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放缩法技巧全总结(尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华)


2010 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜 能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数 列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例 1.(1)求<

br />
? 4k
k ?1

n

2
2

?1

的值;

(2)求证:

?k
k ?1

n

1
2

?

5. 3

2 1 1 ,所以 n 2 1 2n 解析:(1)因为 ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 k ?1 4k ? 1
(2)因为 1
n2 ? 1 n2 ? 1 4 ?
n 1 1 1 1 ? 2 5 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ? k ?1 k 2 n ? 1 2 n ? 1 4n 2 ? 1 ? ?

2

4

奇巧积累:(1) 1 ? 4 ? 2 2
n 4n

4 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) Cn ?1C n

(3) T

r ?1

r ? Cn ?

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ?

n

1 1 5 ??? ? 2 ?1 3 ? 2 n(n ? 1) 2
(6)
1 ? n?2 ? n n?2

(5)

1 1 1 ? ? 2 n (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1) n (9)

1 1 (8) ? 2 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? n n ?1 2 n ? 1 2 n ? 3 2 ( 2 n ? 1 ) ? 2 ( 2 n ? 3) ? 2 n ? ?

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k (n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n(n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(10)

(11)

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

(11) (12)

2n 2n 2n 2n ?1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) 2n ?1 ? 1 2n ? 1
1 n
3

?

1 n?n
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? n ?1 ? n ?1 n(n ? 1)(n ? 1) ? n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) ? ?

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ? 1 n ?1 ? 2 n ?

1 1 ? n ?1 n ?1
n

(13) 2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ? 2 ?
3

1 2n ? 2 ?1 3
n

(14)

k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

(15)

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)
i? j ?1

(15)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i ?1 ?
2

j2 ?1

1 7 1 例 2.(1)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? (n ? 2) 32 5 2 (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1)
(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2

4

16

36

4n

2

4n
2n ? 1 ? 1

(3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?

2

2?4

2?4?6

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

(4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n

解析:(1)因为

1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

? (2i ? 1)
i ?1

n

1

2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1

(2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 4 16 36 4 n 4n 2 4 22 n2 (3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2 n ?1 ? n

1 2n ? 1

,再结合

1 n?2

? n?2 ? n

进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先 1
n

? 2( n ? 1 ? n ) ?

,所以容易经过裂项得到
1 n

2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

再 证
1 n ? 2 ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? n? 2 1 1 ? n? 2 2

而 由 均 值不 等 式知 道 这 是 显 然成 立 的, 所 以

1?

1 2

?

1 3

???

1 n

? 2 ( 2n ? 1 ? 1)

例 3.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3
? 1 1 n2 ? 4 ? 1 ? ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2

解析:一方面:因为 1
n
2

,所以

?k
k ?1

n

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

1 1 n 另一方面: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1? ? 2 4 9 n 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) n ?1 n ?1

当 n ? 3 时, n
n ?1

?

6n 1 1 1 6n ,当 n ? 1 时, ? 1? ? ??? 2 , ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 4 9 n (n ? 1)(2n ? 1)

当 n ? 2 时,

6n 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2 ,所以综上有 (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)(2n ? 1) 4 9 n 3

例 4.(2008 年全国一 卷 ) 设函数 f ( x) ? x ? x ln x . 数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1 . an?1 ? f (an ) . 设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥ a1 ? b . 证 a1 ln b 明: ak ?1 ? b . 解析:由数学归纳法可以证明 ?an ? 是递增数列,故存在正整数 m ? k ,使 am ? b ,则
ak ?1 ? ak ? b ,否则若 am ? b(m ? k ) ,则由 0 ? a1 ? am ? b ? 1知

am ln am ? a1 ln am ? a1 ln b ? 0 , a

k ?1

? ak ? ak ln ak ? a1 ? ? am ln am ,因为 ? am ln am ? k (a1 ln b) ,
m ?1 m ?1

k

k

于是 ak ?1 ? a1 ? k | a1 ln b |? a1 ? (b ? a1 ) ? b 例 5.已知 n, m ? N? , x ? ?1, Sm ? 1m ? 2m ? 3m ? ? ? nm ,求证: nm?1 ? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)m?1 ? 1. 解析:首先可以证明: (1 ? x)n ? 1 ? nx
n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? (n ? 2) m ?1 ? ? ? 1m ?1 ? 0 ? ?[k m ?1 ? (k ? 1) m ?1 ] 所以要证
k ?1 n

n

m ?1

? (m ? 1)Sn ? (n ? 1)
n

m ?1

? 1只要证:
n

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? (n ? 1) m ?1 ? 1 ? (n ? 1) m ?1 ? n m ?1 ? n m ?1 ? (n ? 1) m ?1 ? ? ? 2m ?1 ?1m ?1 ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ]
k ?1 k ?1

故只

要证

?[ k
k ?1

n

m ?1

? (k ? 1) m ?1 ] ? (m ? 1)? k m ? ?[(k ? 1) m ?1 ? k m ?1 ] ,即等价于
k ?1 k ?1

n

n

k m?1 ? (k ? 1)m?1 ? (m ? 1)k m ? (k ? 1)m?1 ? k m ,即等价于 1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 ,1 ? m ? 1 ? (1 ? 1 ) m ?1 k k k k

而正是成立的,所以原命题成立. 例 6.已知 an ? 4n ? 2n , T ? n
2n ,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n 2 a1 ? a2 ? ? ? an

n n 解析: T ? 41 ? 42 ? 43 ? ? ? 4n ? (21 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 4(1 ? 4 ) ? 2(1 ? 2 ) ? 4 (4n ? 1) ? 2(1 ? 2n ) n 1? 4 1? 2 3

所以
Tn ?

2n 4 n (4 ? 1) ? 2(1 ? 2n ) 3

?

2n 2n 3 ? 2n 3 2n ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 n 2 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? (2 ) ? 3 ? 2n ? 1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ?1 3 3 3 3
n ?1

?

3 2n 3? 1 1 ? ? ? ? ? ? n 2 (2 ? 2 ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ?

从而 T ? T ? T ? ? ? T ? 3 ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? 3 ? ? 1 2 3 n 2? 3 3 7 2n ? 1 2n ?1 ? 1 ? 2 例 7.已知 x1 ? 1 , x ? ?n(n ? 2k ? 1, k ? Z ) ,求证: ? n ?n ? 1(n ? 2k , k ? Z )
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1
1
4

证明:

x 2 n x 2 n ?1

?

1
4

(2n ? 1)( 2n ? 1) 1
4

?

1
4

4n 2 ? 1 ? 2 2 n

?

1
4

4n 2

? 2

1 2? n

?

2 ,因为 2 n

2 n ? n ? n ? 1 ,所以

x 2 n x 2 n ?1

?

n ? n ?1

? 2( n ?1 ? n)

所以
4

1 1 1 ? ??? ? 2 ( n ? 1 ? 1)(n ? N *) 4 x x x2 ? x3 4 x4 ? x5 2 n 2 n ?1

二、函数放缩 例 8.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . 2 3 4 3n 6
n

解析:先构造函数有 ln x ? x ? 1 ? ln x ? 1 ? 1 ,从而 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3n ? 3n ? 1 ? ( 1 ? 1 ? ? ? 1 ) n n
x x

2

3

4

3

2

3

3

因为 1 1
2

1 ? 1 1? ? 1 1 1 1 1 1? 1 1? ? 1 ? ??? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 3 3 2 ?1 3 ? ? 2 3? ? 4 5 6 7 8 9? ?2

?

? 3 n ?1 5 ? 3 3? ? 9 9 ? 3 n ?1 ? 5n ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 ? 3 n ?1 3 n ? ?? 6 6 ? 6 9 ? ? 18 27 ? ? ?
n

所以 ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 1 ? 5n ? 3n ? 5n ? 6 2 3 4 6 6 3n 例 9.求证:(1) ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? ?
? ? ?

2

3

n

?

2n 2 ? n ? 1 (n ? 2) 2(n ? 1)

解析:构造函数

f ( x) ?

? ln n 2 ln x ,得到 ln n ? 2 x n? n

2 ,再进行裂项 ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,求和后可以得到答案 2 n(n ? 1) n n2

函数构造形式: ln x ? x ? 1 , ln n? ? n? ? 1(? ? 2) 例 10.求证: 1 ? 1 ? ? ?

2

3

1 1 1 ? ln( n ? 1) ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 n

解析:提示: ln( n ? 1) ? ln n ? 1 ? n ? ? ? 2 ? ln n ? 1 ? ln n ? ? ? ln 2

n

n ?1

1

n

n ?1

函数构造形式: ln x ? x, ln x ? 1 ? 1
x

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 f ( x) ? 1 ,
x

y

首先:

S ABCF ?

