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首师大附中2014届高三上学期第一次月考数学理科


首都师大附中 2014 届高三上学期 10 月月考 理科数学试题 2013.10.06
班级 学号 姓名 第 I 卷(选择题 共 40 分) 成绩

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知非空集合 A、B 满足 A ? B ? ? ,下面命题一定正确的是 D (A) ?x ? B, x

? A (B) ?x ? B, x ? A (C) ?x ? A, x ? B (D) ?x ? A, x ? B 2.“ a ? ?1 ”是“函数 f ( x) ? ax ? 2 在区间 [?1,2] 上有零点”的 A (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.定积分

?

?

2 0

( x 2 ? sin x)dx 值为
(B)

C

(A)

?3
8

?3
8

?1

(C)

?3
24

?1

(D)

?3
24

?1

4. 已知函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 且 当x ? ? 0, 2 ? 时 ,

f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? ,则 f ? ?2013? ? f ? 2014 ? 的值为
(A) ?2 (B) ?1 (C)1 (D)2 C 5.已知函数 f (x)的定义域为[–2,+∞),部分对应值如下表;f ′(x)为 f (x)的导函数,函数 y = f ′(x) 的图象如下图所示.若实数 a 满足 f (2a + 1)<1,则 a 的取值范围是 –2 1 y \ y O ( A )

x f (x) (A) (? , )

0 –1

4 1

-2

x
1 7 (D) ( , ) 2 2

3 3 2 2

1 3 (B) (? , ) 2 2

3 (C) (0, ) 2

6.若满足条件 C ? 60?, AB ? 3, BC ? a 的 ?ABC 有两个,那么 a 的取值范围是 (A) (1, 2) (B) ( 2, 3) (C) ( 3, 2) (D) (1,, 2)

C

高三数学月考(理科)试题 第 1 页 (共 12 页)

7.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ( x ? R) 的图象的一部分如下图所示, 其 中 A ? 0, ? ? 0, ? ?
g ( x) ? 2cos2

?
2

, 为 了 得 到 函数 f ( x) 的 图 象 , 只要 将 函 数
( x ? R) 的图象上所有的点

x x ? 2sin 2 2 2

C

(A)向右平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 6

1 倍,纵坐标不变; [来源: 2 ? (B)向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍;纵坐标不变; 6 1 ? (C)向左平移 个单位长度,再把得所各点的横坐标变为原来的 倍;纵坐标不变; 2 3 ? (D)向左平移 个单位长 度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变. 3
x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则称 f ( x) 2 2 在[a,b]上具有性质 P.设 f ( x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ① f ( x) 在[1,3]上的图像是连续不断的;

8. 函数 f ( x) 在[a,b]上有定义, 若对任意 x1, 2∈[a,b], f ( x 有



f ( x 2 ) 在[1, 3 ]上具有性质 P;

③ 若 f ( x) 在 x=2 处取得最大值 1,则 f ( x) =1,x∈[1,3]; ④ 任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f (
x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] . 4 4

其中真命题的序号是( D ) A. ①② B. ①③

C. ②④

D. ③④

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9.已知函数 f ( x) ? 9【解】1
1 10. 曲线 y ? ln x 过点(0,0)的切线方程为____________. y ? x e 2 3 1 2 f (1 ? ?x) ? f (1) x ? x ? 6, 则 lim ? ?x ?0 3 2 ?x

.

11. 已知 tan ? =2 ,则 cos(2? ? 12.函数 y ? 【解】-4

3? ) 的值等于 2

. .

4 5

x2 在 x ? (1, ??) 上的最大值为 1? x

高三数学月考(理科)试题 第 2 页 (共 12 页)

13.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? ?

?a x , x ? 1 ?? x ? a , x ? 1

若函数 f ( x) 在区间[O,2]上的最大值比最小

值大 14.

1 7 5 ,则 a 的值为______ 或 2 2 2
如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成”函数,给出下列函 数: (2) f 2 ( x) ?

