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三角函数专题练习 答案

时间:2014-10-30


一、选择题(每题 4 分,共 32 分) 1、函数 A. [-1,1] B.[-2,2] 的值域是( C. [0,2] ) D.[0,1]

2、已知 A. 1 B. 2 C. –1 D. –2

等于(



3、函数 A. B. - C.2+ D.-2+

k 的取值是(



4、为了得到函数

的图象,可以将 y=cos2x 的图象(



A.向右平移

个单位长度

B. 向右平移

个单位长度

C.向左平移

个单位长度

D. 向左平移

个单位长度

5、

6、函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是(



A.

7、定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是

,且当



f(x)=sinx,则 f(

)的值为(



A.

B.

C.

D.
1

8、将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移 T= 图象,则 f(x)可以是( A. cosx B. 2cosx ) C. sinx

个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到函数



D. 2sinx

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

1、已知

的值为

.

2、已知

可简化为

.

3、已知 f(x)=asinx-bcosx 且 x=

为 f(x)的一条对称轴,则 a:b 的值为

.

4、若函数

三、解答题(本大题共有 4 题,满分 48 分)

1、(本题满分 12 分)已知

2、(本题满分 12 分)已知

3、(本题满分 12 分)已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2) (3)在(2)的条件下,求满足 f(x)=1, 的 x 的集合.

4、 (本题满分 12 分) 已知函数 且 f(x)的最大值为 2. (1)求 f(x)的解析式,并写出其单调递增区间;
2

的图象过点



(2)若函数 f(x)的图象按向量 平移后的图象对应的函数解析式. 答案与解析 一、选择题: 1、选 B.

作距离最小的平移后,所得图象关于 y 轴对称,试求向量

的坐标以及

解析:对于含有绝对值的三角函数,基本解题策略之一是将其化为分段函数,而后分段考察,综合结论,在这里,

当 x≥0 时,-2≤2sinx≤2 即-2≤y≤2; 当 x<0 时,y=0 包含于[-2,2]. 于是可知所求函数值域为[-2,2],故应选 B. 2、选 B.

解析:考察目标



又由已知得 ∴②代入①得, ,故应选 B.



3、选 A.

解析:令

∴由 f(x)的图象关于点(

,0)对称得 f(

)=0

即 cos

=0,由此解得 k=

.故应选 A.

4、选 B.

解析:令 y=f(x)=cos2x,则 f(x)=sin(2x+ 进而在保持①中的 A、 、

)



“三不变”的原则下,变形目标函数:



3

于是由 y=f(x)图象变换出 应选 B. 5、选 C.

图象知:y=f(x)图象应向右平移

个单位得到

,故

解析:由 f(x)在区间[- 于或等于 f(x)的半个周期.



]上递增及 f(x)为奇函数,知 f(x)在区间[-



]上递增,该区间长度应小

, 应选 C. 6、选 D.

解析:

由 f(x)单调递减得 ∴应选 D. 7、选 D.

解析:由已知得 应选 D. 8、选 B. 解法一:

( 正 向 考 察 ) y = f ( x ) sinx

图 象

图 象

由题设得




4

∴ ∴f(x)=2cosx

解法二(逆向求索): y=-cos2x

图象

由题意得 f(x)sinx=sin2x,故得 f(x)=2cosx, 本题应选 B. 解法三(代入检验):请同学们练习. 二、填空题

1、答案:

解析:由

∴ 于是







.

2、答案:

.

5

解析:由题意得











∴ 3、答案:a:b=-1.





解析:由题设得

又 x=

为 f(x)的一条对称轴,

∴当 x=

时 f(x)取得最值





∴a:b=-1.

4、答案: 解析:

.

6

∴由



注意到

由①得:



再注意到当且仅当

于是由②及



三、解答题 1、分析:注意到目标中出现的角 ,而已知中出现的角为 ,显然,已知式容易变形出角 的函

数,故考虑首先从变形已知切入,让已知主动去靠拢目标,而后目标再视具体情况决定变形方向.

解:由已知得

∴利用倍角公式得

化简得

∴原式=



点评:一般地, (单)条件式求值,由目标式变形可了解“已知”延伸方向,由已知式的延伸又可了解目标的转化方向.
7

如有可能,通过已知式的变形与目标式变形相互靠拢,总要比某一方单方面接近另一方更快捷、方便 .本例便给出“已知” 与“目标”相互靠拢的示范. 2、分析:在三角条件求值问题中,已知某一个(或两个)角的三角函数值,要求另一个角的三角函数值,第一选择 法:是从“已知”与“未知”中角的关系------有关角与特殊角之间的和差倍角关系入手.当然,当“已知”中的角与“未知”中的角 关系复杂时,则要考虑“已知”与“目标”的延伸与靠拢. 解法一(从角的关系式入手):

注意到:

















>0









于是将②③代入①得



解法二(目标的转换与追求):

注意到(目标)



8

(以下寻求的方向明确:由已知条件求















从而由②、③得







于是将④⑤代入①得

.

点评:当目标比较复杂或比较抽象时,首先要明确或转换目标,使已知的延伸或下一步的寻求方向更加明确与准确.

3、 分析: 有关三角函数性质的问题, 若所给函数可化为 则可利用公式或认知求解.故此题求解的首要问题是将 f(x)化为上述形式之一.



形式,

解: =

=

(1)

(2)由 f(x)为偶函数得 f(-x)=f(x)对任意 x∈R 成立

9



在①中令



注意到

,故这里 k=0,由此解得

.

(3)当

时,f(x)=2cos2x

∴由 f(x)=1 得,2cos2x=1



注意到

,∴由②得





∴所求 x 的集合为{

}.

点评:在解(2)时利用了下述充要条件: ;

在解决有关问题时这一充要条件会给我们带来方便.

4.分析:这里仍是首先致力于将 f(x)化为

的形式,而后利用已知公式和原有认识求解.

解: (1)f(x)=asin2x+bcos2x =

10

由已知条件得



于是由 f(x)单调递增得

∴所求 f(x)的递增区间为

.

(2)注意到

故函数 y=f(x)图象按向量

平移后的图象对应的函数解析式为

即 注意到函数①的图象关于 y 轴对称 ∴函数①为偶函数







.



在②中令

由此得 注意到当 k 为偶数时③无解,故由③得




11

∴m 的绝对值最小的取值为

此时

且由①得

因此,所求向量

,平移后的图象对应的函数解析式为 y=cos2x.

点评:解决平移问题时,要注意识别与认知“点的平移”与“函数图象平移”的不同:

. 这一加一减,既展示了两种平移的区别,又反映了两种平移间的辩证关系.

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