1 1 ,从而, 1 ? i ? ? ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln(n ? i ) ? n x x n ?i n ?i
O

n

n

E F A n-i n

D C B x

取 i ? 1 有, 1 ? ln n ? ln( n ? 1) ,
n

所以有 1 ? ln 2 , 1 ? ln 3 ? ln 2 ,…, 1 ? ln n ? ln( n ? 1) , 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ,相加后可以得到: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) 3 n ?1 n 2 3 n ?1 2 另一方面
S ABDE ? 1 ,从而有 1 ?i ? n?i n ?i x

?

n

n ?i

?

n

1 ? ln x |n n ? i ? ln n ? ln( n ? i ) x

取 i ? 1 有, 1 ? ln n ? ln( n ? 1) ,
n ?1

所以有 ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,所以综上有 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 n

2

3

n ?1

2

n

例 11.求证: (1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? ? ? (1 ? 1 ) ? e 和 1 (1 ? )(1 ?
2! 3! n!
9

. 1 1 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e 81 3

解析:构造函数后即可证明 例 12.求证: (1 ? 1? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ?? [1 ? n(n ? 1)] ? e 2n?3 解析:
ln[n(n ? 1) ? 1] ? 2 ?

,叠加之后就可以得到答案 3 n(n ? 1) ? 1 (加强命题) 3 1 ? ln(1 ? x) 3 ( x ? 0) ? ? ( x ? 0) x ?1 x x ?1

函数构造形式:

ln( x ? 1) ? 2 ?

例 13.证明: ln 2
3

?

ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 4 5 n ?1 4

解析:构造函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? 1) ,求导,可以得到:
f ' ( x) ? 1 2 ? x ,令 ?1 ? x ?1 x ?1

f ' ( x) ? 0 有 1 ? x ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 有 x ? 2 ,

所以 f ( x) ? f (2) ? 0 ,所以 ln(x ? 1) ? x ? 2 ,令 x ? n2 ? 1 有, ln n2 ? n2 ? 1 所以 ln n
n ?1 ? n ? 1 ,所以 ln 2 3 2

?

ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ??? ? (n ? N *, n ? 1) 4 5 n ?1 4

例 14. 已知 a ? 1, a ? (1 ? 1 )a ? 1 . 证明 an ? e2 . 1 n ?1 n 2 n
n ?n 2

解析:

a n ?1 ? (1 ?

, 1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? ? )a n n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2
ln a n ?1 ? ln(1 ? 1 1 ? ) ? ln a n n(n ? 1) 2 n

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用 ln(1 ? x) ? x 和裂项可以得到答案) 放缩思路:
a n ?1 ? (1 ? 1 1 ? )a n ? n2 ? n 2n

ln a n ?1 ? ln(1 ?

1 1 ? ) ? ln a n ? n2 ? n 2n

? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n
n ?1 i ?1

。于是

ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n2 ? n 2n



?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ? (

1 1 1 ? ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ? i 2i
2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 .
2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩:
n

注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论
a n ?1 ? (1 ? 1 1 )a n ? ? a n?1 ? 1 ? (1 ? 1 )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)
n ?1 n ?1 , 1 1 1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 )? . ? ? [ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? i(i ? 1) n n(n ? 1) n(n ? 1) i ?2 i ?2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ?

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 15.(2008 年厦门市质检) 已知函数 f ( x) 是在 (0,??) 上处处可导的函数,若 x ? f ' ( x) ? f ( x) 在 x ? 0 上恒成立. (I)求证:函数
g ( x) ? f ( x) 在(0,?? ) x

上是增函数;

(II)当 x1 ? 0, x2 ? 0时, 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ; (III)已知不等式 ln(1 ? x) ? x在x ? ?1且x ? 0 时恒成立, 求证: 1
22 ln 2 2 ? 1 1 1 n ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 32 4 (n ? 1) 2
g ' ( x) ?

(n ? N * ).

解析:(I) (II)因为

,所以函数 上是增函数 f ' ( x) x ? f ( x) f ( x) ?0 g ( x) ? 在(0,?? ) x2 x

g ( x) ?

上是增函数,所以 f ( x) 在(0,?? ) x

f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) x1 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x1 x1 ? x2 x1 ? x2
f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) x2 ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ) x2 x1 ? x2 x1 ? x2

两式相加后可以得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) (3) f ( x1 )
x1 ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 …… ? ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) x2 x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

f ( xn ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn ? ? f ( xn ) ? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) xn x1 ? x2 ? ? ? xn x1 ? x2 ? ? ? xn

相加后可以得到:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn )
所 以 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x3 ln x3 ? ? ? xn ln xn ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) l nx( 1 ? x2 ? ? ? x n )
? 1 1 1 1 2 2 2 2? ?? ? 2 2 ln 2 ? 3 2 ln 3 ? 4 2 ln 4 ? ? ? (n ? 1) 2 ln( n ? 1) ? ?? ? ?
? 1 1 1 1 ? ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ?
? 1 1 1 ?? ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ?



xn ?

1 (1 ? n) 2

, 有

? ? 1 1 1 ? ? ? ln? ? 2 ? 3 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ?2

? ? ? ?

? ? 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ln? (n ? 1)n ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2

1 ?? 1 1 ? n ? ? ?? ?? ? ??? 2(n ? 1)(n ? 2) ? n ? 1 ?? 2 n ? 2 ?

所以 1
22

ln 2 2 ?

1 1 1 n ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)(n ? 2) 32 4 (n ? 1) 2
? ln(n ? 1) 2 ln 4 1 ? ? 1 ? ? ln 4? ? ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ?

(n ? N * ).

(方法二) ln(n ? 1) 2
(n ? 1)
2

所以 1
22

ln 2 2 ?

1 1 1 1 ? n ln 4 ?1 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? ln 4? ? ?? 32 4 (n ? 1) 2 ? 2 n ? 2 ? 2(n ? 2)

又 ln 4 ? 1 ? 1 ,所以
n ?1

1 1 1 1 n ln 2 2 ? 2 ln 32 ? 2 ln 4 2 ? ? ? ln(n ? 1) 2 ? (n ? N * ). 2(n ? 1)(n ? 2) 22 3 4 (n ? 1) 2

例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 f ( x) ? x ln x. 若 a ? 0, b ? 0, 证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b). 解析:设函数 g ( x) ?
f ( x) ? f (k ? x), (k ? 0)

? f ( x) ? x ln x, ? g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln(k ? x), ? 0 ? x ? k. ? g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(k ? x) ? 1 ? ln x , k?x x 2x ? k k 令g ?( x) ? 0, 则有 ?1? ? 0 ? ? x ? k. k?x k?x 2
k g ( x )在[ , k 2

∴函数

)上单调递增,在 (0, k ] 上单调递减.
2
k ,即总有 g ( x ) g( ) 2

∴ g ( x) 的最小值为

k ? g ( ). 2

而 g ( k ) ? f ( k ) ? f (k ? k ) ? k ln k ? k (ln k ? ln 2) ? f (k ) ? k ln 2,
2 2 2 2

? g ( x) ? f (k ) ? k ln 2,
即 f ( x) ? f (k ? x) ? f (k ) ? k ln 2. 令 x ? a, k ? x ? b, 则 k ? a ? b.
? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2.
? f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b).

三、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0) a a?m a a?m 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 例 19. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
3 5
1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 1 2n ? 1
1 2n ? 1

1 ) ? 2n ? 1 和 2n ? 1

也可以表示成为

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 4 ? 6 ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1)
a a?m

解析: 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得

2 4 6 2n ? ? ? ? 3 ? 5 ? 7 ? 2n ? 1 ? 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n
1 3 5 2n ? 1

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? (2n ? 1) 2 4 6 2n

? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ?

