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2012年理科高考试题分类解析汇编:圆锥曲线

时间:2013-03-10


2012 理科高考试题分类汇编:圆锥曲线
一、选择题 1 . (2012 年高考 (新课标理) 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y )
2

? 16x 的准线交于 A, B


两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为 A. 2 B. 2 2 C. ? D. ?

/>


x2 y 2 3a 2 . (2012 年高考(新课标理) 设 F F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? ) 上一 1 2 a b
点, ? F2 PF 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 1 A. ( D. )

1 2

B.

2 3

C.

? ?

? ?

3 . (2012 年高考(浙江理) 如图,F1,F2 分别是双曲线 C: )

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0) a 2 b2

的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心 率是
2 3 3 C. 2





A.

6 2 D. 3

B.

4 . (2012 年高考 (四川理) 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) .若点 M 到 )

该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A. 2 2 B. 2 3

) C. 4 D. 2 5

5 . (2012 年高考(上海春) 已知椭圆 C1 : )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1, C2 : ? ? 1, 则 12 4 16 8
B. C1 与 C 2 长轴长相同. D. C1 与 C 2 焦距相等.





A. C1 与 C 2 顶点相同. C. C1 与 C 2 短轴长相同.

6 . (2012 年高考(山东理) 已知椭圆 C : )

x2 y 2 3 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 x ? y ? 1的渐近线 2 a b 2
( )

与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

7 . (2012 年高考(湖南理) 已知双曲线 C : )

x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程 a2 b2
( )



x2 y2 A. =1 20 5

x2 y 2 B. =1 5 20

x2 y 2 C. =1 80 20
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x2 y2 D. =1 20 80

8 . (2012 年高考(福建理) 已知双曲线 )

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则该双曲线的焦点 4 b
( C.3
2

到其渐近线的距离等于 A. 5 B. 4 2 D.5



9 . (2012 年高考(大纲理) 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x )

? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则
( )

cos ?F1PF2 ?
A.

4 5 10. (2012 年高考(大纲理) 椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 )
B. C. D. A.

1 4

3 5

3 4





x2 y 2 ? ?1 16 12

B.

x2 y 2 ? ?1 16 8
2

C.

x2 y 2 ? ?1 8 4

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

11. (2012 年高考(安徽理) 过抛物线 y )

? 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ;
( )

则 ?AOB 的面积为 A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

二、填空题

? x =2 pt 2 , 12. (2012 年高考(天津理) 己知抛物线的参数方程为 ? ) ( t 为参数),其中 p >0 ,焦点为 F ,准线为 l ,过 ? y =2 pt ,
抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 |EF |=|MF | ,点 M 的横坐标是 3,则 p = _______.
13. (2012 年高考 (重庆理) 过抛物线 y )
2

? 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若 AB ?

25 , AF ? BF , 12

则 AF =_____________________.

14. (2012 年高考(四川理) 椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周 4 3

长最大时, ?FAB 的面积是____________.
15. (2012 年高考(上海春) 抛物线 )

y 2 ? 8 x 的焦点坐标为_______.

16. (2012 年高考(陕西理) 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后, )

水面宽____米.
17. (2012 年高考(辽宁理) 已知 P,Q 为抛物线 x )
2

y

? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为
x

4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________.
18. (2012 年高考(江西理) 椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右 a 2 b2
x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为____. m m ?4

焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
19. (2012 年高考(江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 )

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y

x2 y 2 20. (2012 年高考(湖北理) 如图,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 , ) a b 虚轴两端点为 B1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2,切点分别为 A, B, C , D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ________;

B2 B A1 F1 C B1 O D A A2 F2

S (Ⅱ)菱形 F1B1F2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值 1 ? ________. S2
21. (2012 年高考(北京理) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过抛物线 y )
2

x

? 4x 的焦点

F,且与该抛物线相较于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________.
三、解答题 22. (2012 年高考(天津理) 设椭圆 )

x2 y 2 + =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上且异于 A, B 两 a 2 b2
1 ,求椭圆的离心率; 2

点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

(Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 .

23. (2012 年高考(新课标理) 设抛物线 C : x )

2

? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值.

24. (2012 年高考(浙江理) 如图,椭圆 C: )

1 x2 y 2 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 . 2 2 a b

不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

25. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) )

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如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2 的中点分别 为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

26. (2012 年高考(四川理) 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B (2, 0) 构成 ?MAB ,且 ?MBA ? 2?MAB ,设动 )

点 M 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R , 且 | PQ |?| PR | ,求

| PR | 的取值范围. | PQ |

y

M

A

O

B x

27. (2012 年高考(上海理) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x )

2

? y2 ? 1.

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:
2 2

OP⊥OQ;
(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON,
2 2

求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

28. (2012 年高考(上海春) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. )

已知双曲线 C1 : x ?
2

y2 ? 1. 4

(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P (4, 3) 的双曲线 C 2 的标准方程;

OB ? 3 时,求实数 m 的值. (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当 OA?

??? ??? ? ?

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29. (2012 年高考(陕西理) 已知椭圆 C1 : )

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

30. (2012 年高考(山东理) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x )

2

? 2 py( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C
3 . 4

上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;

(Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 的交点 D, E ,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与圆 Q 有两个不同 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

31. 2012 年高考 ( (辽宁理) 如图,椭圆 C0 : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0 ,a,b 为常数),动圆 C1 : x2 ? y2 ? t12 , b ? t1 ? a . a 2 b2

点 A , A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点. 1 (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A/ , B/ , C / , D/ 四点,其中 b ? t2 ? a , 2 t1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2 为定值.

