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理科数学复习 第1讲 函数与方程思想 2


理科数学 第二部分

第二部分

思想方法突破

第1讲 函数与方程思想

理科数学 第二部分

1.(2011 年上海)设 g(x)是定义在 R 上、以 1为周期的函数,

若 f(x)=x+g(x)在[3,4]上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[-

10,10]
[-15,11] 上的值域为___________ .

解析:因为g(x)是以1为周期的函数,g(x+1)=g(x),f(x)=x
+g(x),f(x+1)=x+1+g(x+1)=x+g(x)+1=f(x)+1,即自

变量x增加1,则函数值也增加1,所以f(x)在区间[-10,10]上
的值域为[-15,11].

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2.(2011 年上海)若三角方程 sinx=0 与 sin2x=0 的解集分
别为 E 和 F,则( A )
A.E F C.E=F B.E F D.E∩F=?

理科数学 第二部分 3.(2011 年湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子 而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设 在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝克)
? t 30

与时间 t(单位:年)满足函数关系:M???t???=M02 是-10ln2(太贝克/年),则 M???60???=(
A.5 太贝克 C.150ln2 太贝克

,其中 M0 为

t=0 时铯 137 的含量,已知 t=30 时,铯 137 的含量的变化率 )
B.75ln2 太贝克 D.150 太贝克

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t ? 1 1 ? ? 30 ?30? =- 解析:因为 M′ t =- 30 ln2×M02 ,则 M′ ? ? 30
? ? ? ? ? ?

ln2×M02
? ? ?

?

30 30

=-10ln2,解得 M0=600,所以 M t =600×2
? 60 30

? ? ? ? ? ?

?

t 30



那么 M 60???=600×2

1 =600×4=150(太贝克),所以选 D.

答案:D

理科数学 第二部分 4.(2011 年全国)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]

时 f(x)=x2,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx|的图象的交
点共有( A ) A.10 个 个交点. B.9 个 C.8 个 D.1 个

解析: 由题意做出函数图象如图 D18,由图象知共有 10

图 D18

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许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多 函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中 学数学的基本思想,也是历年高考的重点和热点. 1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学 中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和 性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想 是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知 识或函数观点观察、分析和解决问题.

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2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,

建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或
者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程

的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用
方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研

究运动中的等量关系.

理科数学 第二部分 3.函数与方程思想的关系: (1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方 程 y-f(x)=0.函数问题(例如求反函数,求函数的值域等)可以转 化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解, 如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点. 4.函数与方程思想的应用 (1) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当

y>0 时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图象与性质解决有
关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.

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(2) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数,用 函数的观点处理数列问题十分重要.

(3) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置
关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与 二次函数的有关理论. (4) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常 需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

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函数与方程思想在方程问题中的应用 在研究含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题时,

通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方程有解转
化为求函数的值域(函数思想);二是换元,将复杂方程问题转

化为熟悉的二次方程,进而利用二次方程根的分布或构造函数
加以解决.

理科数学 第二部分 例1:设集合 A={x|4x-2x+2+a=0,x∈R}, (1)若 A 中仅有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; (2)若对于任意 a∈B,不等式 x2-6x<a(x-2)恒成立,求 x

的取值范围.
解:(1)令2x=t(t>0),设f(t)=t2-4t+a, 由 f(t)=0 在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根,则有:

①f(t)=0 有两等根时,Δ=0?16-4a=0?a=4.
验证:t2-4t+4=0?t=2∈(0,+∞),这时 x=1.

②f(t)=0 有一正根和一负根时,f(0)<0?a<0.

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③若 f(0)=0,则 a=0,此时 4x-4·x=0?2x=0(舍去)或 2 2x=4, ∴x=2,即 A 中只有一个元素. 综上所述,a≤0 或 a=4,即 B={a|a≤0 或 a=4}. (2)要使原不等式对任意 a∈(-∞,0]∪{4}恒成立, 即 g(a)=(x-2)a-(x2-6x)>0 恒成立,
?x-2≤0 ? 只须? ?g?4?>0 ? ?x≤2 ? ?? 2 ?x -10x+8<0 ?

?5- 17<x≤2.

理科数学 第二部分 【配对练习】 1.(2011 年浙江模拟)已知函数 y=f(x)的定义域和值域都是 [-1 ,1](如图 1),函数 g(x)=sinx,x∈[-π,π].则方程 f(g(x)) =0 的所有不同实数根的个数是________.