2 sin x ? 2 ; (3) f3 ( x) ? sin x ; x x x (4) f 4 ( x) ? 2(sin x ? cos x) ;(5) f5 ( x) ? 2cos (sin ? cos ) . 2 2 2
(1) f1 ( x) ? sin x ? cos x ; 其中“互为生成”函数有 答案:(1)(2)(5) .(把所有可能的函数的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题共 13 分)

1 3 2 1 x ? x ? x ? (1 ? a)( x 2 ? x) (a ? R ) . 3 2 (Ⅰ)若 x ? 1 是 f ( x ) 的极小值点,求实数 a 的取值范围及函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [0, 2] 上的最大值。
已知函数 f ( x) ? 解: f '( x) ? ( x ? 1)2 ? (1 ? a)( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? a) (Ⅰ)若 x ? 1 是 f ( x ) 的极小值,则 a ? 1 ,列表分析如下:

x
f ?( x) f ( x)

(??,?a)

a
0
1 1 f极大值 (a) ? ? a3 ? a 2 6 2

(a,1) ?

1
0 1 1 f极小值 (1) ? a ? 2 6

(1,??? ?)

+ ↗



+ ↗

1 1 f极大值 (a) ? ? a3 ? a 2 6 2 1 1 f极小值 (1) ? a ? 2 6

(Ⅱ)

2 当 a=1 时,函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上单调递增,最大值为 f (2)= ; 3 1 1 当 a ? 1 时, 若 a ? 2 ,f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增, [1, 2] 上单调递减.显然 ymax ? f (1) ? a ? , (1) 在 2 6
(2)若 1 ? a ? 2 , f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, a ] 上单调递减,在 [a, 2] 上单调递增.

1 1 2 最大值可能为 f (1) ? a ? , f (2)= , 2 6 3

高三数学月考(理科)试题 第 3 页 (共 12 页)

1) 1 ? a ?

5 2 时,最大值为 f (2)= 3 3

2)

5 1 1 ? a ? 2 时,最大值为 f (1) ? a ? , 2 6 3 5 5 2 1 1 时,最大值为 f (2)= ; a ? 时,最大值为 f (1) ? a ? , 3 2 6 3 3

综上所述: 1 ? a ?

(16)(13 分)已知△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 3 sin B ? cos B ? 1 , b ? 1.

5? ,求 c ; 12 (Ⅱ)若 a ? 2c ,求△ ABC 的面积. B B 解:(Ⅰ)由已知 3 s i n ? c o s ? 1 ,
(Ⅰ)若 A ? 整理得 s i nB ? (

? 1 )? . 6 2

………………2 分

因为 0 ? B ? ? , 所以 ? 故B? 由A? 由

? ? 5 ? B ? ? ?. 6 6 6
? ? ? ? ,解得 B ? . 6 6 3
……………4 分

5? ? ,且 A ? B ? C ? ? ,得 C ? . 12 4

c b ,即 ? s in C s in B
6 . 3
2 2

c ? s in 4

?

1 ? s in 3



解得 c ?
2

………………7 分

(Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2ac cos B ,又 a ? 2c,B ? 所以 b ? 4c ? c ? 4c ?
2 2 2 2

? , 3
………………10 分

1 ,解得 b ? 3c . 2

由此得 a ? b ? c ,故△ ABC 为直角三角形, A ?
2 2 2

? 1 ,c ? . 2 3

高三数学月考(理科)试题 第 4 页 (共 12 页)

其面积 S ?

1 3 . bc ? 2 6

………………13 分

17.(本小题满分 14 分) 如图 1,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,面 ABCD 是直角梯形, M 为侧棱 PD 上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)证明: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)证明: AM ∥平面 PBC ; (Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 符合要求的点 N ,并求 CN 的长;若不存在,说明理由.

