nbhkdz.com冰点文库

[名校联盟]江苏省扬州市第一中学高一数学《直线与圆》练习

时间:2013-01-15


直线与圆
一、填空题: 1 圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www

.xjktyg.com/wxc/

. . .

2 由点 M(5,3)向圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 所引切线长等于
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

3 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,与直线 4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标为
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

4.已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|、|b|、 |c|的三角形是 三角形.

5.M( x0 , y0 ) 为圆 x2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a2 与该圆的位置关系 为 .

6.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单 位,所得直线与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则 实数 ? 的值为 . .
[来

7.已知定点 A(1,1),B(3,3),点 P 在 x 轴上,且 ?APB 取得最大值,则 P 点坐标为
源:学+科+网 Z+X+X+K]

8.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= ___
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

9.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2



10.已知 A(-4,0) ,B(2,0),AB 为直径的圆与 y 轴的负半轴交于 C,则过 C 点的圆的切线 方程为
2 2



11.求圆 C1: x ? y ? 1 与圆 C2: x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公共弦所在直线被圆 C3: ( x ? 1)2

?( y ? 1)2 ?

25 所截得的弦长 4
2 2


2

12.已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x +y = m ,当圆 C 与线段 AB 没有公共点时,求 m .. 的取值范围 . 13.若直线 y=x+m 与曲线 1-y2=x 有两个不同的交点, 则实数 m 的取值范围为________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 O 在曲线 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上, 那么 | PQ | 的 ? 2 y ?1 ? 0 ? 最小值为 二、解答题 15.直线经过点 P (?3, ? ) 被圆 x2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程. .

3 2

16.已知圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 .

(1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.
[来源:Zxxk.Com]

17.已知点 P ( x, y ) 在圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上运动. (1)求

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2x ? y 的最大值与最小值. x?2

18.已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的 圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

19 . 自 点 ( - 3 , 3) 发 出 的 光 线 L 射 到 x 轴 上 , 被 x 轴 反 射 , 其 反 射 线 所 在 直 线 与 圆

x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直线方程.

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 20.已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足 AP ? BP ,PQ ? PA ? PB ,
求点 Q 的轨迹方程
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

直线与圆

一、填空题 1.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为 x- 3 y+2=0. 解法一:x2+y2-4x=0, y=kx-k+ 3 ? x2-4x+(kx-k+ 3 )2=0 该二次方程应有两相等实根,即Δ =0,解得 k=
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 3 ∴y- 3 = (x-1) ,即 x- 3 y+2=0 3 3
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

4.已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形 (是直角三角形) | a?0 ? b?0 ? c | 2 2 2 解:由题意得 =1,即 c =a +b ,∴由|a|,|b|,|c|构成的三角形为直角三角形. 2 2 a ?b 5.M( x0 , y0 ) 为圆 x2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a2 与该圆的位置关系 为( 相离) . 解:由 M 在圆内知 x0 2 ? y0 2 ? a 2 ,圆心 0 到直线的距离 d ?

a2
2 2 x0 ? y0

? a ? r ,故相离.

6.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则 实数 ? 的值为-3 或 7. 解:由题意可知:直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位后的直线 l 为:

2( x ? 1) ? y ? ? ? 0 .已知圆的圆心为 O(?1,2) ,半径为 5 .直线与圆相切,则圆心到直线的距 | 2 ? (?1 ? 1) ? 2 ? ? | ? 5 ,得 ? ? ?3 或 7. 离等于圆的半径,因而有 5
7.已知定点 A(1,1),B(3,3),点 P 在 x 轴上,且 ?APB 取得最大值,则 P 点坐标为 ( 6, 解: 0) P 点即为过 A、B 两点且与 x 轴相切的圆的切点,设圆方程为
( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? b 2 (a ? 0, b ? 0) ,

?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ?a ? 6 ? ? 所以有 ? ?? 2 2 2 ?b ? 0 ?(3 ? a) ? (3 ? b) ? b ? ?

[来源:Z,xx,k.Com]

8.过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 2 的斜率 k= 2 解:劣弧所对的圆心角最小,也就是弦长最短,此时圆心到直线的距离最大,所以当圆心与已知点的
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

连线与直线 l 垂直时,弦长最短.所以直线 l 的斜率 k ?

2 . 2

变式: (2006 年天津卷)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? .

解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得 ( 10.已知 A(-4,0) ,B(2,0)以 AB 为直径的圆 与 y 轴的负半轴交于 C,则过 C 点的圆的切线方程为

a ?1
2

)2 ? ( 3)2 ? 22 ,解得 a ? 0 . a ?1 y

2x ? 4 y ? 8 2 ? 0 .
解:以 AB 为直径的圆 D 的方程 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 , 点 C(0,- 2 2 ),CD 的斜率 ?2 2 ,从而切线的 2 斜率为 ,又过点 C(0,- 2 2 ),故切线方程为 4 A O B C x

2x ? 4 y ? 8 2 ? 0 . 2 2 11.求圆 C1: x ? y ? 1与圆 C2: x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公共弦所 在直线被圆 25 C3: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 所截得的弦长( 23 ) . 4
解: 圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线方程为: x2 ? y 2 ? 1 ? ( x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1) ? 0 , 1 ?1 ?1 2 ? 即 x+y-1=0,圆心 C3 到直线 x+y-1=0 的距离 d ? . 2 2 25 1 ? ? 23 . 所以所求弦长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 2 12.已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x +y = m ,当圆 C 与线段 AB 没有公共 .. 点时,求 m 的取值范围 . 解:∵过点 A、B 的直线方程为在 l:x-y+1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P,连结 OB. 由图象得:|m|<OP
2 2 2

B P A O

或|m|>OB 时,线段 AB 与圆 x +y = m 无交点. (I)当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:
| m |? |1| 2 ?| m |?

