nbhkdz.com冰点文库

福鼎一中高一数学竞赛辅导(函数部分)


福鼎一中高一数学竞赛辅导(函数部分)
一.选择题: 1.设有三个函数,已知第一个函数是 y=f(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函 数的图象关于直线 x+y=0 对称,则第三个函数的解析式为 ( ) A.y=f(?x??????? B.y???? f??? x??????? C.? y=f(x)???? D. y??? f?? x???? 2.已

知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实根,那么 x12+x22 的最大值为 ( ) A.19 3. 已 知 f(x)= +f( )+f( B. 17 C. , 则 和 f( )+…+f( B. 5000 )+f( D.18 )+ … +f( ) D.100 ). )+f( )+f( )+ … +f( )+ …

D1
)的值等于 ( C.1000 A.10000 4.乘积 (1 ?

C1 B1

A1
D

5 A. 12

1 1 1 1 )(1 ? 2 ) (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 等于( 2 2 3 9 10 1 11 7 B. C. D. 2 20 10

C
A B

5、如图:已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三条棱长别为 AD=3,AA1=4,AB=5。一天,小强观察 到在 A 处有一只蚂蚁,发现顶点 C1 处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短 路程是( ) A、 74 B 、5 2 C、 4 5 D、 3 10 6、如图:正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E,F 分别是 中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.45° C.60° D.30° 7、O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的三个点,一动点 ,则直线 AP 一定通过△ABC OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ∈(0,∞) SC,AB 的

P 满足: 的

( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 8.△ABC 的三边 a、b、c 分别对应角 A、B、C,若 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列,则两直线

l1 : x sin 2 A ? y sin A ? a 与直线 l 2 : x sin 2 B ? y sin C ? c 的位置关系是( )
A.不垂直的相交 二.填空题: B.平行 C.垂直相交 D.重合

1.已知:a、b、c 都不等于 0,且 (m+n)
2004

a b c abc ? ? ? 的最大值为 m,最小值为 n,则 | a | | b | | c | | abc |

=_________.

2. Let f be a function such that

f ( x ? y 2 ) ? f ( x) ? 2( f ( y))2

for any real numbers x and y , and

f (1) ? 0 , then f (2007) is equal to _____________.
3.甲、乙、丙、丁、戊五位同学,看五本不同的书 A、B、C、D、E,每人至少要读一本书,但不能重复 读同一本书,甲、乙、丙、丁分别读了 2、2、3、5 本书,A、B、C、D 分别被读了 1、1、2、4 次。那么, 戊读了_______本书,E 被读了______次。 1, x为有理数, ? 0, x为有理数, 4.已知函数 f ( x) ? ? 当 x ? R 时, f g ? x ? ? _______, g ( x) ? ? ? 0 , x 为无理数. 1 , x 为无理数. ? ?

?

?

5、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费为 f (m) ? 1.06? (0.50? ?m? ? 1) , 其中 m>0, ?m ? 表示不超 过 m 的最大整数,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的通话费为 元

g ? f ? x ?? ? _______.

6.,函数 y ? log 1 sin( 7,当 0 ? x ? 于
5

?
2

2

1 ? x ? ) ,的单调递增区间是 2 3

.

时,函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2cos 2 x ? m 的最大值为 2008,则它的最小值等 .

8.函数 f ( x) ? x ? ax3 ? x 2 ? bx ? 2, 若f (2) ? 3, 则f (?2) 的值等于 . 三.解答题: 1、甲、乙两人到物价商店购买商品,商品里每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种.已知两人购买商品的 件数相同,且两人购买商品一共花费了 172 元,求两人共购买了两种商品各几件?

2、 长方形四边的长度都是小于 10 的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的 千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.

