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2008年全国高中数学联赛一试试题及参考答案


中学 生数 学

·



月上

·



期 高中

年 全 国 商 中数 学 联赛 一 试试 题 及 参 考 答案
一 选 择肠 本 魔 满 分
函数
一 一


分 每

小 魔
,


,

停止 的 概 率 为 专




,

,

,





,



,

,






‘ ’ ‘



在 一



,



,



·












若 该 轮结 束 时 比 赛 还 将 继 续 则 甲 乙 在
, ,

,



的 最 小值 是

该轮 中必 是 各 得 一 分 此 时 该 轮 比 赛 结 果 对
下 轮 比 赛是 否 停 止 没 有 影 响 从 而 有 时
,


因此



一 一 一

,

尸 。 一
, 、



!
一二




辱,



,

一 。





粤 孚一 契
廿
,

,

尸吸 七

下了 沙











,

。 八






一 ‘ “‘






,




,

当且 仅 当 乏 诬 一 “一 兰 此方程 有解

,

时上 式取等号 而
,

·

选 解 法二
,



,

因此 了
扩一




依 题 意 知 斤的 所 有 可 能 值 为
局 比 赛 中获 胜 则 入
,

上 的 最 小 值为


,


,


,

一 〔

,





,

则 实数
,

的取 值 范 围 为

,





表示 甲 在 第



表示 乙 在第

局 比赛 中获胜

由独 立 性 与 互 不 相 容性得

, ,





,




因扩一



有 两 个实 根


百一



了 厂万


一万



,



万一


可 厂下舀




,

了万
,







等价 于

,




,

,

,。 一 答


不 八可




且 鲁十






,



,



,



,

砰可

,



































,


解之 得 簇 者得
方多 分 负者 得 分 或 打满
,






甲 乙 两 人 进 行 乒 乓球 比 赛 约 定 每 局 胜

雌 度 考 本 咭

分 比赛 进 行 到 有 一 人 比对
局 时 停 止 设 甲在 每 局 中 获

,























令 普






,


胜 的概 率 为



,

乙 在 每 局 中获 胜 的 概 率 为
,



,

,





且 各 局 胜 负相互 独 立 则 比 赛 停 止 时 已 打 局 数 泞的 期 望 右为
‘ ,



,





若三 个 棱 长 均 为 整 数 单 位
4 体 的 表 面积 之 和 为 56 . ) 的 体积 之 和 为 (
,









共十






共 一 书子






,

一 一月 乙一 ,一 卜 一 ‘ 曰 一 尸 任

‘ 少 、



,


,

的 正方 cm Z 则 这 三 个 正 方 体

解 法一
,

依 题 意 知 泞的 所 有 可 能 值 为
,



c 3 或 5 86 m (C ) 5 8 6 em 3 或 56 4 c m 3 (A ) 764
。 m 3

(B ) 764 Cm 3 (D ) 5 8 6
。 m
,
, b ,

设 每 两 局 比赛 为 一 轮 则 该 轮 结 束 时 比 赛



a 设 这 三 个 正 方 体 的棱 长 分 别 为

网址

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电子 邮 箱

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中学 生 数 学
‘,

· 2 0 0 9

年 1 月上

·

1 第 36 期( 高 中)
, a Z + , 2 b +

aZ Z 。2 ) = 5 则有 6 ( + b + 不 妨设 1镇 a 毛 b 毛 。 <
c,
a ,
,

6 4

。2

,

=

9 4

1 0
,

b = 9 4 3 1 + + > 从而 3 ) . 6 镇 c< 10 。 只 能 取 9 故 2 。 aZ Z a 若 = 9 则 + b = 94 一 9 = 1 3 易知 = a 2 得 一组 解 ( 。 aZ Z 若 = 8 则 + b = 94 一 6 4 = 3 0 但 . 2 30 aZ = 2b ) 从 而 b = 4 或 5 若 b一 5 则 . . 5 无解 若 b 一 4 则 a 一 1 无 解 此 时 无 解 2 4 : a, + b , 一 94 一 4 9 = 4 5 若 = 7 则 有唯一 a= 3 解 : aZ , 2 若 = 6 则 + b = 9 4 一 3 6 = 5 8 此 时 2b . a Z+ bZ = 58 , 2 9 。 ) ) 故 b) 6 但 b镇 = 6 故 b . = 6 此 时 aZ = 58 一 3 6 = 2 2 无 解 za . C b 一3 综· ·· | 或 一6

。,

。2
.

.

二 万
}
L 夕 z -=
二 “



一l
,

,

1

.