图1

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解析:由图象可知方程 f(x)=0 有 4 个非零实数解,分别设
为t1、t2、t3、t4,又因为函数g(x)在[-π,π]上的值域为[-1,1], 所以令 g(x)分别为 t1、t2、t3、t4 时,都有两个 x 值与之对应,则 方程 f(g(x))=0 的所有不同实根的个数是 8 个. 答案:8

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函数与方程思想在不等式中的应用 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是 构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;在含有多 个变量的数学问题中,需要确定合适的变量或参数,能使函数 关系更加清晰明朗,一般地,已知存在范围的量为变量,而待 求范围的量为参数.

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例 2:已知 f(t)=log2t,t∈[ 2,8],对于 f(t)值域内的所有 实数 m,不等式 x2+mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值范围.
?1 ? 2,8],∴f(t)∈?2,3? ? ?

解:∵t∈[

原题转化为 m(x-2)+(x-2)2>0 恒成立, 当 x=2 时,不等式不成立. ∴x≠2 时,令 g(m)=m(x-2)+(x-2)2,
?1 ? m∈?2,3?,即 ? ? ?1 ? m∈?2,3?上恒对于 ? ?

g(m)在

0,

? ?1? ?g? ?>0 则? ?2? ,解得,x>2 或 x<-1. ?g?3?>0 ?

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【思维点拨】首先明确本题是求 x 的取值范围,这里注意 另一个变量 m,不等式的左边恰是 m 的一次函数,因此依据一 次函数的特性得到解决.在多个字母变量的问题中,选准“主 元”往往是解题的关键.

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【配对练习】

2.(2011 年陕西)设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; (2)讨论 g(x)与
?1? g?x ?的大小关系; ? ?

1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)<a对任意 x>0 成立.

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1 1 解:(1)由题设知 f′(x)=x ,g(x)=lnx+x , x-1 ∴g′(x)= x2 ,令 g′(x)=0 得 x=1. ①当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,则 g(x)的单调减区间是(0,1). ②当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,则 g(x)的单调递增区间 是(1,+∞). 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点, 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1.

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?1? (2)g?x ?=-lnx+x, ? ?



?1? 1 ? ?=2lnx-x+ , h(x)=g(x)-g x x ? ?

?x-1?2 则 h′(x)=- x2 , 当 x=1 时,h(1)=0,即
?1? g(x)=g?x ?, ? ?

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,因此,h(x)在(0, +∞)内单调递减.

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当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即

?1? g(x)>g?x ?; ? ?

?1? g(x)<g?x ?. ? ?

(3)由(1)知 g(x)的最小值为 1,所以, 1 1 g(a)-g(x)<a,对任意 x>0 成立?g(a)-1<a, 即 lna<1,从而得 0<a<e.

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【思维点拨】(1)先求出导函数 f′(x),再求得 g(x),然后
利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;(2)作

差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,
并由单调性判断函数的正负;(3)对任意x>0 成立的恒成立问题 转化为函数 g(x)的最小值问题.

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函数与方程思想在数列中的应用
数列是一类定义在正整数集或它的有限子集
? ? ? ? ?

1,2,3,?,n 上的特殊函数,可见,任何数列问题都蕴含着

? ? ? ? ?

函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征.另外,数列与 函数的综合也是当今高考命题的重点与热点,因此我们在解决 数列问题时,应充分利用函数有关知识,以它的概念、图象、 性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示它们间的内在联 系,从而有效地分解数列问题.

理科数学 第二部分 例 3:在等差数列{an}中,若 a1<0,且 S5=S13,试问这数 列的前几项之和最小? 解法一:设公差为 d,由 S5=S13,有: 5×4 13×12 5a1+ 2 d=13a1+ 2 d 17 由此得 a1=- 2 d ,而 a1<0,故 d>0, 即{an}是首项为负数的递增数列. 因此,当 an≤0 且 an+1>0 时,Sn 有最小值,即
? 17 ?- 2 d+?n-1?d≤0 ? ?-17d+nd>0 ? 2 17 19 ,解得 2 <n≤ 2 ,即 n=9.

所以,此数列的前 9 项之和最小.

