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高三数学一轮复习必备精品:导数、定积分


2009~2010 学年度高三数学(人教版 A 版)第一轮复习资料

第 38 讲
一. 【课标要求】

导数、定积分

1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概 念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②

通过函数图像直观地理解导数的几何意义 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b) )的导数; ③ 会使用导数公式表 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究 函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不 超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作 用 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等) ,从问题情境中了解定积分的实际背 景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例 (如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系) 直观了解微积分基 , 本定理的含义 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料, 并进行交流; 体会微积分的建立在 人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。

二. 【命题走向】
导数是高中数学中重要的内容, 是解决实际问题的强有力的数学工具, 运用导数的有关 知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多 样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答 题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值,估计 2010 年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化: (1)考查形式为:选择题、填空题、解答题各种题型都会考察,选择题、填空题一般 难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有一定难度,一般与函数及解析几何结合,属 于高考的中低档题; (2)2010 年高考可能涉及导数综合题,以导数为数学工具考察:导数的物理意义及几 何意义,复合函数、数列、不等式等知识。 定积分是新课标教材新增的内容,主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的 简单应用,由于定积分在实际问题中非常广泛,因而 07 年的高考预测会在这方面考察,预 测 2010 年高考呈现以下几个特点: (1)新课标第 1 年考察,难度不会很大,注意基本概念、基本性质、基本公式的考察 及简单的应用;高考中本讲的题目一般为选择题、填空题,考查定积分的基本概念及简单运

算,属于中低档题; (2)定积分的应用主要是计算面积,诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际 问题要很好的转化为数学模型

三. 【要点精讲】
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x ) -f(x 0 ) 比值 ,

?y 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = 。 ?x ?x
如果当 ?x ? 0 时,

?y 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限 ?x

叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是 零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤(可由学生来归纳) : (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ;

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ?x ?0 ?x ?x

?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

(2)求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x ? 0 ?x


函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )

的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f/(x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.常见函数的导出公式.

(1) (C )? ? 0 (C 为常数) (3) (sin x)? ? cos x

(2) ( x )? ? n ? x
n

n ?1

(4) (cos x)? ? ? sin x

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ? u ? v .
' ' '

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为常数,则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数
' ' ' ' '

乘以函数的导数: (Cu) ? Cu .
' '

法则 3 两个函数的商的导数, 等于分子的导数与分母的积, 减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方: ?

u ' v ? uv' ?u? (v ? 0) 。 ? ‘= v2 ?v?

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。 法则:y'| X = y'| U ·u'| X 5.导数的应用 (1)一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间可导,如果 f (x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;
'

如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数;
' '

(2)曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; (3)一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。①求函 数? (x) 在(a,b)内的极值; ②求函数? (x) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? (x) 的各 极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值 6.定积分 (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等分 成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式 In=

? f (ξ
i=1

n

i)

△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,

b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξi)△x。
b a
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式 基本的积分公式: 0 dx =C; x dx =

?

?

m

1 1 ; x m?1 +C(m∈Q, m≠-1) ? dx= m ?1 x

x ln x +C; e dx = e x +C; a dx =

?

x

?

ax +C; ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx ln a

+C(表中 C 均为常数) (2)定积分的性质 ① ② ③

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

; f ( x)dx (k 为常数)
b b

?

b

a
b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

?

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) 轴及一条曲线 y=f(x) ,x (f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 。

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x) ≥0) ,及直线 x=a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

四. 【典例解析】
题型 1:导数的概念 例 1.已知 s=

1 2 (1)计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001 秒….各段内平 gt , 2

均速度; (2)求 t=3 秒是瞬时速度 解析: (1) ?3,3.1?, ?t ? 3.1 ? 3 ? 0.1, ?t 指时间改变量;

?s ? s(3.1) ? s(3) ? v?

