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上海市同济二附中2009学年第一学期期末考试高一数学试卷


上海市同济二附中 2009 学年第一学期期末考试高一数学试卷
满分:100 分,完成时间:90 分钟。
题号 得分 一、填空题(本大题共有 12 题,每题填对得 3 分,否则一律得零分,满分 36 分) 填空题( 否则一律得零分, 填空题 1、函数 f ( x ) = 1--12 13--16 17 18

命题人:王桂杰 审核人:高福如<

br />19 20 21 总 分



x?3 的定义域是 2 ?8
x
-1



2、若函数 f(x)的反函数为 f


(x)=x2(x>0) ,则 f(4)= ,则 f ( x ) ? g ( x ) = ______________。

3、若 f ( x ) = x , g ( x) =

2

x

线

2 4、设全集 U = 2, 3, a + 2a ? 3 ,集合 A = 2 , a + 1 , CU A = { 5} ,则 a = _____ 。

{

}

{

}

5、 设函数 A = x | x ? 2 ≤ 2 , B = y | y = ? x 2 , ?1 ≤ x ≤ 2 , 则A I B =


{

}

{

}





1 ? ? 1 ? ≤ 2? , B = ? x ( ) x < 4? ,则 A I B = __________ ___ 。 x ? ? 2 ? 2 y 7、若函数 f ( x ) = a ? x 。 ( x ∈ R ) 是奇函数,则实数 a 的值为 2 2 +1 8、定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在 [0,+ ∞ ) 上的图像如右图所示,
6、已知集合 A = ? x O 则不等式 xf ( x) < 0 的解集是 。

? ?

2

x



9、设函数 f ( x) = ?

? x 2 ? 4 x + 6, x ≥ 0 则不等式 f ( x ) > f (1) 的解集是 x + 6, x < 0 ?






10、.若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ≠ 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 11、设 x,, ∈ R + ,且当 x + 2 y = 1 时, y a

3 a 1 2 + 的最小值为 6 3 . 则当 + = 1 时, x y x y

3x + ay 的最小值是




12、设函数 f(x),g(x)的定义域分别为 Df,Dg,且 D f ? Dg .若对于任意 x ∈ D f ,都有 g(x)=f(x),则称函 ≠ 数 g(x)为 f(x)在 Dg 上的一个延拓函数.设 f(x)=x2+2x, x ∈ ( ?∞, 0] ,g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数, 且 g(x)是偶函数,则 g(x)= 。

每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的, 二、选择题(本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得 选择题( 3 分,否则一律得零分,满分 16 分) 否则一律得零分, 13、如果 0 < a < b ,那么下列不等式中错误的是( (A) a + c < b + c (B) a < )
2 2

b

(C) ac < bc

(D)

1 1 > a b
( )

14、设函数 y = kx 2 ? 6 x + k + 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是 A. k ≥ 1 或 k ≤ ?9 B. k ≥ 1 C. ?9 ≤ k ≤ 1 ) D. 0 < k ≤ 1

15、下列函数在定义域上,既是奇函数又是减函数的是( (A) y =

x (1 ? x ) 1? x
3

(B) y = (D) y =

1 x

(C) y = ? x

3 x ? 3? x 2
( ) 题(16)图

16.右图中的图象所表示的函数的解析式为

3 3 ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 (C) y = ? | x ? 1| (0≤x≤2) 2
(A) y =

(B) y =

3 | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
(0≤x≤2)

(D) y = 1? | x ? 1 |

三、解答题: 本题共有 5 题,共 48 分) ( 17、 本题满分 8 分)已知集合 A = { x | 、 (

x?2 ≥ 0, x ∈ R}, B = { x | x ? 2a |≤ 2, x ∈ R} , x?3

若 A U B = R ,求实数 a 的取值范围。 18、(本题满分 8 分) 、 本题满分
1 1 1 给出集合 A={-2,-1, ? , ? , ,1,2,3}。已知 a∈A,使得幂函数 f ( x ) = x a 为奇函数; 2 3 2

指数函数 g(x)=ax 在区间(0,+∞)上为增函数。 (1)试写出所有符合条件的 a,说明理由; (2)判断 f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明。 19、(本题满分 10 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、 、 本题满分 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,设矩形温室的一边长为

x m ,蔬菜的种植面积为 S m 2 (如图所示) .
⑴试建立 S 关于 x 的函数关系式; ⑵当矩形温室的长和宽分别为多少时,蔬菜的种植面积最大,并求出最

大值.

20、(本题满分 10 分) 已知 f ( x ) = 、 本题满分

x2 + 2 x x+2

, g ( x) = x + 2 , H ( x ) = f ( x ) ? g ( x) .

