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高二数学直线和圆的方程同步练习

时间:2009-11-27


高二数学直线和圆的方程同步练习 高二数学直线和圆的方程同步练习 直线和圆的方程
一,选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若直线 x = 1 的倾斜角为 α ,则 α A.等于 0 B.等于 ( C.等于 )

π

π
2

4

D.不存在 ( (

D. 2 3 ) )

2.点 P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,d 与 a 的值依次为 A.3,-3 B.5,1 C.5,2 D.7,1 3.圆 x 2 + y 2 = 4 截直线 3 x + y 2 3 = 0 所得的弦长是 A.2 B.1 C. 3

4.若直线 3 x y 1 = 0 到直线 x ay = 0 的角为 A.0 B. 3

π
6

,则实数 a 的值等于 D.

(

)

C.0 或 3

3 3

5.若圆 x 2 + y 2 2kx + 2 y + 2 = 0( k > 0) 与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值范围是 ( ) A. 0 < k <

2

B. 1 < k <

2
2

C. 0 < k < 1

D. k >

2
( )

6.若直线 y = k ( x 2) 与曲线 y = 1 x 有交点,则

3 3 ,最小值 3 3 3 C. k 有最大值 0,最小值 3
A. k 有最大值

B. k 有最大值

1 1 ,最小值 2 2 1 D. k 有最大值 0,最小值 2

7.如图,设点 C(1,0),长为 2 的线段 AB 在 y 轴上滑动,则直线 AB,AC 所成的最大夹角 y 是 ( ) A A.30° B.45° C.60° D.90° B O C x )

8.如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值等于( A. 2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2 9.已知 x,y 满足约束条件
4 3

2x + y ≤ 4 x + 2 y ≤ 4 ,则 z = x + y 的最大值是 x ≥ 0, y ≥ 0
8 3

(

)

A.

B.

C.2

D.4

-

1

10.直线 3 x + y 2 3 = 0 与圆 A. 相离 B.相切

x = 1 + 2 cos θ (θ为参数)的位置关系是 y = 3 + 2 sin θ

( 相交且过圆心

)

C. 相交但不过圆心 D.

二,填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.直线 l 的倾角α满足 4sinα=3cosα,而且它在 x 轴上的截距为 3,则直线 l 的方程是 _____________________. 12.若实数 x,y 满足 ( x 2) 2 + y 2 = 3, 则
y 的最大值是 x

.

13.点 P (a , 3) 到直线 4 x 3 y + 1 = 0 的距离等于 4,且在不等式 2 x + y < 3 表示的平面区 域内,则点 P 的坐标是_______________. 14.已知直线 l: +

x 4

y = 1 , M 是 l 上一动点,过 M 作 x 轴, y 轴的垂线,垂足分别为 A , 3

B, 则在 A ,B 连线上, 且满足 AP = 2PB 的点 P 的轨迹方程是____________________.
三,解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知直线 l 满足下列两个条件: (1)过直线 y = – x + 1 和 y = 2x + 4 的交点; (2)与直线 x –3y + 2 = 0 垂直,求直线 l 的方程. (12 分)

16.求经过点 A( 2,1) ,和直线 x + y = 1 相切,且圆心在直线 y = 2 x 上的圆方程. (12 分)

-

2

17.某承包户承包了两块鱼塘,一块准备放养鲫鱼,另一块准备放养鲤鱼,现知放养这两种 鱼苗时都需要鱼料 A,B,C,每千克鱼苗所需饲料量如下表: 鱼类 鲫鱼/kg 鲤鱼/kg 鱼料 A 15g 8g 鱼料 B 5g 5g 鱼料 C 8g 18g

如果这两种鱼长到成鱼时,鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的 30 倍与 50 倍,目前 这位承包户只有饲料 A,B,C 分别为 120g,50g,144g,问如何放养这两种鱼苗,才能 使得成鱼的重量最重. (12 分)

18.已知与曲线 C: x 2 + y 2 2 x 2 y + 1 = 0 相切的直线 l 交 x, y 的正半轴与 A,B 两点, O 为原点, OA =a, OB = b , (a > 2, b > 2) . (1)求线段 AB 中点的轨迹方程; (2)求 ab 的最小值. (12 分)

-

3

19.已知直线 l :y=k(x+2 2 )与圆 O:x2+y2=4 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,三角形 ABO 的面积为 S. (1)试将 S 表示成 k 的函数,并求出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. (14 分)

20.已知 a , b 都是正数,△ABC 在平面直角坐标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 )和 B (0,b )为顶点 的正三角形,且它的第三个顶点 C 在第一象限内. (1)若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1}内, 试求变量 a , b 的 约束条件,并在直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域; (2)当(a, b )在(1)所得的约束条件内移动时,求△ABC 面积 S 的最大值,并求此时 (a , b)的值.(14 分)

-

4

参考答案
一,选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 题号 C B A D B C D 答案 二,填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.3x-4y-9=0 12. 3 三,解答题(本大题共 6 题,共 76 分)
y = 2x + 4