3

5

1 ) ? 2n ? 1. 2n ? 1

例 20.证明: (1 ? 1)(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2
(加 1) (加 2)

解析: 运用两次次分式放缩:
2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ? ? ?? ? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 2 5 8 3n ? 1
2 5 8 3n ? 1 4 7 10 3n ? 1 ? ? ??? ? . ? ??? ? 1 4 7 3n ? 2 3 6 9 3n

相乘,可以得到:
3n ? 1 ? 4 7 10 3n ? 1 1 4 7 3n ? 2 ?2 5 8 ? ? ? ? ?? ? (3n ? 1) ? ? ? ? ?? ? ? . ? ? ?? ? 1 4 7 3 n ? 2 2 5 8 3 n ? 1 2 5 8 3n ? 1 ? ?
2

所以有 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ?
4 7

1 ) ? 3 3n ? 1. 3n ? 2

四、分类放缩 例 21.求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 1 n ? 2n ? 1 2

解析: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ? ? ? 2 3 2 4 4 2n ? 1 23 23 23 23

(

1 1 1 1 n 1 n ? n ? ? ? n ) ? n ? ? (1 ? n ) ? n 2 2 2 2 2 2 2

例 22.(2004 年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 xoy 中, y 轴正半轴上的点列 ?An ?与曲线 y ? 2 x ( x ≥0)上的点 列 ?Bn ?满足 OA ? OB ? 1 ,直线 n n
n

An Bn 在 x 轴上的截距为 an .点 Bn 的横坐标为 bn , n ? N ? .

(1)证明 an > an?1 >4, n ? N ? ; (2)证明有 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 都有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 . b1 b2 bn?1 bn 解析:(1) 依题设有: A ? 0, 1 ? , B b , 2b , b ? 0 ,由 OB ? 1 得: ?n ? n n? n ? n n n ? n?
bn 2 ? 2bn ?

?

?

,又直线 An Bn 在 1 1 ,?bn ? 2 ? 1 ? 1, n ? N * n2 n
1? ? 1? 2bn ? ? ? ? 0 ? ? ? bn ? 0 ? n? ? n?

x 轴上的截距为 an 满足
2n2bn ? 1 ? n2bn 2 ? 0, bn ? 2 ? 1 n2bn

? an ? 0? ? ?
?

an ?

bn 1 ? n 2bn

? an ?

bn 1 ? n 2bn bn 1 2 ? ? 2 ? ? bn ? 2 ? 2bn ? 4 ? an ? 12 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 12 ? 1 2 1 ? 2n bn n bn n bn n n 1 ? n 2bn

?

?

显然,对于 1 ? 1 ? 0 ,有 an ? an?1 ? 4, n ? N *
n n ?1

(2)证明:设

cn ? 1 ?

,则 bn ?1 ,n? N* bn
2

cn ?

1 ?1 ? n2

1

? n ? 1?

?1

1 ? 1 ?1 n2

? 1 1 ? ?n ? 2 ? ? ? n ? n ? 1?2 ? ? ?
2

1 ?1 ?1 n2 1 1 ?1 ? ?1 2 n2 ? n ? 1?

?

2n ? 1

? n ? 1?

2

? ? 1 ?1 ?1 ? 2n ? 1 ? 1 1 2n ? 1 n2 ? ? ?? ? 2 2 2 ? ? 2 ? n ? 1? 1 1 n ? 1 ? ? 2 2 ?1 2 2 ?1 ? ? n n ? ?
2

? 2n ? 1?? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1?
设 Sn ? c1 ? c2 ?

? n ? 0,? cn ?

1 ,n? N* n?2

? cn , n ? N * ,则当 n ? 2k ? 2 ? 1? k ? N * ? 时,

1 1 Sn ? ? ? 3 4
? 2?

?

1 1 ?1 1? ? 1 ? k ? ? ? ??? 2 ? 2 ?1 2 ? 3 4 ? ? 2 ?1
k

?

1? ? 1 ? ??? 23 ? ? 2k ?1 ? 1

?

1 ? ? 2k ?

1 1 ? 22 ? 3 ? 22 2
? ? b3 ? ??? ?1 ? ? ? b2

? 2k ?1 ?

1 k ?1 。 ? 2k 2

所以,取 n0 ? 24009 ? 2 ,对 ?n ? n0 都有:

? b2 ? ?1 ? b 1 ?

? bn ?1 ? ? 4017 ? 1 ? ? 2008 ? ??? ? ?1 ? b ? ? ? S n ? S n0 ? 2 n ? ? ?

故有 b2 ? b3 ? ? ? bn ? bn?1 < n ? 2008 成立。

b1

b2

bn?1

bn

例 23.(2007 年泉州市高三质检) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].

若数列 {bn } 满足 b ? f (n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 A,使得对于任意正整数 n 都有 Tn ? A ?并 n 3
n

证明你的结论。 解析:首先求出 f ( x) ? x2 ? 2x ,∵ b ? f (n) ? n 2 ? 2n ? 1 n 3 3
n n n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ,∵ 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ,… 2 3 n 8 2 3 4 4 2 5 6 7 8

1 2
k ?1

k 1 1 1 1 k ? ? ? k ? 2 k ?1 ? k ? ,故当 n ? 2 时, Tn ? ? 1 , ?1 2 ? 2 2 2 2 2

?

k ?1

因此,对任何常数 A,设 m 是不小于 A 的最小正整数, 则当 n ? 2 2 m ? 2 时,必有 T ? 2m ? 2 ? 1 ? m ? A . n 2 故不存在常数 A 使 Tn ? A 对所有 n ? 2 的正整数恒成立. 例 24.(2008 年中学教学参考)设不等式组 ? x ? 0,
? ? y ? 0, ? y ? ? nx ? 3n ?

表示的平面区域为 Dn ,设 Dn 内整数坐标点的个数为 an .设

Sn ?

1 1 1 ? ??? a n?1 a n? 2 a2n

,

当 n ? 2 时,求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7n ? 11 . a1 a2 a3 a 2n 36 解析:容易得到 an ? 3n ,所以,要证 1
a1 ? 1 1 1 7n ? 11 只要证 S n ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ??? ? 2 3 2n a 2 a3 a 2n 36

1

1

1

7n ? 11 ,因为 12

S2 n ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( n ?1 ? ??? n 2 3 4 5 6 7 8 2 ? 1 2n ?1 ? 2 2

? 1?

1 3 7 7n ? 11 ,所以原命题得证. ? T 1 ? T2 2 ? ? ? T2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 2 2 12 12

五、迭代放缩 例 25. 已知 x ? xn ? 4 , x ? 1 ,求证:当 n ? 2 时, n | xi ? 2 | ? 2 ? 21? n n ?1 1 ? xn ? 1 i ?1 解析:通过迭代的方法得到 x ? 2 ? 1 ,然后相加就可以得到结论 n 2 n ?1 1 例 26. 设 S ? sin 1! ? sin 2! ? ? ? sin n! ,求证:对任意的正整数 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k-Sn|< n n 1 2 n
2 2 2

解析:

| S n ? k ? S n |?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) ? ??? | 2 n ?1 2 n?2 2 n?k

?|

sin( n ? 1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k ) 1 1 1 |?| | ??? | |? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? k 2 n ?1 2 n?2 2 n?k 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? k ) ? n ? (1 ? k ) ? n 2n 2 22 2 2 2 2

?

0 1 n 又 2n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?n

所以

| S n ? k ? S n |?

1 1 ? 2n n

六、借助数列递推关系 例 27.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 1
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

解析: 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

a n ?1 ?

2n ? 1 a n ? 2(n ? 1)a n?1 ? 2nan ? a n ,从而 2(n ? 1)

an ? 2(n ? 1)an?1 ? 2nan ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2(n ? 1)a n ?1 ? 2a1 ? 2(n ? 1) ? 1 2n ? 3 ? 1 ? (2n ? 2) ? 1 2n ? 2 ?1

所以 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 1
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

例 28. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

解析: 设 a ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 则 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
a n ?1 ? 2n ? 1 ,从而 a n ? [2(n ? 1) ? 1]a n?1 ? (2n ? 1)a n ? a n ?1 2(n ? 1)

an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an?1 ? (2n ? 1)an ,相加后就可以得到
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n?1 ? 3a1 ? (2n ? 1) ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2

例 29. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1,求证: 解析:

1 1 1 ? ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a1 a2 an

an? 2 ? an?1 ? n ? 2 ? an ? an?1 ? 1 ?

1 ? an?2 ? an an?1

所以就有 1
a1

?

1 1 1 ??? ? ? an?1 ? an ? a2 ? a1 ? 2 an?1an ? a2 ? 2 n ? 1 ? 2 a2 an a1

七、分类讨论 例 30.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1. 证明:对任意的整数

m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

解析:容易得到 a ? 2 ?2 n ?2 ? (?1) n ?1 ?. , n
3

由于通项中含有 ( ?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:
n

当n
?

? 3 且 n 为奇数时 1
an

?

1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 ? ( ? )? ? an?1 2 2 n?2 ? 1 2 n?1 ? 1 2 2 2n?3 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1

3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 (减项放缩) ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 n ?3 2

① 当m

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ??? ( ? ) ? ??? ? a a a a a a 4 a5 am 4 5 6 m ?1 m 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2

? 4 且 m 为偶数时

② 当m

? 4 且 m 为奇数时 1
a4

?