32. (2012 年高考(江西理) 已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 )

C 上任意一点 M(x,y)满足 MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 . (1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值.若不存在,说明理 由.
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??? ???? ?

???? ??? ??? ? ? ?

33. (2012 年高考(江苏) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

? 3? e 0) F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 0) ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. y

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

A P B

F1

O

F2

x

(第 19 题)

34. (2012 年高考(湖南理) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2:(x-5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到 )

2

2

直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明: 当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

35. (2012 年高考(湖北理) 设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 )

x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹
为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N ,直线
QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值;若不存在,

请说明理由。

36. (2012 年高考(广东理) (解析几何)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : )

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 a2 b2

e?

2 且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0,2 ? 的距离的最大值为 3. 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m, n ? ,使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 A 、B , 且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积;若不存在,请说明理由.
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37. (2012 年高考(福建理) 如图,椭圆 E : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 , a 2 b2

右焦点为 F2 ,离心率 e ? 为 8. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程.

1 .过 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长 1 2

(Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相较于点 Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

38. (2012 年高考(大纲理) (注意:在试卷上作答无效) ) ........

已知抛物线 C : y ? ( x ? 1)2 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,且在 A 处两曲线的切
2 2 2

1 2

线为同一直线 l . (1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离.

39. (2012 年高考(北京理) 已知曲线 C: )

(5 ? m) x2 ? (m ? 2) y 2 ? 8(m ? R)

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆,求 m 的范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G 求证:A,G,N 三点共线.

x2 y 2 40. (2012 年高考(安徽理) 如图, F (?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ) 1 a b
的左,右焦点,过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 1 过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ?

a2 于点 Q ; c

(I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

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2012 理科高考试题分类汇编:圆锥曲线参考答案 一、选择题 1.

【 解 析 】 选 C 设 C : x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 交 y 2 ? 16x 的 准 线 l : x ? ?4 于 A(?4, 2 3) B(?4, ?2 3) 得: a2 ? (?4)2 ? (2 3)2 ? 4 ? a ? 2 ? 2a ? 4

2. 3.

【解析】选 C ? F2 PF 是底角为 30? 的等腰三角形 ? PF2 ? F2 F1 ? 2( a ? c) ? 2c ? e ? 1 【答案】B
b b 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ . c c b b 直 线 PQ 为 :y= (x+c), 两 条 渐 近 线 为 :y= x. 由 a c

3 2

c 3 ? a 4

b ? ? y= c ( x+c) ac bc ? , 得 :Q( , ); 由 ? c?a c?a ? y= b x ? a ?

b ? ? y= c ( x+c) ? , ? ? y=- b x ? a ?

得:P(

? ac bc bc b ? ac , ).∴直线 MN 为:y=﹣ (x), c?a c?a c?a c c?a

令 y=0 得:xM=
4.

c3 c3 c2 3 6 .又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM= 2 ,解之得: e2 ? a ? ,即 e= . 2 2 2 2 c ?a c ?a a 2
2

[答案]B [解析]设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为(

p p ,0 ),准线方程为 x= ? , 2 2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离. p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? 3, 且 (2 ? ) ? 3 2 2 解得:p ? 1, y0 ? 2 2 ?点M(2,2 2) ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的 距离). 5. D
6.

【解析】因为椭圆的离心率为

1 2 3 c 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 ,所以 e ? ? , c ? a , c ? a ? a ? b ,所以 b ? a ,即 4 4 4 2 a 2

x2 x2 x2 x 2 5x 2 ? ? ?1 , 所 以 a ? 4b , 双 曲 线 的 渐 近 线 为 y ? ? x , 代 入 椭 圆 得 2 ? 2 ? 1 , 即 4b 2 b 2 4b 2 a b
2 2

x2 ?

4 2 2 2 2 2 4 b ,x ? ? b , y2 ? b2 , y ? ? b ,则第一象限的交点坐标为 ( b, b) ,所以四边形的面 5 5 5 5 5 5 2 5 b? 2 5 b?

积为 4 ?
7.

x2 y2 16 2 b ? 16 ,所以 b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为 ? ? 1 ,选 D. 5 20 5

【答案】A

x2 y 2 【解析】设双曲线 C : 2 - 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a b
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又? C 的渐近线为 y ? ?

b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为
2 2 2

x2 y2 =1. 20 5

【点评】 本题考查双曲线的方程、 双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力, 是近年来常考题型. 8. 【答案】A 【解析】 ∵抛物线的焦点是 F (3, 0) ,∴双曲线的半焦距 c ? 3 ,?4 ? b2 ? 32 ? b ? 5, a ? 4 ,故双曲线的渐 近线的方程为 y ? ?

5 x 2

【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系.考查推理谁能力、 逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想. 9. 答案 C 【命题意图】 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到 两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF |? 2x,| PF2 |? x ,则 | PF | ? | PF2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 1 1

| PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2
cos ?F1PF2 ?
10.答案 C

,

F1F2 ? 4

,




2













2 2 PF12 ? PF ? F F (4 2)2 ? (2 2) ? 42 3 2 2 ? 1 ? . 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2

【命题意图】 本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和 准线求解参数 a, b, c ,从而得到椭圆的方程. 【 解 析 】 因 为 2c ? 4 ? c ? 2 , 由 一 条 准 线 方 程 为 x ? ?4 可 得 该 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 县

a2 2 2 2 ? 4 ? a2 ? 4 ? 8 c ,所以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 .故选答案 C c
11. 【解析】选 C

设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

1 1 3 2 2 3 2 ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? ? 2 2 2 3 2
二、填空题 12. 【答案】2

【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质.

