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广东省广州市增城中学2016届高三上学期第三次月考数学(理)试卷带答案


增城中学 2016 届高三年级第三次月考 数学试卷(理)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
2 1.设集合 U ? R, A ? x 0 ? x ? 2 , B ? x x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B =(

?

/>
?

A. ?1,2?

B. ?? ?,1? ? ?2,???

?

C. ?0,4?

?



D. ?? ?,0? ? ?4,???

2.“ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ”是“ ac ? bd ? 0 ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

3. 已知复数 z ? i (1 ? 3i ) ( i 为虚数单位) , 则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于 ( A.第一象限
2

B.第二象限

C.第三象限
2 2

D.第四象限

4.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与曲线 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 相切,则 p 的值为( ) A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2 )

5.下面左图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( A.

7? 3

B. 3?

C. ?

D.

5? 3

6.运行上面右图所示的程序框图,则输出的所有实数对 ( x, y) 所对应的点都在函数( A. f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的图像上 4 C. f ( x) ? x 的图像上 3 7. 已知 ? ? ? ? B. f ( x) ? x ? 2 x ? 2 的图像上
2



D. f ( x) ? 2

x ?1

的图像上 )

? ? ? s i 2? = ,0 ? , 平面向量 a ? (1, cos? ?1),b ? (2 cos? ,3) , 若a ? b, 则n ( ? 2 ? 4 21 4 21 24 24 A. ? B. C. ? D. 25 25 25 25

高三第三次月考理科数学试卷

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8.函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
3

)(? ? 0) 相邻两个对称中心的距离为

? ,以下哪个区间是函数 2

f ( x) 的单调减区间(
A. [?



?
3

,0]

B. [0,

?
3

]

C. [

, ] 12 2


? ?

D. [

? 5?

, ] 2 6

?2 x x ?1 9.已知函数 f ( x) ? ? ,则f (log2 3) =( ? f ( x ? 1), x ? 1
A.3 B.

3 2

C.1

D.2
2

10.如图,正方形 OABC 的边长为 1,记曲线 y ? x 和直线 y ? 形(阴影部分)为 ? ,若向正方形 OABC 内任意投一点 M , 则 M 落在区域 ? 内的概率为( ) A.

1 , x ? 1, x ? 0 所围成的图 4

1 4

B.

1 3

C.

2 3

D.

2 5

x2 y2 11.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个 a b
区域(不含边界),若点(1,2)在“上”区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围是( A.(1, 5 ] B.(1, 5 ) C.(1,2 5 ] D.(1,2 5 ) )

12.将边长为 2 的等边 ?PAB 沿 x 轴正方向滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图),设 顶点 P ? x, y ? 的轨迹方程是 y ? f ? x ? ,关于函数 y ? f ? x ? 的有下列说法: ① f ? x ? 的值域为 ? 0, 2? ; ②若 x1 和 x 2 是 f ( x ) 的两个相邻的最大值点,则 x1 ? x2 ? 2 ; ③ f ? 4.1? ? f ④

?? ? ? f ? 2013? ;
9? . 2
) C.2 D.3

?

6 0

f ( x)dx ?

其中正确的个数是( A.0 B.1

第Ⅱ卷
注意事项: 第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答, 若在试题卷上作答, 答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置.

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?x ? y ? 4 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?
14.函数 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0) 的最小值为 15.已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? n ?
2

.

.

1 a1 ,则 a9 ? a10 ? 2
2 2 2

.

16. ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c ,若 a ? c ? 2b ,则 大值为 .

AB ? BC AB ? BC

的最

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 17.(本小题满分 12 分)等比数列{ a n }的各项均为正数,且 a2 ? a1 ? 6, 9a3 ? a2a6 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?? log3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

18.(本小题满分 12 分) 如图(1)所示,直角梯形 ABCD 中, ?BCD ? 90? , AD // BC , AD ? 6 , DC ? BC ? 3 .过 B 作 BE ? AD 于 E , P 是线段 DE 上的一个动点.将 ?ABE 沿 BE 向上折起,使平面 AEB ? 平面 BCDE .连结 PA , PC , AC (如图(2)). Q 为线段 AC 的中点. A A E P D

?