(1) 画出函数 y = H ( x ? 1) + 2 的图像; (2) 试讨论方程 H ( x ? 1) + 2 = m 根的个数.

21、 本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = 3 x 2 + ( p + 2) x + 3 , p 为实数. 、 (本题满分 (1)若函数 y = f ( x) 是偶函数,试求函数 f ( x ) 在区间 [ ?1, 3] 上的值域; (2)已知 α :函数 f ( x ) 在区间 [ ?

1 , +∞) 上是增函数, β :方程 f ( x) = p 有小 2

于 ?2 的实根.试问: α 是 β 的什么条件(指出充分性和必要性)?请说明理由.

同济二附中 2009 学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷
满分:100 分,完成时间:90 分钟。
题号 得分


命题人:王桂杰 审核人:高福如
19 20 21 总 分

1--12

13--16

17

18

一、填空题(本大题共有 12 题,每题填对得 3 分,否则一律得零分,满分 36 分) 填空题( 否则一律得零分, 填空题 一、填空题(本大题共有 12 题,每题填对得 3 分,否则一律得零分,满分 36 分) 填空题( 否则一律得零分, 填空题


1、函数 f ( x ) =

x?3 的定义域是 2 ?8
x

。 ( 3, +∞ )

线



2、若函数 f(x)的反函数为 f 3、若 f ( x ) = x , g ( x) =

-1

(x)=x2(x>0) ,则 f(4)=

2

2 x

,则 f ( x ) ? g ( x ) = ______________。

2 x ( x > 0)

2 4、设全集 U = 2, 3, a + 2a ? 3 ,集合 A = 2 , a + 1 , CU A = { 5} ,则 a = _____ 。2

{

}

{

}

5、 设函数 A = x | x ? 2 ≤ 2 , B = y | y = ? x 2 , ?1 ≤ x ≤ 2 , 则A I B = 6、已知集合 A = ? x

{

}

{

}

{0}

? ?

1 ? ? 1 ? ≤ 2? , B = ? x ( ) x < 4? ,则 A I B = __________ ___ 。 x ? ? 2 ?

1 ( ?2 , 0) U [ , + ∞) 2 2 ( x ∈ R ) 是奇函数,则实数 a 的值为 2 +1 8、定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在 [0,+ ∞ ) 上的图像如右图所示,
7、若函数 f ( x ) = a ?
x

。1 2 。 O y 2 x

则不等式 xf ( x) < 0 的解集是 9、设函数 f ( x) = ?

( ?∞,? 2) U (2, ∞ ) +

? x 2 ? 4 x + 6, x ≥ 0 则不等式 f ( x ) > f (1) 的解集是_ ( ?3,1) ∪ ( 3, +∞ ) 10、.若 x + 6, x < 0 ?
。a >1

函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ≠ 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 11、设 x,, ∈ R + ,且当 x + 2 y = 1 时, y a

3 a 1 2 + 的最小值为 6 3 . 则当 + = 1 时, x y x y

3x + ay 的最小值是

. 6 3

12、设函数 f(x),g(x)的定义域分别为 Df,Dg,且 D f ? Dg .若对于任意 x ∈ D f ,都有 g(x)=f(x),则称函 ≠ 数 g(x)为 f(x)在 Dg 上的一个延拓函数.设 f(x)=x2+2x, x ∈ ( ?∞, 0] ,g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数, 且 g(x)是偶函数,则 g(x)= 。x2-2|x|

每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的, 二、选择题(本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得 选择题( 3 分,否则一律得零分,满分 16 分) 否则一律得零分, 13、如果 0 < a < b ,那么下列不等式中错误的是(C (A) a + c < b + c (B) a < ) (D)

b

(C) ac 2 < bc 2

1 1 > a b
( B )

14、设函数 y = kx 2 ? 6 x + k + 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是 A. k ≥ 1 或 k ≤ ?9 B. k ≥ 1 C. ?9 ≤ k ≤ 1 ) D. 0 < k ≤ 1

15、下列函数在定义域上,既是奇函数又是减函数的是(C

(A) y =

x (1 ? x ) 1? x
3

(B) y = (D) y =

1 x

(C) y = ? x

3 x ? 3? x 2
( A )

16.右图中的图象所表示的函数的解析式为 (A) y = (C)

3 3 3 ? | x ? 1 | (0≤x≤2) (B) y = | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 2 3 (0≤x≤2) (D) y = 1? | x ? 1 | y = ? | x ?1| 2

(0≤x≤2) 题(16)图

三、解答题: 本题共有 5 题,共 48 分) ( 17、已知集合 A = { x | 、

x?2 ≥ 0, x ∈ R}, B = { x | x ? 2a |≤ 2, x ∈ R} , x?3

求实数 的取值范围。 (本题满分 ( 若 A U B = R ,求实数 a 的取值范围。 本题满分 8 分) 解: A = ( ?∞, 2] U (3, +∞ ) , B = [2a ? 2, 2a + 2] …………………………………4 分 若 A U B = R ,则 ?