? x =2 pt 2 , p 2 【解析】∵ ? 可得抛物线的标准方程为 y =2 px (p>0) ,∴焦点 F ( ,0) ,∵点 M 的横坐标是 3,则 2 ? y =2 pt ,

M (3, ? 6 p ) ,所以点 E ( ?

p p p , ? 6 p ) , EF 2 =( ? ) 2 +(0 ? 6 p ) 2 2 2 2
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由抛物线得几何性质得 MF =
13. 【答案】

p 1 +3 ,∵ EF =MF ,∴ p 2 +6 p = p 2 +3 p +9 ,解得 p =2 . 2 4

5 6
析 】 设





| AF |? m,| BF |? n

,





1 ? m

1 ? n

,

1 又 p

| AB |?

25 12

,





m?n ?

2 5 2 5 5 , mn ? ? m ? ,n ? . 12 24 6 4

5

【考点定位】 本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常根据 焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题.
14. [答案]

2 3
2 2

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5

? c ? 2,? e ?

c 2 ? a 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
15. (2, 0) 16.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 x
2

= - 2 y ,当 y = - 3 时,

x=

6 ,所以水面宽 2 6 米.

17. 【答案】 ? 4

【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以过点 P,Q 的抛物线 2

的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键.
18.

5 【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与 5
归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: AF ? a ? c , F F2 ? 2c , F B ? a ? c .又已知 1 1 1

AF1 , F1F2 , F1B 成等比数列,故 (a ? c)(a ? c) ? (2c)2 ,即 a2 ? c2 ? 4c2 ,则 a 2 ? 5c 2 .故 e ?
5 . 5

c 5 ? .即 a 5

椭圆的离心率为

【点评】 求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a , c 的方程,然后化为有关 a , c 的齐次式方程,进而 转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭 圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 19. 【答案】2. 【考点】双曲线的性质.

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【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 . m m ?4

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 . a m
20.考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算.

解析:(Ⅰ)由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,因此点 O 到直线 F2 B2 的距离为 a ,又由于虚轴两端 点 为 B1 , B 2 , 因 此 OB2 的 长 为 b , 那 么 在 ?F2 OB2 中 , 由 三 角 形 的 面 积 公 式 知,

1 1 1 bc ? a | B2 F2 |? a (b ? c) 2 ,又由双曲线中存在关系 c 2 ? a 2 ? b 2 联立可得出 (e 2 ? 1) 2 ? e 2 ,根 2 2 2

据 e ? (1,??) 解出 e ?

5 ?1 ; 2
2

(Ⅱ)设 ?F2 OB2 ? ? ,很显然知道 ?F2 A2 O ? ?AOB2 ? ? , 因此 S 2 ? 2a sin(2? ) .在 ?F2 OB2 中求得

sin? ?

b b2 ? c2

, cos? ?

c b2 ? c2

, 故 S 2 ? 4a 2 sin ? cos? ?

4a 2 bc ; b2 ? c2

菱形 F1 B1 F2 B2 的面积 S1 ? 2bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出

S1 2 ? 5 . ? S2 2

21. 【答案】

3

【解析】由 y 2 ? 4 x ,可求得焦点坐标为 F (1, 0) ,因为倾斜角为 60? ,所以直线的斜率为 k ? tan 60? ? 3 , 利 用 点 斜 式 , 直 线 的 方 程 为

y ? 3x ? 3 , 将 直 线 和 曲 线 方 程 联 立

? y ? 3x ? 3 1 1 1 2 3 ? ? A(3, 2 3), B( , ? ) ,因此 S?OAF ? ? OF ? y A ? ? 1? 2 3 ? 3 . ? 2 2 3 3 ? y2 ? 4x ?
【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题把握住抛物线的 基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键.当然还要知道三角形面积公式.
三、解答题 22. 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础

知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方程,考查运算求解能力、综合分析和 解决问题的能力. 解答策略一: (1)取 P(0, b) , A(?a,0), B(a,0) ;则 k AP ? k BP ?

b b 1 ? (? ) ? ? ? a 2 ? 2b 2 a a 2

a 2 ? b2 1 2 e ? ? ?e? 2 a 2 2
2

(2)设 P(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) ;则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? )

a 2

b 2

|AP|=|OA| ? AQ ? OP ? kAQ ? k ? ?1
k AQ ? b sin ? ? b sin ? ? ak AQ cos ? ? 2ak AQ 2a ? a cos ?

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2 2 ? 2ak AQ ? b2 ? a 2 k AQ ? a 1 ? k AQ ? k AQ ?

3 ?k ? 3 3

解答策略二 (1)设点 P( x0 , y0 ) ,由题意有

x0 2 y0 2 + =1 ① a 2 b2

方法二:依题意,直线 OP 的方程为 y ? kx ,可设点 P( x0 , kx0 ) ,由点 P 在椭圆上,有

x0 2 k 2 x0 2 ? 2 ? 1 ,因为 a2 b

a ? b ? 0, kx0 ? 0 ,所以

x0 2 k 2 x0 2 ? 2 ? 1 即 (1 ? k 2 ) x02 ? a2 ③ a2 b
?2 a ,代入③ 1? k 2

由 | AP |?| OA |, A(?a, 0) ,得 ( x0 ? a)2 ? k 2 x02 ? a2 整理得 (1 ? k 2 ) x02 ? 2ax0 ? 0 ,于是 x0 ?

