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诱导公式练习题

时间:2012-11-22



常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: 设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: cos(2kπ +α )=cosα (k∈Z)tan(2kπ +α )=tanα (k∈Z) tan(π +α )=tanα 设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: cos(π +α )=-cosα cos(-α )=cosα sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z) sin(π +α )=-sinα sin(-α )=-sin sin(π -α )=sinα sin(2π -α )=-sinα 公式六:

sin(3π /2+α )=sin(3·

? 2

+α ),k=3 为奇数,所以取 cosα

2、来体会“符号看象限”“符号“即是正负号的意思,解释为在前面加上把α 看成锐角时原函数值的符号。 , 实例 1:sin(2π -α )=sin(4·π /2-α ),k=4 为偶数,所以取 sinα , 当α 是锐角时, 2π 所以 sin(2π -α )<0,符号为“-” 。

任意角α 与 -α 的三角函数值之间的关系: tan(-α )=-tanα tan(π -α )=-tanα tan(2π -α )=-tanα 利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: cos(π -α )=-cosα cos(2π -α )=cosα 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系:

-α ∈ ? , 2? ? , ? ? ? 2 ?

3?

? ? 为锐角, 0 ? ? 所以

? ?

?
2

,? ?

?
2

? ?? ? 0,

3? ? 3? ? ? 2? ? ? ? 2? ,即2? ? ? ? ? , ? 2? 2 ? 2 ?

? ±α 2
3? 2

与α 的三角函数值之间的关系: cos(π /2+α )=-sinα cos(π /2-α )=sinα

所以 sin(2π -α )=-sinα 实例 2:sin(3π /2—α )=sin(3· 能推出 2π -α 的取值范围吗? 所以 sin(3π /2—α )<0, 符号为“-” 。故 sin(3π /2—α )=-cosα (以上 k∈Z) 仿照实例 1 推导 2π (1) (2) (3) (4) (5) (6)

sin(π /2+α )=cosα sin(π /2-α )=cosα 公式七:

? —α 2

),k=3 为奇数,所以取 cosα ,当α 是锐角时,

3? 3? -α ∈ ? ? , ? , ? ? (你 2 2 ? ?

±α 与α 的三角函数值之间的关系: cos(3π /2+α )=sinα cos(3π /2-α )=-sinα

sin(3π /2+α )=-cosα sin(3π /2-α )=-cosα

上述公式可用“十字”口诀记忆,当你不理解“十字”口诀时,如果你的记忆力够好,并且过目不忘,你可以用自己的方 式记忆,当你不理解“十字”口诀时,那你就做好随时可能先走一步的准备吧,因为上面公式如此之多,一不小心,你的 全力付出也会毁之于公式; 当然也不要害怕,感觉好像是山穷水秀的地步了,岂不闻山穷水秀疑无路,柳暗花明又一村,同学们做好准备,你只需要 认真花 20 分钟左右,就能搞定所有的公式及对它们能熟练应用; 分歩分析: “严重警告” :注意:在做题时,将上述所有公式中的 a 看成锐角来处理会比较好做。 一、诱导公式记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限“ 以上所有的诱导公式均可以概括为: 对于

-α

的取值范围,推出其它几个角的取值范围,将上述任意角α 看做锐角,

π +α 的取值范围是______________________; π —α 的取值范围是______________________;

? ? k ±α 2

(k∈Z)的三角函数值,

? +α 的取值范围是______________________; 2 ? -α 的取值范围是______________________; 2 3? -α 的取值范围是______________________; 2 3? +α 的取值范围是______________________; 2

①当 k 是偶数时,得到α 的同名函数值,即函数名不改变;即 sin→sin;cos→cos;tan→tan, ②当 k 是奇数时,得到α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin; 1、 这就是所谓的“奇变偶不变” 再以具体实例来体会理解“奇变偶不变” 如:sin(2π -α )=sin(4· (7)

2π -α

的取值范围是______________________;

对上述几组诱导公式理解不可单一理解,它们相互联系,相互应用,它们的作用用下图表示:

? -α 2

),k=4 为偶数,所以取 sinα ;

任意负角的三角函 数

用公式 111111 11 一或三 111111 11

2、将下列三角函数转化为锐角的三角函数,注意不用求值

任意正角的三角函 数

(1)cos 210? =_________________________; (2)sin 263?42' =__________________________;
(3) cos(?
3、计算:

用 公 式 一

5? 11? ) =_______________________; (4) cos ? 3 9

=___________________________;

(1)6sin(?90? ) ? 3sin 0? ? 8sin 270? ? 12cos180?

(2)10cos 270? ? 4sin 0? ? 9 tan 0? ?15cos180?

锐角三角函数

用公式 111111 11 二或四 111111 11

0—2 π 的角的三角函


(3)2 cos

?
2

? tan

?

3 ? ? ? 3? ? tan 2 ? sin ? cos 2 ? sin 4 4 6 6 6 2

25 ? (4) sin ? 6

25 ? cos ? 3

2? 5 t? n ( a 4

)

利用诱导公式求下列三角函数值 例 1: cos( ?

25? 25? ? ? ) = cos( ) = cos(6? ? ) = cos 4 4 4 4

=

2 2

(5)sin 420? ? cos750? ? sin(?330? )? ?660? ) cos(

( 6 ) t a n 6? 7 5 ?

? tan? 65 7

t ?a? 3 3 0 n ?

t? a n ( 6 9 0 )

1、利用诱导公式求下列三角函数值

(1) cos 225?
(5) cos( ? ) 6

(2)sin

?

11? 3 79? (6) cos(? ) 6

(3) sin ?

11? 6 7? (7) cos( ? ) 6

(4)cos(?2040? )
(7) cos( 2? ) 3
4、已知 sin(?

??) ? ?

(1) (1) sin(5?

? 3? ? ? ? );(2) sin( ? ? );(3) cos(? ? );(4) tan( ? ? ) 2 2 2

1 ,计算: 2


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