(添项放缩)由① 知1 1 ② 得证。 1 1 1 1 7 由① ??? ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? ??? ? ? . a5 a m a 4 a5 a 4 a5 a m a m?1 8 a m a m?1

八、线性规划型放缩 例 31. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 .若对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 ,求 a ? b 的最大值。 2
x ?2

解析:由

1 ?( x ? 2)2 ( x ? 1) 2 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 2 2( x 2 ? 2)2



1 ( f ( x) ? )( f (1) ? 1) ? 0 2



?

1 ? f ( x )? 1 2

由此再由 f ( x) 的单调性可以知道 f ( x ) 的最小值为 ? 1 ,最大值为 1
2

因此对一切 x ? R , ?3 ? af ( x) ? b ? 3 的充要条件是, ??3 ? ? 1 a ? b ? 3
? 2 ? ? ??3 ? a ? b ? 3

即 a , b 满足约束条件 ?a ? b ? ?3

?a ? b ? 3 ? ? 1 ?? a ? b ? ?3 ? 2 ? 1 ?? a ? b ? 3 ? 2



由线性规划得, a ? b 的最大值为 5. 九、均值不等式放缩 例 32.设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ?S
2
n

?

(n ? 1) 2 . 2

解析: 此数列的通项为 ak ? k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n. k ? k ?1 1, 1 , ? k ? k (k ? 1) ? ?k? 2 2 ? ? k ? S ? ? (k ? 2 )
n n k ?1 n k ?1

即 n(n ? 1)
2

? Sn ?

n(n ? 1) n (n ? 1) 2 ? ? . 2 2 2
ab ? a?b 2

注 : ①应 注 意 把 握 放 缩 的 “ 度 ” : 上 述 不 等 式 右 边 放 缩 用 的 是 均 值 不 等 式
S n ? ? (k ? 1) ?
k ?1 n

, 若 放 成 k (k ? 1) ? k ? 1 则 得

(n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ,就放过“度”了! ? 2 2
2 a12 ? ? ? a n n

② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
a ? ? ? an n ? n a1 ? a n ? 1 ? 1 1 n ??? a1 an

其中, n

? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。
1 1 1 1 ,若 4 ,且 f ( x ) 在[0,1]上的最小值为 ,求证: f (1) ? f ( 2) ? ? ? f ( n) ? n ? ? . f (1) ? n ?1 2 2 1 ? a ? 2 bx 2 5
1 1 1 ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) 2? 2 1? 4x 2 ? 2x

例 33.已知函数 f ( x) ?
x 解析: f ( x) ? 4

1? 4x

?1?

? (1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 4 2 2 2 ? 22 2 ? 2n 2 2
?

例 34.已知 a , b 为正数,且 1
a

,试证:对每一个 n ? N 1 ?1 b
a b b

?

, (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .

解析: 由 1 ? 1 ? 1得 ab
a
0 n

b

? a ? b ,又 (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? a ? b ? 4 ,故 ab ? a ? b ? 4 ,而
a
r n n?r

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a
n n 1 n

n?1

b ? ?? C b ,
r n n n

令 f (n) ? (a ? b) n ? a n ? b n ,则

1 n?1 r n ?r r n?1 i n?i ,倒序相加得 f (n) = Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn?1 ,因为 Cn ? Cn

1 r n?1 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn (abn?1 ? a n?1b) ,

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 , 则2f
1 r n?1 (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2
n

n

? 2) ? 2

n ?1

,所以 f (n) ? (2 n ? 2) ? 2 n ,即对

每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
1 2 3 n 例 35.求证 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2 n?1 2

(n ? 1, n ? N )
n ?1 2 ,

1 解析: 不等式左 Cn

2 3 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ? n ? n 1? 2 ? 22 ??? 2n?1 = n ? 2

原结论成立. 例 36.已知 解析:

f ( x) ? e x ? e ? x ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2
1 1 e x1 e x2 1 ) ? (e x2 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? e x1 ? x2 ? 1 e x1 e e e e ?e
n

n

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (e x1 ?

经过倒序相乘,就可以得到 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (n) ? (e n?1 ? 1) 2

例 37.已知 f ( x) ? x ? 1 ,求证: f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (2n) ? 2n (n ? 1)n
x

解析:

1 1 k 2n ? 1 ? k 1 (k ? )(2n ? 1 ? k ? ) ? k (2n ? 1 ? k ) ? ? ? ? 2(2n ? 1 ? k ) ? 2 k 2n ? 1 ? k 2n ? 1 ? k k k (2n ? 1 ? k )

其中: k ? 1,2,3,?,2n ,因为 k ? 2n ? k (1 ? k ) ? 2n ? (k ? 1)(2n ? k ) ? 0 ? k (2n ? 1 ? k ) ? 2n 所以 (k ? 1 )( 2n ? 1 ? k ?
k 1 ) ? 2n ? 2 2n ? 1 ? k

从而 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (2n)]2 ? (2n ? 2)2n ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?? f (2n) ? 2n (n ? 1)n . 例 38.若 k ? 7 ,求证: S ? 1 ? 1 ? n

n

n ?1

1 1 3 ??? ? . n?2 nk ? 1 2

解析: 2S ? ( 1 ? n

n

1 1 1 1 1 1 1 )?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) nk ? 1 n ? 1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ? 1 n

因为当 x ? 0, y ? 0 时, x ? y ? 2 xy , 1 ? 1 ?

x

y

1 1 1 1 4 ,当且仅当 x ? y 时取到等号. 2 ,所以 ( x ? y)( ? ) ? 4 ,所以 ? ? x y x y x? y xy

所以 2S ? n 所以
Sn ?

4 4 4 4 4n(k ? 1) ? ? ??? ? n ? nk ? 1 n ? 1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ? 1 n ? nk ? 1

2(k ? 1) 2(k ? 1) 4 3 ? ? 2? ? 1 k ? 1 k ? 1 2 1? k ? n

所以

Sn ?

1 1 1 1 3 ? ? ??? ? n n ?1 n ? 2 nk ? 1 2

例 39.已知 f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,求证: a2 . f (0) ? f (1) ?
16
2 解析: f (0) ? f (1) ? a 2[ x (1 ? x )][x (1 ? x )] ? a . 1 1 2 2

16

例 40.已知函数 f(x)=x -(-1) · 2lnx(k∈N*).k 是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n-2n 1· f’(xn)≥2n(2n-2).


2

k

解析: 由已知得 f ?( x) ? 2 x ? 2 ( x ? 0) ,
x

(1)当 n=1 时,左式= (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 0 右式=0.∴不等式成立. x x (2) n ? 2 , 左式= [ f ?( x)] n ? 2 n ?1 ? f ?( x n ) ? (2 x ? 2 ) n ? 2 n ?1 ? (2 x n ? 2 ) n

x

x

1 n?2 2 n?4 n?2 ? 2 n (C n x ? Cn x ? ? ? Cn

1 1 n ?1 ? Cn ). x n?4 x n?2

令 S ? C1 x n ?2 ? C 2 x n ? 4 ? n n 由倒序相加法得:
1 2S ? C n ( x n?2 ?

n?2 ? Cn

1 n ?1 1 ? Cn x n?4 x n?2

1 1 1 2 n ?1 ) ? Cn ( x n?4 ? n?4 ) ? ? ? C n ( n?2 ? x n?2 ) x n?2 x x

1 2 n?1 ? 2(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2n ? 2) ,

所以 S ? (2 n ? 2). 所以 [ f ?( x)]n ? 2 n?1 ? f ?( x n ) ? 2 n (2 n ? 2)成立. 综上,当 k 是奇数, n ? N 时,命题成立 例 41. (2007 年东北三校)已知函数 f ( x) ? a x ? x(a ? 1) (1)求函数
?

f ( x) 的最小值,并求最小值小于 0 时的 a 取值范围;
2

1 ' 2 ' n?1 ' (2)令 S (n) ? Cn f (1) ? Cn f (2) ? ? ? Cn f (n ? 1) 求证: S (n) ? (2 n ? 2) ? f ' ( n )

1 2 n ?1 ( 2) S ( n ) ? C n (a ln a ? 1) ? C n (a 2 ln a ? 1) ? ? ? C n (a n ?1 ln a ? 1)

1 (1)由f ( x) ? a ln a ? 1, f ( x) ? 0,即:a ln a ? 1,? a ? , 又a ? 1? x ? ? loga ln a ln a ' 同理:f ( x) ? 0, 有x ? ? loga ln a,
' x ' x x