2

2

2

2 2. 2 ,即 ? ?m? 2 2 2

(II)当 m >OB 时, | m |? 32 ? 22 ?| m |? 13 ,即 ∴当 ?
2 2 ?m? 2 2
2

m ? ? 13或m ? 13 .
2 2

和 m ? ? 13与m ? 13且m ? 0 时,圆 x +y = m 与线段 AB 无交点.

变式 2: (2006 年湖北卷)若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1有两个不同的交点,则 k 的 取值范围是 解:依题意有 .

2k ? 1
2

4 4 ? 1 , 解得 0 ? k ? ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3 k ?1

变式 3:若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 4 ? x2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围. 解:∵曲线 y ? 4 ? x2 表示半圆 x2 ? y 2 ? 4( y ? 0) ,∴利用数形结合法,可得实数 m 的取值范围 是 ?2 ? m ? 2 或 m ? 2 2 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 14.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 O 在曲线 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上, 那么 | PQ | 的 最 ? 2 y ?1 ? 0 ? 3 小值为( ) 2 二、解答题 3 15.直线经过点 P (?3, ? ) 被圆 x2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

思路分析:利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解. 解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x ? ?3 , 代入 x2 ? y 2 ? 25 ,得 y1 ? 4, y2 ? ?4 .∴弦长为 y1 ? y2 ? 8 ,符合题意 (2)当斜率 k 存在时,设所求方程为 y ?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

3 3 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? ? 0 2 2 3 | k ? 0 ? 0 ? 3k ? | 2 ? 3 ,解得 k ? ? 3 由已知,弦心距 OM ? 52 ? 42 ? 3 ,? 2 4 k ?1 3 3 所以此直线方程为 y ? ? ? ( x ? 3) ,即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 2 4 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 所以所求直线方程为
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

点评: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、 弦心距、 半弦 所组成的直角三角形求解,也可用

代数法的弦长公式求解 本题还要注意,斜率不存在时直线 x ? 3 ? 0 符合题意
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

16.知圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

17.知点 P( x, y ) 在圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上运动.

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2x ? y 的最大值与最小值. x?2 y ?1 解: (1)设 ? k ,则 k 表示点 P ( x, y ) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k x?2 2k 3 3 y ?1 取得最大值与最小值.由 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? 1 ,解得 k ? ? 2 3 3 x?2 k ?1 3 ? . 3
(1)求
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(2)设 2x ? y ? m ,则 m 表示直线 2x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 1? m ? 1 ,解得 m ? 1 ? 5 ,∴ 2x ? y 的最大值为 1 ? 5 ,最小值 取得最大值与最小值.由 5 为1? 5 . 点评:数形结合,要指出 的参数方程解题。 变式 1:如果实数满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,求

y ?1 对应什么样的形,这是解 决该类题的关键所在。还可以考虑用圆 x?2 y 的最大值、2x-y 的最小值 x

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

点拨与提示: (1)用圆的切线的性质来求解, (2)由圆 数方程设圆上一点的坐标,代入 2x-y, 转化为三角函数的最值 来求解. 解: (1)问题可转化为求圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 上一点到原 线的斜率 k ?

的 参

y
2 1

问 题

y 的最大值, 由图形性质可知, x y 的最大值 x

-3 -2

-1

o
-1 -2

点 连
1

x

由原点向圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 作切线, 其中切线斜率的最大值即为
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0, ?2k ? 0 y 由 ? 3 ,解得 k ? 3 或 k ? ? 3 ,?{ }max ? 3 2 x k ?1

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

(2)? x,y 满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 , ? x ? ?2 ? 3 cos ? ? ?? ? y ? 3 sin ? ?

?2x ? y ? ?4 ? 2 3 cos? ? 3sin? ? ?4 ? 15 sin(? ? ? )

??2x ? y?min ? ?4 ? 15

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

另法: 应用线性规划的思路, 如图, 2x-y 的最小值或最大值就在直线 2x-y=b 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 的切点处达到. ?4 ? b ? 3 ,解得 b ? ?4 ? 15 或 b ? ?4 ? 15 ,??2x ? y?min ? ?4 ? 15 . 由 5 变式 2: (2006 年湖南卷)圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最 小距离的差是( ) A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

变式 3:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最小
2 2

值是

.
2 2 2

2 2 2 2 2 2 解 : 设 P ( x, y ) , 则 PA ? PB ? ( x? 2) ? y ?( x?2) ? y ? 2( x ? y ) ? 8 ? 2 OP ? 8 圆 心 为 .设

C (3, 4) ,则 OP

min

2 ? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA ? PB 的最小值为 2 ? 3 ? 8 ? 26 .

