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命题及其关系


1.1 命题及其关系 1.1.1命题

思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断 它们的真假吗? ? (1) 12>5; ? (2) 3是12的约数; 语句都是陈述句, ? (3) 0.5是整数; ? (4)对顶角相等; 并且可以判断真假。 ? (5)3 能被2整除; ? (6)若x2=1,则x=1.

概念生成

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(1)命题: 一般地,在数学中,我们把用语 言、符号或式子表达的,可以判断真 假的陈述句叫做命题. (2)真命题、假命题:

判断为真的语句叫做真命题; 判断为假的语句叫做假命题.

看看下列语句是不是命题?
1) 今天天气如何?
2) 你是不是作业没交? 3) 这里景色多美啊! 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。

不是(疑问句)
不是(疑问句) 不是(感叹句) 是(否定陈述句) 是(肯定陈述句)

不是(不能判断真假)

概念辨析

判断下列语句中哪些是命题?是真命题还 是假命题? 真 (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; 假 (3)对数函数是增函数吗? 不是命题 (4)若空间中两条直线不相交,则这两条 假 直线平行. (5) (?2)2 ? ?2 ; 假 (6)x2+x-6>0. 不是命题

“若p则q”形式的命题 (2)若整数a是素数,则a是奇数; (4)若空间中两条直线不相交,则 这两条直线平行.
概念辨析

思考1 这两个命题在表达形式上有什 么共同特点? “若p,则q”

思考2 对具有“若p,则q”形式的命
题,在逻辑上,p、q分别是什么地位?

概念形成

“若p,则q”
我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件,q叫做命题的 结论.

例题讲解

例1 指出下列命题中的条件p和结论q: (1)若整数a能被2整除,则a是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线 互相垂直且平分.

例题讲解

例2 将下列命题改写成“若p,则q? 形式,并判断真假. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等。

1.1.2 四种命题

问题探究

考察下列四个命题:
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期

函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦

函数;

思考:判断上述命题的真假. 思考:这四个命题之间有什么联系?

问题探究

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.

对于两个命题,如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件,则称这两个命题叫做互逆命 题.其中一个命题叫做原命题,另一 个叫做原命题的逆命题.

形成结论

原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
探究:举出一些互逆命题的例子, 并判断原命题与逆命题的真假.

问题探究

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期 函数.
对于两个命题,如果一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定,则称这两个命题叫做互否命 题.如果把其中的一个叫做原命题,那么 另一个命题叫做否命题.

形成结论

原命题:若p,则q 否命题:若?p,则?q
探究:举出一些互否命题的例子,并 判断原命题与否命题的真假.

问题探究

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期 函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是 正弦函数;

对于两个命题,如果一个命题的 条件和结论恰好是另一个命题的 结论的否定和条件的否定,则称 这两个命题叫做互为逆否命题.

问题探究

原命题:若p,则q 逆否命题:若?q,则?p
探究:举出一些互为逆否命题的例子, 并判断原命题与逆否命题的真假.

结论概括

原命题:若p,则q; 逆命题:若q,则p; 否命题:若﹁p,则﹁q; 逆否命题:若﹁q,则﹁p.

例题讲解

例3 写出下列命题的逆命题,否命题 和逆否命题. (1)平行四边形的对边相等; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)同位角相等,两直线平行; (4)若a>b,c>d,则a+c>b+d.

1.1.3 四种命题间的相互关系

知识探究

探究1: 对于下列命题,它们之间的相 互关系如何? (1)若a=0,则ab=0; (2)若ab=0,则a=0; (3)若a≠0,则ab≠0; (4)若ab≠0,则a≠0.

知识探究

若 a = 0 ,则 ab = 0.


互逆 否 逆 逆 否

若ab=0,则a=0.

为 互否 互 为

互否

若a≠0,则ab≠0.

互逆

若ab≠0 ,则a≠0.

形成结论

一般地,怎样理解原命题、逆命题、 否命题和逆否命题之间的相互关系?
互逆 原命题:若p则q 互否
否命题:若﹁p则﹁q

逆命题:若q则p



为逆


否 互否
逆否命题:若﹁q则﹁p







互逆

知识探究

探究2:四种命题的真假性之间是否有 什么规律?

知识探究

下列四个命题中哪些是真命题,哪 些是假命题? (1)若a=0,则ab=0;真

(2)若ab=0,则a=0;假
(3)若a≠0,则ab≠0;假 (4)若ab≠0,则a≠0. 真

知识探究

原命题:若|x|=x,则x≥0,那么其 逆命题、否命题和逆否命题分别是什么? 这些命题的真假如何? 原命题:若|x|=x,则x≥0; (真)
逆命题:若x≥0,则|x|=x; (真) 否命题:若|x|≠x,则x<0; (真) 逆否命题:若x<0,则|x|≠x.(真)

知识探究

原命题:若x2-3x+2=0,则x=2, 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是 什么?这些命题的真假如何? (假) 原命题:若x2-3x+2=0,则x=2;
逆命题:若x=2,则x2-3x+2=0; (真) (真) 否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2; (假) 逆否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0.

知识探究

已知原命题:若x>0,y<0,则x+y>0, 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是 什么?这些命题的真假如何?

原命题:若x>0,y<0,则x+y>0(假) ;

逆命题:若x+y>0,则x>0,y<0(假) ;

否命题:若x≤0,y≥0,则x+y≤0; (假)

逆否命题:若x+y≤0,则x≤0,y≥0. (假)

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面 四种情况:
原命题 真 真 逆命题 真 假 否命题 真 假 逆否命题 真 真

假 假

真 假

真 假

假 假

(1)两个命题互为逆否命题,则它们有相同真假性。 (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假 性没有关系.

易错
辨析

判断正误,并说明理由:

(1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。

否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构 成新命题。 ? 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判 断,只否定结论不否定条件。 ? 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ,则┐q 。
?


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