3.已知函数 f(x)定义在非负整数集上, 并且对于任意正整数 x, 都有 f(x)=f(x???? f?? x???? , 如果 f(3)=2007, 求 f(2007)

4. 已知二次函数 f (x) =ax +bx (a、 b 是常数且 a≠0) 满足条件: f (2) =0 且方程 f (x) =x 有等根. (1) 求 f(x)的解析式; (2)问是否存在实数 m、n(m<n)使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m, 2n] ,如存在,求出 m、n 的值;如不存在,说明理由. z

2

A'
5.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A B C D 中,
' ' ' '

F

D'

E、F 分别是 BC, A' D' 的中点,
(1)求直线 AC与DE 所成角; (2)求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角, (3)求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的锐角 x
' '

B

'

C'

'

A B E

G D C

y

福鼎一中高一数学竞赛辅导(函数部分)答案
一.选择题 1.设有三个函数,已知第一个函数是 y=f(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函 数的图象关于直线 x+y=0 对称,则第三个函数的解析式为 (A) y=f(?x??????????? y???? f??? x???????? C??? y=f(x)??????? D??? y??? f?? x????????答案:? 2.已知 x1, x2 是关于 x 的方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实根,那么 x12+x22 的最大值为 (A) 19 3. 已 知 f(x)= +f( )+f( (B) 17 , 则 和 f( )+…+f( (B) 5000 (C) )+f( (D) 18 )+ … +f( 答案:D )+f( )+f( )+ … +f( )+ …

D1
)的值等于 (C) 1000 (D) 100 答案:B (A) 10000 4.乘积 (1 ?

C1 B1

A1
D

5 (A) 12

1 1 )(1 ? 2 ) 2 2 3 1 (B) 2

(1 ?

1 1 )(1 ? 2 ) 等于( ). 2 9 10 11 7 (C) (D) 20 10

C

答案:C

A

B

5、已知如图:长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三条棱长别为 AD=3,AA1=4,AB=5。一天,小强观察 到在 A 处有一只蚂蚁,发现顶点 C1 处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短 路程是( ) A、 74 B 、5 2 C、 4 5 D、 3 10 6、如图:正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E,F 分别是 SC,AB 的 中点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( ) A.90° B.45° C.60° D.30° 答案:B 7、O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的三个点,一动点 P 满足: ,则直线 AP 一定通过△ABC 的 OP ? OA ? ?( AB ? AC) , ? ∈(0,∞) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

8.△ABC 的三边 a、b、c 分别对应角 A、B、C,若 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列,则 两直线 l1 : x sin 2 A ? y sin A ? a 与直线 l 2 : x sin 2 B ? y sin C ? c 的位置关系是( ) A.不垂直的相交 B.平行 C.垂直相交 D.重合
二.填空题 1. 已知: a、 b、 c 都不等于 0, 且

a b c a b c ? ? ? |a| |b| |c| |a b c

|

的最大值为 m, 最小值为 n, 则 (m+n)

2004

=_________.

答案:0
2 Let f be a function such that

f ( x ? y 2 ) ? f ( x) ? 2( f ( y))2

for any real numbers x and y , and

f (1) ? 0 , then f (2007) is equal to _____________.

答案:2006.5
3.甲、乙、丙、丁、戊五位同学,看五本不同的书 A、B、C、D、E,每人至少要读一本书,但不能重复 读同一本书,甲、乙、丙、丁分别读了 2、2、3、5 本书,A、B、C、D 分别被读了 1、1、2、4 次。那么, 戊读了_______本书,E 被读了______次。

答案: 1,5
4. 已 知 函 数

f ? g ? x ?? ? _______, g ?
答案: f [ g ( x] ? 1

? f?? ? _x

? 1, x为有理数, f ( x) ? ? ?0,x为无理数.

? 0, x为有理数, g ( x) ? ? ?1,x为无理数.



x?R





_

_

_

_

_

_

.

5、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费为 f (m) ? 1.06? (0.50? ?m? ? 1) , 其中 m>0, ?m ? 表示不超 过 m 的最大整数,则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的通话费为 元。 答案:3.71 6.,函数 y ? log 1 sin( 7,当 0 ? x ? 答案:2005 8.函数 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? x 2 ? bx ? 2, 若f (2) ? 3, 则f (?2) 的值等于 . 答案:9 三.解答题: 1、甲、乙两人到物价商店购买商品,商品里每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种.已知两人购买商品的 件数相同,且两人购买商品一共花费了 172 元,求两人共购买了两种商品各几件? 解:设每人购买了 n 件商品,两人共购买了单价为 8 元的 x 件,单价为 9 元的有 y 件.则

g[ f ( x)] ? 0

?
2

2

1 ? x ? ) ,的单调递增区间是 2 3

.答案: (4k? ?