4a 2 ? a 2 ? k 2 ? 3 ?| k |? 3 . 得 (1 ? k ) ? 2 1? k
2

23. 【解析】(1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边

BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

S?ABD ? 4 2 ?
2

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2
2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
2 p x0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p

(2)由对称性设 A( x0 ,

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点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2 2p 2p 2

3p p ? p 3p 3p ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

3p p x2 x 3 3 , ) x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3. 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为
24. 【解析】

(Ⅰ)由题: e ?

c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a 2 ? 4,b 2 ? 3,c 2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2 ∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∴? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . x A ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2
? x2 y 2 ?1 ? + ?4 3 代入椭圆: ? ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB =
m2 ? 3 . 3

∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
1 3 ∴S ? ABP= d|AB|= 2 6 利用导数解:

( xA ? xB )2 ? 4xA xB =
8 ? 2m 13 ? 2 4?m 13

39 6

12 ? m2 .

.

(4 ? m)2 (12 ? m2 ) ,其中﹣ 12 <m< 12 且 m≠0.

令 u(m) ? (4 ? m)2 (12 ? m2 ) ,
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则 u?(m) ? ?4(m ? 4)(m2 ? 2m ? 6) ? ?4(m ? 4)(m ? 1 ? 7)(m ? 1 ? 7) 当 m= 1 ? 7 时,有(S ? ABP)max. 此时直线 l 的方程 3x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 . 【答案】(Ⅰ)
x2 y 2 + ? 1 ;(Ⅱ) 3x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 . 4 3

25. 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般方程,直线与圆锥曲线的综合问

x2 y 2 解:设所求椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,右焦点为 F2 ? c,0? . a b
因 ? AB1B2 是直角三角形,又 AB1 ? AB2 ,故 ?B1 AB2 为直角,因此 OA ? OB2 ,得 b ? 结合 c ? a ? b 得 4b ? a ? b ,故 a2 ? 5b2 , c2 ? 4b2 ,所以离心率 e ?
2 2 2 2 2 2

c . 2

c 2 ? 5. a 5

在 Rt? AB1B2 中, OA ? B1B2 ,故

S? AB1B2 ?

1 c B1 B2 ?OA ? OB2 ?OA ? ? ? b 2 b 2 2
2 2 2

由题设条件 S? AB1B2 ? 4 ,得 b ? 4 ,从而 a ? 5b ? 20 . 因此所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 20 4
(2)由(1)知 B1 (?2,0), B(2,0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为: x ? my ? 2 ,代入椭
2 2 圆方程得 m ? 5 y ? 4my ? 16 ? 0 ,

?

?

设 P ? x1, y2 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是上面方程的两根,因此

4m 16 , y1 ?y2 ? ? 2 2 m ?5 m ?5 ???? ? ???? ? 又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 y1 ? y2 ?

???? ???? ? ? B2 P?B2Q ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2
? ? my1 ? 4?? my2 ? 4? ? y1 y2
? ? m 2 ? 1? y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16

??

16 ? m2 ? 1? m2 ? 5
16m 2 ? 64 m2 ? 5

16m2 ? 2 ? 16 m ?5

??

由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P? 2Q ? 0 ,即 16m ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 , B
2

???? ???? ? ?

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 x ? 2 y ? 2 ? 0
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26. [解析](1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0, y ? 0 .

当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
| y| 2 | y| x ?1 ? ? 2 tan ?MAB 有 tan∠MBA= ,即 x ? 2 1 ? ( | y | ) 2 1 ? tan 2 ?MAB x ?1

化简得:3x -y -3=0,而又经过(2,,±3) 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x -y -3=0(x>1) (II)由方程

2

2

? y ? ?2 x ? m 2 2 消去 y,可得 x ? 4m x ? m ? 3 ? 0 .(*) ? 2 2 ?3x ? y ? 3 ? 0

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x) ? x2 ? 4mx? m2 ? 3

? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? 所以 ? f (1) ? 12 ? 4m ? m 2 ? 3 ? 0 ?? ? (?4m) 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ? ? ?
解得,m>1,且 m ? 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( x0 , y0 ), ( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有

xR ? 2m ? 3(m 2 ? 1) , x0 ? 2m ? 3(m 2 ? 1)

1 2 ? 3(1 ? 2 ) PR xR 2m ? 3(m 2 ? 1) 4 m ? ?1 ? ? ? ? 所以 PQ xQ 2m ? 3(m 2 ? 1) 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2 ? 3(1 ? 2 ) m m
由 m>1,且 m ? 2,有

1 ? ?1 ?

4 1 2 ? 3(1 ? 2 ) m

? 7 ? 4 3, 且 ? 1 ?

? 7. 1 2? ( ? 2) 31 m

4

所以

PR 的取值范围是 ?1,7? ? (7,7 ? 4 3) PQ

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分 类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
27. [解](1)双曲线 C1 :
x2
1 2

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x . 2 (x ?
2 2

过点 A 与渐近线 y ? 2 x 平行的直线方程为 y ? 解方程组 ?

) ,即 y ? 2 x ? 1.

?x ? ? ?y ? ? 2 x ? ,得 ? ?y ? 1 ?y ? 2 x ?1 2 ?