1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1 ? (C n a ? Cn a ? ? ? Cn a ) ln a ? (C n ? Cn ? ? ? Cn )

所以f ( x)在(??,? loga ln a)上递减,在(? loga ln a,??)上递增;
'

1 1 2 n ?1 ? [C n (a ? a n ?1 ) ? C n (a 2 ? a n ?2 ) ? ? ? C n (a n ?1 ? a )]ln a ? (2 n ? 2) 2
n

所以f ( x) min ? f (? loga ln a) ? 若f ( x) min ? 0, 即

1 ? ln ln a ln a

? a 2 (2 n ? 2) ln a ? (2 n ? 2) n ? (2 n ? 2)(a 2 ln a ? 1) ? (2 n ? 2) f ' ( ), 2 所以不等式成立。
f ? x? ? 1 1 ax , x ? ? 0, ? ?? .对任意正数 ? ? ax ? 8 1? x 1? a
n

1 ? ln ln a 1 ? 0, 则 ln ln a ? ?1,? ln a ? ln a e
1

? a的取值范围是 1 ? a ? ee

★例 42. (2008 年江西高考试题)已知函数 解析:对任意给定的 a ? 0 , x

a ,证明:1 ? f ? x ? ? 2 .

? 0 ,由
f ( x) ?

1 1 ? ? 1? x 1? a

1 1? 8 ax

,

若令 b ? 8 ,则 abx ? 8 ①,而

ax

f ? x? ?

1 1 1 ② ? ? 1? x 1? a 1? b

(一) 、先证 f ? x ? ? 1 ;因为

1 1 , 1 1 , 1 , 1 ? ? ? 1? x 1? x 1? b 1? b 1? a 1? a

又由 2 ? a ? b ? x ? 2 2a ? 2 bx ? 4 4 2abx ? 8 ,得 a ? b ? x ? 6 . 所以 f x ? ? ?
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? b

?

3 ? 2(a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

?

9 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) 1 ? (a ? b ? x) ? (ab ? ax ? bx) ? abx ? ? 1. (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)

(二) 、再证 f ? x? ? 2 ;由①、②式中关于 x, a, b 的对称性,不妨设 x ? a ? b .则 0 ? b ? 2 (ⅰ ) 、当 a ? b ? 7 ,则 a ? 5 ,所以 x ? a ? 5 ,因为
1 ? 1, 1? b

1 1 2 ,此时 f x ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 . ? ? ?1 ? ? 1? x 1? a 1? b 1? x 1? a 1? 5

(ⅱ ) 、当 a ? b ? 7 ③,由① 得 , 因为 同理得

x?

8 , 1 ? ab 1? x

ab , ab ? 8

1 b b2 b 2 所以 ?1 ? ? ? [1 ? ] 1? b 1 ? b 4 (1 ? b2 ) 2 (1 ?b )
1 a ? 1? 2(1 ? a) 1? a

1 b ④ ? 1? 2(1 ? b) 1? b

⑤ ,于是

1? a b ab ? ⑥ f ? x? ? 2 ? ? ? ?2 ? 2? 1 ? a 1 ? b ab ?8 ? ? ?

今证明

ab a b ab ⑦ , 因为 a ? b ? 2 , ? ?2 1? a 1? b ab ? 8 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

只要证

ab a b ,即 ,此为显然. ab ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) ,也即 a ? b ? 7 ,据③ ? ( 1? a ) ( 1 ? b ) a b? 8

因此⑦ 得证.故由⑥ 得 f ( x) ? 2 . 综上所述,对任何正数 a, x ,皆有 1 ? f ? x ? ? 2 . 例 43.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1
n ?1 n?2 ?2

3n ? 1

解析:一方面: 1
n ?1

?

1 1 1 ?1 1? 1 2 ??? ? ?? ? ? ? ? ?1 n?2 3n ? 1 2 ? 3 4 ? 2 4

(法二) 1

1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? n ?1 n ? 2 3n ? 1 2 ? ? 3n ? 1 n ? 1 ?? ?? n ? 1 3n ? 1 ? ? n ? 2 3n ?

?

? 1 ? 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 ? ?? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 3n ? 1) ? ? (3n ? 1)( n ? 1) 3n(n ? 2) ?

? ? (2n ? 1) 2 1 1 1 ? ?2n ? 1? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? (2n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? n 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? 1 ? ?

另一方面: 1 ? 1 ? ? ? 1
n ?1 n?2

3n ? 1

?

2n ? 1 2n ? 2 ? ?2 n ?1 n ?1

十、二项放缩
0 1 n 0 1 , 2 n ? Cn 2 n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)(n ? 2)

例 44. 已知 a ? 1, a ? (1 ? 1 n ?1 解析:
a n ?1 ? (1 ?

2 1 1 )an ? n . 证明 an ? e n2 ? n 2

1 1 1 )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? )(a n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 , 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . ? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ? ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 n(n ? 1) n(n ? 1) i(i ? 1) n i ?2 i ?2

即 ln(an ?1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 . 例 45.设
1 ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n a n ? (1 ? ) n n

? 4.

解析: 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b n?1 ? a n?1 ? (n ? 1)b n (b ? a) (证略) 整理上式得 a n?1 ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? ) 以 a ? 1 ? 1 , b ? 1 ? 1 代入( ? )式得 (1 ? 1 ) n ?1 ? (1 ? 1 ) n .
n ?1 n

n ?1

n

即 {an } 单调递增。 以
a ? 1, b ? 1 ? 1 代入( 2n

? )式得1 ? (1 ?

1 n 1 1 ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n
1 ,又因为数列 (1 ? ) n ? 4 n

此式对一切正整数 n 都成立,即对一切偶数有
1 (1 ? ) n ? 4 。 n

{an } 单调递增,所以对一切正整数 n 有

注:① 上述不等式可加强为 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3. 简证如下: n 利用二项展开式进行部分放缩: a ? (1 ? 1 ) n ? 1 ? C 1 ? 1 ? C 2 ? 1 ? ? ? C n 1 . n n n n n n n2 nn 1 只取前两项有 a ? 1 ? C 1 ? ? 2. 对通项作如下放缩: n n n 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 k 1 Cn k ? ? ? ?? ? ? ? . k! n n n k! 1 ? 2? 2 2 k ?1 n n ?1 故有 a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? (1 / 2) ? 3. n 2 22 2 1 ? 1/ 2 2 n ?1 ② 上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景:
n m i i ; 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n. (1)证明 ni Am (2)证明 (1 ? m) ? (1 ? n) . (01 年全国卷理科第 20 题) ? mi An
1

简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {bn } : bn ? (1 ? n) n 是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列 {(1 ? n) n } 递减, 且 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) m
1

1

? (1 ? n) n , 即 (1 ? m)

1

n

? (1 ? n) m 。

当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概 率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。 例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证: a n ? b n ? 21? n. 解析: 因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为 a , 从而
?1 ? ?1 ? a n ? b n ? ? ? d ? ? ? ? d ? ? 21?n ?2 ? ?2 ?
n n

1 , b 成等差数列,设 a ? 1 ? d , b ? 1 ? d , 2 2 2

8 例 47.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2)
1 ,展开得 解析: 观察 ( 2 ) n 的结构,注意到 3 n ( ) ? (1 ? ) n 3 2 2 1 n 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 , 1 1 2 3 (1 ? ) ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 2 8 8 2 2

即 (1 ? 1 ) n ? (n ? 1)( n ? 2) ,得证.
2 8

例 48.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ? 1 ) ? ln 2 .
n 2n n

解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例 42.(2008 年北京海淀 5 月练习) 已知函数 y ? f ( x), x ? N* , y ? N* ,满足: ①对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ; ②对任意 n ? N* 都有 f [ f (n)] ? 3n . (I)试证明: f ( x) 为 N 上的单调增函数; (II)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (III)令 an ? f (3n ), n ? N* ,试证明:.
*

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1 ? an 4

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为 af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ,所以可以得到 (a ? b) f (a) ? (a ? b) f (b) ? 0 , 也就是 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,不妨设 a ? b ,所以,可以得到 f (a) ? f (b) ,也就是说 f ( x) 为 N 上的单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,令 b ? 1, a ? f (1) ,则可以得到
*

