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2007年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷2007年3月25日


2007 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷 2007 年 3 月 25 日
(星期日 上午 8:30—10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 方程 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 4 ? 3 x3 ? 9 ?

1 ? x1 ? x2 ? x3 ?

的实数解 ? x1, x2 , x3 ? ? ______. 2
D

2. 有一条长度为 1 的线段 EF ,其端点 E , F 在边长为 3 的正方形 ABCD 的四边上滑动,当

EF 绕着正方形的四边滑动一周时, EF 的中点 M 所形成
的轨迹的长是_______________. 3. 复数数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ? an?12 ? i ( n ? 2 , i 为虚

A

E

数单位) ,则它的前 2007 项的和为_______________. 4. 已知 ? ? l ? ? 是大小为 45 的二面角, C 为二面角内一定
B

M F C

点,且到半平面 ? 和 ? 的距离分别为 2 和 6 , A , B 分别是半平面 ? , ? 内的动点,则

? ABC 周长的最小值为_______________.
5. 已知平面直角坐标系中点与点的对应法则 f : P ? m, n ? ? P ' 一段曲线在对应法则 f 下对应椭圆的一段弧 是________________. 6. 已知 f ? n ? ? cos

?

m, n

?

若 ? m ? 0, n ? 0? .

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0, y ? 0 ? , 则这段曲线的方程 a 2 b2

n? ,计算: f ?1? ? f ?3? ? 4

? f ? 2n ?1? ? _______________.
xn ?1 ? xn ? 2 ? n ? 3? ,则数列 ?xn ? 的通项公式 2

7. 已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? 0 , x2 ? 1 , xn ?

xn ? _______________.
8. 已知圆 M : ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 ,过 x 轴上的点 P ? a,0? 存在圆 M 的割线 PBA ,使得
2 2

PA ? BA ,则点 P 的横坐标 a 的取值范围是_______________.
二、解答题 9.(本题满分 14 分)对任意正整数 n ,用 S ? n ? 表示满足不定方程

1 1 1 ? ? 的正整数对 x y n

? x, y ? 的个数,例如,满足

1 1 1 ? ? 的正整数对有 ? 6, 3? , ? 4, 4 ? , ? 3,6 ? 三个,则 x y 2

S ? 2? ? 3 .求出使得 S ? n? ? 2007 的所有正整数 n .
10. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的方程 x3 sin ? ? ?sin ? ? 2? x2 ? 6x ? 4 ? 0 有三个正实根, 求u ?

9sin 2 ? ? 4sin ? ? 3 的最小值. ?1 ? cos? ?? 2cos? ? 6sin ? ? 3sin 2? ? 2?

11. (本题满分 16 分) 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? ,AB
2

是 过 焦 点 F 的 弦 , 如 果 AB 与 x 轴 所 成 的 角 为

? ?0 ?? ?

? ?

??

? ,求 ?AOB . 2?

12. (本题满分 16 分)求满足如下条件的最小正整数 n ,在圆周上任取 n 个点 A1 , A2 ,…,
2 个角 ?AiOA j ?1 ? i ? j ? n ? 中,至少有 2007 个不超过 120 . An ,则在 Cn

2007 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷参考答案
1. (2,8,18) 2. 8 ? ? 3. –1003+2 i 4. 10 2

5.

y ? b 2 (1 ?

x ) a2

(0 ? x ? a 2 )

1 ? (? ) n / 2 ? ? 2 6. ? ?( 1 ) n / 2 ? 0 . 5 * 2 ? 2 ? 2

n为偶数 n为奇数

7. 9.

2 2 1 ? * (? ) n ?1 3 3 2

8. 1 ? 3 3 ? a ? 1 ? 3 3
334

n?P 1

1003

或者 n ? P 1 P 2

或者 n ? P 1 P 2

4

111

或者 n ? P 1P 2P 3

111



其中P 1, P 2,P 3是不同的质数
10 11. 12

当sin ? ? 2 / 9时,U min ? 621/ 8

? ? arctan
91

4 3 sin ?


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