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江苏省数学竞赛提优教案:第63讲

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极限及其运算 相关知识 1.数列极限的定义: 一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {a n } 的项 a n 无限趋近于 某个常数 a (即 ..... an ? a 无限趋近于 0) ,那么就说数列 {a n } 以 a 为极限,或者说 a 是数列 {a n } 的极限.记作 lim an ? a ,读作“当 n 趋向于无穷大时, a n 的极限等于 a ” n ?

? 2.几个重要极限: (1) lim 1 ?0 n ?? n (2) lim C ? C (C 是常数) n ?? n (3)无穷等比数列 {q } ( q ? 1 )的极限是 0,即 lim q n ? 0( q ? 1) n ?? 3.函数极限的定义: (1)当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时,函数 f(x)的极限是 a. 记作: x ? ?? lim f(x)=a,或者当 x→+∞时,f(x)→a. (2)当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a, 就说当 x 趋向于负无穷大时,函数 f(x)的极限是 a. 记作 x ? ?? lim f(x)=a 或者当 x→-∞时,f(x)→a. (3)如果 x ? ?? 那么就说当 x 趋向于无穷大时, 函数 f(x)的极限 lim f(x)=a 且 lim f(x)=a, x ? ?? 是 a, 记作: lim f(x)=a 或者当 x→∞时,f(x)→a. x ?? 4 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果 lim a n ? A, lim bn ? B, 那么 n ?? n ?? lim(a n ? bn ) ? A ? B n ?? lim(a n ? bn ) ? A ? B n ?? lim(a n .bn ) ? A.B n ?? lim an A ? ( B ? 0) n ?? b B n 5 对于函数极限有如下的运算法则: 如果 lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B ,那么 lim [ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B , x ? xo x ? xo x ? xo x ? xo lim [ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B , x ? xo lim f ( x) A ? ( B ? 0) g ( x) B x ? xo x ? xo x ? xo n n 当 C 是常数,n 是正整数时: lim [Cf ( x)] ? C lim f ( x) , lim [ f ( x)] ? [ lim f ( x)] x ? xo 这些法则对于 x ? ? 的情况仍然适用 6 函 数 在 一 点 连 续 的 定 义 : 如 果 函 数 f(x) 在 点 x=x0 处 有 定 义 , x ? x0 lim f(x) 存 在 , 且 x ? x0 lim f(x)=f(x0),那么函数 f(x)在点 x=x0 处连续. 7.函数 f(x)在(a,b)内连续的定义: 如果函数 f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处连续,就说函数 f(x)在开区间(a,b)内 连续,或 f(x)是开区间(a,b)内的连续函数. 8 函数 f(x)在[a,b]上连续的定义: 如果 f(x)在开区间(a,b)内连续,在左端点 x=a 处有 lim f(x)=f(a),在右端点 x=b ? x?

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