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等差数列的几何意义及应用

时间:2014-03-01


青海师范大学学报 (自然科学版) &##- 年 &##第"期 (A:G89:; IJ>E$JE) 6789$:; 7< =>$?@:> A79B:; C$>DE9F>GH A7 2 " $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

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等差数列的几何意义及应用
王安民
(西宁市七中, 青海 西宁 摘 !"###") 要: 给出了等差数列的通项公式和前 $ 项和公式是特殊的一次函数和二次函数的具体描述及几何意义, 通过例题从几

何的角度如何解有关等差数列的习题。 关键词: 数列; 等差数列;几何意义 中图分类号: %"&&’( 文献标识码: ) 文章编号: (&##-) "##" * (+,& #" * ##./ * #"

在等差数列{!" } 中, ( " * ") !" 0 ! " 1 # (") " ( " * ")(&) " & 分别是特殊的一次函数和二次函数。 ( ") 式的图 和 $" 0 "! " 1 象是 直 线 % 0 #& 1( ! " * # ) 上一系列的点 ( ", (&, , , …, ( ", , ……, 的集合, ( &) 式的 !" ) !& ) !" ) 图象是抛物线 % 0 " & " ( !" * # ) #& 1 & 上的一系 & & 列的点 (", , ( &, , …, ( ", , …, 的集合。 $" ) $& ) $" )

列中的某三项。 (不一定是连续三项) 证明: 假设数" &, -, + 能成为一等差数列中 " " 的某三项, 根据等差数列的几何意义, 则点 ( ’, ( ", , 与 ( (, , ( ’, &) -) +) ", ( 不一定是连续的 " " " 自然数) 一定在某一条直线上, 那么可得: - *" & " + *" " 0 "*’ (*" 即 ( & " * ’) (*" 但这是不可能的, 因为等式的左边是无理数, - * -" &0 ""+ * ""# 1 - " 例已知等差数列首项 ! " 0 "##, 公差 # 0

由上面的几何意义, 对于等差数列, 我们可以得到 下面的一些关系。 ! * !’ 公差 (即斜率) # 0 " "*’ 点斜式 !" * !’ 0 # ( " * ’) 两点式 !" * !’ " * ’ 0 !’ * ! ( ’ * ( (-) (,) (+)

右边是有理数, 所以, 假设不成立。 (") 问这个数列前多少项的和最大? ( &) 证 * &。 明: 当项数 " #"#& 时, !" # $" 2 解: (") 由已知得 $" 0 * " & 1 "#" " , 它的图象 是抛物线 % 0 * & & 1 "#" & 上一系列点 (", (&, , $" ) , …, ( ", , …的集合。 $& ) $" ) 函数有最大值。 4 当 & 0 +#’+ 时, 3 这个数列的最大值一定在项数为数 +#’+ 的左右两个整数处取得, 即这个数列的前 +# 项与 前 +" 项的和相同且最大。 (&) 由已知易得 !" 0 * & " 1 "#&, 它的图象是 直线 % 0 * & & 1 "#& 上一系列点 ( ", , (&, , !" ) !& ) , …的集合。又易求得抛物线与此直 …, ( ", !" ) 线交点的横坐标为 & " 0 ", 故 " " 0 ", & & 0 "#&, "& 0 "#& 时, !" 0 $" 2 又因抛物线的开口向下, 且与直线有两个交 点, 其中当 & & 0 "#& 时为右交点, 于是当 " 5 " & 0 "#& 时, !" 5 $" 2 !" # $" 2 3 当 " #"#& 时,

(其中 " , 且不相等) ’, (! ), 由上面几何意义, 可以运用二次函数最值的 求法来研究等差数列的前 " 项和 $" 的最值, 通项 !" 与 $" 的关系可以用直线与抛物线之间的关系 进行研究。 对于等差数列的某些题目, 如能用上面的关 系求解, 既直观简捷, 又能沟通相关的知识, 下面 举例说明。 例" 在 等 差 数 列{!" } 中, ! "# 0 "", ! "## 0 求 # 与 !" 2 ".", ! "## * ! "# "." * "" 0 0& "## * "# "## * "# 由 (,) 得: !" * ! "# 0 ( & " * "#) 解: 由 (-) 式得: #0 3 !" 0 & " * . 例& 求证: 数" &, -, + 不能成为一等差数 " " 万方数据  

等差数列的几何意义及应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 王安民 西宁市七中,青海,西宁,810001 青海师范大学学报(自然科学版) JOURNAL OF QINGHAI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 2003,""(1) 0次

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