2 4

所以所求三角形的面积 1 为 S ? 1 | OA || y |? 2

2 8

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(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
|b| 2

? 1 ,即 b2 ? 2

由?

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

又 y1 y2 ? ( x1 ? b)(x2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2
? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,
故 OP⊥OQ (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为

3 3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?
2 2

),则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x . k
1? k 2 4? k 2

? x2 ? ? y ? kx ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ?y ? ?4 x ? y ? 1 ?
2 同理 | OM | ? 1? k 2 2 k 2 ?1

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

.

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | )d ?| OM | | ON | ,
2 2 2 2 2

所以 d12 ?

1 |OM | 2

1 ? |ON | 2 ?

3k 2 ? 3 k 2 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值
28. 解 (1) 双 曲 线 C1 的 焦 点 坐 标 为 (

5,0),(? 5,0) , 设 双 曲 线 C2 的 标 准 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 则 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 5 ?a 2 ? 4 x2 ? ? ? y 2 ? 1. ?? ,所以双曲线 C2 的标准方程为 ?16 3 2 4 ? 2 ? 2 ? 1 ?b ? 1 ? ?a b
(2)双曲线 C1 的渐近线方程为 y ? ?2 x ,设 A( x1 , 2x1 ), B( x2 , ?2x2 )

? 2 y2 ?0 ?x ? 4 ? 3x 2 ? 2mx ? m 2 ? 0 ,由 ? ? 16m2 ? 0 ? m ? 0 由? ? ?y ? x ? m
又因为 x1 x2 ? ?
2

??? ??? ? ? m2 ,而 OA ? OB ? x1x2 ? 2x1 ? (?2x2 ) ? ?3x1x2 3

所以 m ? 3 ? m ? ? 3 .
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29.解析:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 2) a2 4

其离心率为

3 a2 ? 4 3 ,故 ,则 a ? 4 ? 2 a 2
y 2 x2 ? ?1 16 4

故椭圆的方程为

(2)解法一

A, B 两点的坐标分别记为 ( xA , yA ), ( xB , yB )

由 OB ? 2OA 及(1)知, O, A, B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 AB 的方程为 y ? kx 将 y ? kx 代入

??? ?

??? ?

4 x2 2 ? y 2 ? 1中,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,所以 x A ? 1 ? 4k 2 4

16 y 2 x2 2 ? ? 1 中,则 (4 ? k 2 ) x2 ? 16 ,所以 xB ? 将 y ? kx 代入 4 ? k2 16 4
2 2 由 OB ? 2OA ,得 xB ? 4 xA ,即

??? ?

??? ?

16 16 ? 2 4?k 1 ? 4k 2

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x 解法二

A, B 两点的坐标分别记为 ( xA , yA ), ( xB , yB )

由 OB ? 2OA 及(1)知, O, A, B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 AB 的方程为 y ? kx 将 y ? kx 代入

??? ?

??? ?

4 x2 2 ? y 2 ? 1中,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,所以 x A ? 1 ? 4k 2 4
2

由 OB ? 2OA ,得 xB ?

??? ?

??? ?

16 16k 2 2 , yB ? 4 ? k2 1 ? 4k 2

y 2 x2 4 ? k2 ? ? 1 中,得 ? 1,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 将 x , y 代入 2 16 4 1 ? 4k
2 B 2 B

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x .

30.解析:(Ⅰ)F 抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点 F (0,

2

x p p ) ,设 M ( x0 , 0 )(x0 ? 0) , Q(a, b) ,由题意可知 b ? ,则点 2 4 2p

2

到抛物线 C 的准线的距离为 b ?

3 p p p 3 ? ? ? p ? ,解得 p ? 1 ,于是抛物线 C 的方程为 x 2 ? 2 y . 4 2 4 2 4

(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M,

x 1 1 而 F (0, ), O(0,0), M ( x0 , 0 ) , Q(a, ) , MQ ? OQ ? QF , 4 2 2
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2

( x0 ? a) 2 ? (

x0 x 1 1 3 ? ) 2 ? a 2 ? , a ? 0 ? x0 , 2 4 16 8 8
2

2

3

1 x0 ? 1 5 1 1 2 ? ? x , k ? x0 ? 43 2 ,则 x0 4 ? x0 2 ? ? x0 2 , 由 x ? 2 y 可得 y 8 8 4 2 x0 5 ? x0 8 8
即 x0 ? x0 ? 2 ? 0 ,而 x0 ? 0 ,解得 x0 ?
4 2

2 ,点 M 的坐标为 ( 2 ,1) .
5 2 1 , ). 8 4

(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,则点 M ( 2 ,1) , Q(

? x2 ? 2y 1 ? 2 2 由? 1 可得 x ? 2kx ? ? 0 , ? ? 4k ? 2 ? 0 .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 2 ? y ? kx ? 4 ?
AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2)
2

k?
圆 Q : (x ?

5 2 2 1 50 1 27 ,D ? ) ? ( y ? )2 ? ? ? 8 4 64 16 32

5 2 8

1? k 2

?

5 2k 8 1? k 2

27 25k 2 27 ? 2k 2 , DE ? 4[ ? ]? 32 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 )
2

于是 AB ? DE
2

2

? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ?