E B (1)当 EP ? C

Q

P

D

B

C

1 ED 时,证明: PQ // 平面 AEB ; 2 2 (2)当 EP ? ED 时,求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值. 3
19.(本小题满分 12 分)某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大 于或等于 82 为合格品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结 果统计如下: 测试指标 芯片甲 芯片乙 [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6

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(1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙, 若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(1)的前提下, (i)记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的分布列; (ii)求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率. 20.(本题满分 12 分)如图, F1 、 F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, D 、 E 是椭圆 a 2 b2

的两个顶点,椭圆的离心率 e ? (1)求椭圆的标准方程;

3 3 , S ?DEF2 ? 1 ? . 2 2

( 2)若 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,则点 N (

x0 y0 , ) 称为点 M 的一个“和谐点”.直线 l : a b

y ? kx ? m 与椭圆交于 A 、 B 两点, A 、 B 两点的“和谐点”分别为 P 、 Q ,已知以 PQ
为直径的圆经过坐标原点. ?AOB 的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为 定值,请说明理由. 21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a ln x, a ? R (1)当 a ? 1, 求 f ( x) 的单调区间; (2) a >1 时,求 f ( x) 在区间 ?1, e ? 上的最小值;

(3) g ( x) ? (1 ? a) x, 若 ?x0 ? ? , e? 使得 f ( x0 ) ? g(x0 ) 成立,求 a 的范围. e 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请在对应 题号的答题区域作答. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?1 ? ? ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

,( t 为参数),以坐标原点为
2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0 (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (1)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ;
2 (2)若 g ( x) ? ? x ? 1 ? m ? m ( m 为常数), f ( x) ? g ( x) 的解集为 R ,求实数 m 的取

值范围.

高三第三次月考理科数学试卷

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增城中学 2015--2016 学年度第一学期高三年级综合测试 (三) 数学(理科) 答题卷
题号 得分
一、选择题:

选择题

填空题

17 题

18 题

19 题

20 题

21 题

(22, 23)



总分

学号:____________试室号:



题号 得分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题: 封

13. 15.

. .

14. 16.

. .

线

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)



姓名:
不 得

班级:
答 题

学校:

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18.(本小题满分 12 分)
A E P

A

?

D

座位号

E B C

Q

P

D

B

C

19.(本小题满分 12 分)

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20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 12 分)

高三第三次月考理科数学试卷

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22 题(

),

23 题(

),

(本小题满分 10 分)

线

(请在选做题号括号内打“√” , 如果多做,则按所做的第一题计分).











高三第三次月考理科数学试卷

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广州市增城中学 2016 届高三年级第三次月考
数学试卷(理)答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 A 6 D 7 A 8 C 9 B 10 A 11 B 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.8 14. ?

1 e

15.36

16. ?

1 2

三、解答题(本大题共 70 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 17.解:(1)设 a n 公比为 q ,因为{ a n }的各项均为正数,则 q ? 0

?a2 ? a1 ? a1q ? a1 ? 6 ? 2 2 4 5 ?9a3 ? a2 a6 ? 9a1 q ? a1q ? a1q ?an ? a1q n?1 ? 3n

解得: ?

?a1 ? 3 , ?q ? 3
??????????6 分

(2) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ), bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 2n ?Tn ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? 2( ? ) ? 2(1 ? )? ????????12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 ?
18.试题解析:(Ⅰ)取 AB 的中点 M ,连结 EM , QM .
1 由 Q 为 AC 的中点,得 MQ // BC ,且 MQ ? BC ,又 PE // BC , 2
1 且 PE ? BC ,所以 PE // MQ , PE =MQ , 2 所以四边形 PEMQ 为平行四边形,故 ME // PQ . 又 PQ ? 平面 AEB , ME ? 平面 AEB ,所以 PQ // 平面 AEB .