?

, 4 k? ? ] 3 3
.

?

时,函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2cos2 x ? m 的最大值为 2008,则它的最小值等于

? x ? y ? 2n, ? ?8 x ? 9 y ? 172.
因为 x ? 0, y ? 0 ,所以 9

解之,得 ?

? x ? 18n ? 172, ? y ? 172 ? 16n.

? x ? 8, 5 3 ? n ? 10 . 所以整数 n ? 10 .故 ? 9 4 ? y ? 12.

2、 长方形四边的长度都是小于 10 的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的 千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.

解: 设长方形的边长为 xcm、ycm, 则四位数 N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y) ∵N 是一个完全平方数,11 为质数,∴x+y 能被 11 整除, 又∵1≤x≤9,1≤y≤9 ∴2 ≤x+y≤18,得 x+y=11 2 ∴N=11(99x+x+y)=11 (9x+1) ∴9x+1 是一个完全平方数, 经试算知当 x=7 时满足条件,故 y=4,从而长方形的面积=7×4=28cm2.
3.已知函数 f(x)定义在非负整数集上,且对于任意正整数 x,都有 f(x)=f(x???? f?? x???? 若 f(3)=2007,求 f(2007) 解:∵对于任意正整数 x,有 f(x)=f(x-1)+f(x+1) ∴f(x+1)=f(x)+f(x+2) f(x+2)=f(x+1)+f(x+3) 将上面三式相加,得 f(x+3) = - f(x) ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]= -f(x+3)=f(x) ∴f(x)是以 6 为周期的周期函数 ∴f(2007)=f(6× 334+3)=f(3)=2007 2 4. (本小题 14 分) 已知二次函数 f(x)=ax +bx(a、b 是常数且 a≠0)满足条件:f(2)=0 且方程 f (x)=x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)问是否存在实数 m、n(m<n)使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n] ,如存在, 求出 m、n 的值;如不存在,说明理由. 解 : : 分析:本题是一道确定函数解析式、定义域、值域为一体的综合题,应从 f(2)=0 和 f(x)=x 有 等根着手,进行各个击破. 解: (1)∵方程 ax +(b-1)x=0(a≠0)有等根,
2

∴ ?=(b- 1) -4a ? 0=0 ? b= 1.
2

1 1 2 .∴ f ( x )=- x +x . 2 2 1 1 1 1 1 2 (2)∵ f ( x)=- ( x-1) + ? ,∴ 2 n ? ,即 n ? . 2 2 2 2 4 1 1 1 1) 2 + 的对称轴方程为 x=1,∴当 n ? 时,f(x)在[m,n]上为增函数, 又二次函数 y=- ( x- 2 2 4 ? 1 2 ?- 2 m -m=0 ? m=0或m=-2, ? ? f (m)=2m ? 设 m、n 存在,则 ? 即? ? ? 1 2 ? f (n)=2n - n -n=0 ? n=0或n=-2. ? ? 2 ? 1 ?m=-2, ∵ m< n ? , ∴? 即存在实数 m=-2, n=0 使 f (x) 4 ? n = 0 . z ?
又 f(2)=0,∴4a+2b=0.∴ a=- 的定义域为[-2,0] ,值域为[-4,0] . 5.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A B C D 中, E、F 分别是
' ' ' '

A' B'

F

D'

BC, A' D' 的中点, ' (1)求直线 AC与DE 所成角; ' (2)求直线 AD 与平面 B EDF 所成的角, ' (3)求平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角
解: (1)如图建立坐标系,

C'

A x B E

G C

y D

a 则 A (0, 0, a ), C ( a, a, 0), D(0, a, 0), E ( a, , 0) 2 a ? A'C ? (a, a, ?a), DE ? (a, ? , 0) , 2
'

' ? cos ? AC , DE ??