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,

,

8

7

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,

,

,

,

,

,

:

,

,

.

b

=

3

b

)

=

(

2

3

9

)

,

,

.

b ,

(

5

,

,

b

)

4

. 选(B ) . a 6 设 乙A B C 的 内 角 A 所 对 的边 sln A eo tC + eo sA 。 成 等 比 数 列 则 s n eo t 的 取 值范 围 iB C + eo sB . ) 是(
,

0

数 学

,

,

,

B

C

b

,

,

,

,

,

(A ) (0
,

, + o c )

‘ ) (。 B


,

,

.

, ,



,

b

=

6

,

,

气七 ,

气- -

1 万 一 1 万+ 一 ,
二万-



-

,

-

一 二丁-



,

,

,

b

则 解
b = 5 i s i n B n A


a e o t

a
g

, b

,

:

的公 比为 q
, s A s n

D( () 粤 导
, +
, e o s i A C

)

竞 赛 . .
吧 ,

呜卜



一)

,

,

. . 3 3 + 6 3 + 7 3 = 586 em 3 选 ( A ) fx + 夕 + z = 0
, . 5

; , 体积 为 V = 2

=2 …{ !
, , = 3

, c

Z 一a g 而
e o





,

C

+ e o

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t

l

,

C

+

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十 eo sA sin C sin B eo sC 十 eo s B sin C

sin ( A + C ) 一 。i n
( B
,

,

3

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3

+

9

=

7 6 4

c

3 m

,

Z 或 V =

+

c )

的有理 数 xy + y‘+ x ‘+ y 一 o l 解 (x 的个 数 为 ( (A )l (B )2 (C )3 ( D )4 .x + y ~ 0 J I z 解 若 一0 则
,
,

x 之 方程 组之y +

z

一O

,

y

) z

. 因 此 只 需求 q 的 取 值 范 围 ‘ a 因a 成 等 比 数列 最 大 边 只 能 是 或 。 a 。 因此 要 构 成 三角 形 的 三 边 必 需 且 只 a + b> 。 且 b + 。> a . 即 不 需 有 等 式组 a + ag > ag, 92一 , 一 l < 0 即 .
, , , b , , , , b , , a g a Z + g a , >

sin (兀 一 B ) si B n b . 一 蔽n (二 一 A ) 一 云 百 一 万一q



、刃 少、 . ,‘ . 声 、

,

,

! l

x

y

+

y

一0 .

解得
{
, . ~

解 得 {x 一 若 z尹O
,

x - 一1, . y 一1

. z z 则 由 x y + 一o 得 xy ~ 一 1 z 由 x + y+ 一 O 得 z - 一X 一 y z z 将? 代人 xy + y + x + y 一。
,

万一 1 力入 川J 一 万

一?

毕 粤 户 导 +杯 粤 l




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9

2

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g

一 l> 0
,

·

q

‘、 、

万 一气犷一


因此 所 求 的 取 值

, 二 二 万一 1 范 围 是 ( 竺清二 曰
,

,

~



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,

~

2

. 得 扩 + 犷+ x y 一y 一 0

?

由? 得 x ~
) 代 入 ? 化简得 ( y 一 1 ) ( 犷 一 y 一 l 一 。 y 一 l ~ o 无有 理 数 根 故 y 一 1 易 知 犷一 由 ? 得 x ~ 一 1 由? 得 z 一 。 与 z并 。 矛 盾 故 x 一O
, , , ,

二 坟 空 题 《 题 满 分 54 分 每 小 题 9 分 ) 本 . 7 设 f ( x ) “ “x + b 其 中 a 为 实数 石 x ) 人 + , ( x ) = f ( 人 ( x )) (x ) = f ( … 若 二 (x ) 一 1 2 8 x 十 3 8 1 则 a 十 b ~





,



+ 1 , 兰二 石分二 ) . 选 (C ) . 一
,

, 、 、



.





2

~

,

,

,

,

b

峨 了 度 沙

,

,

n

,

,

,

=

1

2

3

,

,

由 题意 知 (x )= a 二





x

a (



一 ‘

a +



一2 +

+

… + a + 1 )b

,

,

该方 程 组 共 有 两 组 有 理 数 解 {

y

一O

,



a 7一 l
a 一1

一 l . 口 丁 —1 , 由 二 (x )一 1 2 8 x + 3 8 1 得 a ~ a
. ’


.a
a






X





,

=

1 2 8

· b = 3 8 1

,

因此 a = 2

, b = 3

,

. a + b = 5



网址

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门 .
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中学生 数学 . 8 设 f (x ) = eo sZx 一 Z a ( 1 + eo sx ) 的 最 小


· 2 0 9

年 l 月上

·

1 第 36 期 (高中)
” “

值为 一


吝则


,



-

o sZ a a eo sx f (x )= Ze x 一 l 一 Z 一 Z
,
, 、 a

C 一 乙气 O


S工

. ” 1 有两 个学校 的名额数相 同 的分配 方法 有 3 种 3 综 上 知 满 足 条 件 的分 配 方 法 共 有 2 5 一
,

又 在 每校 至 少 有 一 个 名 额的分 法 中 至 少

31 = 22 2 种

.

