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推理与证明学案(陈学俊整理)


兴化市文正实验学校高二数学学案(选修 2-2)

第二章 推理与证明

2013/3/10

§ 2.1.1
纳进行一些简单的推理.

合情推理(1)

【学习目标】了解归纳推理的概念和归纳推理的作用,掌握归纳推理的一般步骤,能利用归

【学习重点】掌

握归纳推理的特点和推理过程,体会归纳推理在科学发现中的作用 【学习难点】培养学生发现问题、解决问题的能力 【学习过程】

(一) 创设情境,导入新课
从一个袋子里面摸出来的第一个是白乒乓球, 第二个是白乒乓球, 甚至第三个、 第四个、 第五个都是白乒乓球的时候,我们可能会出现一个猜想: 。但是当我

们有一次摸出来的是一个黄乒乓球的时候, 这个猜想失败了; 这时候我们可能会出现另一个 猜想: 但是当我们摸出来的是一个木球时,这个猜想又失败了,那时我们可 。 这个猜想对不对, 还必须继续加以检验??

能又会出现第三个猜想:

称为推理.

(二) 合作探究,收获新知:
看三个案例: 1、铜、铁、铝、金能导电,铜、铁、铝、金都是金属。 猜想: 2、蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的 ,海龟也是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、都是 爬行动物, 猜想: o o o 3、三角形的内角和是 180 ,凸四边形的内角和是 360 ,凸五边形的内角和是 540 , 由此猜想:凸 n 边形内角和是(n-2)×180 o 4、观察

2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ? 3 ? , ? , ? ,??? 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3
称为归纳推理

猜想: 5.归纳推理的定义: 一般模式: s 具有性质 P,s 具有性质 P,??,s 具有性质 P,S1, S2 , ? Sn 是 A 类事物的对象 1 2 n 猜想:A 类事物具有性质 P 问题:你在生活中遇到过归纳推理吗?举例说明

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(三)课本案例赏析:
1、 (1)U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,5}, B={1,4} 求得: Cu(A∪B)={6} CuA∩CuB={6} (2)若 U={1,3,5,8,9},A={1,3,5}, B={5,8} 求得: Cu(A∪B)={9} CuA∩CuB={9} (3)由(1) ,你有什么发现? (2)

2、观察:sin 10°+ sin 40°+ sin10°sin40°=

2

2

3 , 4

sin 6°+ sin 36°+ sin6°sin36°=

2

2

3 4 3 4 3 4

sin 22°+ sin 52°+ sin22°sin52°=

2

2

sin 15°+ sin 45°+ sin15°sin45°= 由上面四式结构规律,你可以归纳猜想

2

2

3、 等差数列中:a =a a =a +d; a =a +d=a +2d a =a +d=a +2d=a +3d 1 1; 2 2 3 2 1 ; 4 3 2 1 ; 猜想 a = n

……

(四)初步应用,巩固概念
1、观察规律填空 13,15,18,22,( ); 1,2,4 ,( 2:由图可知: 1=1 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, ?? 1+3+5+7+?2n-1= ? )

2 2 3、已知数列{a }的每一项均为整数 a =1,a =a +1(n=1,2?)试归纳出数列{a }的一个 n 1 n+1 n n 通项公式。

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4:根据图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图形中有多少个点?

5.观察直线上的 n 个点,其中任意三点不共线。发现两个点可以确定一条直线。三个点可以 确定三条直线,四个点可以确定 6 条直线,五个点可以确定 10 条直线,由此可以归 纳出什么规律?

(五) 课堂回眸,感悟提高 通过本节课的学习,谈谈你的归纳推理的认识 特点:纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结 论超越了前提所包容的范围. 性质:由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检 验.因此,它不能作为数学证明 作用:归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到猜想,可以作为进一步研究的起 点,帮助人们发现问题和提出问题.

(六) 布置作业,学以致用
课本 P66 2,3,4,5

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§ 2.1.1

合情推理(2)

【学习目标】结合数学实例和生活中的实例,理解类比推理的含义,能利用类比推理进行简 单的推理,体会并认识类比推理在数学发现中的作用. 【学习重点】了解类比推理的含义,掌握类比推理的方法和步骤 【学习难点】找到合适的类比对象,分析两类事物在结构或功能等方面的关系,正确运用类 比推理的思想方法. 【学习过程】 一、创设情境、引入课题 《阿凡达》是 2009 年美国科幻 巨作,以外星生命为题材,目前为止 全球票房收入超过 26 亿美元.以外星 生命为题材的科幻片还有很多,比如 《长江七号》《火星宝贝》等.由《阿 、 凡达》《长江七号》《火星宝贝》票 、 、 房收入都不错,推测以外星生命为题 材的科幻片票房收入都不错,这样的 推理是什么推理? 真的存在外星生命吗?这是一种凭空幻想还是有依据的推理?