' AC ? DE

AC ? DE
'

?

15 15

15 15 ' ' (2) ?ADE ? ?ADF , 所以 AD 在平面 B EDF 内的射影在 ? EDF 的平分线上,又 B EDF 为菱形, ? DB' 为 ? EDF 的平分线,故直线 AD 与平面 B' EDF 所成的角为 ?ADB' ,建立如图所示坐标系,则
故 AC与DE 所成的角为 arccos
'

A(0,0,0), B' (a,0, a), D(0, a,0)



? DA ? (0, ?a,0), DB' ? (a, ?a, a)
'



? cos ? DA, DB' ??
'

DA ? DB' DA ? DB'
'

?

3 3

故 AD 与平面 B EDF 所成角为 arccos

3 3

a , 0) 所以平面 ABCD 的法向量为 m ? AA' ? (0, 0, a ) 2 a a ' 0 )' , ? ? (a 0 ,, 下 面 求 平 面 B EDF 的 法 向 量 , 设 n ? (1, y, z) , 由 ED ? (?a , , EB 2 2 ? ?n ? ED ? 0 ? y ? 2 ,? n ? (1, 2,1) ?? ?? ' z ?1 ? ?n ? EB ? 0 ?
由 A(0, 0, 0), A (0, 0, a), B ( a, 0, a), D(0, a, 0), E ( a,

,

)

? cos ? n, m ??

m?n m?n

?

6 6 ' ,所以平面 B EDF 与平面 ABCD 所成的角 arccos 6 6


_福建省福鼎一中高一数学竞赛辅导(函数部分).

福建省福鼎一中高一数学竞赛辅导(函数部分)一、选择题: 1.设有三个函数,已知第一个函数是 y=f(x) ,它的反函数是第二个函数,而第三个函数 的图象与第二个...

高一数学竞赛辅导(函数部分

班级___ 姓名___ 春晖高级中学高一数学竞赛辅导(函数部分) 春晖高级中学高一数学竞赛辅导(函数部分) 高一数学竞赛辅导小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小...

高一数学竞赛辅导(函数部分)

高一数学竞赛辅导(函数部分)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学竞赛题高一数学竞赛辅导(函数部分)答案 (函数部分)一.选择题 1.设有三个函数,已知第一个...

高一数学竞赛辅导(函数)

高一数学竞赛辅导(函数部分) 高一数学竞赛辅导(函数部分) 辅导一.选择题: 1....福鼎一中高一数学竞赛辅... 暂无评价 5页 免费 高一数学竞赛基本初等函... ...

高一数学竞赛培训《函数及其性质》

高一数学竞赛培训函数及其性质》_数学_高中教育_教育专区。教学资料高一上期数学竞赛培训资料(8)———函数方程许多函数方程的解决仅以初等数学为工具, 解法富于...

高一数学竞赛集合与函数试题训练

高一数学竞赛集合与函数试题训练_理学_高等教育_教育专区。高一数学竞赛集合与函数试题训练: ,值域为 [2a, 2b] , 6.已知函数 f ( x) = x ? 2 | x | ...

高一数学竞赛辅导

高一数学竞赛辅导 高一数学竞赛辅导一、选择题: 1.设有三个函数,已知第一个函数是 y=f(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数 的...

高中数学竞赛培训资料 函数

高中数学竞赛培训资料 函数_医药卫生_专业资料。高中数学竞赛培训资料 函数高中数学竞赛培训资料例一. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x- 则 f(x)的表达式是...

高一应用数学竞赛辅导训练

高一应用数学竞赛辅导训练 1.若集合 M={x,y,z},集合 N={3,0,-3},f ...出水面到球被 安全拉出水面的过程中,水面均下降,所以函数在此过程中是减函数....

高一数学竞赛培训教材

世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 高一数学竞赛培训教材 (一)集合与容斥原理...设 中的部分 ,则 g(x)为 奇函数,g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想...