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2012圆锥曲线高考题


2012 圆锥曲线高考题
1.【2012 高考真题重庆理 3】任意的实数 k,直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定 是 (1) 相离 【答案】C

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

【解析】直线 y ? kx ? 1 恒过定

点 (0,1) ,定点到圆心的距离 d ? 1 ? 所以直线 y ? kx ? 1 与圆相交但直线不过圆心,选 C.

2 ,即定点在圆内部,

2. 2012 高考真题浙江理 3】 a∈R , “a=1” “直线 l1: 【 设 则 是 ax+2y=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行 的 A 充分不必要条件 C 充分必要条件 【答案】A 【解析】当 a ? 1 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 0 ,直线 l 2 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 l1 // l 2 ;若 l1 // l 2 ,
2 则有 a(a ? 1) ? 2 ? 1 ? 0 ,即 a ? a ? 2 ? 0 ,解之得, a ? ?2 或 a ? 1 ,所以不能得到 a ? 1 。

B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

故选A. 4.【2012 高考真题陕西理 4】已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则( A. l 与 C 相交 【答案】A. B. l 与 C 相切
2 2



C. l 与 C 相离

D. 以上三个选项均有可能

【解析】圆的方程可化为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,易知圆心为 (2,0) 半径为 2,圆心到点 P 的距离 为 1,所以点 P 在圆内.所以直线与圆相交.故选 A. 5. 【 2012 高 考 真 题 天 津 理 8 】 设 m, n ? R , 若 直 线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与 圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切,则 m+n 的取值范围是
(A) [1 ? 3,1 ? 3] (C) [2 ? 2 2,2 ? 2 2 ] 【答案】D (B) (??,1 ? 3] ? [1 ? 3,??) (D) (??,2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2 ,??)

【 解 析 】 圆 心 为 (1,1) , 半 径 为 1. 直 线 与 圆 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 满 足

-1-

(m ? 1) ? (n ? 1) ? 2 | | (m ? 1) ? (n ? 1)
2 2

即 ? 1 , m ? n ? 1 ? mn ? (

m?n 2 1 2 ) , m? n ? z , 设 即 z ? z ?1 ? 0 , 2 4

解得 z ? 2 ? 2 2 , 或 z ? 2 ? 2 2, 6.【2012 高考江苏 12】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 , (5 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则

k 的最大值是 ▲ .
【答案】

4 。 3

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的 圆与圆 C 有 公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。 ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是

4k ? 2 k ?1
2

, ∴

4k ? 2 k ?1
2

解得 ? 2, 0 ? k ?

4 。 3

4 。 3

一、选择题
2.【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)
【答案】C



2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

2 2 【解析】 设等轴双曲线方程为 x ? y ? m(m ? 0) , 抛物线的准线为 x ? ?4 , AB ? 4 3 , 由

则 y A ? 2 3 ,把坐标 (?4,2 3) 代入双曲线方程得 m ? x ? y ? 16 ? 12 ? 4 , 所以双曲线方
2 2

程为 x ? y ? 4 ,即
2 2

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? 4, a ? 2 ,所以实轴长 2a ? 4 ,选 C. 4 4

-2-

3.【2012 高考真题新课标理 4】设 F1F2 是椭圆 E : 直线 x ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为 a 2 b2


3a 上一点, ?F2 PF 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 1 2 ? ? ( A) (B) (C ) ( D) 2 3 ? ?

【答案】C 【 解 析 】 因 为 ?F2 PF 是 底 角 为 30? 的 等 腰 三 角 形 , 则 有 1

F2 F1 ? F2 P

,







?PF1 F2 ? 300 , 所 以

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c , 2 2 2 2 3a c 3 3 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 所以 2 a 4 4 4.【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 ,所以 F2 D ?

M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
A、 2 2 【答案】B 【解析】设抛物线方程为 y ? 2 px ,则点 M (2, ?2 p ) Q 焦点 ?
2

) D、 2 5

B、 2 3

C、 4

?p ? , 0 ? ,点 M 到该抛物线焦 ?2 ?

点的距离为 3 ,? ? 2 ?

? ?

p? ? ? 4P ? 9 , 解得 p ? 2 ,所以 OM ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 3 . 2?
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 2 a b 2

2

5.【2012 高考真题山东理 10】已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭
圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 8 2
【答案】D

x2 y 2 ? ?1 (B) 12 6

x2 y 2 ? ?1 (C) 16 4

x2 y 2 ? ?1 (D) 20 5

-3-

【解析】因为椭圆的离心率为

3 2 3 2 3 c 3 2 2 2 2 ,所以 e ? ? ,c ? a ,c ? a ? a ?b , 4 4 2 a 2

2 所以 b ?

x2 x2 1 2 a ,即 a 2 ? 4b 2 ,双曲线的渐近线为 y ? ? x ,代入椭圆得 2 ? 2 ? 1 ,即 4 a b

x2 x 2 5x 2 4 2 2 4 ? 2 ? 2 ? 1 ,所以 x 2 ? b 2 , x ? ? b , y2 ? b2 , y ? ? b ,则第一象限 2 5 5 4b b 4b 5 5
的 交 点坐 标为 (

2 5

b,

2 5

b) , 所 以四边 形 的面 积为 4 ? x2 y2 ? ? 1 ,选 D. 20 5

2 5

b?