?s 0.3059 ? ? 3.059 。 ?t 1

1 1 g 3.12 ? g 32 ? 0.3059 . ?s 指时间改变量 2 2

其余各段时间内的平均速度, 事先刻在光盘上, 待学生回答完第一时间内的平均速度后, 即用多媒体出示,让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 (2)从(1)可见某段时间内的平均速度

?s ?t ?s 随 变化而变化, ?t 越小, 越接近 ?t ?t

于一个定值,由极限定义可知,这个值就是 ?t ? 0 时,

?s 的极限, ?t

V= lim

?x ?0

?s lim ?t = ?x?0

1 1 (3 ? ?t ) 2 ? g 3 2 s(3 ? ?t ) ? s(3) 2g 2 ? lim ?x ?0 ?t ?t

1 g lim (6+ ?t ) =3g=29.4(米/秒)。 2 ?x?0 4 例 2.求函数 y= 2 的导数。 x
= 解析: ?y ?

4 4 4?x(2 x ? ?x) , ? 2 ?? 2 2 ( x ? ?x) x x ( x ? ?x) 2

?y 2 x ? ?x ? ?4 ? 2 , ?x x ( x ? ?x) 2

? lim

? 2 x ? ?x ? ?y 8 =- 3 。 ? lim ?? 4 ? 2 2 ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ( x ? ?x) ? x ?

点评:掌握切的斜率、 瞬时速度,它门都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定 基础。 题型 2:导数的基本运算 例 3. (1)求 y ? x( x ?
2

1 1 ? ) 的导数; x x3
? 1) 的导数;

(2)求 y ? ( x ? 1)( (3)求 y ? x ? sin

1 x

x x cos 的导数; 2 2

x2 (4)求 y= 的导数; sin x
(5)求 y=

3x 2 ? x x ? 5 x ? 9 x
3

的导数

解析: (1)? y ? x ? 1 ? (2)先化简, y ?
1

1 2 ' 2 ,? y ? 3x ? 3 . 2 x x
? x? 1 x ?1 ? ?x ? x
1 2 ? 1 2

x?
3

1 x

1 ? 1 ? ?1 ? 1 ? ? y' ? ? x 2 ? x 2 ? ?1 ? ?. 2 2 x? 2 x?
(3)先使用三角公式进行化简.

x x 1 y ? x ? sin cos ? x ? sin x 2 2 2
1 1 1 ? ? ? y ' ? ? x ? sin x ? ? x ' ? (sin x) ' ? 1 ? cos x. 2 2 2 ? ?
(4)y’=
'

( x 2 )' sin x ? x 2 * (sin x)' 2 x sin x ? x 2 cos x = ; sin 2 x sin 2 x
3 2

(5)?y= 3x -x+5- 9 x
3 2

?

1 2
1 2

? 3 1 '-x'+5'-9 (x ) '=3* x 2 -1+0-9*(- ) x 2 = ?y’=3*(x ) 2 2

1

3

9 1 x (1 ? 2 ) ? 1 。 2 x
点评: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这 样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形 式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用 商的求导法则,减少运算量 例 4.写出由下列函数复合而成的函数: (1)y=cosu,u=1+ X 2 解析: (1)y=cos(1+ X 2 ); (2)y=ln(lnx)。 点评:通过对 y=(3x-2 ) 展开求导及按复合关系求导,直观的得到 y x = y u . u x .给出复 合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明。 题型 3:导数的几何意义 例 5. (1)(2009 年广东卷文)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x 2
' ' '

(2)y=lnu, u=lnx

(

) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)

A. (??,2) 答案 D 解析 .

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

(2) (2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线
2

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是

(

)

A. y ? 2 x ? 1 答案 解析 A

B. y ? x

C. y ? 3x ? 2

D. y ? ?2 x ? 3

由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 得几何
2

f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x) 2 ? 8(2 ? x) ? 8 ,
即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程
2

2

/

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 选 A
点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例 6. (2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 在区间 [a, b ] 上是增函数,即在区间 [a, b] ... 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. ( 2) 曲线 y ? 是

1 2 和 y ? x 在 它们交 点处 的两 条切线 与 x 轴 所围成 的三 角形面 积 x

。 解析: (2)曲线 y ?

1 2 和 y ? x 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y= x 3 -x+2 和 y=2x-1,它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 。 4
点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的 效果。 题型 4:借助导数处理单调性、极值和最值 例 7. (1)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? x) ) ( ?0,则必有( A.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) (2)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,

则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个

) D. 4 个

(3)2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

(1)当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

x1 ?

