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【同步课件】高中数学(人教A版)选修2-2课件:1-3 导数的应用


第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用习题课 题型一 导数几何意义的应用 例 1 设抛物线 C1:y=x2-2x+2 与抛物线 C2:y= -x2+ax+b 在它们的一个交点处的切线互相垂直. (1)求 a、b 的关系; (2)若 a>0,b>0,求 ab 的最大值. 【解析】 (1)设两条抛物线的交点为 A(x0,y0). 2 由题意得 x0

-2x0+2=-x2 0+ax0+b, 2 整理得 2x0 -(2+a)x0-b+2=0.① 由导数可得抛物线 C1、C2 在点 A 处的切线的斜率为 k1=2x0 -2,k2=-2x0+a,且 k1· k2=-1. 即(2x0-2)(-2x0+a)=-1.② 5 由①②消去 x0,得 a+b=2. 5 5 (2)由 a=2-b>0 知 0<b<2. 5 5 2 令 y=ab,则 y=ab=(2-b)b=-b +2b. 5 5 y′=-2b+2=0,∴b=4. 5 5 5 当 b∈(0, )时,y′>0.b∈( , )时,y′<0. 4 4 2 5 5 2 5 5 25 ∴当 b=4时,(ab)max=-(4) +2×4=16. 5 25 即当 a=b=4时,ab 取得最大值16. 【说明】 时,应注意: 利用导数求曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线方程 (1)判断点 P(x0,y0)是否在曲线 y=f(x)上; (2)1° 若点 P(x0, y0)为切点, 则曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的 斜率为 f′(x0),切线的方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 2° 若点 P(x0,y0)不是切点,则设切点为 Q(x1,y1),则切线方 程为 y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点 P(x0,y0)得 y0-y1=f′(x1)(x0-x1).① 又 y1=f(x1),② 由①②求出 x1,y1 的值. 即求出了过点 P(x0,y0)的切线方程. 思考题 1 求曲线 C:y=3x4-2x3-9x2+4 在点 (1,-4)处的切线方程. 【解析】 检验知点(1,-4)是曲线 C 上一点. f′(x)=12x3-6x2-18x,f′(1)=-12. ∴切线方程为 y+4=-12(x-1),即 y=-12x+8. 题型二 确定解析式 ax+b 例 2 已知 f(x)= 2 ,且 a>0. x +1 (1)求证:f(x)有极大值、极小值点各一个; (2)当极大值为 1,极小值为-1 时,求 a、b 的值. 【解析】 a?x2+1?-2x?ax+b? (1)证明:f′(x)= ?x2+1?2 -ax2-2bx+a = , ?x2+1?2 令 f′(x)=0,即 ax2+2bx-a=0.○* ∵Δ=4b2+4a2>0, 故方程○*有两个不等实根, 记为 x1、 x2, 不妨设 x1<x2, 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,x1) - ? x1 0 极小 值 (x1,x2) + ↘ x2 0 极大 值 (x2,+∞) - ? 由表可知,f(x)取极大值和极小值的点各有一个. 1+b ? ?f?x1?=ax =-1, 2 x 1 + 1 ? (2)解析 由(1)可知? ax2+b ? f?x2?= 2 =1 ? x 2+1 ? ? 2 ? ?-x 1-1=ax1+b, ? 2 ? ?x 2+1=ax2+b. ① ② 两式相加,得 x22-x21=

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