,

一 二丁

, ( f

)

-

l

一 二二 a


-

一乙



1
入=

0 1
n

.

设数 列 吃


a

。 }

的前 n 项 和 S
,
2 ,

,

: 满足 S
, -

, +

(1 )

“ “

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,

,

一1

(2 )

一2

~ 时 当
\
一 J



) x

a 取最小 值 1一 4 ;
, ( f ) x

一l


~
,
’ -

一1



取最 小值 1 ;
, x


蔽丽万下
解 a
n 。 + ;

一 1

,

… 则通项 a
一 S
, = n ( +

。_ = S

,

n n l ) ( + 2 )

(3 )






一 2 蕊 簇 2 时 当 co x 二 s 时 一 气 答 一 一

~
~



2

一 刁

f
J

(

)






取 最小
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~

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~

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,

“: 一 “

一2。 一 1

.

口,

+

l

一l .1 一 尸7 甲 下下又 甲广 “ 、n 夕
n





>

一 a< 一 2 2 或 时

-

。。
, f ( x )



的 最 小 值不 能
,
1

肚 p

乙召 ,

+

l =

2 一 2 1 + . 丁一万下 叹 丁一一 下下 又 一 一下 一下 t 气 刀 寸~ 1 少火 刀 州 ‘ 少 卜 刀 冲 n
中 1

为一

矿 要故 一 喜 一 2
’ -

一1


2

~

2

一粤


.

2

一丁一 下 一 了 万 刀L刀 l)

a 一2一 解 得 - 一 2 十万 万 (舍 去 ) . 9 将 2 个 志 愿者 名额 分 配 给 3 个学 校 则 4
, a ,

.



十“ 一 丁
,

~一





气刀 叶

下 戈: 尸 一下一 下戈 . 1 ) 火刀 十 乙 )

一2

十a

+
,

一黑 ) 一 1
刀 气刀



由此 得
2 (·
:十1

每 校 至 少 有 一 个 名 额 且 各 校 名 额 互 不 相 同的 . 分 配 方 法 共有 种 解 法 一 用 4 条棍 子 间 的 空 隙代 表 3 个 学 . , 校 而 用 表示 名 额 如
,






,

,

,

二 }

,



,

* 】 卜

. . 丽 希 而 一 渝粉 而 万 一七 认 ( 音一 一
+



) +

,


) 01

名额
,

表 示 第 一 二 三 个 学 校 分 别有 4 .



, 8 1

, 2



十, 有 b


,

故 b
1

,



若把每个



,



与每个
“ }

“ i



都 视为一 个位

所以 a
. n

。 2

l .



n (

n + l )

置 由于 左 右两 端 必 须是

法 相 当于 2 十 2 一 2 4 6

故 不 同 的分 配 方 置 ( 两 端 不 在 内 )被 2 个位
” .



,

一 2008

) 设 f (x )是 定 义 在 R 上 的 函 数 若 f (0 x 任 R 满足 f x + 2 一 f x 且 对 任意 ) ( ( )
, , , ,
x 2



“ !



占领 的 一 种 占位 法
,
,



镇3


·

f

(

x

+

) 6

一 f (x ) )

63

· 2



,





每校 至 少 有 一 个 名 额 的 分 法 相 当 于 在
之 间的 2 个 空 隙 中 选 出 2 个 空 隙 插 3 . 3一 2 5 3 故有 嵘 种
” “

f (20 08 )=
由 题 设 条件 知 x + 2 ) 一 f (x ) = 一 (f (x 十 4 一 f (x + 2 ) f( )
一 (f x + 6 一 f x 十 4 ” + (f x 十 6 一 f x ” ) ( ( ) ( (

4 2 个

“ }



解法 一



又 在 每 校 至 少 有 一 个 名额 的 分法 中 至 少





雌 凉 崖 本



1 有 两 个学 校 的名 额 数 相 同 的 分 配 方 法 有 3 种 3 综上 知 满 足 条 件 的分 配 方 法 共 有 25 . 一 31 一 222 种
,




.