3 ?若存在,找到所有 4

【方法一】 (Ⅰ)证明:由俯视图可得, BD ? BC ? CD ,
2 2 2

所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD ,

??????1 分

??????3 分

BD ? PD ? D
所以 BC ? 平面 PBD . 分 (Ⅱ)证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ? 1: 4 ,连结 MQ , BQ . 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 MQ ∥ CD , MQ ?
? ?

??????4

1 CD . 4

在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60 ,所以 ?ADB ? 30 .又 BD ? 2 , 所以 AB ? 1 ,

高三数学月考(理科)试题 第 5 页 (共 12 页)

AD ? 3 .
又因为 AB ∥ CD , AB ?

1 CD ,所以 AB ∥ MQ , AB ? MQ . 4
?????8 分

所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM ∥ BQ . 因为 AM ? 平面 PBC ,

BQ ? 平面 PBC ,
所以 直线 AM ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ?????9 分

3 . 4

因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 所以 D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0), C (0,4,0), M (0,0,3) . 设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? (? 3 ,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) . ????11 分

???? ???? ? | AM ? BN | 3 3 ? 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ,则有 ???? ???? ? , 4 | AM || BN | 4
所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1) 2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所成角 的余弦值为 【方法二】 (Ⅰ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示 的空间直角坐标系 D ? xyz . 在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60 ,所以 ?ADB ? 30 , 因为 BD ? 2 , 所以 AB ? 1, AD ? 3 .
高三数学月考(理科)试题 第 6 页 (共 12 页)
? ?

3 . 4

??????14 分

由俯视图和左视图可得:

D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0), C (0,4,0), M (0,0,3), P(0,0,4) .
所以 BC ? (? 3,3,0) , DB ? ( 3 ,1,0) . 因为 BC ? DB ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 ,所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 BC ? PD , ?????2 分 ?????3 分

BD ? PD ? D
所以 BC ? 平面 PBD . ?????4 分

??? ? ?n ? PC ? 0, ? (Ⅱ)证明:设平面 PBC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? BC ? 0. ?
因为 BC ? (? 3,3,0) , PC ? (0,4,?4) , 所以 ?

?4 y ? 4 z ? 0, ? ?? 3 x ? 3 y ? 0. ?

取 y ? 1 ,得 n ? ( 3 ,1,1) .

?????6 分

因为 AM ? (? 3 ,0,3) , 所以 AM ? n ?

3 ? (? 3 ) ? 1 ? 0 ? 1 ? 3 ? 0 .

?????8 分

因为 AM ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? (? 3 ,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) . ?????9 分

3 . 4

要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为

| AM ? BN | 3 3 ? ,则有 , 4 4 | AM | ? | BN |
?????13 分

所以

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1) 2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所成角
高三数学月考(理科)试题 第 7 页 (共 12 页)

的余弦值为

3 . 4

?????14 分

18. (本题满分 14 分)
a 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x (Ⅰ)求 F ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)若以 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 求实数 a 的最小值; (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (

1 恒成立, 2

2a ) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x 2 ) 的图象恰好有四 x2 ? 1

个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 解.(Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

F ' ( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) …………………2 分 x x x

a (x ? 0 x

? a ? 0,由F ?( x) ? 0 ? x ? (a,??),? F ( x)在(a,??)上单调递增。
由 F ?( x) ? 0 ? x ? (0, a),? F ( x)在(0, a)上单调递减 .