?2b ? 4b 2 ? 4a ?b ? b 2 ? a ?2b ? 4b 2 ? 4a ?b ? b 2 ? a ? ? , x2 ? , 2a a 2a a

所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.
2

即b ? ?

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? )max 2 2x 2 2x

ax 1 a 1 设 g ( x) ? ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2x 2 2x
令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 a( x 2 ? ) a , 2 x2

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 1 ax 1 ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; ? 1 ,当 x ? (0, a 2 2x a

当 x?(

1 ax 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a 1 1 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( )?? a. a a

所以当 x ?

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

1 ax 1 在区 ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 2 2x a

间 (0,1] 上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ; 当 0 ? a ? 1时, b ? ?

a ?1 2

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值, 函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转 为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

例 8.1) ( 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是
2

.

1 。 因为存在垂直于 y 轴 x 1 ? 的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题 x 意,当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个
解析 解析 由题意该函数的定义域 x ? 0 , f ? 由 x
?

x 2 ? ?a

?

交点,故有 a ? 0 应填 ? ??, 0 ? 或是 ?a | a ? 0? 。

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解,显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2 x2

? x ? 1,( ?1 ? x ? 0) ? (2)函数 f ( x) ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 cos x, (0 ? x ? ) ? ? 2
A.

3 2

B. 1

C. 2

D.

1 2

根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积:
y

1 1 S ? ?1?1 ? ? 2 cos xdx ? ? sin x 2 0 2 2 0

?

?

y=x+1 1 ? 2 -1 O x

1 ? 3 ? ? sin ? sin 0 ? ,故选 A. 2 2 2

y=cosx

点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识, 以及运用数学 知识解决实际问题的能力 题型 5:导数综合题 例 9.1、已知二次函数 f ( x) ? x ? x ,若不等式 f (? x) ? f ( x) ? 2 x 的解集为 C.
2

(1)求集合 C; (2)若方程 f (a ) ? a
x x ?1

? 5 (a ? 0, a ? 1) 在 C 上有解,求实数 a 的取值范围;
t , x ? [0,1] 的值域为 B,且 A ? B , 2

(3)记 f (x) 在 C 上的值域为 A,若 g ( x) ? x 3 ? 3tx ? 求实数 t 的取值范围.

[解](1) f ( x) ? f (? x) ? 2 x
2

2

----------------------------------------------------------1 分 ------------------------------------------------2 分 -------------------------------3 分

当 x ? 0 时, 2 x ? 2 x ? 0 ? x ? 1 当 x ? 0 时, 2 x ? ?2 x ? ? 1 ? x ? 0
2

所以集合 C ? [?1,1]

--------------------------------------------------------4 分

(2) f (a x ) ? a x ?1 ? 5 ? 0 ? (a x ) 2 ? (a ? 1)a x ? 5 ? 0 ,令 a x ? u 则方程为 h(u ) ? u 2 ? (a ? 1)u ? 5 ? 0

h(0) ? ?5

----------------------------------5 分

1 1 当 a ? 1 时, u ?[ , a] , h(u ) ? 0 在 [ , a ] 上有解, a a 1 1 ? 1 ? h( ) ? 2 ? 1 ? ? 5 ? 0 则? a ? a ? 5 ---------------------------------------7 分 a a ?h(a) ? a 2 ? (a ? 1)a ? 5 ? 0 ? 1 1 当 0 ? a ? 1 时, u ? [a, ] , g (u ) ? 0 在 [a, ] 上有解, a a ? h( a ) ? 0 1 ? 则? 1 ---------------------------------------------9 分 ? 0?a? h( ) ? 0 2 ? a ? 1 所以,当 0 ? a ? 或 a ? 5 时,方程在 C 上有解,且有唯一解。----------------10 分 2 1 (3) A ? [? ,2] -------------------------------------------------11 分 4 t ①当 t ? 0 时,函数 g ( x) ? x 3 ? 3tx ? 在 x ? [0,1] 单调递增,所以函数 g (x) 的值域 2 1 1 ? ? t ?t ? ? 2 ? 2??4 t 5 2 ,解得 ? ,即 t ? ? ------13 分 B ? [ ,1 ? t ] , ∵ A ? B , ∴ ? 2 5 2 2 5 ?2 ? 1 ? t ?t ? ? 5 2 ? ? ②当 t ? 0 时,任取 x1 , x 2 ?[0,1] , x1 ? x 2
2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x1 ? 3tx1 ? x2 ? 3tx2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x1x2 ? x2 ? 3t ) 3 3 2 2 10 若 t ? 1 ,∵ 0 ? x1 ? 1 , 0 ? x 2 ? 1 , x1 ? x 2 ,∴ x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3 ? 3t 2

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,函数 g (x) 在区间 [0,1] 单调递减, B ? [1 ?

