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江西省南昌市2014届高三数学第一次模拟测试试题(南昌市一模)理


江西省南昌市 2014 届高三数学第一次模拟测试试题(南昌市一模)理(扫描版)新 人教 A 版

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2013—2014 学年度南昌市高三第一次模拟测试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分. 题

号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 B 10 A

二、选做题:本题共 5 分. 11. (1) B; 11. (2) A

三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 12. 2 ; 13. 2 ; 14. 5 ; 15. C n ? k
m

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (1)∵ a 与 b 共线,∴ 则 y ? f ( x) ? 2sin( x ? 当 x ? 2k? ?

?

?

?
3

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 ……………………2 分 2 2 2

) ,∴ f ( x) 的周期 T ? 2? ,………………………………4 分

?
6

, k ? Z 时, f max ( x) ? 2 ………………………………………………6 分

3 ? ……………7 分 ? ) ? 3 ,∴ sin A ? 2 3 3 3 ? ? a b c ∵ 0 ? A ? ,∴ A ? .由正弦定理,得 得, ? ? 3 2 sin A sin B sin C 13 3 b ? c 3 b?c ? ? ,∴ b ? c ? 13 ………………9 分 sin B ? sin C ? sin A ,即 14 7 2 a 2 2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 a ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc cos A , 即 49 ? 169 ? 3bc ,∴ bc ? 40 ………………………………………………………11 分 1 1 3 ? 10 3 …………………………………………12 分 ∴ S?ABC ? bc sin A ? ? 40 ? 2 2 2
(2)∵ f ( A ?

?

) ? 3 ,∴ 2sin( A ?

?

17.解:(1)设抽查的人数为 n ,前三小组的频率分别 为 p1 、 p 2 、 p 3 ,则

? p 2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 ? p ? p ? p ? (0.0375 ? 0.0125 ) ? 5 ? 1 2 3 ? 1 ? p1 ? 0.125 ? 解得 ? p 2 ? 0.25 …………………………………………………………………………4 分 ? p ? 0.375 ? 3
因为 p 2 ? 0.25 ?

12 ,所以 n ? 48 ……………………………………………………6 分 n

5

(2)由(1)可得,一个男生体重超过 55 公斤的概率为

p ? p3 ? (0.0375 ? 0.0125 ) ? 5 ?
所以 X ~ (3 ,

5 ,…………………………………………………8 分 8

5 ) 8

k 所以 p( X ? k ) ? C3 ( ) k ( ) 3?k , k ? 0 ,1,2,3 …………………………………10 分

5 8

3 8

随机变量 X 的分布列为(可不写) :

X
p
则 EX ? 0 ?

0

1

2

3

27 512

135 512

225 512

125 512

27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 512 512 512 512 8 5 15 (或: EX ? 3 ? ? ) ………………………………………………………………12 分 8 8 a (a ? 1) a (a ? 1) 18.解: (1) Sn ? n n , n ? N ? ,当 n ? 1 时, S1 ? 1 1 ,? a1 ? 1 ……1 分 2 2 2 ? ?2 S n ? an ? an 2 2 ? 2an ? 2( S n ? S n ?1 ) ? an ? an ? ?1 ? an ? an ?1 …………………3 分 2 ? ?2 S n ?1 ? an ?1 ? an ?1
所以 (an ? an?1 )(an ? an ?1 ? 1) ? 0,? an ? an ?1 ? 0 ……………………………………5 分

? an ? an?1 ? 1, n ? 2 ,所以数列 {an } 是等差数列
∴ an ? n ……………………………………………………………………………………6 分

2Sn n n(n ? 1) ,∴ bn ? …………………………7 分 ? n (?2) (n ? 1) (?2) n 2 1 2 n ?1 n ………………………………………………8 分 ?Tn ? ? ?? ? ? 2 n ?1 ?2 (?2) (?2) (?2) n 2 n ?1 n ………………………………………………9 分 ?2Tn ? 1 ? ?? ? ? n?2 ?2 (?2) (?2) n ?1 1 1 1 ? (? ) n 2 ? (? ) n ?1 1 1 n n n 2 ? 2 ∴ ?3Tn ? 1 ? ??? ? ? ? ? n ?1 n n 1 ?2 (?2) (?2) 3 (?2) n 1 ? (? ) (?2) 2 1 2 ? (? ) n ?1 n 3n ? 2 2 2 ∴ Tn ? ? ? ? …………………………………………12 分 n 3(?2) 9 9(?2) n 9
(2)由(1) Sn ?