? 2a ? 2 ≤ 2 1 ,得 ≤ a ≤ 2 …………………………………4 分 2 ? 2a + 2 ≥ 3

18、某村计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室.在温 、 室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙 保留 3 m 宽的空地,设矩形温室的一边长为

x m ,蔬菜的种植面积为 S m 2 (如图所示) .
⑴试建立 S 关于 x 的函数关系式; ⑵当矩形温室的长和宽分别为多少时,蔬菜的种植面积最大,并求 出最大值. 解 ⑴ S = ( x ? 2) ?

? 800 ? ? 4? ? x ?

………… 2

1600 ? ? = 808 ? ? 4 x + ? x ? ?
⑵Q 4 x +

( 2 < x < 200 )

………… 4

1600 1600 ≥2 4 x ? = 160 x x

………… 6

∴808 ? ? 4 x + ?
?
当且仅当 4x =

1600 ? ? ≤808 ? 160 = 648 x ?

………… 8

1600 即 x = 20 时等号成立 ………… 9 x 800 ∴当矩形温室的长为 = 40 m ,宽为 20 m 时,蔬菜的种植面积最大, x
最大值为 648 m . 19、(本题满分 8 分) 、 本题满分
1 1 1 给出集合 A={-2,-1, ? , ? , ,1,2,3}。已知 a∈A,使得幂函数 f(x)=xa 为奇函数;指数 2 3 2
2

………… 10

函数 g(x)=ax 在区间(0,+∞)上为增函数。 (1)试写出所有符合条件的 a,说明理由; (2)判断 f(x)在(0,+∞)的单调性,并证明 解: (1)a=3。 …1 分

∵指数函数 g(x)=ax 在区间(0,+∞)上为增函数,∴a>1,∴a 只可能为 2 或 3。而当 a=2 时, 幂函数 f(x)=x2 为偶函数,只有当 a=3 时,幂函数 f(x)=x3 为奇函数。 (只需简单说明理由即可,无 需与答案相同) (2)f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数。 证明:在(0,+∞)上任取 x1,x2,x1<x2,
3 2 f(x1)-f(x2)= x13 ? x2 = ( x1 ? x2 )( x12 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 ? x2 )[( x1 +

…2 分 …1 分

1 2 3 2 x2 ) + x2 ] , 2 4

∵x1<x2,∴x1-x2<0, ( x1 +

1 2 3 2 x2 ) + x2 >0,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2)。 2 4

∴f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数。 20、(本题满分 12 分) 本题满分 已知 f ( x ) =

…4 分

x2 + 2 x x+2

, g ( x) = x + 2 , H ( x ) = f ( x ) ? g ( x) .

(3) 画出函数 y = H ( x ? 1) + 2 的图像; (4) 试讨论方程 H ( x ? 1) + 2 = m 根的个数. 解: (1) H ( x ) 的定义域为 x x > ?2
2

{

}

? x2 + 2x ( x ≥ 0) ? H ( x) = x + 2 x = ? 2 ? x ? 2 x ( ?2 < x < 0 ) ?

? x 2 + 1( x ≥ 1) ? (2) y = H ( x ? 1) + 2 = ( x ? 1) + 2 x ? 1 + 2 = ? 2 ? x ? 4 x + 5 ( ?1 < x < 1) ?
2

图像略 (5) 一解: {2} ∪ [10, +∞ ) 二解: [ 2,10 ) 无解: ( ?∞, 2 ) 21、 本题满分 12 分)已知函数 f ( x) = 3 x 2 + ( p + 2) x + 3 , p 为实数. 、 (本题满分 (1)若函数 y = f ( x) 是偶函数,试求函数 f ( x ) 在区间 [ ?1, 3] 上的值域; (2)已知 α :函数 f ( x ) 在区间 [ ?

1 , +∞) 上是增函数, β :方程 f ( x) = p 有小 2

于 ?2 的实根.试问: α 是 β 的什么条件(指出充分性和必要性)?请说明理由. 解: (1)由函数 y = f ( x) 是偶函数,得:p=-2 (2 分) ;值域: [3,30] 。 分) (2 (2) α : P ≥ 1 ; 分) β : P > (2 ;
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11 (4 分) 所以: α 是 β 的必要非充分条件(2 分) 3

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