A

M E

Q

P

D

3 从而存在点 P ,使得 PQ // 平面 AEB ,此时 PD= . 2

C B ??????????6 分 A z

(Ⅱ)由平面 AEB ? 平面 BCDE ,交线为 BE ,且 AE ? BE ,所以 AE ? 平面 BCDE ,又 BE ? DE , ??? ? ??? ? ??? ? 以 E 为原点,分别以 EB, ED, EA 为 x 轴、y 轴、z 轴 的正方向建立空间直角坐标系(如图),则 E (0,0,0) , B(3,0,0) , A(0,0,3) , P(0, 2,0) , C (3,3,0) . ??? ? ??? ? PC ? (3,1,0) , PA ? (0, ?2,3) . x
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Q E B

P

D y

C

平面 AEB 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) ,设平面 APC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,
??? ? ?n2 ? PC ? 0, ?3 x ? y ? 0, ? 由 ? ??? 得? 取 y ?3, 得 n2 ? (? 1 , 3 , 2 ) ? ? ?2 y ? 3 z ? 0. ? ?n2 ? PA ? 0,

, 所以 cos n1 , n2 ?

3 14 ? 1

?

3 14 , 14

即面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值为

3 14 . ??????????12 分 14
, ?????????? 3 分

19.试题解析:(Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为 芯片乙为合格品的概率约为 .

(Ⅱ)(ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,﹣15. ; ; 所以,随机变量 X 的分布列为: X 90 45 30 ﹣15 P ??????????9 分 (ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件,则次品有 5﹣n 件. 依题意,得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 .所以 n=4,或 n=5. ; .

设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A, 则 . ??????????12 分

1 c 3 3 ,故 c ? ? a ,b ? a. a 2 2 2 1 1 3 a 1 3 2 3 , S?DEF2 ? (a ? c) ? b ? (a ? a) ? ? (1 ? )a ? 1 ? 2 2 2 2 4 2 2 1 x2 2 ? y 2 ? 1. 故 a ? 4 ,即 a ? 2 ,所以 b ? a ? 1 , c ? 3 故椭圆的标准方程为: 2 4
20.试题解析:(Ⅰ)由题意得 e ? ??????????4 分

x x (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 P ( 1 , y1 ) 、 Q ( 2 , y2 ) . 2 2 y ? kx ? m ? ? 2 2 2 由 ? x2 ,消 y 得, (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 4m 2 ? 4 ?8km x ? x ? x x ? 由根与系数的关系可得 1 , 1 2 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
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x1 x2 ? ? y1 ? y2 ? 0 , 2 2 xx 1 ? 4k 2 xx x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 即 1 2 ? y1 y2 ? 0 . 故 1 2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 4 4 4 2 2 2 2 8k m 1 ? 4k 4m ? 4 ?8km ?0 ? ? 2 ? mk ? 2 ? m 2 ? 2m 2 ? 1 ? 2 4k ? 1 4 4k ? 1 4k ? 1 整理得 (2m2 ?1)(4k 2 ? 1) ? 8k 2 m2 ? 0 ,即 2m2 ? 4k 2 ? 1 ? 0 .所以 4k 2 ? 1 ? 2m2 .
由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点可得 OP ? OQ ,即 而 | x1 ? x2 | ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (
2 2

?8km 2 4m 2 ? 4 16 ) ? 4 ? ? (4k 2 ? 1 ? m2 ) 2 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 (4k ? 1)

4 1? k 2 4k 2 ? 1 ? m 2 2 4k ? 1 |m| 而点 O 到直线 AB 的距离 d ? , 1? k 2
故 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

1 1 4 1? k 2 | m| | AB | ?d ? ? 4k 2 ? 1 ? m2 ? 2 2 2 4k ? 1 1? k 2 2|m| 2|m| ? 2 4k 2 ? 1 ? m 2 ? 2m 2 ? m 2 ? 1 . 2 4k ? 1 2m 所以 ?AOB 的面积为定值 1. ??????????12 分
所以 S?AOB ?
2 21.试题解析:(1)当 a ? 1, f ( x) ? x ? 3x ? ln x, 定义域 ?0,???