8 C

9 B

10 C

13. (3,3)

14.3x+2y=4

15. (12 分)[解析]:由 y = x + 1 ,得交点 ( –1, 2 ), ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线 l 的 方程为: 3x + y + 1 = 0. 16. (12 分) [解析]: 由题意知:过 A(2,-1)且与直线:x+y=1 垂直的直线方程为:y=x-3,∵圆 心 在 直 线 : y= - 2x 上 , ∴由
y = 2 x y = x 3 x =1 即 o1 (1,2) , 且 半 径 y = 2

r = AO1 = (2 1) 2 + (1 + 2) 2 = 2 ,

∴所求圆的方程为: ( x 1) 2 + ( y + 2) 2 = 2 . 17. (12 分) [解析]:设放养鲫鱼 xkg,鲤鱼 ykg,则成鱼重量为 w = 30 x + 50 y ( x, y ≥ 0) ,其限制条件为
15 x + 8 y ≤ 120 5 x + 5 y ≤ 50 8 x + 18 y ≤ 144

画出其表示的区域(如图) ,不难找出使 30x+50y 最大值为 428kg. 答:鲫鱼放养 3.6kg,鲤鱼放养 6.4kg,此时成鱼的重量最重. y y B

D

C(3.6,6.4) B C x 8x+8y=144 3x+5y=0 5x+5y=50 15x+8y=120 o A x

O

A

18. (12 分) [解析]: (1)设 AB 的中点为 P(x,y) ,圆 C 的方程化简为: ( x 1) 2 + ( y 1) 2 1,∴ C (1,1), r = 1

-

5

又直线 l 的方程为:
∴ d C →l = a + b ab a +b
2 2

x y + = 1, 即bx + ay ab = 0(a > 2, b > 2) ,Q l与圆C相切 , a b

= 1 a 2 + b 2 = (a + b ab) 2 a 2 b 2 + 2ab 2a 2 b 2ab 2 = 0 Q a > 2, b > 2

ab + 2 2a 2b = 0 (a 2)b = 2a 2 b =

2a 2 a2

① , 又 ∵ P 是 AB 的 中 点 ,

∴x =

a b ,y= 2 2 2x 1 ( x > 1) , 即 线 段 AB 中 点 的 轨 迹 方 程 为 ; 2x 2

a = 2 x, b = 2 y , 代 入 ① 得 y =
y= 2x 1 ( x > 1) . 2x 2

(2)Q ab =
∴ 2( a 2) +

2a(a 1) 2a 2 2a 2(a 2) 2 + 6(a 2) + 4 4 = = = 2( a 2) + +6,a 2 > 0 a2 a2 a2 a2

4 ≥ 4 2 ,∴ ab ≥ 6 + 4 2 .∴ ab的最小值为6 + 4 2 . a2

19. (14 分) [解析]:(1)Q l : kx y + 2 2 k = 0,∴ d O →l =
2 2k k 2 +1 ∴ AB = 2 4 ( 2 2k k 2 +1 )2 = 4 1 k 2 1+ k 2

∴S =

4 2 k 2 (1 k 2 ) 1 ,定义域: 0 < d O →l < 2 1 < k < 1且k ≠ 0 . AB d O →l = 2 1+ k 2

(2)设 k 2 + 1 = t (t ≥ 1), 则 k 2 (1 k 2 ) = (t 1)(2 t ) = t 2 + 3t 2
∴S = 4 2 t 2 + 3t 2 3 2 1 3 1 = 4 2 1 + 2 = 4 2 2( ) 2 + , t t t t 4 8

1 3 4 3 1 ∴当 = , 即t = 时,k = ± , S max = 4 2 = 2 ,∴S 的最大值为 2,取得最大值时 t 4 3 3 2 2

k= ±

3. 3

20. (14 分) [解析]:解: (1)由题意知:顶点 C 是分别以 A,B 为圆心,以|AB|为半径的两圆在第 一象限的交点,由圆 A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圆 B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 . 解得 x = a + 3b , y =
2
-

3a + b ,∴C( a + 3b , 3a + b ) 2 2 2
6

△ABC 含于正方形 D 内,即三顶点 A,B,C 含于区域 D 内时,



0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1, a + 3b 0 ≤ ≤ 1, 2 3a + b 0 ≤ ≤ 1. 2

这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形, ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外. (2)∵△ABC 是边长为 a + b 的正三角形,∴ S =
2 2

3 2 2 (a +b ) 4

在(1)的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大, 由六边形中 P,Q,R 相应的 OP,OQ,OR 的计算. OP2 = OR2 = 12 + ( 2 –

3 )2 = 8 – 4 3 ,OQ2 = 2( 3 – 1)2 = 8 – 4 3 . 3 – 1), 或( 2 – 3 , 1 )时,

∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 – 3 ), 或( 3 – 1, Smax =2 3 – 3.

-

7

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