5 t t, ] 2 2

? ?1 ? ∴? ? ?

5 1 t?? 2 4 :又 t ? 1 ,所以 t ? 4 。-------------------------------------15 分 t ?2 2

20 若 0 ? t ? 1 , 若 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0, 则须 x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? 3t ,∵ x1 ? x 2 ,∴ 3 x12 ? 3t , x1 ? t .

于是当 x1 , x2 ?[ t ,1] 时, x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? 3t , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ;---------------16 分 当 x1 , x2 ?[0, t ] 时, x12 ? x1 x2 ? x2 2 ? 3t , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0. 因此函数 g (x) 在 [ t ,1] 单调递增;在 [0, t ] 单调递减. g (x) 在 x ? t 达到最小值

2 ? ? g (0) ? 2或g (1) ? 2 t ? 4或t ? ? ? ? 要使 A ? B ,则 ? , 1 ?? 5 g( t ) ? ? 3 2 ?8( t ) ? 2( t ) ? 1 ? 0 ? 4 ? ? 因为 0 ? t ? 1 ,所以使得 A ? B 的 t 无解。--------------------------------------18 分

2 综上所述: t 的取值范围是: (??,? ] ? [4,??) 5
点评:该题是导数与平面向量结合的综合题。 例 10. 已知函数 f ( x) ? 3、 数. (1)求 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x)与g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由题意 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ……………………1 分
2

1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x , g ( x) ? ? kx且f ( x)在区间(2,??) 上为增函 3 2 3

因为 f ( x)在区间(2,??) 上为增函数 所以 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ? 0在(2,??) 上恒成立,………………3 分
2

即 k ? 1 ? x恒成立, 又x ? 2 所以 k ? 1 ? 2, 故k ? 1 ……………………5 分 当 k=1 时, f ?( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1在x ? (2,??) 恒大于 0,
2 2

故 f ( x)在(2,??) 上单增,符合题意. 所以 k 的取值范围为 k≤1.……………………6 分 (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? 3 2 3

h?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )( x ? 1)
令 h?( x) ? 0得x ? k或x ? 1 ………………8 分 由(1)知 k≤1, ①当 k=1 时, h?( x) ? ( x ? 1) ? 0, h( x) 在 R 上递增,显然不合题意………9 分
2

②当 k<1 时, h( x), h?( x)随x 的变化情况如下表: x

(??, k )
+

k 0 极大

(k,1) -

1 0 极小

(1,+ ? ) +

h?(x)

h(x)



?

k k 1 ? ? 6 2 3

3

2



k ?1 2



……………………11 分 由于

k ?1 ? 0, 欲使f ( x)与g ( x) 图象有三个不同的交点, 2

即方程 f ( x) ? g ( x) 也即 h( x) ? 0 有三个不同的实根 故需 ?

k3 k2 1 ? ? ? 0 即 (k ? 1)( k 2 ? 2k ? 2) ? 0, 6 2 3

所以 ?

?k ? 1

, 解得 k ? 1? 3 2 ?k ? 2 k ? 2 ? 0

综上,所求 k 的范围为 k ? 1? 3 .……………………14 分 点评:该题是数列知识和导数结合到一块。 题型 6:导数实际应用题 例 11. (江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形 状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底 面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值 的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。 解析:设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面
2 2 2 边长为 3 ? ( x ? 1) ? 8 ? 2 x ? x (单位:m) 。

于是底面正六边形的面积为(单位:m ) :

2

32 ? ( x ? 1)2 ? 6?

3 3 3 ? 8 ? 2 x ? x2 )2 ? ( (8 ? 2 x ? x 2 ) 。 4 2
3

帐篷的体积为(单位:m ) :

V ( x) ?