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17 解法二:由解法一得 a1=- 2 d,且 d>0,所以 n?n-1? 17d d 2 d Sn=na1+ 2 d=- 2 n+2n -2n 81d d 2 d 2 d 2 =2n -9dn=2 (n -18n)=2 (n-9) - 2 . 由此可知,当 n=9 时,Sn 最小. d 解法三:已知 S5=S13,而 Sn 是 n 的二次函数(二次项系数2 5+13 >0),由抛物线的对称性可得其对称轴方程为 n= 2 =9. 所以,当 n=9 时,Sn 最小.

理科数学 第二部分 【思维点拨】(1)先猜想等差数列{an}的单调性,能预测{an} 是首项为负数的递增数列.因此,要找到这个数列中小于零 的所有项中的最后一项.而an=a1+(n-1)d,an的值与a1、d 有关,所以先由已知条件S 5 =S 13 求出a 1 与d的关系,然后由

an≤0且an+1>0时,Sn有最小值推出n的值.
(2)因为Sn 是常数项为零的二次函数,所以也可以利用二 次函数求最值的方法来求Sn的最小值. (3)既然Sn 是常数项为零的二次函数,那么能结合二次函 d? d 2 ? 数的图象来解决本题.二次函数Sn= n +?a1- ? n中,当n= 2? 2 ? 5与n=13时,对应的函数值相等.由抛物线的对称性得其对 称轴方程即可求解.

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【配对练习】 3.设数列{an}是等差数列,Sn是其前 n 项和,且满足 a1 >0,S12>0,S13<0,则使 Sn最大的 n 的值为( B ) A.1 B.6 C.7 D.12

解析:由S12>0有a1+a12=a6 +a7>0 ,由 S13 =a1 +a13 =
2a7<0,则有 a6>0,a7<0,故当 n=6 时,Sn 最大.

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函数与方程思想在最值问题中的应用 求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几

何等问题中的重要问题.解决这类问题一般有两种途径:其一,
充分挖掘题设条件中的不等关系,构建不等式(组)求解;其二, 充分应用题设条件中的等量关系,将待求参数表示成其他变量 的函数,然后利用函数知识求值域.

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x2 y2 例 4:点 A、B 分别是椭圆36+20=1 长轴的左、右端点, 点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥ PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等 于|MB|,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.

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??? ? 解: (1)由已知可得点 A(-6,0), F(4,0), 设点 P(x, 则 AP y), ??? ? =(x+6,y), FP =(x-4,y),

x2 y2 ? ? + =1 由已知可得?36 20 , ??x+6??x-4?+y2=0 ? 3 则 2x +9x-18=0,解得 x=2或 x=-6.
2

3 5 3 由于 y>0,只能 x=2,于是 y= 2 . ∴点 P
?3 5 的坐标是? , ?2 ?

2

3? ? ?.
?

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(2) 直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0.
? m+6? ? 设点 M(m,0),则 M 到直线 AP 的距离是 2 . ? ? ?m+6? ? ? ? ? 于是 2 =?m-6?,又-6≤m≤6,解得 m=2. ? ? ? ? ?

∴M(2,0). 设椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离为 d,则: 5 2 4? 9?2 d =(x-2) +y =x -4x+4+20-9x =9?x-2? +15, ? ? 9 由于-6≤x≤6,∴当 x=2时,d 取得最小值 15. 【思维点拨】将 d 用点 M 的坐标表示出来,d2=(x-2)2+
2 2 2 2

y2,然后求其最小值.

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【配对练习】
4.设双曲线的中心是坐标原点,焦点在 y 轴上,离心率为 5 2 ,已知点 P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲 线方程.
y2 x2 解:由题意可设双曲线方程为a2-b2=1, 5 ∵e= 2 , ∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成 y2-4x2=a2.

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设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则 |PQ|= x2+?y-5?2, ∵点 Q(x,y)在双曲线上, ∴|PQ|= y2 a2 - 4 +?y-5?2, 4

5 a2 即|PQ|2=4(y-4)2+5- 4 (y≥a 或 y≤-a). 二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 y≥a 或 y≤ -a,因此,需对 a≤4 与 a>4 分类讨论.

理科数学 第二部分 ①当 a≤4 时,如图 D19(1)可知函数在 y=4 处取得最小值,

图 D19 a ∴令 5- 4 =4,得 a2=4,
2

y2 2 ∴所求双曲线方程为 4 -x =1. ②当 a>4 时,如图 D23(2)可知函数在 y=a 处取得最小值, 5 a2 ∴令4(a-4)2+5- 4 =4,得 a=7, y2 4x2 ∴所求双曲线方程为49- 49 =1.


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