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【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练:椭圆


2015 届高三数学(理)提升演练:椭圆

一、选择题 1.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点. 16 9 在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为 A.6 C.4
2

x2

y2

(

)

/>
B.5 D.3
2

2.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 9 4 的交点个数为 A.至多一个 C.1 个 B.2 个 D.0 个 ( )

x2 y2

3.已知椭圆 C1: 2+ 2=1 (a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近 a b 4 线 与 以 C1 的 长 轴 为 直 径 的 圆 相 交 于 A , B 两 点 . 若 C1 恰 好 将 线 段 AB 三 等 分 , 则 ( ) 13 2 A.a = 2 1 2 C.b = 2 B.a =13 D.b =2
2 2

x2 y2

2

y2

4.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且 4

x2

2

MF1 ? MF2 =0,则点 M 到 y 轴的距离为(
A. C. 2 3 3 3 3 B. 2 6 3

)

D. 3

5.方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴 上的一个端点,若 3 DF1 = DA +2 DF2 ,则该椭圆的离心率为 A. C. 1 2 1 4 B. D. 1 3 1 5 ( )

x2 y2 a b

-1-

6.已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l:y=kx m 4 +1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是 A.kx+y+k=0 C.kx+y-k=0 二、填空题 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 B.kx-y-1=0 D.kx+y-2=0 ( )

x2 y2

x2 y2 a b

F, 上顶点为 B, 若∠BAO+∠BFO=90°, 则椭圆的离心率是________.

8. 设 F1、 F2 分别是椭圆 + =1 的左、 右焦点, P 为椭圆上任一点, 点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 9.设 F1,F2 分别为椭圆 +y =1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若 F1 A =5 F2 B , 3
2

x2

y2

x2

则点 A 的坐标是________. 三、解答题

x y 3 10.设椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5
(1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

2

2

11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶 4 2 点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作

x2 y2

x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k.
(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;

-2-

(3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB.

12.已知椭圆 G∶ +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

x2

2

2

2

详解答案

一、选择题 1.解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10 =6. 答案:A 2.解析:∵直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点, ∴
2 2

m n m 4-m 5 2 x y 2 2 >2,∴m +n <4,∴ + < + =1- m <1,∴点(m,n)在椭圆 + =1 2 2 9 4 9 4 36 9 4 m +n
4

2

2

2

2

2

2

的内部, ∴过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数为 2 个. 9 4 答案:B 3.解析:如图所示 设直线 AB 与椭圆 C1 的一个交点为 C(靠近 A 的交点),则|OC|

x2 y2

-3-

= ,因 tan∠COx=2, 3 ∴sin∠COx= 2 5 ,cos∠COx= 1 5 ,
2 2

a

a 2a a 4a 1 2 2 2 则 C 的坐标为( , ),代入椭圆方程得 2+ 2=1,∵5=a -b ,∴b = . 45a 45b 2 3 5 3 5
答案:C 4.解析:由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0).设 M(x,y),则 MF1 ? MF2 = (- 3-x,-y)?( 3-x,-y)=0,整理得 x +y =3 ①.又因为点 M 在椭圆上,故 + 4
2 2

x2

x2 3 2 2 6 2 6 2 y2=1, 即 y =1- ②.将②代入 ①, 得 x =2, 解得 x=± .故点 M 到 y 轴的距离为 .
4 4 3 3 答案:B 5.解析:设点 D(0,b), 则 DF1 =(-c,-b), DA =(-a,-b), DF2 =(c,-

b),由 3 DF1 = DA +2 DF2 得-3c=-a+2c,即 a=5c,故 e= .
答案:D 6.解析:A 选项中,当 k=-1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长相 等;B 选项中,当 k=1 时,两直线平行,两直线被椭圆 E 截得的弦长相等;C 选项中,当 k =1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长相等. 答案:D 二、填空题 7.解析:∵∠BAO+∠BFO=90°, ∴∠BAO=∠FBO. ∴

1 5

OB OF = . OA OB
2

即 OB =OA?OF, ∴b =ac. ∴a -c -ac=0. ∴e +e-1=0. -1± 1+4 -1± 5 ∴e= = . 2 2 又∵0<e<1, ∴e= 5-1 . 2
2 2 2 2