? F ( x)的单调递减区间为( , a),单调递增区间为(a,??) …………………4 分 0
(Ⅱ) F ?( x) ?

x ?a 1 x?a (0 ? x ? 3), k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? (0 ? x0 ? 3)恒成立 …………6 分 2 2 x x0

1 2 1 2 1 当 x0 ? 1时, x0 ? x0 取 得 最 大 值 a ? (? x0 ? x0 ) min ? 2 2 2 1 1 …………………………………………8 分 ? a ? ,? a nmn ? 2 2 2a 1 1 (Ⅲ)若 y ? g ( 2 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图象与 2 2 x ?1

y ? f (1 ? x 2 ) ? ln( x 2 ? 1) 的图象恰有四个不同交点,
1 2 1 x ? m ? ? ln( x 2 ? 1) 有四个不同的根,亦即 2 2 1 1 m ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不同的根. 2 2 1 1 令 G( x) ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? , 2 2

高三数学月考(理科)试题 第 8 页 (共 12 页)

则 G ?( x) ?

2x 2 x ? x 3 ? x ? x( x ? 1)( x ? 1) .…………………10 分 ?x? ? x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

当 x 变化时 G ?( x).G( x) 的变化情况如下表:

x
G ?(x) 的符号

(? ?, 1 ?)
+ ↗

(-1,0) ↘

(0,1) + ↗

(1, ? ? ) ↘

G (x) 的单调性
由表格知: G( x) 最小值 ? G(0) ?

1 , G( x) 最大值 ? G(1) ? G(?1) ? ln 2 ? 0 .…………12 分 2 1 1 1 画出草图和验证 G (2) ? G (?2) ? ln 5 ? 2 ? ? 可知,当 m ? ( , ln 2) 时, 2 2 2

y ? G( x)与y ? m恰有四个不同的交点,
1 2a 1 1 ?当m ? ( , ln 2)时,y ? g ( 2 ) ? m ? 1 ? x2 ? m ? 的图象与 2 2 2 x ?1
y ? f (1 ? x 2 ) ? ln( x 2 ? 1)的图象恰有四个不同的交点。………………14 分

19. (本题满分 14 分) 某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=0.5 米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中点. ?EMN 是 由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风), MN 是可以沿设施边框上下滑动且 始终保持和 AB 平行的伸缩横杆( MN 和 AB , CD 不重合). (Ⅰ)当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时,求此时三角通风窗 EMN 的通风面积; (Ⅱ)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S (平方米)表示成关 于 x 的函数 S ? f ( x) ; (Ⅲ)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出这个最大 面积.
m
M

m
N

D M

E

C N

D A

E
图(2)

C

A B 高三数学月考(理科)试题 第 9 页 (共 12 页)

B

第 19 题图

解: (1)由题意,当 MN 和 AB 之间的距离为 1 米时, MN 应位于 DC 上方,且此时 △EMN 中

MN 边上的高为 0.5 米.
又因为 EM ? EN ? 所以, S? EMN ?

1 DC ? 1 米,可得 MN ? 3 米. 2
D M A

m

1 3 MN ? h ? 平方米, 2 4

E

C N

即三角通风窗 EMN 的通风面积为 分

3 平方米. …………………4 4

图(1)

B

m
M
?

N

(2)1 如图(1)所示,当 MN 在矩形区域滑动,即 x ? ? 0, ? 时,

? ?

1? 2?

?EMN 的面积
1 ?1 ? 1 S ? f ( x) ? ? | MN | ? ? ? x ? ? ? x ;…………………5 分 2 ?2 ? 2
2 如图(2)所示,当 MN 在半圆形区域滑动,即 x ? ?
?

D A

E
图(2)

C

B

?1 3? , ? 时, ?2 2?

1 | MN | ? 2 1 ? ( x ? ) 2 ,故可得 ?EMN 的面积 2

1 1? ? S ? f ( x) ? ? | MN | ? ? x ? ? 2 2? ?

?

1? 1? 1 1 1 ? ? ? 2 1? x ? 2)? x(? ?)? x ? ? ? 1 ? ? x ? ? ;…………………7 分 ( 2? 2? 2 2 2 ? ?