( f ( x) ? 1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 ,又 f ( f (1)) ? 3 ,所以由不等式可以得到 1 ? f (1) ? 3 ,又 f (1) ? N * ,所以可以得到 f (1) ? 2
接下来要运用迭代的思想: 因为 f (1) ? 2 ,所以 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 , f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 在此比较有技巧的方法就是: ② ①

f (9) ? f [ f (6)] ? 18 , f (18) ? f [ f (9)] ? 27 , f (27) ? f [ f (18)] ? 54, f (54) ? f [ f (27)] ? 81
81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27 ,所以可以判断 f (28) ? 55


当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有 f (1) ? f (6) ? f (28) = 55 ? 9 ? 2 ? 66 (3)在解决 {an } 的通项公式时也会遇到困难.

f [ f (3n )] ? 3n?1, f (3n?1) ? f { f [ f (3n )]} ? 3 f (3n ), ? an?1 ? 3an , 所 以 数 列 an ? f (3n ), n ? N* 的 方 程 为 an ? 2 ? 3n , 从 而
1 1 1 1 1 ? ??? ? (1 ? n ) , a1 a2 an 4 3
0 1 一方面 1 (1 ? 1 ) ? 1 ,另一方面 3n ? (1 ? 2)n ? Cn ? 20 ? Cn ? 21 ? 2n ? 1 n 4 3 4

所以 1 (1 ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ? 2n ? n ,所以,综上有 4 3n 4 2n ? 1 4 2n ? 1 4n ? 2

n 1 1 ≤ ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1. ? an 4

例 49. 已知函数 f?x?的定义域为[0,1],且满足下列条件: ① 对于任意 x ?[0,1],总有 f ? x ? ? 3 ,且 f ?1? ? 4 ;

② 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1, 则有 f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ( x2 ) ? 3. (Ⅰ )求 f?0?的值; (Ⅱ )求证:f?x?≤4; (Ⅲ )当
x ?(

时,试证明: 1 1 , ](n ? 1,2,3, ???) 3n 3n?1

f ( x) ? 3x ? 3 .

解析: (Ⅰ )解:令 x1

? x2 ? 0 ,

由① 对于任意 x ?[0,1],总有 又由② 得

f ? x ? ? 3 , ∴ f (0) ? 3

f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ∴ f (0) ? 3.

(Ⅱ )解:任取 x1 , x2 ?[0,1], 且设 x1

? x2 ,

则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 3, 因为 x2 ? x1 ? 0 ,所以 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ,即 f ( x2 ? x1 ) ? 3 ? 0, ∴f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴ 当 x ?[0,1]时, f ( x) ? f (1) ? 4 . (Ⅲ )证明:先用数学归纳法证明: f ( 1 ) ? 1 ? 3(n ? N*) 3n?1 3n?1 (1) (2) 当 n=1 时, f ( 1 ) ? f (1) ? 4 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ,不等式成立; 30 30 假设当 n=k 时,
f( 1 1 )? ? 3(k ? N*) 3k ?1 3k ?1

由 f ( 1 ) ? f [ 1 ? ( 1 ? 1 )] ? f ( 1 ) ? f ( 1 ? 1 ) ? 3 k ?1 k k k k k k
3 3 3 3 3 3 3

? f(

1 1 1 )? f ( k )? f ( k )?6 3k 3 3

得 3 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? 6 ? 1 ? 9. k k ?1 k ?1
3 3 3

即当 n=k+1 时,不等式成立 由(1) 、 (2)可知,不等式 f ( 1 ) ? 1 ? 3 对一切正整数都成立. n ?1 n ?1
3 3

于是,当 x ? ( 1 , 1 ](n ? 1,2,3, ???) 时, 3x ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? f ( 1 ) , n n ?1 n n ?1 n ?1
3 3
3 3 3

而 x ?[0,1], f ? x ? 单调递增 ∴f ( 1 ) ? f ( 1 ) 3n 3n?1 例 50. 已知: a1 ? a2 ? 求证: a
2 1

所以, f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x ? 3. n ?1
3

? an ? 1, ai ? 0
? a
2 1
2 n ?1

(i ? 1,2?n)
2 an 1 ? an ? a 1 2

a1 ? a2

?

a ? a2 ? a3

2 2

an?1 ? an

?

解析:构造对偶式:令 A ?

2 2 2 an an a a2 ?1 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

B?

2 2 2 a3 an a2 a12 ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1

2 2 2 2 2 2 2 2 则 A ? B ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? an ? a1

a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 = (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (an?1 ? an ) ? (an ? a1 ) ? 0,? A ? B

2 2 又? ai ? a j

ai ? a j

?

1 (ai ? a j ) 2

( i, j ? 1,2?n)

?A?

2 2 2 a 2 ? a3 a 2 ? an a 2 ? a12 1 1 a 2 ? a2 ( A ? B) ? ( 1 )? 2 ? ? ? n?1 ? n 2 2 a1 ? a2 a 2 ? a3 an?1 ? an an ? a1 1 1 ? ?(a1 ? a 2 ) ? (a 2 ? a3 ) ? ? ? (a n ?1 ? a n ) ? (a n ? a1 )? ? 4 2

十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指,定义在 ? a, b? 上的可积函数 f ? x ? ? ? ?? 0 ,则 b f ? x ? dx ? ? ? ? 0 . ?
a

例 51.求证: ? e ? e? .
? 解析: ? e ? e? ? ln ? ? ln e ,∵ln ? ? ln e ? ? ln x ? ? ? d ? ln x ? ? ? 1 ? ln x dx , 2 ? ? ? ?e ? ? ? ? e ? e x ? e x ? x ? e

x ? ? e,? ? 时, 1 ? ln x ? 0 ,
x2

?

?

e

1 ? ln x , dx ? 0 x2

∴ln ? ? ln e , ? e ? e? . ? e 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和. 例 52. 求证: 1 ? 1 ? 1 ? 2 3
x

?

1 ?2 n

?

n ? 1 ? 1 , ? n ? 1, n ? N ? .

?

解析: 考虑函数 f x ? 1 在区间 ?i, i ? 1? ? i ? 1, 2,3, ? ? 如图,显然 1 ? 1 ?1 ? i ?1 1 dx -① ?

, n? 上的定积分.

i

i

i

x

对 i 求和,

?
i ?1

n

n ?1 1 i ?1 1 1 dx ? ?? dx ? ? 1 i x i i ?1 x

n

? ?2 ?? ?2 x ?1

n ?1

?

n ? 1 ?1 .
? 1 7 ? . 2n 10

?

例 53. 已知 n ? N , n ? 4 .求证: 1 ? 1 ? 1 ? n ?1 n ? 2 n ? 3 解析:考虑函数 f ? x ? ? 1 在区间 ? i ? 1 i ? ? i ? 1, 2,3, , ? 1? x ? n n? ? ∵1
n?i

, n? 上的定积分.

1 1 ? ? n 1? i n

? ?in ?1
n

i

1 dx -② 1? x

∴n

1 n 1 1 ? ?? ? i ?1 n ? i i i ?1 n
1? n

? ? ?in ?1
i ?1 n

n

i

1 1 1 1 dx ? ?0 dx ? ? ln ?1 ? x ? ? ? ? 0 1? x 1? x

? ln 2 ?

7 . 10

例 54. (2003 年全国高考江苏卷) 设a ? 0, 如图, 已知直线 l : y ? ax及曲线 C :y ? x 2 ,C 上的点 Q1 的横坐标为 a1( 0 ? a1 ? a ) . 从 C 上的点 Q ? n ? 1? 作直线平行于 x 轴,交直线 l 于点 Pn ?1 ,再从点 Pn ?1 作直线平行于 n 坐标构成数列 ?an ? . (Ⅰ )试求 an ?1 与 an 的关系,并求

y 轴,交曲线 C 于点 Qn?1 . Qn ? n ? 1, 2,

, n ? 的横

?an ?的通项公式;

(Ⅱ )当 a ? 1, a ? 1 时,证明 n 1 ; 1 (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? 2 32 k ?1
n 1 (Ⅲ )当 a ? 1 时,证明 ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . k ?1 3

解析: an

a n?1 ? a( 1 ) 2 (过程略). a
2
4 16

2 ,∵ 1 ,∴ 1 1 . 证明(II) :由 a ? 1 知 an?1 ? an a1 ? a2 ? , a3 ?

∵ 当 k ? 1 时, a

k ?2

? a3 ?

