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高考数学


一道高考解析几何题的背景溯源 ──极点、极线与圆锥曲线的位置关系
湖北省阳新县高级中学 邹生书

题目

已知椭圆

的两个焦点

,点

满足

,则

的取值范围是

,直线

与椭圆的公

共点的个数是

.

这是 2010 年高考湖北卷文科第 15 题, 本题是一道涉及到点、 直线与圆锥曲线的位置关

系的判定的考题.从高等几何的观点知,这里的点

和直线

就是椭圆

的一对极点与极线,本题第二问实际上是:已知椭圆的极点在椭圆内,判断极 线与椭圆的位置关系. 据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结 论: 定理 已知点 则极线 与曲线 若极点 和直线 是圆锥曲线 的一对极点与极线.(1)若极点 在曲线内,则极线 与曲线 在曲线上, 的相离; (2)

的相切于点

; (2)若极点 的相交.

在曲线外,则极线 与曲线

由该定理不难知道,考题中的直线

与椭圆相离,故公共点个数为 0.若运

用几何画板进行实验操作动态演示, 不仅可以验证确认该结论, 而且还可获得直观感知从而 加深印象强化理解.本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明. 为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义. 圆、 椭圆是封闭图形其内部和外部 不言而喻,抛物线、双曲线不是封闭的是开的,我们参考一些杂志专著,对双曲线和抛物线 的内部和外部给出如下定义: 焦点所在的平面区域称为该曲线的内部, 不含焦点的平面区域 称为曲线的外部, 曲线上的点既不在内部也不在外部. 关于点与圆锥曲线位置关系我们有如 下结论(这里证明从略). 引理 1 已知点 ;(2)点 在 和抛物线 内 ;(3)点 在 .则(1)点 外 在 . 上

引理 2 已知点

和椭圆(或圆)

.则(1)点





; (2) 点





; (3) 点







引理 3 已知点

和双曲线

.则(1)点





;(2)点





;(3)点







圆锥曲线把平面上的点分成三个部分:曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点,每一部 分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系,真是“物以类集,人以群 分”.下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆(圆)和双曲线三种情形,借用判别式法对定理给 出如下证明. 定理 1 已知点 对极点与极线.则(1)点 内 交. 证明 由 ,所以 直线 与 直线 与 交. 相离;(3)点 相切于点 在 外 得, ,将其代入抛物线方程得, .所以,(1)点 ;(2)点 在 内 直线 与 相 在 上 和直线 在 上 相离;(3)点 是抛物线 直线 与 在 外 相切于点 ; (2)点 直线 与 的一 在 相

直线 与

定 理

2

已 知 点

和 直 线

是 椭 圆 ( 圆 )

的一对极点与极线.则(1)点







线 与

相切于点

; (2)点





直线 与

相离; (3)点





直线 与

相交.

证明



时,

. (1) 则 点



直线



相切于点

; (2) 点





直线 与

相离;(3)点





直线 与

相交.



时 ,

, 将 其 代 入 曲 线 方 程 整 理 得 , .所以 .所以, 直线 与 直线 与 直线 与 相交. 相切于点 ;(2)点 在 外

(1)点 在 内





相离;(3)点

综上所述,命题结论正确.同理可证如下如下结论:

定 理

3

已 知 点

和 直 线

是 双 曲 线

的一对极点与极线.则(1)点







线 与

相切于点

; (2)点





直线 与

相离; (3)点





直线 与

相交.

下面举例说明极点、极线与圆锥曲线位置关系在解题中的应用. 1.判断点与圆锥曲线的位置关系 例 1 若直线 和 没有公共点, 则过点 的直线 与椭



的公共点( ) 至少有一个 解 显然点 有两个 只有一个 恰好是 不存在 的一对极点和极线,又极线与圆没有公共

和直线

点,所以极点

在圆内,所以

,所以

,所以



所以点

在椭圆内(实际上,由图形可知圆上除两个点在椭圆上外,其余点均在椭圆内,

因点

在圆内,则点 .

必在椭圆内),故过点

的直线 与椭圆

相交有两

个公共点,故应选

例 2 已知直线 是 .

与双曲线

没有公共点, 则

的取值范围



因为极线

与双曲线

没有公共点,所以对应极点

在双曲线内部,所以有

,故

的取值范围是



2.判断直线与圆锥曲线的位置关系 例3 若点 是 ,则( ) ,且 与 ,且 与 相交 相交 内一点,直线 是以点

为中点的弦所在的直线,直线 的方程为 ,且 与 ,且 与 解 相离.又 弦所在的直线,所以 显然点 相离 相离

和直线 恰好是

的一对极点和极线,因极点在圆内,所以极 与圆 ,而直线 . 是以点 为中点的

是直线 的一个法向量,所以 ,所以 .故应选

例 4 已知曲线 且点 解 是线段 的中点?

, 过点

能否作一条直线 , 与双曲线相交于

两点,

假设存在这样的直线 .设

,则 .因点 是线段 的中点,所以 则有



两式相减得, ,代入上式可得

.若

,于是

两点重合不合题意,所以 点斜式方程为 ,即

,所以

,即直线 的斜率为 ,故直线 的 .将直线方程化为双曲线的极线方程形式



,因直线 对应的极点为

,而

,所以极点在双曲线内,

从而直线 与双曲线相离没有公共点,这与假设矛盾,故不存在这样的直线 .


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