-4-

答案:

5-1 2

8.解析:由椭圆定义知|PM|+|PF1|=|PM|+2?5-|PF2|,而|PM|-|PF2|≤|MF2|=5, 所以|PM|+|PF1|≤2?5+5=15. 答案:15 9.解析:根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d).F1、F2 分别为椭圆的左、右 焦点,其坐标分别为 (- 2, 0)、 ( 2, 0), 可得 F1 A =(m+ 2, n) F2 B =(c- 2, d). ∵ F1 A =5 F2 B ,

m+6 2
∴c=

2

m+6 2
5

,d= .∵点 A、B 都在椭圆上,∴ +n =1, 5 3

n

m

2 2

5 3

+( ) =1.解得 m=0, 5

n

2

n=±1,故点 A 坐标为(0,±1).
答案:(0,±1) 三、解答题 16 10.解:(1)将(0, 4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4,

b

c 3 a2-b2 9 由 e= = 得 2 = , a 5 a 25
16 9 即 1- 2 = ,∴a=5, a 25 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y = (x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1, y1), B(x2, 5 5 4 x x- y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + 5 25 25
2 2

x2

y2

=1,即 x -3x-8=0,解得

2

x1=

3- 41 3+ 41 ,x2= , 2 2

- x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 -

y=

y1+y2 2
2

6 = (x1+x2-6)=- , 5 5

3 6 即中点坐标为( ,- ). 2 5 11.解:由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的坐标 为(-1,- 2 ). 2

-5-

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k 2 2 2 = = . -1 2 -

x 4x 2 2 4 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x=± ,因此 P( , ), 4 2 3 3 3
4 0+ 3 2 4 2 2 A(- ,- ).于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x-y- =0. 3 3 3 2 2 3 + 3 3 2 4 2 | - - | 3 3 3 2 2 因此,d= = . 2 2 3 1 +1 2 2 (3)证明: 法一: 将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1, 解得 x=± 记μ = , 2 2 4 2 1+2k 1+ 2k 则 P(μ ,μ k),A(-μ ,-μ k).于是 C(μ ,0). 0+μ k k 故直线 AB 的斜率为 = , μ +μ 2

2

2

x2 y2

k 2 2 2 2 2 2 其方程为 y= (x-μ ), 代入椭圆方程并由 μ = 得(2+k )x -2μ k x-μ (3k + 2 2 1+2k
μ 2)=0,解得 x=

k2+ 2 2+k

μ 或 x=-μ .因此 B (

k2+ 2 2+k



μ k 2). 2+k

3

uk3 2-μ k 2+k k3-k +k2 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = =- . 2 2 μ k2+ 3k +2- +k k -μ 2 2+k
因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线 0- -y1 y1 k PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= = = . x1- -x1 2x1 2 从 而 k1k + 1 = 2k1k2 + 1 = 2?
2 2 2 x2 - x1+2y1 4-4 2+2y2 = 2 2=0. 2 x2 x2-x1 2-x1

y2-y1 y2- -y1 ? x2-x1 x2- -x1

+ 1 =

2y2-2y1 + 1 = 2 x2 2-x1

2

2

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 12.解:(1)由已知得 a=2,b=1, 所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),
2 2

-6-

离心率为 e= =

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1, 点 A, B 的坐标分别为(1, = 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). 3 3 ),(1,- ),此时|AB| 2 2

y=k x-m , ? ? 2 由 ?x 2 +y =1. ? ?4
(x1,y1),(x2,y2),则

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.设 A,B 两点的坐标分别为

2

2

2

2 2

x1+x2=

8k m 4k m -4 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k
2 2

2

2 2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= = = +k
2 2 2 2

|km|

k2+1

=1,

x2-x1 x1+x2
2

2


2

y2-y1

2

-4x1x2]
2

+k

64k m 2 +4k

4 2



k2m2- 2 1+4k

4 3|m| ]= 2 . m +3

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 ≤2, 3 |m|+ |m| 4 3

且当 m=± 3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2.

-7-


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