1 , 16

∴ n (a ? a )a ? 1 n (a ? a ) ? 1 (a ? a ) ? 1 . ? k ? k k ?1 k ?2 k ?1 1 n ?1
k ?1

16 k ?1

16

32

证明(Ⅲ ) :由 a ? 1 知 a

k ?1

2. ? ak

2 恰表示阴影部分面积, ∴(ak ? ak ?1 )ak ?2 ? (ak ? ak ?1 )ak ?1

显然 (a ? a )a2 ? a x2dx ④ k k ?1 k ?1 ?a
k k ?1

∴n

? (a
k ?1

k

n a1 n 1 3 1. 2 a 2 ? ak ?1 )ak ? 2 ? ? (ak ? ak ?1 )ak x 2 dx ? ?0 x dx ? a1 ? ?1 ? ? ? a 3 3 k ?1 k ?1
k k ?1

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如: ① 1 ?? i ?1 1 dx ? 2 i ? 1 ? i ; ? ? ?i x i
i ? i? ? i ?1 ? ; ② 1 1 n dx ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? 1 n ? i ? ?i ? n n ? 1 ? x ? ? ? n

③sin ?i ? sin ?i ?1 ? 1 ? sin 2 ?i ?1

?
k k ?1

sin?i

1 1 ? x2
3

sin?i?1

dx ? ?i ? ?i ?1 ;

④(a ? a )a 2 ? a x 2 dx ? 1 a 3 ? a 3 . ? k k ?1 ? k k ?1 k ?1 ?a 十二、部分放缩(尾式放缩) 例 55.求证:
1 1 1 4 ? ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 7

解析:

1 1 1 1 1 1 11 1 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n ?1 ? 1 4 7 3 ? 2 n ?1 ? 1 28 3 ? 2 2 3 ? 2 n ?1
1 11 1 4 47 48 4 ? ? ? ? ? ? 1 84 84 7 28 3 1? 2

例 56. 设 a ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 , a ? 2. 求证: a n ? 2. n a na 2a 3 解析: a ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . n na 2 2 32 n2 2 a 3a 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k

? 1 ,进行部分放缩) ,?

1 1 1 1 ? ? ? , k 2 k (k ? 1) k ? 1 k

于是 a ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? 1 ? 2. n n 2 2 3 n ?1 n 2 2 32 n2
2 例 57. 设 数 列 ?an ? 满 足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证 明 对 所 有

n ? 1,

有 (i)an ? n ? 2 ;

(ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析:

(i) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时
ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。

(ii )























ak ?1 ? 2ak ? 1

















1 1 ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ? ? k ?1 . ak ? 1 2

?
i ?1

n

n 1 1 1 ?? ? ? 1 ? a i i ?1 2 i ?1 4

1 1? ( ) n 2 ? 1. 1 2 1? 2

注:上述证明 (i ) 用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩: ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接 使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证: | sin x |?| x | ( x ? R) . 解析:(i)当 x ? 0 时, | sin x |?| x | (ii)当 0 ? x ? ? 时,构造单位圆,如图所示:
y P A

2

因为三角形 AOB 的面积小于扇形 OAB 的面积 所以可以得到 sin x ? x ?| sin x |?| x | 当 x ? ? 时 | sin x |?| x | 2 所以当 x ? 0 时 sin x ? x 有 | sin x |?| x | (iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,由(ii)可知: | sin x |?| x | 所以综上有 | sin x |?| x | ( x ? R) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强
O T B

x

对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 f ( x) ? A ,只要证明 f ( x) ? A ? B( B ? 0) ,其中 B 通过 寻找分析,归纳完成. 例 59.求证:对一切 n(n ? N *) ,都有
n

?k
k ?1

1 k

? 3.

解析:

1 1 ? ? k k k3

1 k (k ? 1)
2

?

? ? 1 1 1 1 ?? ?? ? ? k ?1 ? k ?1 (k ? 1)k (k ? 1) ? ( k ? 1 ) k k ( k ? 1 ) ? ?

? ? 1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? (k ? 1)k ? k ?1 ? k ?1 2 k ( k ? 1 ) k k ? 1 k ?1 ? ? ? ?

?

1 ? 1 1 ? 2k 1 1 ? ? ? ? ?? 2 k ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1

从而

?k
k ?1

n

1 k

? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1? ? ? ?3 2 1 3 2 4 3 5 k ?1 k ?1 k k ?1

当然本题还可以使用其他方法,如:
1 1 ? ? k k k k ?1 ? 1 1 1 ? 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 ? 1 k ? k ? k ?1 ? k ( k ? 1 ) k ? k ? 1 k k ? 1 k? ? k ? ?

1 ? ? 1 ? 2?? ? ? k? ? k ?1

所以

?k
k ?1

n

1 k

? 1? ?
k ?2

n

1 1 ? 1 ? 2(1 ? ) ? 3. k k k

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其 基本原理为: 欲证明 A ? f ( x) ? B ,只要证明: A ? C ? f ( x) ? B ? C (C ? 0, A ? B) . 例 60.已知数列 {an } 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 1 n ?1 n an 解析:
2

? 1 ? ,从而 an 2 ? an?12 ? 2 ,所以有 2 2 an ? ? ? an ?1 ? a ? ? ? ak ?1 ? 2 n ?1 ? ?
2 2 2 2 2 2 2
2

2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ?1,所以 an ? 2n ?1



? 1 ? ,所以 an 2 ? an?12 ? 3 ,所以有 2 2 an ? ? ? a n?1 ? a ? ? ? a k ?1 ? 3 n ?1 ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(n ?1) ? 1 ? 3n ? 2 所以 an ? 3n ? 2

所以综上有 2n ?1 ? an ? 3n ? 2 (n ? 2). 引申:已知数列 {an } 满足: a ? 1, a ? a ? 1 ,求证: 1 n ?1 n an 解析:由上可知 an ? 2n ?1 ,又 从而
2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 2

?a
k ?1

n

1
k

? 2n ? 1

.

,所以

1 ? an

1 2n ? 1

?

2 2 n ? 1 ? 2n ? 3

? 2n ? 1 ? 2n ? 3

?a
k ?1

n

1
k

? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? 2n ? 1(n ? 2)

n 1 又当 n ? 1 时, 1 ? 1 ,所以综上有 ? 2n ? 1 . ? a1 a k ?1 k

同题引申: (2008 年浙江高考试题)已知数列 ?an ?, an ? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) . 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 1 Tn ? ?
1 ? a1

.求证:当 n ? N ? 时. 1 1 ??? (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an )

(1) an ? an?1 ;

(2) S n ? n ? 2 ;

★(3) Tn ? 3 .

解析:(1) an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 ,猜想 an ? 1 ,下面用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时, a1 ? 1,结论成立; (ii)假设当 n ? k (k ? 1) 时, ak ? 1 ,则 n ? k ? 1(k ? 1) 时, ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 从而 ak ?12 ? ak ?1 ? 2 ? an?1 ? 1 ,所以 0 ? ak ?1 ? 1 所以综上有 0 ? an ? 1 ,故 an?12 ? an 2 ? 0 ? an?1 ? an (2) 因 为 an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 则 a2 2 ? a12 ? 1 ? a2 , a32 ? a2 2 ? 1 ? a3 , … , an?12 ? an 2 ? 1 ? an?1 , 相 加 后 可 以 得 到 :
2 2 2 an?1 ? a1 ? n ? (a2 ? a3 ? ?? an?1 ) ? Sn?1 ? n ? an?1 ,所以

Sn ? n ?1 ? an ? n ? 2 ,所以 S n ? n ? 2
(3)因为 an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 ? 2an ,从而 a ? 1 ? 2an ,有 1 ? an?1 ,所以有 n ?1 an?1 1 ? an?1 2an

2

a a a a 1 ? n?1 ? n ? 3 ? n?n1?1 ,从而 (1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2an 2an?1 2a2 2 a2 a a ?1 ,所以 1 1 ? n?n1?1 ? ? n (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an )(1 ? an?1 ) 2 a2 1 ? a2 2 n?1

an a 1 1 ? ? ? n ,所以 (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 n 21 a2 1 ? a2 2 n?2
Tn ? 1 ? a a a 1 1 1 1 1 2 ? 3 ? 4 ? ? ? nn ? 1? ? ? ? ? ? n?2 ? ?1?1 ? 3 1 ? a2 2 2 2 1 ? a2 2 2 2 2 ?2 2 5 ?1
3an , n ? 1, 2, . 2an ? 1

所以综上有 Tn ? 3 . 例 61.(2008 年陕西省高考试题)已知数列 {an } 的首项
a1 ? 3 ,a n ?1 5

?