3 3 3 ?1 ? (8 ? 2 x ? x 2 ) ? ( x ? 1) ? 1? ? (16 ? 12 x ? x 3 ) 2 ?3 ? 2

求导数,得 V ?( x) ?

3 (12 ? 3x 2 ) ; 2

令 V ?( x) ? 0 解得 x=-2(不合题意,舍去),x=2。 当 1<x<2 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为增函数;当 2<x<4 时, V ?( x) ? 0 ,V(x)为减函数 所以当 x=2 时,V(x)最大。 答:当 OO1 为 2m 时,帐篷的体积最大 点评:结合空间几何体的体积求最值,理解导数的工具作用。 例 12.已知某质点的运动方程为 s(t ) ? t ? bt ? ct ? d , 下图是其运动轨迹的一部分,若
3 2

?1 ? t ? ? , 4 ? 时, s(t ) ? 3d 2 恒成立,求 d 的取值范围. ?2 ?
解: s?(t ) ? 3t ? 2bt ? c
2

由图象可知, s(t )在t=1和t=3 处取得极值 则 s?(1) ? 0, s?(3) ? 0

即?

?3 ? 2b ? c ? 0 ?b ? ?6 ?? ?27 ? 6b ? c ? 0 ?c ? 9

? s?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? 9 ? 3(t ? 1)(t ? 3) ?1 ? 当t ? ? ,1? 时,s?(t)>0 ?2 ? 当t ?(1,3)时,s?(t)<0 当t ?(3,4)时,s?(t)>0 则当t=1时,s(t)取得极大值4+d 又s(4)=4+d ?1 ? 故t ? ? , 4 ? 时, s (t )的最大值为4+d. ?2 ?

?1 ? 已知s (t ) ? 3d 2在 ? , 4 ? 上恒成立 ?2 ? ? s(t)max <3d 2 即4 ? d ? 3d 2 4 解得d ? 或d ? ?1 3
点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时 考查逻辑推理能力 题型 7:定积分 例 13.计算下列定积分的值 (1)

?

3

?1

2 (2)? ( x ? 1) dx ; (3)? ( x ? sin x)dx ; (4)? 2? cos xdx ; (4 x ? x )dx ;

2

2

?

?

5

1

2 0

?

2

解析:(1)

(2)因为 [ ( x ? 1) ]? ? ( x ? 1) ,所以
6 5

1 6

?

2

1

( x ? 1) 5 dx ?

1 1 2 ( x ? 1) 6 |1 ? ; 6 6

(3)

(4)

例 14. (1)一物体按规律 x=bt3 作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的 阻力正比于速度的平方.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力所作的功。 (2)抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图 形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.

dx ? (bt 3 )? ? 3bt 2 。 dt 2 2 2 2 4 媒质阻力 Fzu ? kv ? k (3bt ) ? 9kb t ,其中 k 为比例常数,k>0。
解析: (1)物体的速度 V ?

a 当 x=0 时,t=0;当 x=a 时, t ? t1 ? ( ) 3 , b
又 ds=vdt,故阻力所作的功为:

1

Wzu ? ? Fzu ds ? ? kv2 ? vdt ? k ? v 3 dt ? k ? (3bt 2 ) 3 dt ?
0 0 0
b a

t1

t1

t1

27 3 7 27 3 7 2 kb t1 ? k a b 7 7

(2)依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0,x2=-b/a,所 以S ?

?

?

0

(ax 2 ? bx)dx ?

1 3 b (1) 6a 2

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax2+bx 相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 ?

?x ? y ? 4
2 ? y ? ax ? bx

得 ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1)2+16a=0. 于是 a ? ?

1 (b ? 1) 2 , 代入(1)式得: 16

S (b) ?

128b 3 128 b 2 (3 ? b) , (b ? 0) , S ?(b) ? ; 6(b ? 1) 4 3(b ? 1) 5

令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时,S'(b) <0. 故在 b=3 时, S(b)取得极大值, 也是最大值, a=-1, 时, 取得最大值, S max ? 即 b=3 S 且 点评:应用好定积分处理平面区域内的面积

9 。 2

五. 【思维总结】
1.本讲内容在高考中以填空题和解答题为主 主要考查: (1)函数的极限; (2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用; (3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。 2.考生应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目 标。


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