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三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科

时间:2014-09-16



三角函数 三角恒等变换知识点总结
一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象 限的角。若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。 ( 2 ) ① 与 ? 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 :

{? | ? ? 3600 k ? ? , k ? Z}或{? | ? ? 2k? ? ? , k ? Z}
与 ? 角终边在同一条直线上的角的集合: 与 ? 角终边关于 x 轴对称的角的集合: 与 ? 角终边关于 y 轴对称的角的集合: 与 ? 角终边关于 y ? x 轴对称的角的集合: ②一些特殊角集合的表示: 终边在坐标轴上角的集合: 终边在一、三象限的平分线上角的集合: 终边在二、四象限的平分线上角的集合: 终边在四个象限的平分线上角的集合: (3)区间角的表示: ①象限角:第一象限角: 第一、三象限角: ②写出图中所表示的区间角: y y ; ; ; ; ;第三象限角: ; ; ; ; ; ;

O

x

O

x

(4)正确理解角: 要正确理解“ 0 ~ 90 间的角”= “第一象限的角”= “小于 90 的角”= ( 5 )由 ? 的终边所在的象限,通过 来判断
o

o

o

; ; “锐角”= ; 来判断 ;

? 所在的象限 3

? 所在的象限,通 过 2

(6)弧度制:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;任一 已知角 ? 的弧度数的绝对值 | ? |?

l ,其中 l 为以角 ? 作为圆心角时所对圆弧 r

的长, r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 (7)弧长公式: ;半径公式: ; 扇形面积公式: ; 1

二、任意角的三角函数: (1)任意角的三角函数定义: 以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取 一个异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r ,则 sin ? ? ; tan? ? ; 。注意 r>0 ; cos? ?

o s ? ? 2 sin ? ? 如: 角 ? 的终边上一点 (a,? 3a) ,则 c
(2)在图中画出角 ? 的正弦线、余弦线、正切线; y y a O y a O

y x O

O

a

x

x

a

比较 x ? (0,

?
2

) , sin x , tan x , x 的大小关系:



(3)特殊角的三角函数值:

?
sin ? cos ?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

?

3? 2

tan?
三、同角三角函数的关系与诱导公式: (1)同角三角函数的关系
倒数关系 平方关系 sin
2

商数关系

tan ? · cot ? =1
2 2

? + cos ? =1, 1+tan

1 ?= cos 2 ?

sin ? cos ?

=tan ?

作用:已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 (2)诱导公式: 诱导公式可用概括为: 2K ? ± ? ,- ? , 角函数 作用:“去负——脱周——化锐”,是对三角函数式进行角变换的基本思路.即利用三 角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负; 利用三角函数的周期性将

? 3? ±? ,? ±? , ± ? 的三角函数:奇变偶不变,符号看象限 2 2

? 的三

2

任意角的三角函数化为角度在区间[0 ,360 )或[0 ,180 )内的三角函数——脱周; 利用诱导公 式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐. (3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用: ①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。 注意:用平方关系,有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限 加以讨论。 ②求任意角的三角函数值。 步骤: 任意负角的 三角函数 公式三、一 任意正角的 三角函数 公式一 0o~360o 角的 三角函数 公式二、 四、五、 六、七、 八、九

o

o

o

o

求值

0o~90o 角的 三角函数

③已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的,而是有无数多个. 步骤: ①确定角 ? 所在的象限; ②如函数值为正,先求出对应的锐角 ?1 ;如函数值为负,先求出与其绝对值 对应的锐角 ?1 ; ③根据角 ? 所在的象限,得出 0 ~ 2? 间的角——如果适合已知条件的角在第 二限;则它是 ? ? ?1 ;如果在第三或第四象限,则它是 ? ? ?1 或 2? ? ?1 ; ④如果要求适合条件的所有角,再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的 所有角的集合。 如 tan ? ? m ,则 sin ? ? , cos? ? ; sin(

