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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(12)


加试模拟训练题(12)
1、已知 ?ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ,证明 ?APC 与 ?BQC 的内切圆半径相等的

充分必要条件是 ?AQC 与 ?BPC 的内切圆半径相等。

2、 (1)设 x1 , x 2 ,? ? ?, x n , y1 , y 2 ,? ? ?, y n ? (0, ? ?) ,满足: (

a) 0 ? x1 y1 ? x2 y 2 ? ? ? ? ? xn y n ; (b) x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y k , k ? {1, 2,? ? ?n} , 证明:

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? . x1 x 2 x n y1 y 2 yn

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3.两个同样大小的正方形相交错,其公共部分构成一个八边形,一个正方形的边是蓝 色的, 另一个正方形的边是红色的, 证明: 八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和.

4.我们知道 2 ? 1 ? 9 有 1 个质因子,且 3 | 2 ? 1 ; 2
3
2 3 3
2

32

? 1 ? 513 ? 33 ? 19 有 2 个
*
k

质因子,且 3 | 23 ? 1 ………………如此下去,我们可以猜想: k ? N , 23 ? 1 至少 有 k 个质因子,且 3
k ?1

| 23 ? 1 。试证明之。
k

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加试模拟训练题(12)
1、已知 ?ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ,证明 ?APC 与 ?BQC 的内切圆半径相等的 充分必要条件是 ?AQC 与 ?BPC 的内切圆半径相等。 证明 先 证 明 一 个 引 理 : 设 ?ABC 的 边 BC 上 的 高 为 h , 内 切 圆 半 径 为 r, 则

h ? 2r ?B ?C 。 ? tan tan h 2 2
设 ?ABC 的内心为 I ,作 BC 的平行线 DE 与圆 I 相切,且分别与 AB, AC 交于点

D, E ,则
?BDE ?CED ?B ?C rcot ?r cot t a n? tan h ? 2r DE ? 2 2 ? 2 2 ? t a n B t a?C 。 ? ? n ?B ?C ?B ?C h BC 2 2 r cot ? r cot cot ? cot 2 2 2 2

设 ?APC, ?BQC , ?AQC , ?BPC 的 内 切 圆 半 径 分 别 为 r1 , r2 , r3 , r4 , 则

h ? 2r1 h ? 2r2 ?A ?APC ?B ?BQC ? ? tan tan ? tan tan h h 2 2 2 2 h ? 2r3 h ? 2r4 ?A ?AQC ?B ?BPC ? tan tan ? tan tan ? ? ? r3 ? r4 。 2 2 2 2 h h r1 ? r2 ?
2、 (1)设 x1 , x 2 ,? ? ?, x n , y1 , y 2 ,? ? ?, y n ? (0, ? ?) ,满足: (a) 0 ? x1 y1 ? x2 y 2 ? ? ? ? ? xn y n ; (b) x1 ? x2 ? ? ? ? ? xk ? y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y k , k ? {1, 2,? ? ?n} , 证明:

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? . x1 x 2 x n y1 y 2 yn
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证明

(1)当 n ? 1时, x1 ? y1 ? 0,

1 1 ? ; x1 y1

当 n ? 2 时, x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 , x1 ? y1 ? y 2 ? x2 ,则

1 1 x1 ? y1 y 2 ? x 2 1 1 ? ? ? ? ? , y1 x1 x1 y1 x2 y 2 x2 y 2
假设 n ? k 时命题成立.

所以

1 1 1 1 ? ? ? . x1 x 2 y1 y 2

那么,当 n ? k ? 1 时,设 yi ? xi ? ai (i ? 1,2,? ? ?k ? 1) ,由条件 a1 ? 0 ,

a1 ? a 2 ? 0,? ? ?, a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a k ? 0 , a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ?1 ? 0 ,有
a a1 a ? 2 ? ? ? ? ? k ? 0. x1 y1 x 2 y 2 xk y k
下面用反证法证明以上结论. 假设

a a1 a ? 2 ? ??? ? k ? 0 , x1 y1 x 2 y 2 xk y k

则有 0 ?

a a k ?1 a1 a ? 2 ? ??? ? k ? x1 y1 x 2 y 2 x k y k x k ?1 y k ?1 ? a a ? a2 ? ? ? ? ? ak a1 a ? 2 ? ??? ? k ? 1 x1 y1 x 2 y 2 xk y k x k ?1 y k ?1

? (a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a k ) (

1 1 1 1 ? ) + (a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a k ?1 ) ( ? ) x k y k x k ?1 y k ?1 x k ?1 y k ?1 x k y k

+ (a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a k ? 2 ) (

1 1 1 1 ? ) ? ) ? ? ? ? ? (a1 ? a 2 )( x 2 y 2 x3 y 3 x k ? 2 y k ? 2 x k ?1 y k ?1

? a1 (

1 1 ? ) ? 0 , 矛盾. x1 y1 x 2 y 2

所以,当 n ? k ? 1 时,原不等式成立. 3.两个同样大小的正方形相交错,其公共部分构成一个八边形,一个 正方形的边是蓝色的,另一个正方形的边是红色的,证明:八边形中 蓝色的边长之和等于它的红色边长之和. Key1: (1)两个正方形中心重合时,所构成的八边形外切于以中心为 圆心、正方形边长为直径的圆,由切线长定理即得. (2)中心不重合时,其中一个正方形可沿另一个正方形的两边平移使得中心
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重合,只需证明平移时红边长度之和不变. Key2:图中的小三角形都相似,红边之和:红色高线之和=蓝边之和:蓝色高线之和,而红 色三角形面积之和=蓝色三角形面积之和,由红色三角形与蓝色三角形有公共的底边八边 形,则红色高线之和与蓝色高线之和相等,所以红边之和与蓝边之和.
P1 S1
Q1

C1

D
R1

S

R

C
Q
B1

T
D1
S

R P
Q

L

P B

A

M
A1

N

4.我们知道 2 ? 1 ? 9 有 1 个质因子,且 3 | 2 ? 1 ; 2
3
2 3 3
2

32

? 1 ? 513 ? 33 ? 19 有 2 个
*
k

质因子,且 3 | 23 ? 1 ………………如此下去,我们可以猜想: k ? N , 23 ? 1 至少 有 k 个质因子,且 3
k

k ?1

| 23 ? 1 。试证明之。 (2006 年山东省第二届夏令营试题)
k

证明:令 a k = 23 ? 1 ,则 a k = 3 纳法证明 bk 是整数。
1 ○ k ? 1 时,结论显然; 2 ○假设 n ? k 时,成立;

k ?1

bk ,即要证 bk 是整数且有 k ? 1 个质因子。下用数学归

当 n ? k +1 时,因为 ak ?1 ? ( a k -1)3+1= a k 3-3 a k 2+3 a k ; 因为 3
k ?1

| a k ,所以 3k ? 2 | ak ?1 ,即 bk ?1 是整数。

下证 bk ?1 至少有 k 个质因子。

ak ?1 ? 3k ?2 bk ?1 = a k 3-3 a k 2+3 a k =( 3k ?1 bk )3-3( 3k ?1 bk )2+3( 3k ?1 bk ).
因为 bk ?1 = bk ( 3
2 k ?1

bk2 ? 3k ?1 bk ? 1 ),令 c k ? 32 k ?1 bk2 ? 3k ?1 bk ? 1 ,则 bk ?1 = bk c k

由于( c k ,3)=1,所以( c k , bk )=1,从而 c k 必有异于 bk 质因子的质因子, 所以 bk ?1 至少有 k 个质因子。 证毕!

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