? (OM 0 ? MM 0 ) ? (ON 0 ? NN 0 ) ? MN

? (OM 0 ? ON 0 ? M 0 N 0 ) ? [M 0 N 0 ? ( M 0 M ? MN ? NN 0 )] ? OM 0 ? ON 0 ? M 0 N 0 ? 6
所以, OM ? ON ? MN 的最大值为 6。

11. (05 江苏)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不 a 2 b2

与 x 轴 垂 直 的 焦 点弦 . 若 在 左 准 线 上 存在 点 R , 使

?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并
R

y
Q'
M‘ P’ P F M O Q

用 e 表示直线 PQ 的斜率.

x

解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M .过点

P、

M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 P ' 、

M '、Q' , 则
1 1 | PF | | QF | | PQ | . …………… 6 分 | MM ' |? (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? 2 2 e e 2e

假设存在点 R , 则 | RM |?

3 | PQ | 3 | PQ | ,且 | MM ' | ? | RM | ,即 ? | PQ | , 2 2e 2

所以, e ?

3 .……… 12 分. 3 1 | MM ' | | PQ | 2 1 ? ? ? ,故 cot ?RMM ' ? . | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e 2 ? 1

cos ?RMM ' ? 于是,

若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan ?QFx ? tan ?FMM ' ? cot ?RMM ' ?

1 3e 2 ? 1

.

… 18 分

当 e?

3 时, 过点 F 作斜率为 3

1 3e 2 ? 1

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于

R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2

………… 21 分

若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 k PQ ? ?

1 3e2 ? 1



……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? . 3 3e 2 ? 1

12. (05 四川) 正方形 ABCD 的两顶点 A, B 在抛物线 y ? x 上,C , D 两点在直线 y ? x ? 4
2

上,求正方形的边长 d 。 解:设 A, B 两点坐标分别为 A(t1 , t1 ) 、 B(t 2 , t 2 ) ,显然 t1 ? t 2 ∵ AB ∥ DC ,
2 2

∴1 ?

2 t2 ? t12 ,即 t1 ? t 2 ? 1 t 2 ? t1

一方面,
2 2 d 2 ?| AB | 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? (t12 ? t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) 2 [1 ? (t1 ? t 2 ) 2 ] ? 2[(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ]

1 2 ∴ t1t 2 ? (2 ? d ) 8
2d 2 ? (t1t 2 ? 4) 2
4

① 。 另 一 方 面 , d ?| AD |?

| t1 ? t12 ? 4 | 2

?

| t1t 2 ? 4 | 2

,∴


2
2 2

将①代入②,得 d ? 68d ? 900 ? 0 ,即 (d ? 18)( d ? 50) ? 0 。故 d ? 3 2 或

d ?5 2

13. (06 浙江)在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a x ? 4a y ? 4abx ? 2ay ? b ? 0 外
2 2 2 2 2

切( a, b ? N , a ? 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求(1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L;(2) 若直线 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b ? a ? 6958 a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求
2 2

a, b 之值.
解: (1) 由 4a x ? 4a y ? 4abx ? 2ay ? b ? 0 可得 ( x ?
2 2 2 2 2

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ?N,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,设动圆圆心坐标为 ( x, y ) ,

则 有

(x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? y ? , 整 理 得 到 动 圆 圆 心 轨 迹 方 程 2a 4a 4a

b2 y ? ax ? bx ? 4a
2

(x ?

b ) .………(5 分) 2a

另解: 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 (

b 1 1 为准线,且顶点 , ) 为焦点, y ? ? 2 a 4a 4a

在 (

b b 1 ,0) 点 ( 不 包 含 该 点 ) 的 抛 物 线 , 得 轨 迹 方 程 ( x ? ) 2 ? y , 即 2a 2a a
b2 b (x ? ) 5 分 4a 2a
2

y ? ax 2 ? bx ?

b2 b (2)联立方程组 y ? ax ? bx ? (x ? ) 4a 2a
和 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 a ? 0 消去 y 得





4a 2 x 2 ? 4 7 a b x ? (a 2 ? 6 9 5 a 8) ? 0 ,
2 2 2 2

由 ? ? 16 ? 7a b ? 16 a (a ? 6958 a) ? 0, 整理得 7b ? a ? 6958 a
2 2

③.

从③可知 7 a ? 7 a 。 故令 a ? 7 a1 ,
2

2 代入③可得 b ? 7a1 ? 6958 a1 ? 7 b ? 7 b . 再令 b ? 7b1 ,
2

2

代入上式得

7b1 ? a1 ? 994 a1 …(10 分)

2

2

同理可得, 7 a1 ,7 b1 。可令 a ? 49 n, b ? 49m, 代入③可得 对④进行配方, 得
2 2

7m 2 ? n 2 ? 142 n



(n ? 71) 2 ? 7m 2 ? 712 , 对此式进行奇偶分析, 可知 m, n 均为偶数,
2

所以 7m ? 71 ? (n ? 71) 为 8 的倍数,所以

4 m 。令 m ? 4r ,则 112 r 2 ? 712

? r 2 ? 45 。
所以

r ? 0,1, 2, 3, 4, 5, 6

…………………………………(15 分)

2 2 仅当 r ? 0,4 时, 71 ? 112 r 为完全平方数。于是解得

a ? 6958 , b ? 0(不合,舍去)

a ? 6272 b ? 784

a ? 686 b ? 784

。 …………………(20 分)

x2 y 2 ? ? 1的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在 9 4 椭圆上的点,其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S2 的值.
14. (06 江苏)椭圆 解:椭圆中, a ? 3 , b ? 2 ,故 c ? 5 .所以 F

?

5, 0 , e ?

?

