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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练14 新人教A版


圆锥曲线(14)圆锥曲线中的取值范围问题
例 1、已知直线 l 与 y 轴交于点 P (0, m) ,与椭圆 C : 2 x2 ? y 2 ? 1 交于相异两点 A、B,且 AP 的取值范围. 解:(1)当直线斜率不存在时: m ? ?

??? ?

??? ? ? 3PB ,求 m

1 2

r />(2)当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? kx ? m 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ?1 ? 0 ?? 2 2 2 x ? y ? 1 ?
?? ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ?1) ? 4(k 2 ? 2m2 ? 2) ? 0 (*)
∵ AP ? 3PB ,∴ ? x1 ? 3x2 ,∴ ?

x1 ? x2 ?
2

?2km m2 ? 1 , x x ? 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2

??? ?

??? ?

? x1 ? x2 ? ?2 x2 ? x1 x2 ? ?3x
2

2 2
2

. 消去 x 2 ,得 3( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 0 ,

? 3(

?2km 2 m2 ? 1 ) ? 4 ?0 k2 ? 2 k2 ? 2
1 时,上式不成立; 4

整理得 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0
2 2

m2 ?
2

m2 ?

1 2 ? 2m 2 2 时, k ? , 4 4m 2 ? 1

1 1 2 ? 2m 2 ∴k ? ? 0 ,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 2 2 4m ? 1 1 1 2 ? 2m 2 把k ? 代入(*)得 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 2 2 2 4m ? 1
2

∴ ?1 ? m ? ?

1 1 1 1 或 ? m ? 1 综上 m 的取值范围为 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 。 2 2 2 2

例 2、已知点 M (4, 0) , N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | PN | . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A , B 两点,若 ? 围. 解: (Ⅰ)设动点 P( x, y) ,则 MP ? ( x ? 4, y) , MN ? (?3, 0) , PN ? (1 ? x, ? y) .

???? ? ????

??? ?

? ??? ? 18 ??? 12 ≤ NA ? NB ≤ ? ,求直线 l 的斜率的取值范 7 5

????

???? ?

??? ?

x y ? ?1. 由已知得 ? 3( x ? 4) ? 6 (1 ? x) ? ( ? y ) , 化简得 3x ? 4 y ? 12 ,得 4 3
2 2

2

2

2

2

所以点 P 的轨迹 C 是椭圆, C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

1

(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在,不妨设过 N 的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 A , B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
? 8k 2 x ? x ? , ? ? 1 2 3 ? 4k 2 因为 N 在椭圆内,所以 ? ? 0 .所以 ? 2 ? x x ? 4k ? 12 . 1 2 ? 3 ? 4k 2 ? ??? ? ??? ? 2 因为 NA ? NB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 )( x1 ?1)( x2 ?1) ? (1 ? k )[x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
4k 2 ? 12 ? 8k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 9(1 ? k 2 ) ? (1 ? k ) ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

所以 ?

18 ?9(1 ? k 2 ) 12 2 ≤ ≤? . 解得 1 ≤ k ≤ 3 . 2 7 3 ? 4k 5

例 3、已知点 Q 为椭圆 E :

??? ? ???? x2 y 2 ? ? 1 上的一动点,点 A 的坐标为 (3,1) ,求 AP ? AQ 的取值范围. 18 2 ??? ? ?? ? ? ??? ? ???? 解: AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A , AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 . Q ? x ( ?, 3 y ? ) 1



x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy 的取值范围是[0,36]. x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].
??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].

二、针对性练习 1.已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距 求椭圆的方程. (2) 设直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 | AM |?| AN | 时, 求m 的 围. 解: (1)依题意可设椭圆方程为
| a2 ? 1 ? 2 2 | 2

离为 3.(1)

取值范

x2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F a2

?

a 2 ? 1,0

?

由题设

? 3 ,解得 a 2 ? 3 , 故所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3
2

? y ? kx ? m ? (2)设 P( xP , yP ) 、 M ( xM , yM ) 、 N ( xN , yN ) , P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ? 1) ? 0 ? 直线与椭圆相交,

?? ? (6mk )2 ? 4(3k 2 ? 1) ? 3(m2 ? 1) ? 0 ? m2 ? 3k 2 ? 1, ①

? xP ?
? k AP

xM ? xN m 3mk ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 , ?? 2 3k ? 1 2 3k ? 1 y ?1 m ? 3k 2 ? 1 ? P ?? ,又 | AM |?| AN |,? AP ? MN , xP 3mk

则: ?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 ,② 3mk k
1 2m ? 1 ? 0 ,解得 m ? . 2 3

把②代入①得 m2 ? 2m ,解 0 ? m ? 2 , 由②得 k 2 ? 综上求得 m 的取值范围是

1 ?m?2. 2
2 2

2. 如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,

点N在

CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 E .
(I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两 点 G , H (点 G 在点 F , H 之间) ,且满足 FG ? ? FH , 求 ? 的取值范围. 解: (Ⅰ)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又? | CN | ? | NM |? 2 2,? | CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2.