5 27 ? 2k 2 2 ,令 1 ? k ? t ? [ ,5] 2 4 8(1 ? k )
, 设

AB ? DE ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ?
2 2

27 ? 2k 2 2t ? 25 25 1 ? t (4t ? 2) ? ? 4t 2 ? 2t ? ? 2 8t 8t 4 8(1 ? k )

25 1 25 ? , g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 , 8t 4 8t 5 25 当 t ? [ ,5] 时, g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 ? 0 , 4 8t 5 1 25 5 25 1 1 即当 t ? , k ? 时 g (t ) min ? 4 ? ? 2? ? ? ?6 . 5 4 4 2 16 4 2 8? 4 1 1 2 2 故当 k ? 时, ( AB ? DE ) min ? 6 . 2 2 g (t ) ? 4t 2 ? 2t ?
31. 【答案及解析】

第 - 18 - 页 共 27 页

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系 和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较大.在求解点 M 的轨迹方程时,要注意 首先写出直线 AA 和直线 A2 B 的方程,然后求解.属于中档题,难度适中. 1
32.

【解析】 解:(1)依题意可得 MA ? (?2 ? x,1 ? y), MB ? (2 ? x,1 ? y) ,

??? ?

????

???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? | MA ? MB |? (?2 x) 2 ? (2 ? 2 y ) 2 , OM ? (OA ? OB) ? ( x, y ) ? (0, 2) ? 2 y ,
2 2 2 由已知得 (?2 x) ? (2 ? 2 y ) ? 2 y ? 2 ,化简得曲线 C 的方程: x ? 4 y

(2)假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件,则直线 PA 的方程是 y ?

t ?1 1? t x ? t ,直线 PB 的方程是 y ? x?t , 2 2

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曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为 y ?

x0 x2 x2 x ? 0 , 它与 y 轴的交点为 F (0, ? 0 ) ,由于 ?2 ? x0 ? 2 ,因此 2 4 4

?1 ?

x0 ?1 2

①当 ?1 ? t ? 0 时, ?1 ? 时不符合题意 ② 当 t ? ?1 时 ,

x t ?1 1 t ?1 ? ? ,存在 x0 ? (?2, 2) ,使得 0 ? ,即 l 与直线 PA 平行,故当 ?1 ? t ? 0 2 2 2 2

x 1? t x t ?1 ? ?1 ? 0 , ? 1 ? 0 , 所 以 l 与 直 线 PA,PB 一 定 相 交 , 分 别 联 立 方 程 组 2 2 2 2

t ?1 1? t ? ? ?y ? 2 x ?t ?y ? 2 x ?t ? ? , , ? 2 ? 2 ? y ? x0 x ? x0 ? y ? x0 x ? x0 ? ? 2 4 ? ? 2 4
2 2 x0 ? 4t x0 ? 4t 解得 D,E 的横坐标分别是 xD ? , xE ? 2( x0 ? 1 ? t ) 2( x0 ? t ? 1) 2 x2 x0 ? 4t ,又 | FP |? ? 0 ? t , 2 4 x0 ? (t ? 1)2

则 xE ? xD ? (1 ? t )

有 S? PDE ?

2 2 x2 4 ? x0 1 1 1 ? t ( x0 ? 4t )2 ,又 S? QAB ? ? 4 ? (1 ? 0 ) ? | FP | ? | xE ? xD |? ? 2 2 4 2 2 8 (t ? 1)2 ? x0

于是

S? QAB S? PDE

2 2 4 2 4 ( x0 ? 4)[ x0 ? (t ? 1)2 ] 4 x0 ? [4 ? (t ? 1)2 ]x0 ? 4(t ? 1) 2 ? ? ? ? 2 4 2 1? t ( x0 ? 4t )2 1? t x0 ? 8tx0 ? 16t 2

对任意 x0 ? (?2, 2) ,要使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数,只需 t 满足 ?

??4 ? (t ? 1) 2 ? 8t ? , 2 2 ?4(t ? 1) ? 16t ?

解得 t=-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为 2,故存在 t=-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2. 【点评】 本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高 考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、 考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位 置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、 考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线 与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛 物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.
33. 【答案】解:(1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e ,由点 (1 , ) 在椭圆上,得 a

12 a
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 ,∴ c 2 =a 2 ? 1 .

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 e ? 2 ? ? 1 ? c ? ? 2 ? ? 1 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 ? 1 4 a2 b2 a4 a4
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∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)由(1)得 F1 (?1, , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) 0) ∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 . m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 .① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

.②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 .解 得 m 2 =2. = 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 . ∴直线 AF1 的斜率为

1 2 = . m 2

(ii)证明:∵ AF1 ∥ BF2 ,∴

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 PB ? ?1 ? 2 ?1? ? ,即 . PF1 AF1 PF1 AF1 PF1 AF1

∴ PF1 =

AF1 BF1 . AF1 ? BF2
AF1 2 2 ? BF2 . AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 = 1

?

?

同理. PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 . AF1 ? BF2 AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ? ∴ PF1 ? PF2 是定值.

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2
2

,

2 3 = 2. 2 2

【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式.

e 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 (1 , ) 和 ? e ,

? ? ?

3? ? 都在椭圆上列式求解. 2 ? ?

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(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

6 ,用待定系数法求解. 2

34. 【解析】(Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,
易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以

( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 .
化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . 解法 2 :由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离,因此,曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,故其方程为 y 2 ? 20 x .

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相 切 得 直 线 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 0, 每 条 切 线 都 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 , 切 线 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? 4),即kx-y+y0 +4k=0 .于是

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1
整理得

? 3.

2 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.



设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故

k1 ? k2 ? ?

18 y0 y ?? 0. 72 4



由?