) 一3

· 2

, +

,

一3

· Z

x

+

‘ +

·

6 3
·

,
2

一3
,

· 2



,

因 此 有 f (x + 2 一 f (x ) 一 3 )

x 2



f (2008 )一 f
= 3
· ( 2 2

( 2 0 0 8 ) 一 f ( 2 0 0 6 ) + f (2 0 0 6 )

设 分 配 给 3 个 学 校 的 名 额 数分 别 则 每 校 至 少 有 一 个 名 额 的分 法 数 x :十 x : + x : 一 2 的 正 整 数 解 的 个 为 不定 方程 4 : : 即 方 程 x + x : 十 x 一 2 的非 负 整 数 解 的 个 1 数

解 法二
, x : , x

, 为x

一 f (2 0 0 4 ) + … + f (2 ) 一 f ( 0 ) + f ( 0 )
‘ ”6

3

,

+

2

, 2 ‘0 ‘

+
,

_
一J
,

. 1 1 + 4 03 一1
; - -

2 … + 2 + l ) + f (o )
· 、

, 一,“、

-

,



—1





,

-

r 十 - 气U

,

一f

”一

十 乙U
,


U I

.



1 数 它 等 于 3 个 不 同 元 素 中取 2 个 元 素 的 可 重 : 组合 . 3 H 若 魏一 嵘 ~ 2 53
,

解 法 二 令 g (x 一 f x 一 2 则 ) ( ) g (x + 2) 一 g (x )= f x + 2 ) 一 f x ) 一 2 + 2+ Zx ( (




~

C

( 3

.

2‘ 一3

· 2

‘ =

,

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中学 生数 学

· 2 0 0 9

年 1 月上

·

1 第 36 期 (高中)
尸M
‘ + 6 + Z x

g ( x + 6 ) 一 g (x ) = f ( x + 6 ) 一 f (x ) 一 2
0 ) 3 6 2

1 一 尸尸


‘ 1s Oe ‘ 户 t,J d月 月 尹

二 \ l 如 卜 扩 伫 入 尸 、

,

一 63

· 2



一O
, g (

,

eos 尸P M 一
, )


V ‘ r .



万~ 下万


/ 工 l 刁 一 \ 夕 呀 图

J

即 g (x + 2) 镇 g ( x ) 妻 g (x ) 故 g (x )镇 g (x + 6 ) 簇 g (x + 4 ) 成 g (x + 2 )
x + 6





,

数 学
B

故小 三 角形 的边 长
I 尸 E 一 尸A 一 2 尸M

蕊不 x )

,

A

得 g (x )是 周期 为 2 的周 期 函 数 所 以
,

一a 一 2

。0 8 f (2 00 8 ) = g (2 00 8 )+ 2 ,

. 而r

竞 赛 . .
呜匕
,

一g (0 )+ 2 12

2008

. 008 = 22 + 200 7

为 4 涯 的 正 四 面 体 容 器 内 可 向 各 个 方 向 自由
运 动 则该 小 球 永 远 不 可 能 接 触 到 的 容 器 内壁
,



个 半 径 为 1 的 小球 在 一 个 内壁棱 长

小 球 与 面 尸A B 不 能 接 触 到 的 部 分 的 面 积 (如 图 2 中 阴 影 部 分 ) 为

S 夕



s
, a

1 梦 即一

的 面 积是 解
,

又 r一 1

月 汤一
~ 4

( ( 2 穿一 一 、 .
6
,



·

)

2

)



2

如图 1 考
,



所以

S 夕 A 。 一 S 留 :二 一 2 4
,

虑小 球 挤 在 一 个 角

时的 情 况 记 小 球 半 径 为 r 作 平 面 A IB 日 // 平 面 A B C
, ,


由对称 性 且 正 四 面 体 共 4 个 面 所 以 小球
,

涯 一 6 涯一 1 8 在

不 能 接触 到 的 容 器 内 壁 的 面 积 共 为 7 2




与小球 相 切 于 点 则小球 球心 O 为正
D

,

三 解 答 题 ( 本 题 满 分 60 分 每 小 题 2 分 ) 0 . n 3 1 已 知 函 数 f x 一 l i x 的 图 像 与 直线 ( ) s l
,

y 一 k x ( > 0 有且 仅 有 三 个 交 点 交 点 的 横 坐 k )
,

四 面体 P 一 A

, B

, C

l

标 的 最 大 值 为 a 求证
,

l

‘ 5 n i a + s i n 3 a

的 中 心
A
, B

, P O

土 面
二 B G

图 1

十a 4Q

Z

卫 l C

,

垂足 D 为 A

因V



, ·1 ·】



、 告
’ o V

:

的 中心

.

