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2014高考文科数学 第三章 导数测试题(含详解)

时间:2014-01-04


一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分) 1.曲线 y= A.y=x-2 C.y=2x-3 解析:因为 y=1+

x 在点(1,-1)处的切线方程为 x?2
B.y=-3x+2 D.y=-2x+1





2 2 ,所以 y′= ? ,所以所求曲线在点(1,-

1)处的切线的斜率为 2 x?2 ? x ? 2?

-2,故由点斜式得所求切线方程为 y=-2x+1,故选 D. 答案:D 2.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 A.e
2

( D.ln 2



B.e

C.

ln 2 2

4. 已知函数 f ( x) ? x ? px ? qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分别
3 2







4 、0 27 4 C.、0 27
A.

4 27 4 D.0、27
B.0、

2 解析: f ?( x) ? 3x ? 2 px ? q, 由 f ?(1) ? 0, f (1) ? 0 得

所以 f ( x) ? x ? 2 x ? x. f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? 0, 得x ?
3 2

1 或x ? 1. 3

进而求得当 x= 答案:A

1 4 时,f(x)取极大值 ,当 x=1 时,f(x)取极小值 0.故选 A. 3 27 1 3 4 x +x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3
( ) C.

5.(2011 届·广东调研)曲线 y=

A.

1 9

B.

2 9

1 3

D.

2 3

A. (2,+∞)
3

B.(-∞,2)
2 2

C.(-∞,0)

D.(0,2)
2

? 解析: f ?( x) ? ( x ? 3x ? 1) ? 3x ? 6x ,当 f ?( x) ? 0 时,f(x)单调递减, 3x ? 6x ? 0, 即
0<x<2.故单调递减区间为(0,2). 答案:D 7.已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上 的最小值为 A.-37
2 3 2

( ) B.-29 C.-5 D.-11

解析:由 f′(x)=6x -12x=0 得 x=0 或 x=2. 而 f(0)=m,f(-2)=-40+m,f(2)=-8+m, 因此函数 f(x)=2x -6x +m 在[-2,2]上的最大值是 f(0)=m,最小值为 f(-2)=-40+m,而函数最 大值为 3,所以 m=3, 所以函数 f(x)=2x -6x +m 在[-2,2]上的最小值是 f(-2)=-40+3=-37,选 A. 答案:A 8. 函数 f(x)的定义域为开区间 (a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点 ( )
3 2 3 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:由定义可知 f′(x)>0,则原函数为增函数;f′(x)<0,原函数为减函数;由图象可知极 小值点位于 f′(x)<0 与 f′(x)>0 的界点处,则(a,b)内极小值点只有 1 个. 答案:A 9.(2011 届·山东济宁第一中学质检)对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x) ≥0,则必有 ( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 解析: (x-1)f′(x)≥0,则 ?

? x ? 1, ? x ? 1, 或? ? f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0.

①函数 y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,f(0)>f(1); 在[1,+∞)上单调递增,f(2)>f(1).所以 f(0)+f(2)>2f(1). ②函数 y=f(x)可为常数函数,f(0)+f(2)=2f(1),故选 C. 答案:C 10.若函数 h(x)=2x-

k k (1, +∞)上是增函数, 则实数 k 的取值范围是 ? 在 x 3





A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,2] 解析:h′(x)=2+kx2=2x2+kx2,由题意知 x∈(1,+∞)时,h′(x)≥0 恒成立,即 2x2+k≥0 恒 成立,只需 2+k≥0 即可,所以 k∈[-2,+∞). 答案:A 11.已知二次函数 f(x)=x2-bx+a 的部分图象如下图所示,则函数 g(x)=ln x+f′(x)的零点所 在的区间是 ( )

A.14,12

B.(1,2)

C.12,1

D.(2,3)

b 解析:由图象易知(1,0)在二次函数上,且 0<a<1,0< <1,所以 1-b=-a<0,0<b<2. 2
因为 f′(x)=2x-b,所以 g(x)=ln x+2x-b,

所以 g ( ) ? ln

1 2

1 1 1 +1-b= ln -a<0,g(1)=ln 1+2-b=2-b>0,故 g(x)在( ,1)内有零点. 2 2 2

答案:C 12. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x) g′(x)>0,且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 解析:因为当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 即[f(x)g(x)]′>0,所以当 x<0 时,f(x)g(x)为增函数. 又 g(x)是偶函数且 g (3)=0,所以 g(-3)=0, 所以 f(-3)g(-3)=0,故当 x<-3 时,f(x)g(x)<0. 又 f(x)g(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)g(x)增函数, 且 f(3)g(3)=0,故当 0<x<3 时,f(x)g(x)<0.故选 D. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 13. 已知过曲线 y ? x ? bx ? c 上一点 A(1,2)的切线为 y=x+1,则 b2 ? c2 等于
3

.