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 得 k1 y2 ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根,所以

y1 ? y2 ?

20( y0 ? 4k1 ) . k1 20( y0 ? 4k2 ) . k2



同理可得

y3 ? y4 ?



于是由②,④,⑤三式得

y1 y2 y3 y4 ?

400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) k1k2
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?

2 400 ? y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? ? ?

k1k2
2 2 400 ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ? ?

?

k1k2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想 等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立, 由一元二次方程根与系数的关系得到 A, B, C , D 四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.
35.考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及

几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求. 解析: (Ⅰ)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |?

1 | y |. m

① ②

因为 A 点在单位圆上运动,所以 x02 ? y02 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ? 因为 m ? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以 当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m2 , 0) ; 当 m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 (0, ? m2 ? 1) , (0,

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

m2 ? 1) .

(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得

? x1 ? x2 ? ?

4k 2 x1 m2 x ,即 x2 ? 2 1 2 . m 2 ? 4k 2 m ? 4k
2km 2 x1 . m 2 ? 4k 2

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

???? ??? ? 4k 2 x 2km 2 x1 ). 于是 PQ ? (?2x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 m ? 4k m ? 4k 2 ??? ???? 4(2 ? m 2 )k 2 x12 ? ? 0, 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ? m 2 ? 4k 2

即 2 ? m 2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ?

y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

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y A

y H
M

y H
P

N
x
Q

N
D x
Q

P

O

O

O

x

图1

图 2 (0 ? m ? 1)

图 3 (m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
?m2 x 2 ? y 2 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 1 2 1 2 两式相减可得 2 ?m x2 ? y2 ? m , ?
m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 .



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③式可得

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 于是由④式可得 k PQ ? k PH



2y1 y1 ? y2 . ? x1 x1 ? x2 y y ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 ? 1? 1 ? ? ?? . x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2
m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2 y2 ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH 2

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ?
36. 解 析 :(Ⅰ) 因 为 e ?

c2 2 2 , 所 以 2 ? , 于 是 a 2 ? 3b2 . 设 椭 圆 C 上 任 一 点 P ? x, y ? , 则 a 3 3

? y2 ? 2 2 2 PQ ? x 2 ? ? y ? 2 ? ? a 2 ?1 ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? ?2 y 2 ? 4 y ? 4 ? 3b2 ( ?b ? y ? b ). ? b ?
当 0 ? b ? 1 时, PQ 在 y ? ?b 时取到最大值,且最大值为 b 2 ? 4b ? 4 ,由 b2 ? 4b ? 4 ? 9 解得 b ? 1 ,与假设
2

0 ? b ? 1 不符合,舍去.

当 b ? 1 时, PQ 在 y ? ?1 时取到最大值,且最大值为 3b 2 ? 6 ,由 3b2 ? 6 ? 9 解得 b 2 ? 1 .于是 a 2 ? 3 ,椭圆 C
2

的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 3

(Ⅱ) 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为 d ?

1 m ? n2
2

, 弦 长 AB ? 2 1 ? d 2 , 所 以 ?O A B的 面 积 为

S?

m2 1? 1 1 ? ? n2 ? 1, AB ? d ? d 1 ? d 2 ,于是 S 2 ? d 2 ?1 ? d 2 ? ? ? ? d 2 ? ? ? .而 M ? m, n ? 是椭圆上的点,所以 3 2? 4 2 ?
2

2

1 1 1 ,而 ?1 ? n ? 1 ,所以 0 ? n 2 ? 1 , 1 ? 3 ? 2n2 ? 3 ,所以 ? d 2 ? 1 ,于 ? 2 2 m ?n 3 ? 2n 3 1 1 1 1 3 是当 d 2 ? 时, S 2 取到最大值 ,此时 S 取到最大值 ,此时 n2 ? , m2 ? . 2 4 2 2 2
即 m2 ? 3 ? 3n2 ,于是 d 2 ?
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综上所述,椭圆上存在四个点 ?

? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? 、 、 、 ,使得直线与圆相交于 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ? ?? 2 , 2 ? ? 2 ,? 2 ? ?? 2 ,? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

不同的两点 A 、 B ,且 ?OAB 的面积最大,且最大值为

1 . 2

点评:此题与 2012 年南海区高三 8 月摸底考试的试题相似度极高.

? 3? (2012 年南海区高三 8 月摸底考试)已知椭圆 C 的两焦点为 F1 ? ?1,0? 、 F2 ?1,0 ? ,并且经过点 M ?1, ? . ? 2?
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,证明:当点 P ? m, n? 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆 O 恒相交; 并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 37. 【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础知识,考查运算求解 力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想. 【解析】因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 ,即 | AF | ? | F B | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 1 1 而 | AF1 | ? | AF2 |?| F1B | ? | BF2 |? 2a ,所以 4a ? 8 ? a ? 2 ,而 e ? 所求椭圆方程为

c 1 1 ? ? c ? a ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3 a 2 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

? y ? kx ? m ? ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 (2)由 ? 2 x y2 ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0
? y ? kx ? m 4km 4k 3 4k 3 ? ? ? , y0 ? ,? P (? , ) ,由 ? ? Q(4, 4k ? m) 2 4k ? 3 m m m m x?4 ? ? ???? ???? ? 16k 4kx1 12k ? ? 4 x1 ? x12 ? ?3? 0 设存在 M ( x1 ,0) ,则由 MP ? MQ ? 0 可得 ? m m m k ? (4 x1 ? 4) ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m, k 恒成立,所以联立解得 x1 ? 1 . m
x0 ?
故存在定点 M (1,0) ,符合题意.
38. 【命题意图】 本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点

到直线的距离.
2 2 解:(1)设 A( x0 ,( x0 ?1) ) ,对 y ? x ? ( x ? 1) 求导得 y? ? 2( x ? 1) ,故直线 l 的斜率 k ? 2( x0 ? 1) ,当 x0 ? 1

时,不合题意,所心 x0 ? 1

1 圆心为 M (1, ) , MA 的斜率 k ? ? 2

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2

由 l ? MA 知 kk ? ? ?1 ,即 2( x0 ? 1) ?