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1. ∴曲线 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1, 2

3 由? ? 0得k 2 ? . 2 ? 4k 3 设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y 2 ),则x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 1 ? k2 ? k2 2 2
得 ( ? k ) x ? 4kx ? 3 ? 0.
2 2

1 2

3

又? FG ? ? FH,
? x1 ? ?x2 ,

?( x1 , y1 ? 2) ? ?( x2 , y2 ? 2)
?( x1 ? x2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2, 1? ? ?

2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x 2 ? ?x 2 .

? 4k 2 3 ) 1 1 ? k2 ? k2 ? 2 ? 2 , 整理得 2 ? (1 ? ? ) (
3 16 16 ,? 4 ? ? . 3 2 3 ?3 2 2k

16 (1 ? ? ) 2 ? 1 ? 3( 2 ? 1) 2k
?4 ? ? ? 1

?k2 ?

?

?2?

16 1 .解得 ? ? ? 3. 3 3

1 1 1 ? ? ? ? 1. 又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, FG ? FH , ? ? . 3 3 3 1 1 ? ? ? ? 1, 即所求 ?的取值范围是 [ ,1) 3 3 又 ? 0 ? ? ? 1,
3.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,两个焦点分别为 A(?1,0) 、 B(1,0) ,一个顶点为 H ( 2,0) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)对于 x 轴上的点 P(t ,0) ,椭圆 E 上存在点 M ,使得 MP ? MH ,求 t 的取值范围. (1)由题意可得, c ? 1 , a ? 2 ,∴ b ? 3 . ∴所求的椭圆的标准方程为: 解:

x2 y 2 ? ?1. 4 3

x0 2 y0 2 ? ? 1. (2)设 M ( x0 , y0 ) (x0 ? ?2) ,则 4 3
且 MP ? (t ? x0 ,? y0 ) , MH ? (2 ? x0 ,? y0 ) , ∴ (t ? x0 )(2 ? x0 ) ? y0 ? 0 .
2

① 由 MP ? MH 可得 MP ? MH ? 0 ,即



由①、②消去 y0 整理得

1 2 1 1 3 t ( 2 ? x 0 ) ? ? x 0 ? 2 x 0 ? 3 . ∵ x0 ? 2 ∴ t ? ? ( 2 ? x 0 ) ? 1 ? x 0 ? . 4 4 4 2 ∵ ? 2 ? x0 ? 2 , ∴ ? 2 ? t ? ?1 . ∴ t 的取值范围为 (?2,?1) .

x2 y 2 2 4.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直 a b 2
线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? t OP (O 为坐标原点) ,当 PA ? PB <
2 5 时,求实数 t 取值范围. 3
4

解: (Ⅰ)由题意知 e ?
2 2

c 2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? . , 所以 e ? 2 ? ? a a2 2 a 2

x2 2 2 2 a ? 2 b ? 1 ? y2 ? 1. 即 a ? 2b . 又因为 b ? , .故椭圆 C 的方程为 ? 1 ,所以 2 1?1 (Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在.设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 , k 2 ?
4 2 2

8k 2 8k 2 ? 2 1 x ? x ? . x1 ? x2 ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2

∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ?

x1 ? x2 8k 2 , ? t t (1 ? 2k 2 )

y?

y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ? 2 ,∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) . 2 2 2 2 2 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k )

∵ PA ? PB <

20 2 5 2 5 2 2 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ?x2 ] ? 9 3 3

∴ (1 ? k )[
2

64k 4 8k 2 ? 2 20 1 2 2 ,∴ (4k ?1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k 2 ? . ? 4 ? ]? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 9 4

1 1 16k 2 8 2 2 2 2 2 ? 8? ∴ ? k ? ,∵ 16k ? t (1 ? 2k ) ,∴ t ? , 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
∴ ?2 ? t ? ?

2 6 2 6 2 6 2 6 ? t ? 2 ,∴实数 t 取值范围为 (?2,? )?( ,2) . 或 3 3 3 3

5


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