解析: y? ? 3x ? b ,所以 y? |x ?1 ? 3 ? b ? 1.
2

① ②

又因为 y ? x ? bx ? c 过点(1,2) ,所以 1+b+c=2,
3

解①②得 b=-2,c=3. 所以 b2 ? c2 = (?2) ? 3 =13.
2 2

答案:13 14. 如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4)(2,0)(6, , , 4) ,则 f(f(0))=2;函数 f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)= .

解析:观察图形可知 f(0)=4, 所以 f(f(0))=f(4)=2. AB 的方程为:

x y ? ? 1, 即 y=4-2x, 2 4

所以 f(x)=4-2x,所以 f′(x)=-2, 所以 f′(1)=-2. 答案:2 -2 15. 已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? k ? 1 (k>0)的单调递减区间为(0,4) ,则 k 的值
3 2 2



.

解析: f ?( x) ? 3kx 2 ? 6(k ? 1) x ? 3kx( x ? 的单调减区间是(0,4). 所以 ?

2k ? 2 2k ? 2 ), 所以 x1 ? 0, x2 ? ? . 因为函数 f(x) k k

2k ? 2 1 ? 4, 所以 k ? . k 3
2

答案:13 16. 已知函数 y ? f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 在区间[a,2]上的最大值为 解析:y′=f′(x)=-2x-2,令 y′=0,则 x=-1.

15 ,则 a= 4

.

15 , 4 15 15 又因为 f(-1)> ,所以 a>-1,故应为 f(a)=- a 2 -2a+3= , 4 4 1 3 解之得 a= ? 或 ? (舍去). 2 2 1 答案: ? 2
因为 f(-1)=-1+2+3=4,f(2)=-4-4+3=-5,且函数最大值为 三、解答题(本大题共 4 小题,共 54 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17.(13 分)已知函数 f ( x) ? x ? (k ? 1) x ? k ? 2 (k∈R),若过函数 f(x)图象上一点
3 2 2 2

P(1,a)的切线与直线 x-y+b=0 垂直,求 a 的值.

所以点 P 的坐标为(0,d). 因为 y′=f′(x)=3ax +2bx+c, 所以 f′(0)=c, 所以曲线在点 P 处的切线方程为 y=cx+d. 又曲线在点 P 处的切线方程为 12x-y-4=0, 所以 c=12,d=-4. 又函数在 x=2 处取得极值 0, 所以 f(2)=0,f′(2)=0,所以 a=2,b=-9,
2

所以 f(x)=2x -9x +12x-4,f′(x)=6(x-1)(x-2). 由 f′(x)>0,得 x>2 或 x<1; 由 f′(x)<0,得 1<x<2, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2). 19.(2011 届·杭州质检)(14 分)设函数 f(x)=

3

2

a 3 3 2 x ? x +(a+1)x+1,其中 a 为实数. 3 2

(1)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)已知不等式 f′(x)>x -x-a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立,求实数 x 的取值范围.
2

20.(14 分)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月,预测上市初期和后期 会因供不应求使价格呈连续上涨势态,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价 格模拟函数:①f(x)=p· q ;②f(x)=p x 2 +qx+1;③f(x)= x( x ? q)
x 2

+p.(以上三式中 p、q 均

为常数,且 q>1) (1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数,为什么? (2)若 f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数 f(x)的解析式(注:函数的定义域是[0,5].其中 x=0 表示 8 月 1 日,x=1 表示 9 月 1 日,……,以此类推) ; (3)为保证养殖户的经济收益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海 鲜将在哪几个月份内价格下跌. 解:(1)根据题意,应选模拟函数 f(x)= x( x ? q) +p.
2

下面给出关键提示:对此函数求导,得 f′(x)=3 x 2 -4qx+ q ,令 f′(x)=0,得 x1 ? q, x2 ?
2

q . 3

由 q>1 知,f(x)在 ( ??, ] 和[q,+∞)上单调递增,在 ( , q) 上单调递减,符合题意.

q 3

q 3

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