2

2

18.已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线 L 的方程;若不存在,说明理由
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?y ? x ? b 解:设直线 L 的斜率为1,且 L 的方程为 y=x+b,则 ? 2 2 ? x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0
则 AB 中点为 (?

消元得方程

2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根为 x1,x2,则 x1+x2=-(b+1), y1+y2= x1+x2+2b=b-1,

b ? 1 b ?1 , ) ,又弦长为 k 2 ? 1 x1 ? x2 = 2(?b2 ? 6b ? 9) ,由题意可列式 2 2 2(?b2 ? 6b ? 9) 2 b ? 1 2 b ?1 2 ] 解得 b=1 或 b=-9, 经检验 b=-9 不合题意.所以所求 ( ) ?( ) =[ 2 2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

直线方程为 y=x+1

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

点评:在解决存在性问题时,一般都是假设存在,然后推理求解,最后是检验。此类题极容易漏 掉检验. 19.自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆

x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直线方程.
解:已知圆的标准方程是(x-2) +(y-2) =1,
-3 -2 -1
2 2

y
A 3 2 1 C

o

1

2 C'

3

x

它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2) +(y+2) =1. 设光线 L 所在直线方程是:y-3=k(x+3). 由题设知对称圆的圆心 C ? (2,-2)到这条直线的距离等于 1,即 d ?

2

2

| 5k ? 5 | 1? k2

? 1 .整理得

12k 2 ? 25k ? 12 ? 0,

解得 k ? ? 或k ? ? .

3 4

4 3

故所求的直线方程是 y ? 3 ? ? ( x ? 3) ,或 y ? 3 ? ? ( x ? 3) , 即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0.

3 4

4 3

20.如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足 AP ? BP ,

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? PQ ? PA ? PB ,求点 Q 的轨迹方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

点拨与提示:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

对某些较复杂的探求

轨迹方程的问题,可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程,再以此点作为主动点,所求的轨迹 上的点为相关点,求得轨迹方程
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解: 依题意知四边形 PAQB 为矩形。设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

在 Rt△OAR 中,|AR| =|AO| -|OR| =36-(x +y )
y
B Q

2

2

2

2

2

又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 ,所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2), 即 x +y -4x-10=0,因此点 R 在一个圆上,而当 R 在 此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

2

2

R
特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

A

x?4 y ?0 所以 x1= , , y1 ? 2 2

o

P

x

代入方程 x2+y2-4x-10=0,得 ( 整理得
新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
2 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

[来源:Zxxk.Com]

变式 1:已知直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行四边 形 OAPB ,求点 P 的轨迹方程.

变式 2: 已知定点 B(3,0) , A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动,M 是线段 AB 上的一点, AM ? MB , 点 且

???? ?

3 9 ) 4 16 ???? 1 ???? ? 1 解:设 M ( x, y ), A( x1 , y1 ) .∵ AM ? MB ,∴ ( x ? x1 , y ? y1 ) ? (3 ? x, ? y) , 3 3 1 4 ? ? ? x ? x1 ? 3 (3 ? x) ? x1 ? 3 x ? 1 ? ? ∴? ,∴ ? .∵点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动,∴ x12 ? y12 ? 1 , ?y ? y ? ? 1 y ?y ? 4 y 1 ? ? 1 3 3 ? ?
则点 M 的轨迹方程是( ( x ? )2 ? y 2 ?

1 ???? 3

∴ ( x ? 1) 2 ? (

4 3

4 2 3 9 y ) ? 1 ,即 ( x ? 3 )2 ? y 2 ? 9 ,∴点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 3 4 16 4 16

反思:直线与圆在以前的高考题都是以低、中档题出现。08 高考对圆的要求为 C 级,这要引起足 够的重视.本专题重点:判断直线与的位置关系,求弦长、切线长,求切线方程,求有关的轨迹 问题,数形结合求参数的范围以及最值问题等.在求圆的切线时,易忽略直线斜率是否存在.在 求参数的范围、最值问题时,要从代数方法、数形结合的两种方法入手来培养学生分析问题、解 决问题的能力.

附件 1:律师事务所反盗版维权声明

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/Info.aspx?InfoID=85353


[名校联盟]江苏省扬州市一中2012届高三英语三轮冲刺模...

[名校联盟]江苏省扬州市一中2012届高三英语三轮冲刺模拟试卷(九) - 副本 最近马上...[答案]D 31.(2011·北京东城区综合练习)With temperature ___ so rapidly,...

江苏省扬州市一中八年级英语周练试题四

[名校联盟]江苏省扬州市一... 19页 1财富值 江苏省扬州市第一中学2012......江苏省扬州市一中八年级英语周练试题江苏省扬州市一中八年级英语周练试题隐藏>>...