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新课标下高中数学应用题中的最值问题研究

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 新课标下高中数学应用题中的最值问题研究 作者:吴小银 来源:《理科考试研究· 高中》2015 年第 01 期 随着新课标的实施,高中数学在实际教学方面也有了很大的提高,逐步从重视知识转变为 重视学生学习能力和应用意识的培养.高中数学中应用题中的最值问题与实际贴近,并且题目 背景复杂,题型新颖,利用培养学生的应用意识和

解决实际问题的能力.它是建立数学模型将 实际问题抽象为数学问题,并通过求解数学模型来解决实际问题. 一、高中数学应用题中最值问题的常见模型 在高中数学中,应用题中最值问题的常见模型有很多,如,函数模型、不等式模型、几何 模型、数列模型、概率模型等等.在实际教学中,如解决资源分配、优选等问题时,就需要建 立不等式模型和线性规划模型,通过求解模型来解决问题.而一些概率问题,如中奖率、预测 台风、命中率和工厂生产的随机性等问题,可以通过建立概率模型来解决这类问题.另外一些 建设、考古、经济、最优问题等,这类问题可以通过建立函数模型来解决,一些测量问题可以 建立几何模型来解决. 例 1 求函数 y=3-2sinxsinx-2 的最大值和最小值. 解法一 利用分离分母的方法求解: y=3-2sinxsinx-2=2sinx-3sinx-2=2(sinx-2)+1sinx-2 =1sinx-2-2. 由-1≤sinx≤1, 得-3≤sinx-2≤-1,-1≤1sinx-2≤-13, 13 ≤-1sinx-2≤1,即-53 ≤-1sinx-2-2≤-1. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ymax=-1,ymin=53. 解法二 解出 sinx 然后利用正弦函数 sinx 的有界性求解. 由 3-2sinxsinx-2=3sinx-3sinx-2=2(sinx-2)+1sinx-2 =-1sinx-2-2,可得 sinx=-2y+3y+2. 而-1≤sinx≤1,即-1≤2y+3y+2≤1. 解不等式-1≤2y+3y+2≤1,于是有 2y+3y+2≤1, 2y+3y+2≥-1,即 y+1y+2≤0, 2y+5y+2≥0. 化简得-2<y≤1, y<-2 或 y≥-53, 所以-53≤y≤1. 也就是 ymax=-1,ymin=53. 点评 以上两种解法都用到了正弦函数 sinx 的有界性,但是,运用的角度不同.解法一是通 过正弦函数 sinx 的有界性,结合不等式的性质运算获得原函数的值域,从而得到最大与最小值; 而解法二是通过正弦函数 sinx 的有界性来构造关于原函数函数值 y 的不等式,然后解出 y 的范 围,从而得到 y 的最大与最小值.两种方法各有优劣,应当灵活掌握. 二、应用题中最值问题解题的一般步骤 在高中数学应用题中,最值问题是一类特殊应用题,根据笔者多年教学经验,将高中数学 应用题中的最值问题解题步骤进行归纳,归纳为四个步骤,分别为:审题、构建数学模型、求 解、转化为实际问题答案. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 1. 审题 在高中数学中,应用题设置的题目背景复杂,并且文字多,所涉及的信息多,所以首先要 读懂题目的含义.当学生面对一个新的待解决的实际问题时,首先要明确题目的含义,所涉及 的条件和结论,明确各个数字之间的关系,为了更好的使学生做到这一点,需要通过两个方面 来培养学生. 第一个方面,在平时的教学中,要拓展学生的知识面和阅读量,不能只局限于教材中,提 高学生将文字转换为数学信息的能力,提高学生对实

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