3? ??) ? 2



注意:巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度: (3,4,5) ; (6,8,10) ; (5, 12,13) ; (8,15,17) ; 四、三角函数图像和性质 1.周期函数定义 定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内的每 一个值时, f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立,那么就把函数 f ( x) 叫做周期函数,不为 零的常数 T 叫做这个函数的周期. 请你判断下列函数的周期

y ? sin x , y ? cos x , y ?| cos x |
y=tan x , y=tan |x| ,



y ? cos | x |



y ?| sin x |

y=|tan x| , y ? sin | x |

3

例 求函数 f(x)=3sin (

k ? x ? ) ( k ? 0) 的周期,并求最小的正整数 k,使它周期不大于 1 5 3

2.图像

4

3、图像的平移 对函数 y=Asin(ω x+?)+k (A > 0, 0, ≠ 0, ≠ 0) ,其图象的基本变换有: . . . .ω .> . . .? . . . .k . . . . (1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由 A 的变化引起的.A>1,伸长;A<1,缩短. (2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω 的变化引起的.ω >1,缩短;ω <1,伸长. (3)相位变换(横向平移变换):是由φ 的变化引起的.?>0,左移;?<0,右移. (4)上下平移(纵向平移变换): 是由 k 的变化引起的.k>0, 上移;k<0,下移 四、三角函数公式: 倍角公式
两角和与差的三角函数关系 sin( ? cos( ? cos ? ? cos ? · sin ? ? ? )=sin ? · cos ? ? sin ? · sin ? ? ? )=cos ? · sin2 ? =2sin ? · cos ? cos2 ? =cos2 ? -sin2 ?

=2cos2 ? -1=1-2sin2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

tan( ? ? ?) ?
升幂公式

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?
2

1+cos ? = 2 cos 1±sin ? =( sin sin ? = 2 sin 降幂公式 sin sin
2

?
2 ? cos

1-cos ? = 2 sin

2

?
2

?

?
2

?
2

2

)

2

1=sin

2

? + cos2 ?

cos

?
2

??

1 ? cos 2? 2

2

? + cos2 ? =1

1 ? cos 2? 2 1 sin ? ?cos ? = sin 2? 2
cos
2

??

五、三角恒等变换: 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条 件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的 差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍;4? 是 2? 的二倍;? 是 二倍;

? ? ? ? 是 的二倍; ? 2? 是 ? ? 的二倍。 4 3 6 2
o o o o

? ? ? 3? 的二倍; 是 的二倍;3? 是 的 2 2 2 4

? 30o ? ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ? ;问:sin 12 2
o

;cos

?
12

?



5

③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??) ;

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础,通常化切、割为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例 如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处 理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对, 有时需要升幂,如对无理式 1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; ; (其中 tan ? ? ;

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ?
= =

a sin ? ? b cos ? ?

解三角形单元复习与巩固
知识点一:解斜三角形的主要依据 设 的三边分别为 a、b、c,对应的三个内角分别为 A、B、C。

(1)角与角的关系:

①内角和: ②互补关系:



6

③互余关系:

(2)边与边的关系: 三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 即:a+b>c,b+c>a,c+a>b, a-b<c,b-c<a,c-a<b。 (3)边与角关系: ①大角对大边,大边对大角;等边对等角,等角对等边 即 ;

②正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,其比值为外接圆的直 径。

即 变式: ;

(其中 R 表示三角形的外接圆半径) sinA=a/2R ; sinA/sinB=a/b; a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC

③余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍

即 知识点二:△ABC 的面积公式

; ??.

变式:

。??..

(1)

(其中

表示 a 边上的高)

(2)

(R 为三角形的外接圆半径)

规律方法指导 1. 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角) 2. 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 注意:①正、余弦定理的实质是方程,因此在应用的过程中要留意方程思想; ②三角形问题可能出现一解、 两解或无解的情况, 这时应结合三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解; 3.三角形的形状的判定 (1)根据所给条件确定三角形的形状,常用正弦(余弦)定理实施边角转化,主要有 两种途径:①化边为角;②化角为边。 (2)余弦定理用于判定三角形的形状的依据

①在

中,



7

②在

中,



③在

中, 的余弦值的符号。

注意:一般只需判断最大角

(3)已知两边 a、b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 对角 B,由 C ? 180 ? ? A ? B? ,求出 C ,再由

a b ? ,求出另一边 b 的 sin A sin B

a c a b ? ? 求出 c ,而通过 sin A sin C sin A sin B

求 B 时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表: A>90° A=90° 一解 无解 A<90° 一解 一解

a?b
a?b

一解 无解

a ? b sin A
a?b
无解 无解

两解 一解 无解

a ? b sin A a ? b sin A

基本题型与策略: 基本题型一:三角函数基础知识题,以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调 性、周期性、图像的对称性)为主. 例 1 计算:tan2010°=___________.