1 (2 x ? 1)( x - 1) ? x x ? 1? ?1 ? 0, ? ? ? ,1? ? ?1, ?? ? ? ? f ( x) 在 ? ? 2? ?2 ? ? f ' ( x) ? 2 x ? 3 ?
' (2)? f ( x) ?

?????????? 3 分

当 1 ? a ? e 时,

1 (2 x ? 1)( x-a) ,令 f ' ( x) ? 0 ,? x ? a 或 x ? 2 x

x

?1, a ?
-

a
0 极小值

?a, e?
+

f ' ( x) f ( x)

?

?

? f(x) min ? f (a) ? a(ln a ? a ? 1) 当 a ? e 时, f ( x) 在 ? 1, a? ? ?a,??? ?, ? f ( x) 在 [1, e] ? , f ( x)min ? f (e) ? e2 ? (2a ?1)e ? a
综上 (3)由题意不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? , e? 上有解 e 即 x ? 2 x ? a(ln x ? x) ? 0 在 ? , e? 上有解 e
2

?????????? 7分

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

高三第三次月考理科数学试卷

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?1 ? ? 当 x ? ? , e? 时, ln x ? 0 ? x ,当 x ? ?1, e? 时, ln x ? 1 ? x,? ln x ? x ? 0 ?e ? 2 x ? 2x ?1 ? ?a ? 在区间 ? , e? 上有解 x ? ln x ?e ?

x2 ? 2x ' ( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) , h ( x) ? x ? ln x ( x ? ln x) 2 ?1 ? ? x ? ? , e?,? x ? 2 ? 2 ? 2 ln x ?e ? ?1 ? ? x ? ? ,1? 时, h ' ( x) ? 0, h( x) ?, x ? ?1, e?, h( x) ? ?e ? 1 1 ( ? 2) 1 e(e ? 2) e ? h( ) ? e ? 0, h(e) ? ?0 1 e e ?1 ?1 e e ( e ? 2) ?1 ? ? x ? ? , e? 时, h( x) max ? h(e) ? e ?1 ?e ? e ( e ? 2) ?a ? e ?1 e(e ? 2) ? ? ?????????? 12 分 ? a 的取值范围为 ? ? ?, e ?1 ? ? ?
令 h( x) ? 22.试题解析:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 3 3 ? 0 ; 曲线的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 1 (Ⅱ)设点 P(2 ? cos? , sin ? ) (? ? R ) ,则
2 2

??????????5 分

| 2 cos(? ? ) ? 5 3 | | 3(2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | 6 d? ? 2 2 5 3?2 5 3?2 所以 d 的取值范围是 [ ??????????10 分 , ]. 2 2
23 . 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 因 为 f ( x) ? x ? 1 , 所 以 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 等 价 于

?

x ? 2 ? x ? 2 ? 6 而 x ? 2 ? x ? 2 ? 6 表示的几何意义是,数轴上点 x 到点-2 和点 2 两点
的距离之和大于 6,显然当点 x 在点-3 或其左边、在点 3 或其右边均符合题意,故不等式的 解集是 ( ??, ?3] U[3, ??) ??????????5 分 (Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x) 的解集为 R 得: x ?1 ? x ?1 ? m ? m 恒成立
2

所以 x ?1 ? x ?1
2

?

?

min

? m2 ? m

由绝对值不等式的性质: x ?1 ? x ?1 ? ( x ?1) ? ( x ?1) ? 2 所以 m ? m ? 2 ,解得: ? 1 ? m ? 2 因此实数 m 的取值范围为 ?? 1,2? ??????????10 分

高三第三次月考理科数学试卷

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