6

19. 解: (1)设 M 为 BC 中点,连 PM,DM 依题意, ED // ∵P、M 分别为 AB、BC 的中点,∴ PM //

1 AC 2

1 AC 2

∴ ED //PM ,…………………………3 分 ∴四边形 PMDE 为平行四边形,∴ EP // DM 又 DM ? 平面 DBC, PE ? 平面 DBC, ∴ PE // 平面 DBC…………………………5 分 (2)以点 O 为原点,直线 OA、OB、OD 所在直线分别为 x、y、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设 | AE |? 2 ,则 A(2,0,0) 、 B(0, 2,0)

C (?2, 0, 0) 、 D(0,0, 2) 、 E (2,0, 2) 、 P(1,1, 0) ………………………………………6 分 ??? ? ??? ? ??? ? 所以 DA ? (2, 0, ?2) 、 BC ? (?2, ?2, 0) 、 DB ? (0, 2, ?2) …………………………7 分 ? 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ? ??? ? ? ?x ? y ? 0 ? n ? BC ? 0 则由 ? ? ??? ,得 ? ,…………9 分 ? ?y ? z ? 0 ? ?n ? DB ? 0
令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1,∴ n ? (1, ?1, ?1)
?

??? ? ? ??? ? ? DA ? n 6 ? ? ? cos? DA, n? ? ??? , 3 ? DA ? ? ? n ?

∴直线 DA 与平面 DBC 所成角的正弦值为

20. 解: (1)椭圆 C 的右焦点为 (1, 0) ,∴ c ? 1 ,椭圆 C 的左焦点为 (?1,0) 可得 2a ?
2 2

6 .……………………………………12 分 3

3 3 5 3 (1 ? 1) 2 ? (? ) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (? ) 2 ? ? ? 4 ,解得 a ? 2 , 2 2 2 2
2

∴ b ? a ? c ? 4 ? 1 ? 3 ∴椭圆 C 的标准方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ……………………4 分 4 3
2

2b 2 (2)①当直线斜率不存在时, | AB | ? (2b) ? 4b , | MN |? , a | AB |2 4b 2 ? ? 2a ? 4 .…………………………………………………… 6 分 所以 W ? | MN | 2b 2 a ②当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .
? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

x1 ? x2 ?

4k 2 ? 12 8k 2 x x ? , , …………………………………………………8 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) ) ? 4( )] ? .…10 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

| MN | = 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] = (1 ? k 2 )[(

? x2 y 2 12 ?1 ? ? 由? 4 消去 y,并整理得: x 2 ? ,……………………………………11 分 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?
设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,则
7

48(1 ? k 2 ) | AB | 3(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 ? 4 ,所以 | AB | = 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 W ? ? 3 ? 4k 2 | MN | 12(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 综上所述, W 为定值 4 . ……………………………………………………………… 13 分 21. 解:(1)∵ f (1) ? 1 ,∴ a ? 1 , 此时 f ( x) ? x ? bx ln x , f ?( x) ? 1 ? b(1 ? ln x) 依题意 f ?(e) ? 1 ? b(1 ? ln e) ? 3 ,所以 b ? ?1 …………………………………………3 分 (2)由(1)知: f ( x) ? x+x ln x x ? 2 ? ln x f ( x) x ? x ln x 当 x ? 1 时,设 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? ? ( x ? 1) 2 x ?1 x ?1 1 设 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ? ? 0 , h( x ) 在 (1, ??) 上是增函数 x 因为 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以,存在 x0 ? (3, 4) ,使 h( x0 ) ? 0 ………………………………………………7 分, x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (1, x0 ) 上为减函数;
2

同理 g ( x) 在 ( x0 , ??) 上为增函数 ,从而 g ( x) 的最小值为 g ( x 0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1

所以 k ? x0 ? (3 , 4) , k 的最大值为 3 ………………………………………………10 分.

f ( x) ? 3, x ?1 所以 f ( x) ? 3x ? 3 ,即 x ? x ln x ? 3x ? 3 , x ln x ? 2 x ? 3 所以 2ln 2 ? 3ln 3 ? ? ? n ln n ? (2 ? 2 ? 3) ? (2 ? 3 ? 3) ? ? ? (2n ? 3) (n ? 1) ? 2(2 ? 3 ? ? ? n) ? 3(n ? 1) ? 2 ? (2 ? n) ? 3n ? 3 ? n2 ? 2n ? 1 2 ? (n ? 1)2 ……………………………………………………………………………………14 分
(3)由(2)知,当 x ? 1 时,

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