例2

若 cosθ >0,且 sin2θ <0,则角θ 的终边所在象限是___________象限.

例3

5π 2π 2π 设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 a,b,c 的大小关系是____________ 7 7 7 π (1)函数 f(x)=sin(π x- )-1 的最小正周期为___________; 3 π π (2)若函数 f(x)=cos(?x- )(?>0)的最小正周期为 ,则?=___________ 6 5

例4

8

例5

函数 f(x)=sin(2x-

π )-1 在区间[0,π ]上的单调增区间为___________; 3

高考链接: 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

3 ,则 sin 2? ? ( ) 5 12 24 (C) (D) 25 25


【答案】B
??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( 3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

(A) 2 ? 3 【答案】A

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(xA.x=

? 4

B.x=

? 2

C.x=-

? 4

? )的图像的一条对称轴是( 4 ? D.x=2



【答案】C. 17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个单位长
4

?

度,所得图像经过点( (A)
1 3

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是( C)
5 3



(B)1

(D)2

【答案】D 12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin ( x ?
2

?
4

) 若 a=f(lg5) l( ) , b ? fg

1 则( 5



A.a+b=0

B.a-b=0

C.a+b=1

D.a-b=1

基本题型二:经过简单的三角恒等变形、化简后,求值、研究性质. 例6 例7 例8 计算:tan70 cos10 + 3sin10 tan70 -2cos40 =________________. π 1 2π 若 sin( -α )= ,则 cos( +2α )=___________. 6 3 3 π 函数 f(x)=sin(π x- )-1 的奇偶性为___________; 2
o o o o o

高考链接: 6.【2012 高考重庆文 5】

sin 47 ? sin17 cos 30 =( cos17



(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C 9

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 2

(B)

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? ( 3 3? 5? (C) (D) 2 3



【答案】C

? ?? 4 ? 18.【2012 高考江苏 11】设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值________. 6? 5 12 ?
【答案】

17 2 50

21. 【 2012 高 考 全 国 文 15 】 当 函 数 y ? sin x ?

3 cos x (0 ? x ? ?2 取 )得最大值时,

x ? ___________. 5?
【答案】

6

基本题型三:综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质. 例9 π 1 (1)已知 tan( +α )=2,求 的值. 2 4 2sinα cosα +cos α π 1 (2)已知 tan( +α )= .(Ⅰ)求 tanα 的值; 4 2 sin2α -cos α (Ⅱ)求 的值. 1+cos2α π π 2 2 已知 6sin α +sinα cosα -2cos α =0, α ∈[ , π ], 求 sin(2α + )的值. 4 3 π π 2 2 函数 f(x)=sin (x+ )-sin (x- )的最小正周期是_____, 奇偶性是______. 4 4
4 4 2

例 10 例 11

例 12 求函数 y=sin x+2 3sinxcosx-cos x 的最小正周期和最小值;并写出该函数 在[0,π ]上的单调递增区间. 高考链接: 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π ),则 sin 2? =( (A) ? 1 【答案】A 11.【2012 高考江西文 4】若 A. (B) ? )

2 2

(C)

2 2

(D) 1

3 4

B.

3 4

C. -

4 3

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α =( sin ? ? cos ? 2 4 D. 3



【答案】B 10

基本题型四:三角函数的图像变换与解析式. 例 13 π 把函数 y=sinx,x∈R 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把所 3

1 得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 ( 纵坐标不变 ) ,得到的图象所表示的函数是 2 _____.

例 14

将函数 y=sin(2x+

π )的图象按向量 a=(m, 0)(其中|m|≤π )平移后所得的图 3

π 象关于点(- ,0)中心对称,则 m=____________. 12 例 15 若函数 f(x)=sin(ω x+φ )(?>0,0≤φ <2π )的图象(部分)如图所示,则ω =_________,φ =_________.
y

1
π 2π - O 3 3 x

例 16 如图是函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,-π <φ <π ),x∈R 的部分图象, 则下列命题中,正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π ; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π ]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π ). 3

例 17 已知函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0, -π ≤φ <π )的图象如图所示, 则φ =_____.

例 18 已知函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |<π ) 的图象如图所示,则φ =________.

11

π 2 例 18 已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ ) 的图象如图所示, f( )=- , 则 f(0)=______ 2 3

例 19 函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 π π 例 20 若将函数 y=tan(ω x+ )(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 4 6 π tan(ω x+ )的图象重合,则ω 的最小值为________. 6 例 21 设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 则 ? 的最小值是

?
3
.