2

? 1 ? 1? x ? ? 0, ? , ?? x ? 2 , ? 2? ? 综合可得: S ? f ( x) ? ? …………………8 分 ?? x ? 1 ? 1 ? ( x ? 1 ) 2 , x ? ? 1 , 3 ? . ? ? ? ?? 2? 2 ?2 2? ??
高三数学月考(理科)试题 第 10 页 (共 12 页)

(3)1 ? 当 MN 在矩形区域滑动时, f ( x) 在区间 ? 0, ? 上单调递减, 则有 f ( x) ? f (0) ?

? ?

1? 2?

1 ;…………………9 分 2

2 ? 当 MN 在半圆形区域滑动时,

1 1 1 1 f ( x) ? ( x ? ) 1 ? ( x ? ) 2 ? ( x ? ) 2 [1 ? ( x ? ) 2 ] ? 2 2 2 2
等号成立 ? ( x ? ) 2 ? 1 ? ( x ? ) 2 , x ? ? 因而当 x ?

1 1 ( x ? )2 ? [1 ? ( x ? )2 ] 2 2 ?1, 2 2

1 2

1 2

1 ?1 3? ?1 3? , ? ? x ? ( 2 ? 1) ? ? , ? 2 ?2 2? ?2 2?

1 1 ( 2 ? 1)(米)时,每个三角通风窗 EMN 得到最大通风面积,最大面积为 Smax ? 2 2

(平方米). …………………13 分 20.已知集合 S ? ?1,2,3,?,2011,2012? ,设 A 是 S 的至少含有两个元素的子集,对于 A 中的任意 两个不同的元素 x, y ( x ? y ) ,若 x ? y 都不能整除 x ? y ,则称集合 A 是 S 的“好子集”. (Ⅰ)分别判断数集 P ? ?2,4,6,8? 与 Q ? ?1,4,7? 是否是集合 S 的“好子集”,并说明理由; (Ⅱ)证明: A 是 S 的 若 “好子集” 则对于 A 中的任意两个不同的元素 x, y ( x ? y ) , , 都有 x ? y ? 3 ; (Ⅲ) 求集合 S 的“好子集” A 所含元素个数的最大值. 20. 解:(Ⅰ)由于 4 ? 2 ? 2 整除 4 ? 2 ? 6 ,所以集合 P 不是集合 S 的“好子集”; 由于 4 ? 1? 3 不能整除 4 ? 1? 5 7 ? 1? 6 , 不能整除 7 ? 1? 8 7 ? 4? 3 , 不能整除

7 ? 4? 1 ,所以集合 Q 是集合 S 的“好子集”. 1
(Ⅱ)(反证)首先,由于 A 是 S “好子集”,所以 x ? y ? 1 ,假设存在 A 中的任意两个不同 的元素 x, y ( x ? y ) ,使得 x ? y ? 2 ,则 x 与 y 同为奇数或同为偶数,从而 x ? y 是偶 数,此时, x ? y ? 2 能整除 x ? y ,与 A 是 S “好子集”矛盾。 故若 A 是 S 的“好子集”,则对于 A 中的任意两个不同的元素 x, y ( x ? y ) ,都有 x ? y ? 3 ; (Ⅲ)设集合 A ? ?a1 , a2 , a3 ?, an ? ( a1 ? a2 ? ? ? an ) 是集合 S 的一个“好子集”,

? 令: ai ?1 ? ai ? bi( i ?1 , 2 ,
由(Ⅱ)知 bi ? 3 (i ? 1,2,?, n ? 1)

,n? , ) 1

高三数学月考(理科)试题 第 11 页 (共 12 页)

于是: an ? a1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? 3( n ? 1) 从而: 3( n ? 1) ? an ? a1 ? 2012 ? 1 ? 2011 所以: n ? 671

另一方面: A ? ?1,4,7,?,2008,2011? (证明是好子集), 取 此时集合 A 有 671 个元素, 且是集合 S 的一个“好子集”,故集合 S 的“好子集” A 所含元素个数的最大值为 671.

高三数学月考(理科)试题 第 12 页 (共 12 页)


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