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第2章第2.3.2平面与平面垂直的判定


第二章

空间点、直线、平面之间的位置关系

第 2.3.2 节 平面与平面垂直的判定
【本节教材分析】
(一)三维目标 1、知识与技能 探究平面与平面垂直的判定定理,二面角的定义及应用,培养学生的归纳能力. 2、过程与方法
[

掌握平面与平面垂直的判定定理的应用,培养学生的空间想象能力.

3、情 感、态度与价值观 引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力. (二)教学重点 平面与平面垂直的判定。 (三)教学难点 找出二面角的平面角。 (四)教学建议 在空间平面与平面之间的位置关系中, 垂直是一种非常重要的位置关系, 它不仅应用较 多,而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的,二 面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定,提高学生空间想象能力, 提高等价转化思想渗透的意识,进一步提高学生分析问题、解决问题的能力;使学生学会多 角度分析、思考问题,培养学生的创新精神.

【新课导入设计】
导入一:创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义 的?它们有什么共同的特征? 以 上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多 问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、 发射人造卫星等, 而这样的角有何特点, 该如何表示呢?下面我们先利用具体的实物来进行 观察,研探。

导入二:(直接导入) 前边举过门和墙所在平面的关系, 随着门的开启, 其所在平面与墙所在平面的相交程度 在变,怎样描述这种变化呢?今天我们一起来探究两个平面所成角问题.

【课堂结构】 提出问题 ①二面角的有关概念、画法及表示方法. ②二面角的平面角的概念. ③两个平面垂直的定义. ④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理,并给出证明. ⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里? 讨论结果:①二面角的有关概念. 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角 的棱,这两个半平面叫二面角的面. 二面角常用直立式和平卧式两种画法:如图 2(教师和学生共同动手). 直立式: 平卧式:

(1)

(2)

图2 二面角的表示方法:如图 3 中,棱为 AB,面为 α、β 的二面角,记作二面角 α-AB-β. 有时为了方便也可在 α、β 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P、Q,将这个二面角记作二 面角 P-AB-Q.

图3 如果棱为 l,则这个二面角记作 αlβ 或 PlQ. ②二面角的平面角的概念. 如图 4,在二面角 αlβ 的棱上任取点 O, 以 O 为垂足, 在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 组成∠AOB.

图4 再取棱上另一点 O′,在 α 和 β 内分别作 l 的垂线 O′A′和 O′B′,则它们组成角∠A′O′B′. 因为 OA∥O′A′,OB∥O′B′,所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′. 从上述结论说明了:按照上述方法作出的角的大小,与角的顶点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念: 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角 αlβ 的平面角. ③直二面角的定义. 二面角的大小可以用它的平面角来度量, 二面角的平面角是多少度, 就说二面角是多少

度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墙面与地面, 一个正方体中每相邻的两个面、 课桌的侧面与地面都是互相垂直的. 两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似, 也是用它们所 成的角为直角来定义,二面角既可以为锐角,也可以为钝角,特殊情形又可以为直角. 两个平面互相垂直的定义可表述为: 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法:如图 5.

图5 ④两个平面垂直的判定定理. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为:

AB ? ? ? ? ? α⊥β. AB ? ? ?

两个平面垂直的判定定理图形表述为:如图 6.

图6 证明如下: 已知 AB⊥β,AB∩β=B,AB ? α. 求证:α⊥β. 分析:要证 α⊥β,需证 α 和 β 构成的二面角是直二面角,而要证明一个二面角是直二面角, 需找到其中一个平面角,并证明这个二面角的平面角是直角. 证明:设 α∩β=CD,则由 AB ? α,知 AB、CD 共面. ∵AB⊥β,CD ? β,∴AB⊥CD,垂足为点 B. 在平面 β 内过点 B 作直线 BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角 αCDβ 的平面角. 又 AB⊥BE,即二面角 αCDβ 是直二面角, ∴α⊥β. ⑤应用面面垂直的判定定理难点在于:在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂 直转化为证线线垂直. 【例题讲解】 例 1 如图所示,在四面体 ABCD 中,BD= 2a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证:平面 ABD⊥平面 BCD. 【 分 析 】 作 出 二 面 角 的 平 面 角 , 通 过 计 算 这 个 角 为 90° 来 证 明 两 平 面 垂

直. 【证明】∵AB=AD=CB=CD=a, ∴△ABD 与△BCD 是等腰三角形, ∴取 BD 的中点 E,连结 AE、CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE. ∴∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角. 1 2 2 2 2 在△ABD 中,AB=a,BE= BD= a,∴AE= AB -BE = a. 2 2 2 同理 CE= 2 2 a.在△AEC 中,AE=CE= a,AC=a,∴AC2=AE2+CE2,∴AE⊥CE,即∠AEC 2 2

=90°,即二面角 A-BD-C 的平面角为 90°. ∴平面 ABD⊥平面 BCD. 变式 如图,过 S 点引三条长度相等但不共面的线段 SA,SB,SC,且∠ASB=∠ASC=60°,

∠BSC=90°. 求证:平面 ABC⊥平面 BSC. 证明:取 BC 的中点 D,由 SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°, 可得 AB=AC=SA;连接 SD,AD, 则 AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS 是二面角 A-BC-S 的平面角, 又∵∠BSC=90°,令 SA=1, 2 2 ,AD= , 2 2 2 2 2 ∴SD +AD =SA ,∴∠ADS=90°, ∴平面 ABC⊥平面 BSC. 则 SD= 例2 如图 7,⊙O 在平面 α 内,AB 是⊙O 的直径,PA⊥α,C 为圆周上不同于 A、B 的任 意一点.

图7 求证:平面 PAC⊥平面 PBC. 证明:设⊙O 所在平面为 α,由已知条件,PA⊥α,BC ? α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于 A、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC. 又∵PA 与 AC 是△ PAC 所在平面内的两条相交直线, ∴BC⊥平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC. 变式训练 如图 8,把等腰 Rt△ ABC 沿斜边 AB 旋转至△ ABD 的位置,使 CD=AC,

图8 (1)求证:平面 ABD⊥平面 ABC; (2)求二面角 CBDA 的余弦值. (1)证明:由题设,知 AD=CD=BD, 作 DO⊥平面 ABC,O 为垂足,则 OA=OB=OC. ∴O 是△ ABC 的外心,即 AB 的中点. ∴O∈AB,即 O∈平面 ABD. ∴OD ? 平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 ABC. (2)解:取 BD 的中点 E,连接 CE、OE、OC, ∵△BCD 为正三角形,∴CE⊥BD. 又△ BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同(1)可证 OC⊥平面 ABD. ∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设 BC=a,则 CE=

1 3 OE 3 a ,OE= a ,∴cos∠OEC= ? . 2 2 CE 3

点评:欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线. 【课堂小结】 1.利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线, 然后解决证明垂直问题、 平行问题、 求角问题、 求距离问题等. 2.转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题. 【作业】 课本习题 2.3 A 组 1、2、3.


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