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合, 3

例 22 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 值为 .

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小 ? 3 ?

例 23 将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像向右平移了 n 个单位,所得图像关于 y 轴对 称,则 n 的最小正值是 ( ) A.

7π 6

B.

π 3

C.

π 6

D.

π 2

例 24 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两 点,则 MN 的最大值为( A.1 B. 2 ) D.2

C. 3

例 25 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 值为 ( (A) ) (B)

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小 3

? 6

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

12

例 26 已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? , 将 y ? f ( x) 的
)

图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( A

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

例 27 将函数 y = 3 cos x-sin x 的图象向左平移 m(m > 0)个单位,所得到的 图象关于 y 轴对称,则 m 的最小正值是( ) 2? 5? ? ? A. B. C. D. 6 3 3 6

高考链接: 1.(12 高考安徽文 7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象, 只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 ( ) (A) 向左平移 1 个单位 (B) 向右平移 1 个单位 (D) 向右平移

1 (C) 向左平移 个单位 2

1 个单位 2

0 ?? ?? , 2. 【2012 高考新课标文 9】 已知ω >0, 直线 x ?
x+φ )图像的两条相邻的对称轴,则φ =(
π (A) 4 π (B) 3 π (C) 2 ) 3π (D) 4

?

4

和x ?

5? 是函数 f(x)=sin(ω 4

【答案】A 3.【2012 高考浙江文】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

【答案】A 基本题型五:三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用. 例 28 1 (1)在Δ ABC 中, “A>30?”是“sinA> ”的___________条件. 2 (2)在Δ ABC 中,已知 BC=12,A=60 ,B=45 ,则 AC=___________. 3 例 29 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acosB-bcosA= c. 5 (Ⅰ)求 tanAcotB 的值;(Ⅱ)求 tan(A-B)的最大值. 13
o o

高考链接: 1.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则△ ABC 的形状是
2 2 2



) B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

A、钝角三角形

【答案】A 2.【2012 高考四川文 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连
D C

接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( (1)



E

A

B

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B 3. 【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中, AC= 7 , BC=2, B =60°, 则 BC 边上的高等于 ( )

A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

【答案】B 4.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边的长为 连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 sinA∶sinB∶sinC 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 5.【2012 高考广东文 6】在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( ) A. 4 3 【答案】B 6.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A= 【答案】 90 ? 7. 【 2102 高考福建文 13】在△ ABC 中,已知∠ BAC=60 °,∠ ABC=45 °, BC ? 3 ,则 AC=_______. 【答案】 2 . 8. 【 2012 高考 重庆文 13 】设△ ABC 的内 角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c , 且 14 B. 2 3 C.

3

D.

3 2

? ,则∠C 的大小为_________。 3

a =1,b=2, cos C ?
【答案】

1 ,则 sin B ? 4

15 4

9.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 , B=

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

【答案】2. 基本题型六:三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用. 例 30 3 3 1 1 π 已知向量 a=(cos x,sin x),b=(cos x,-sin x),且 x∈[0, ]. 2 2 2 2 2

3 (Ⅰ)求 a?b 及|a+b|;(Ⅱ)若 f(?)=a?b-2λ |a+b|的最小值是- ,求λ 的值. 2 基本题型七:三角函数性质的一般化. 例 31 已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是________________. 例 32 已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是________________. 高考链接: 试题精选 一、选择题: 1.函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 ( 6



A.[ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

3 ] 2

2.若 ? ? ? , ? , sin 2? = ,则 sin ? ? ( 8 ?4 2? (A)

?? ? ?

3 7



3 5

(B)

4 5

(C)

7 4


(D)

3 4

3.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ? (0,π ),则 tan ? =( (A) ? 1 4.若 tan ? + (B) ?

2 2


(C)

2 2

(D) 1

1 =4,则 sin2 ? =( tan ?

15

A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

5.函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 ( 6

1 2



A.[ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

3 ] 2

6.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 7.在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b, c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( (A) )

7 25

(B) ?

7 25

(C) ?