证明

k ) ( ) f x 的 图 像 与 直线 y 一 k x ( > 0
, ,

·.

。 的 三 个 交点 女 图 3 所 示 且 在 ( 二




, D

一4 一


一, 1 o l c l

其切 点 为 A (
~ ~
c ,




n i
·

,

)

·

。 (!

,

) 相切 譬内 ) 瓷
·

,



1


,



。 “ .” ,

口口

,

故 P D = 4O D = 4 r

从而 P O = p D 一O D = 4 r一 r一 3r

·

记 此 时小 球 与 面 P A B 的切 点 为 尸 (〕 l 则 尸
,

,

,

连接

尸P

:

一 尸口 一 O P

r 2 :, 一 了 了(3 ) 一 一 2
,



. r
由 于 厂(二 ) 所 以 一 。0
因此
5。

考 虑 小 球 与 正 四 面 体 的 一 个 面 (不 妨 取 为 尸A B ) 相 切 时 的 情 况 易 知 小 球 在 面 P A B 上 最 靠近边 的 切 点 的轨 迹 仍 为 正 三 角 形 记 为 . I , 尸 E F 如图 2 记 正 四面体 的棱长 为 “ 过 尸
, , ,

-

CO S二

,

二。

(!

,

!) 普
,

雌 , 度 沙





, M

上 尸A 于 M

.

, 因艺M p p 一 要
, O

sas3eZZn n n ZnsZ s ia i+iaoaas io s+ea ls saZ +iea 4nnalsas ie 4no to a lta 4Z +aa a a 4n
COS口
CO Sa



圣 竺 即 里

,



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中学生 数学

· 2 0 0 9

年 1 月上

·

1 第 36 期( 高中 )
,

4 1

.

解 不 等式
3 x
,o + 5 x 8 + 3 x 6 + 1 ) ( l + l

, l (x‘ + 吸

,

2

)

2 ‘ 0 2 ‘ 解 法 一 由 l + 1 9 (x + l ) = 1 0 9 ( Z x + o Z 且 f g y 在 (0 上 为增 函 数 故 原 不 等
, , + o c )

了 吸( +

l)

.
. 1 5

故原 不 等式解集为 (一
如图 4
x 2
, P

是抛 物 线
,
,

厚厚

)
·

犷一
B
, C

式等 价 于
x ‘2
+ 3 x , o + 5 x 8 + 3 x 6 + l < 2 x 4

十2

.
.

上 的动 点 点 在 y 轴 上 圆 (x 一
夕2 =
,

l ),

+

l



, x‘

内切于
面积

+

3 x

, o

+
x

吕 s x +
‘ 。

6 3 x

‘ 一 Zx 一 l( 0

△P B C

l 分组 分 解 x

’ +

一x s
+ 2 x 8

+ Zx

,o

一 2x

6

求 . 的最 小 值

, b ) ,

△尸B C

‘ 8 6 + 4x + 4x 一 4x

。 设 P (x
,

,

夕。

,

)

B (0
,

C

(

0



,

)

+

扩 + x 一x Z ’

不妨
图 4

. 设 b> c
,

+ 了 + 犷 一 1< O
( x s + 2 x 6 + 4 x

‘ +

x

Z +
,

l

) (

x

‘ +

x

Z

一 l)< 0

直线

尸B

的方 程

:
y 。一 b


y 一 b-

所以
气X -

了 + 扩 一1> 0
、 ,

一1一 万 一 - -下 丁- - - 少 气X


,

一1+

-



一 一- 下丁- - 乙



、 _





) <

U

。 。 b 一 0 . 化 简 得 ( y 一 b )x 一 x 又 圆 心 (1 到 P B 的 距离 为 1
y + x
, , ) 0

所以 扩 <
,。 一

一 1+

2



户弈~ 户弈
, ,

.

~ 冰不二丽拜 砚 一
}

少。 一 b

。 + x b

1 _ } ‘ ’

2 。 2 一 故 (夕 一 b ) + x 若 ( 少 一 b ) + Z x b
。 。

(

。 少 一b )

故 原 不 等式 解集 为 ( 一

: ‘ 0 : ‘ 0 解 法 二 由 1+ 1 9 (x + 1 ) = 1 9 ( Z x + 2 ) o 且 f g Zy 在 (。 十 c ) 上 为增 函 数 故 原 不 等 o . ,o 吕 “ ‘ , 2 式等 价 于 x 斗 3x + s x + 3 x + l < Z x + 2
,

厚厚
,

)
·

+ x盖 护

,

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