( x0 ? 1) 2 ? x0 ? 1

1 2 ? ?1 ,解得 x ? 0 ,故 A(0,1) 0

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所以 r ?| MA |? (1 ? 0) ? ( ? 1) ?
2 2

1 2

5 2

(2) 设 (a,(a ? 1)2 ) 为 C 上 一 点 , 则 在 该 点 处 的 切 线 方 程 为 y ? (a ? 1)2 ? 2(a ? 1)( x ? a) 即

y ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1
1 | 2(a ? 1) ?1 ? ? a 2 ? 1| 5 5 2 若该直线与圆 M 相切,则圆心 M 到该切线的距离为 ,即 ,化简可得 ? 2 2 [2(a ? 1)]2 ? (?1) 2

a2 (a2 ? 4a ? 6) ? 0
求解可得 a0 ? 0, a1 ? 2 ? 10, a2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 (ai ,(ai ? 1)2 )(i ? 0,1, 2) 处的切线分别为 l , m, n ,其方程分别为

y ? 2 x ? 1 ① y ? 2(a1 ?1) x ? a12 ?1 ②
②-③得 x ?

y ? 2(a2 ?1) x ? a22 ?1 ③

a1 ? a2 ? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ?1 ,故 D(2, ?1) 2

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? (?1) ? 1| 2 ? (?1)
2 2

?

6 5 . 5
y ? y0 ? ( x0 ?1)( x ?1) ①; 2

法二:(Ⅰ)设 A( x0 , y0 ), 对于抛物线 C 的切线方程为

对于圆 M 的切线方程为 ( x0 ?1)( x ?1) ? ( y0 ? 1)( y ? 1) ? r2 ②. 2 2 因为①②是共点公切线,?2(x0 ?1) ??

代入②得 r ? 5 . 2

x0 ?1 (斜率相等),结合 y ? ( x ?1)2 .解之得 A(0,1) . 0 0 y0 ? 1 2 B y M
2

(Ⅱ)数形结合知,抛物线 C 与圆 M 应有三条公切线(如图). 由(Ⅰ)知,公切线 l 方程为: 2x ? y ?1? 0 . 今设另两公切线 m,n 与抛物线 C 切于点 B(xi ,(xi ?1)2 ) (xi ? 0,i ?1,2) , 则切线方程为
B1

A O x D

y ? (xi ?1)2 ? (xi ?1)(x ?1)即2(xi ?1)x ? y ? xi2 ?1? 0 . 2

|2( xi ?1)?1? 1 ? xi2 ?1| 2 ? 5 , Q xi ? 0 整理得 xi2 ? 4xi ? 6 ? 0 又直线 m,n 与 M 相切应有 2 4( xi ?1)2 ?1
2 记 m:2(x1 ?1)x ? y ? x12 ?1? 0 , n:2(x2 ?1)x ? y ? x2 ?1? 0 .则 x1 ? x2 ? 4

联立 m与n 的方程得 D(2, ?1) .故 D(2, ?1) 到 l 的距离为 d ?

|2?2 ? (?1) ?1| 6 5 . ? 5 5

【点评】 该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点 出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度加大了, 出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向. 39. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具有一般性,相信平时
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曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手.
8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? x2 y2 ? 8 7 解:(1)原曲线方程可化简得: ,解得: ? m ? 5 ?0 ? ? 1 ,由题意可得: ? 8 8 2 ?5 ? m 5?m m?2 ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 , ?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ? 由韦达定理得: xM ? xN ?
16k 24 ①, xM xN ? 2 ,② 2k 2 ? 1 2k ? 1

3 2

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)

MB 方程为: y ?
????

? 3xM ? kxM ? 6 x ? 2 ,则 G ? ,?, 1 xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

? 3xM ? ???? ,? 1? , AN ? ? xN , N k ? 2? , x ? xM k ? 6 ?

???? ???? 欲证 A , ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线 G



3 xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

G 将①②代入易知等式成立,则 A , ,N 三点共线得证.
40. 【解析】(I)点 P(?c, y1 )( y1

? 0) 代入

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 得: y1 ? a2 b a

b2 ?0 4?0 PF1 ? QF2 ? a ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c


a2 ?4 ② c

c2 ? a2 ? b2 (a, b, c ? 0) ③
x2 y 2 ? ?1 4 3

由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ? 3 既椭圆 C 的方程为

b2 ?0 a y ?0 (II)设 Q( , y2 ) ;则 PF1 ? QF2 ? a ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a c ?c ? c a 2 ?c c
2

得: kPQ

b2 c ? 2 a ? a a ?c c 2a ?

b2 x x y b a2 ? 2 ? 1 ? y ? b 2 ? 2 x 2 ? y? ? a2 b a b2 b2 ? 2 x2 a
2 2 2

?

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y? 得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

x ?? c

?

c ? k PQ a

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