7 25

(D)

24 25

8.已知α 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos2α =( 3
(C)



(A) -

5 3

(B) -

5 9

5 9


(D)

5 3

9.在 ?ABC 中, A ? 45 , B ? 60 , a ? 10 ,则 b ? ( A、 5 2 B、 10 2 C、

10 6 D、 5 6 3 13 10.在△ABC 中,若 a ? 7 , b ? 8 , cos C ? ,则最大角的余弦值为( ) 14 1 1 14 7 A、 ? B、 C、 ? D、 7 7 7 7 cos C 2a ? c ? 11.在 ?ABC 中, a , b, c 为 ?A、?B、?C 的对边,且 ,则 B 为( cos B b
A、30° B、60° C、90° D、120° ) 12.一个直角三角形三个内角正弦值成等比数列,则最小角的正弦值为( A、



5 ?1 2

B、

1? 5 2

C、

? 5 ?1 2

D、 )

1 2

13.在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C

(A)直角三角形. (B)等边三角形. (C)钝角三角形. (D)等腰直角三角形. 14. 在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 15.若△ ABC 的三个内角,满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. ) )

16. △ABC 中,a=2bcosC,则此三角形一定是( A.等腰三角形

B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 16

17.在△ABC 中, cos

2

A b?c ? ,则△ABC 的形状为( 2 2c

) D.等腰直角三角形 )

A.正三角形 B.直角三角 C.等腰三角形或直角三角形

18.在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是( A、 b ? 10, A ? 45 , C ? 70 C、 a ? 7, b ? 5, A ? 80 B、 a ? 60, c ? 48, B ? 60 D、 a ? 14, b ? 16, A ? 45

二、填空题 1.设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 角C ? .

2.在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? 3.当函数

1 ,则 b=____。 4

取得最大值时,x=_______. .

? ?? 4 ? 4.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
5. 在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,B ? 45? ,则角 A=______ 6.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A=___. 7.在Δ ABC 中,已知 cosBcosC =

1 ? cos A ,则Δ ABC 的形状是___________. 2

8.在Δ ABC 中,已知 a cosA = b cosB,则Δ ABC 的形状是___________.

北京各区数学模考试题分类—三角函数与解三角形
一、

三角函数
f ( x) ? sin ?? x ? ? ??? ? 0 , | ? |? π ?

1.已知函数

的图象如图所示.

(Ⅰ)求 ? , ? 的值;
π? ? g ( x) ? f ( x) f ? x ? ? 4 ? ,求函数 g ( x) 的单调递增区间 ? (Ⅱ)设
y 1

O

π 4

π 2

x

-1

2.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? 最小正周期为 π . 17

? ?

π? 的 ?( ? ? 0 ) 2?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

3.已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。

4.已知函数 f(x)=cos(

? ? 1 1 ? x )cos( ? x ) ,g(x)= sin2x ? . 2 4 3 3

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x) ? g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

?π ? 1 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin ? ? x ? ? ?2 ? 2. 5.设函数

⑴求 f ( x) 的最小正周期;
? π? x ? ?0 , ? 2 ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. ? ⑵当

6.已知函数 f(x)= A sin(? x ? ? ) (其中 A>0,

? ? 0, 0 ? ? ?

?
2 )的图象如图所示。

18

(Ⅰ)求 A,?及?的值;

f (? ? ) 8 的值。 (Ⅱ)若 tan?=2, ,求

?

7.已知函数 f ( x) ? 2 cos

2

x ? 3 sin x . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?
3

)?

cos 2? 1 ,求 的值. 1 ? tan ? 3

8. 已知 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 3 cos(? x ? ? ) 的 部 分图象如 图所 示, 其中 ? ? 0 ,

? ? (? , ) .
(Ⅰ)求 ? 与 ? 的值; (Ⅱ)若 f ( ) ?

π π 2 2

?

4

2 sin ? ? sin 2? 4 5 ,求 的值 2 sin ? ? sin 2? 5

1、 解三角形
1. (丰台文 15)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b +c -a =bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?
2 2 2

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值. 2 2 2

2. (门头沟文 15)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C 19

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

3. ( 石 景 山 文 15 ) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 应 的 边 分 别 为

a, b, c, 且4sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

4. ( (西城一模文 15 )设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且

cos B ?

4 ,b ? 2. 5
o

(Ⅰ)当 A ? 30 时,求 a 的值; (Ⅱ)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值.

5. (东城 2010-2) 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

cos

A?C 3 ? 2 3 .

6.(海淀 20120115) 已知函数 f ( x) = sin x + sin( x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

? ). 3

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b, c . 已知 f ( A) = 试判断 ?ABC 的形状.

3 ,a= 2

3b ,

20


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