运用这种推理方法的例子还有很多, 比如, 从一个传说说起: 春秋时代鲁国的公输班 (后 人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的;茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗?
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再如奥地利医生奥恩布鲁格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶, 根据声音推测桶内的酒 还剩多少.联想到胸腔和酒桶有类似之处,从而发明了叩诊法——通过叩击人体胸腔的方法 判断其中有无积水或积水的多少. 这个推理过程是归纳推理吗? 问题 1:你能说说这些问题中用到的推理方法的含义吗?

二、新知探究 1.类比推理的含义和特点 类比推理定义:根据两类不同事物之间具有某些 的认识功能。 练习: 1.试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b? (2) a=b? ac=bc; (2) a>b? 2 2 (3) a=b?a =b ;等等。 (3) a>b? 问:这样猜想出的结论是否正确? 小结:类比的结论只具有 ,即可能真,也可能假。属于 ,推测 到

的推理叫做类比推理,简称类比。它具有由

;

推理。

2.类比 | x |? c(c ? 0) ? ?c ? x ? c ,可得到 | f ( x) |? c (c ? 0) ? 3.(1)类比点(a,b)为球心,r 为半径的圆的方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,可得到以点
2 2 2

(a,b,c)为球心,r 为半径的球的方程应为 (2)类比“与圆心距离相等的弦长度相等”可得到球的什么性质?

想一想:2004 年北京高考题中出现了一个新的名词——等和数列.你会怎样给“等和数列” 下定义?

问题 2:类比推理的步骤是怎样的? 2. 类比推理的步骤 ⑴ ⑵ 练习 3:类比“平面内,平行于同一条直线的两条直线互相平行” ,你能得到什么结论?

小结:平面几何和立体几何两者在逻辑体系结构、构成问题的基本元素、研究对象和方法等

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方面都有非常相似的地方.他们的基本元素之间能有如下的对应关系 平面 点 直线 平面图形 空间 线 平面 立体图形

问题 3:圆可类比为球,正方形呢?长方形呢?平行四边形呢?三角形呢? 例题 试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义: 圆 球 弦←→ 直径←→ 周长←→ 面积←→ 圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦的长相等;与圆心距离 不等的两弦的长不等,距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂 直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 球的性质

练习:1.在圆 x ? y ? r 中,AB 为直径,C 为圆上异于 AB 的任意一点,则有 k AC ? K BC =-1。
2 2 2

x2 y2 你能用类比的方法得出椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)中有什么样的结论? a b
2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

三、课堂小结:

四、布置作业:课本
6

P68 2,3,4

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2013/3/10

§2.1.2

演绎推理

【学习目标】1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性; 2.掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理. 【学习重点】了解演绎推理的含义,掌握演绎推理的方法和步骤 【学习难点】对三段论的理解与运用 【学习过程】 一、复习回顾 复习 1:归纳推理是由 到 的推理;类比推理是由 到 复习 2:合情推理的结论 . 二、新课导学 问题 1:观察下列例子有什么特点? (1)所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; (2)太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的行星,因此 (3)一切奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 ; (4)三角函数都是周期函数, sin ? 是三角函数,所以 ; 问:上述推理有什么共同特征? 的推理.

新知:演绎推理是从 出发,推出 情况下的结论的推理.简 言之,演绎推理是由 到 的推理. 问题 2:观察上述例子,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?

新知: “三段论”是演绎推理的一般模式:它包括: 大前提(M 是 P)—— 小前提(S 是 M)—— 结 论(S 是 P)——

; ;

试试:请把问题 1 中的演绎推理(2)至(4)写成“三段论”的形式.

讨论: (1)因为指数函数 y ? a 论是否正确,为什么?)

x

是增函数, y ? ( 1 ) 是指数函数,则结论是什么?(结 2
x

(2)演绎推理怎样才结论正确? 三、典型例题 例1. 把下列演绎推理写成三段论的形式 (1) 三角形的内角和为 180 , Rt ?ABC 的内角和为 180 ; (2) 菱形的对角线互相平分。
? ?

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第二章 推理与证明

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练习 1. 下面的推理形式正确吗?推理的结论正确吗?为什么? 所有边长相等的凸多边形是正多边形, (大前提) 菱形是所有边长都相等的凸多边形, (小前提) 菱形是正多边形. (结 论)

例 2.已知 a, b, m 均为正实数, b ? a ,求证:

b b?m ? a a?m

. 四、课堂练习
1 1 1. 因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则 y ? ( ) x 是增函数.这个结论是错 2 2 误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线; 已知直线 b ? 平 面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这 是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4. ∵四边形 ABCD 是矩形, “ ∴四边形 ABCD 的对角线相等” ,补充以上推理的大前提 ( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 5. 用三段论证明:在梯形 ABCD 中,AD//BC , AB=DC,则 ?B ? ?C .

五、课后作业:课本

P72

3,4

8


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