5 . 3

设 FP 则 di ? e cos ?i ? 1? ? i 与 x 轴正向的夹角为 ?i ,d i 为点 P i 到右准线的距离.

a2 ?c. c



1 c ? 2 ? e cos ?i ? 1? . di b 1 di ?12 ? c c e cos ?i ?12 ? 1? ? 2 ? ? cos ?i ? 1? . 2 ? b b

同理,

所以

24 1 1 2c 5 1 ? ? 2 ? ? 6 5 ,于是 S 2 ? 180 . .从而 ? di d i ?12 b 2 i ?1 d i

15. (2006 浙江省) 在 x 轴同侧的两个圆: 动圆 C1 和圆 4a x ? 4a y ? 4abx ? 2ay ? b ? 0
2 2 2 2 2

外切( a, b ? N , a ? 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求 (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L; (2)若直线 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b ? a ? 6958 a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求
2 2

a, b 之值。
解:同 13

16.(2006 年上海)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F,一条过焦点 F,倾斜角为
2

,交准线于点 B? ,连 ? (0 ? ? ? ? ) 的直线交抛物线于 A,B 两点,连接 AO(O 为坐标原点) 接 BO,交准线于点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积. 解 当? ?

?

当? ?

?
2

2

时, S ABB?A? ? 2 p .
2

…………………(4 分)

时,令 k ? tan ? .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由
y

p y 2 ? 2 px , y ? k ( x ? ) ,① 2 2p 2 消去 x 得, y ? y ? p 2 ? 0 ,所以 k 2p 2 , y1 y2 ? ? p . ③ y1 ? y2 ? k
又直线 AO 的方程为: y ?



A/

A

O B/

F B

x

y1 2p x ,即为 y ? x ,所以,AO x1 y1

与准线的交点的坐标为 B?( ?

p p2 p2 , ? ) ,而由③知, y2 ? ? ,所以 B 和 B? 的纵坐标相等, 2 y1 y1

从而 BB? ? x 轴.同理 AA? ? x 轴,故四边形 ABB?A? 是直角梯形.………………(9 分) 所以,它的面积为 S ABB?A? ?

1 1 ( AA? ? BB? ) ? A?B? ? AB ? A?B? 2 2
? 1 1 ( y2 ? y1 ) 2 1 ? 2 2 k

?

1 ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? y2 ? y1 2

?

1 1 1? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? ? ? 2 k
3 1 ?2 ? 2 2 ? 2 p ?1 ? 2 ? ? 2 p (1 ? cot ? ) 2 .………………(14 分) ? k ? 2 3

17.(2006 吉林预赛)已知抛物线 C : x ? 2 px( p ? 0) ,O 是坐标原点, M (0, b)(b ? 0) 为 2 y 轴上一动点, 过 M 作直线交 C 于 A、 B 两点, 设 S△ABC =mtan∠AOB, 求 m 的最小值。 ( -0.5p )
2

转化为: m ?

1 OA ? OB 2

18. (2006 年南昌市) (高二)给定圆 P: x ? y ? 2 x 及抛物线 S: y ? 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,
2 2 2

此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C, D ,如果线段 AB, BC, CD 的长 按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程. 解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为 P ?1, 0 ? ,设 l 的方程为
2 2

ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,代入抛物线方程得: y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ?
有?

? y1 ? y 2 ? 4k 2 2 ,则 ( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 y y ? ? 4 ? 1 2

y
A

2 y 2 ? y2 2 2 2 2 故 | AD | ? ( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( 1 ) 4 y ? y2 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 [1 ? ( 1 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) 4 据 等 差 , 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC 所 以 AD ? 3 BC ? 6 即

B
P

o
D

C

x

,

4(k 2 ? 1) ? 6 , k ? ?

2 2 2 则 l 方程为 x ? y ? 1或 x ? ? y ?1. 2 , 2 2

19.(集训试题)已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙ Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 解:以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为 (x, 0),⊙Q 的半径为 r 则:M(x-r, 0), N(x+r, 0),P(0,2)
2 2 PQ= x ? 2 =1+r 所以 x ? r ? 2r ? 3
2 2

设 A(m,n)

K AM ?

n n , K AN ? m?x?r m? x?r

tan ?MAN ?

K AM ? K AN 2rn ? 2 1 ? K AM ? K AN 2r ? m ? n 2 ? 3 ? 2mx

当?

?m ? 0
2 2 ?m ? n ? 3 ? 0

时 tan ?MAN ? n

解得 ?

?m ? 0 ?n ? ? 3

时 tan ?MAN ?

3 即平面上恒有定点 (0, 3 )或(0,? 3 ) 使得

tan ?MAN ? 60 ?

点 A(k, λ ) , ⊙ Q 的 半 径 为 r , 则 : M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=

x 2 ? 22

=1+r







x=

±

r 2 ? 2r ? 3

,



tan



o?r o?h ? k AN ? k AM x ? r ? h x ?r?h ? MAN= o ? h o?h 1 ? k AN ? k AM 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh ? ? , 令 2 2 (x ? k) ? r ? h ( ? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2
2 2

2m=h +k -3,tan∠MAN=
2

1 2 ,所以 m+r ? k r ? 2r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r 2 ? 2r ? 3 , n
2 2 2 2 2 2

两边平方,得:m +2m(1-nh)r-(1-nh) r =k r +2k r-3k ,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 ? 2 2 立, 所以 ?2m(1 ? nh) ? 2k 2 (2) , 由 (1) (2) 式, 得 m=0, k=0, 由 (3) 式, 得 n= 。 由 2m=h +k -3 h ? 2 2 ( 1 ? nh ) ? k ( 3 ) ? ?
得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN=

1 =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 n

时∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°。


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