(1)证明:对任意的 x ? 0 , a ≥ 1 ? 1 ? 2 ? x ? , n ? 1, 2, ; n ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? (2)证明: a ? a ? 1 2
? an ? n2 . n ?1

解析:(1)依题,容易得到 a ? n

3n 2 2 ? , n ? 1, 2, , ? 1 ? n ,要证 x ? 0 , an ≥ 1 ? 1 2 ? ? ? x? 2 ? 3n 3 1 ? x (1 ? x) ? 3n ?

2 1 即证 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? x ? 1 ? 1? ? 2 ? ? ? ? n 2 3n 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n (1 ? x) 2 ? 1 ? x 3 (1 ? x)
n 即证 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,设 t ? 1 所以即证明 ? (t ) ? ? 2 ? 3n ? t 2 ? 2t ? 2 ? 1 ? 0(0 ? t ? 1) n 1? x 3n 3n 1 ? x 3 (1 ? x) 2 3n

从而 ? (1) ? 0 ,即 ? 2 ? 3 n ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,这是显然成立的. n n
3 3

所以综上有对任意的 x ? 0 , (法二)

an ≥

1 1 ?2 2, ? , n ? 1, ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? ? ? x? ? ? ? 1 ?1 ? x ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ?

?

2 , 2 1 ? 1? 1 ≤ an 1 1 ?1 ? ? ? an ? ? an ? ? (1 ? x) ? ? 2 ?? ? 2 ? an ? 1 ? x 1 ? x (1 ? x) ? an ? ? 1 ? x an (1 ? x)

? 原不等式成立.

(2)由(1)知,对任意的 x
a1 ? a2 ? ? an ≥
?

? 0 ,有
? 1 1 ?2 ? ? ? ? x? 1 ? x (1 ? x) 2 ? 3n ?

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 ? ? ? x?? ? ? ? x?? 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 32 ?
? 2 ?. ? nx ? 3n ?

n 1 ?2 2 ? ? ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3 32

?取

1?2 2 x? ? ? 2 ? n?3 3

?

2? 1? , 1? n ? 2 ? 3? ? 3 ? ? 1 ?1 ? 1 ? ? ? ? ? 3n ? ? 1 ? n ? 3n ? n ?1 ? ? ? 3?


a1 ? a2 ? ? an ≥ n n2 n2 ? ? 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?



? 原不等式成立.
十四、经典题目方法探究 探究 1.(2008 年福建省高考)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x .若 f ( x) 在区间 [0, n](n ? N *) 上的最小值为 bn ,令 an ? ln(1 ? n) ? bn .求 证: a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? 2a ? 1 ? 1 . n a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n 证明:首先:可以得到 an ? nn .先证明 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2

1 2n ? 1
1 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

(方法一) ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)( 2n ? 1) ? 2 2 2 ? ?
? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? 2 4 ( 2n)

所以 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

1 2n ? 1

(方法二)因为 1 ? 1 ? 1 ? 2 , 3 ? 3 ? 1 ? 4 , ? , 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n ,相乘得:
2 2 ?1 3 4 4 ?1 5 2n 2n ? 1 2n ? 1

1 ,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 1 . ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1 ? ?

2

(方法三)设 A= 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ,B=
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n
2

2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ,因为 A<B,所以 A2<AB, 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)

所以 ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? ? 1 ,从而 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 1 . ? 2 ? 4 ? 6 ? ?? 2n ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 下面介绍几种方法证明 a1 ? a1 ? a3 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ? 2a ? 1 ? 1 n a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2 n (方法一)因为 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ,所以
2
1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(方法二) n ? 2 ? n ? 令 n ? 2n ? 1 ,可以得到
1 2n ? 1

2 ,因为 n?2 ? n
? 2n ? 1 ? 2n ? 1

1 ? n?2

2 n?2 ? n

,所以

1 ? n?2 ? n n?2

,所以有

n 1 1? 3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ??? ? ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n k ?1

(







)



an ?

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) 2n ? 1 , a n ?1 ? an 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 2n ? 2





2(n ? 1)an ?1 ? an ?1 ? (2n ? 1)an ? an ?1

,





an ?1 ? [2(n ? 1) ? 1]an ?1 ? (2n ? 1)an ,从而 an ? (2n ? 1)an ? (2n ? 1)an?1
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 ? (2n ? 1)a n?1 ? (2n ? 3)a n?2 ? ? ? 5a 2 ? 3a1 ? (2n ? 1)a n ?
a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 1 ? 1 2
n

3 又 an ? 2

1 , 所 以 2n ? 1

(方法四)运用数学归纳法证明: (i)当 n ? 1 时,左边= 1 ,右边=
3

?
k ?1

1 2k ? 1

? 2n ? 1 ? 1

显然不等式成立;
3 ?1 ? 2 3 ?1 ? 1 3 ?1 2

(ii)假设 n ? k (k ? 1) 时,
1 3 1 5 1 2k ? 1
1 2k ? 3

?
i ?1

k

1 2i ? 1
1 2k ? 3

? 2k ? 1 ? 1

,则 n ? k ? 1 时,
1 2k ? 3
1 2k ? 3 ? 2k ? 1 2

?

???

?

? 2k ? 1 ? 1 ?

,所以要证明 k ?1
i ?1

?

1 2i ? 1

? 2k ? 3 ? 1

,只要

证明
2k ? 1 ? ? 2k ? 3 ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 2k ? 1 ?

,这是成立的.

这就是说当 n ? k ? 1 时,不等式也成立,所以,综上有
a1 a1 ? a3 a ? a ? a ? ? ? a2 n ?1 ? ??? 1 3 5 ? 2an ? 1 ? 1 a2 a2 ? a4 a2 ? a4 ? a6 ? ?? a2 n

探究 2.(2008 年全国二卷)设函数 f ( x) ? sin x .如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求
2 ? cos x

a 的取值范围.

解析:因为 f ( x) ? sin x ,所以 cos x(2 ? cos x) ? sin 2 x 1 ? 2 cos x f ' ( x) ? ?
2 ? cos x
(cosx ? 2) 2

(cosx ? 2) 2

设 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

g ' ( x) ? f ' ( x) ? a ?

, g (0) ? 0 1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3 ?a? ?a? ? ?a (cos x ? 2) 2 (cos x ? 2) 2 cos x ? 2 (cos x ? 2) 2

因为 | cos x |? 1 ,所以 (i)当

2 3 ? 1? ? ? ? 1, ? cos x ? 2 (cosx ? 2) 2 ? ? 3?

a?

1 时, g ' ( x) ? 0 恒成立,即 g ( x) ? g (0) ? 0 ,所以当 1 时, a? 3 3

f ( x) ≤ ax 恒成立.

(ii)当 a ? 0 时, f ( ? ) ? 1 ? 0 ? a ? ( ? ) ,因此当 a ? 0 时,不符合题意.
2 2 2

(iii)当

0?a?

1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a 故当 x ? 0, ? arccos3a? 时, h?( x) ? 0 . 3

因此 h( x) 在 ?0, arccos3 a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , arccos3a ? 上单调增加.故当 x ? (0, 即 sin x ? 3ax .于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, 所以综上有 a 的取值范围是 ? 1 变式:若 0 ? 且0 ? a ?
? ? 3 ,?? ? ? ?

f ( x) ?

sin x sin x ? ? ax 2 ? cos x 3

xi ? arccos3a ,其中 i ? 1,2,3,?, n

1 , x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ? arccos3a ,求证: 3 x x x x 3a tan 1 ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a . 2 2 2 2 2 x sin xi sin xi 证明:容易得到 tan i ? ? 2 cos xi ? 1 2
由上面那个题目知道 sin xi 就可以知道 tan

? 3axi

x x x1 x 3a ? tan 2 ? tan 3 ? ? ? tan n ? arccos3a 2 2 2 2 2

★同型衍变:(2006 年全国一卷)已知函数 f ( x ) ? 1 ? x e ? ax .若对任意 x∈ (0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a 的取值范围. 1? x
ax2 ? 2 ? a ?ax . 解析:函数 f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 ? f ( x) ? e 2 (1 ? x)

(ⅰ ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意 x∈ (0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时 a 满足要求. (ⅱ ) 当 a>2 时, f (x) 在区间 (a?2, a

a ? 2 )为减函数, 故在区间(0, a

a?2) a

内任取一点, 比如取 x ? 1 0

2

(0, 1) a ? 2 , 就有 x0∈ a

且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时 a 不满足要求. (ⅲ ) 当 a≤0 时, 对于任意 x∈ (0, 1) 恒有

f ( x) ?

1 ? x ? ax ≥ 1 ? x e ? 1 , 这时 a 满足要求. 1? x 1? x

综上可知, 所求 a 的取值范围为 a≤2.


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