2 5

b?

16 2 b ? 16 , 所 以 5

b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为

6.【2012 高考真题湖南理 5】已知双曲线 C : 渐近线上,则 C 的方程为

x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的 a2 b2

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 A. =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
【答案】A 【解析】设双曲线 C :

x2 y2 D. =1 20 80

x2 y 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a2 b2
b b x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,?1 ? ?2 ,即 a ? 2b . a a

又? C 的渐近线为 y ? ?

x2 y2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为 =1. 20 5
2 2 2

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型. 7.【2012 高考真题福建理 8】已知双曲线 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合, 4 b2

5

B. 4 2

C.3

D.5

【答案】A. 【解析】由抛物线方程 y ? 12x 易知其焦点坐标为 (3,0) ,又根据双曲线的几何性质可知
2

4 ? b 2 ? 32 ,所以 b ? 5 ,从而可得渐进线方程为 y ? ?

5 x ,即 ? 5x ? 2 y ? 0 ,所以 2

-4-

d?

| ? 5 ?3 ? 2? 0 | ? 5 ,故选A. 5? 4

8. 2012 高考真题安徽理 9】 【 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, O 是 点 原点,若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为( )

( A)

2 2

(B)

2

(C )

3 2 2

( D) 2 2

【答案】C 【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。 【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? , 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

1 1 3 2 2 3 2 ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? 。 ? 2 2 2 3 2
10.【2012 高考真题全国卷理 8】已知 F1、F2 为双曲线 C:x?-y?=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1|=|2PF2|,则 cos∠F1PF2= (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【解析】双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a ? b ? 2, c ? 2 ,因为|PF1|=|2PF2|,所以点 2 2

P 在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得|PF2|= 2 2 ,|PF1|= 4 2 ,所以根 据余弦定理得 cos F1 PF2 ?

(2 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 14 2? 2 2 ? 4 2

?

3 ,选 C. 4

11.【2012 高考真题北京理 12】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该 撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面积为 【答案】 3 【 解 析 】 由 y ? 4 x 可 求 得 焦 点 坐 标 F(1,0) , 因 为 倾 斜 角 为 60 ? , 所 以 直 线 的 斜 率 为
2

k ? tan60? ? 3 , 利 用 点 斜 式 , 直 线 方 程 为 y ? 3x ? 3 , 将 直 线 和 曲 线 联 立

-5-

? A(3,2 3 ) ? 1 1 ? y ? 3x ? 3 ? ? ? 1 2 3 ,因此 S?OAF ? ? OF ? y A ? ? 1 ? 2 3 ? 3 . ? 2 2 2 ? y ? 4x ) ? B ( ,? ? 3 ? 3

二、填空题
13. 【2012 高考真题四川理 15】 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 4 3

B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________。
【答案】3 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、 ,考查 推理论证能力、基本运算能力,以及数形结合思想,难度适中. 【解析】当直线 x ? m 过右焦点时 ?FAB 的周长最大,? m ? 1 ; 将 x ? 1 带入解得 y ? ?

3 1 3 ;所以 S?FAB ? ? 2 ? ? 3 . 2 2 2

14.【2012 高考真题陕西理 13】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面

宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 【答案】 2 6 .



.

【解析】设水面与桥的一个交点为 A,如图

建立直角坐标系则,A 的

2 坐标为(2,-2).设抛物线方程为 x ? ?2 py ,带入点 A 得 p ? 1 ,设水位下降 1 米后水面与

桥的交点坐标为 ( x0 ,?3) ,则 x0 ? ?2 ? ?3, x0 ? ? 6 ,所以水面宽度为 2 6 .
2

15.【2012 高考真题重庆理 14】过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点,若

AB ?

25 , AF ? BF , 则 AF = 12

.

【答案】

5 6 1 2 1 ,设 A,B 的坐标分别为的 2

2 【解析】抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标为 ( ,0) ,准线方程为 x ? ?

( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则 x1 x 2 ?

1 1 p2 1 ? ,设 AF ? m, BF ? n ,则 x1 ? m ? , x 2 ? n ? , 2 2 4 4
-6-

1 1 1 ? ?(m ? 2 )(n ? 2 ) ? 4 5 5 5 ? 所以有 ? ,解得 m ? 或 n ? ,所以 AF ? . 6 4 6 ?m ? n ? 25 ? 12 ?
16.【2012 高考真题辽宁理 15】已知 P,Q 为抛物线 x2 ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所以 2

过点 P,Q 的抛物线的切线方程分别为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联立方程组解得 x ? 1, y ? ?4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法, 属于中档题。 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出 切线方程的关键。 17.【2012 高考真题江西理 13】椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右 a2 b2

焦点分别是 F1, 2。 AF , F1F2 , F B 成等比数列, F 若 则此椭圆的离心率为_______________. 1 1

【答案】

5 5

【命题立意】本题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。 【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A(?a,0), B( A,0) , 焦 点 坐 标 为 F (?c,0), F2 (c,0) , 所 以 1

AF ? a ? c, F1B ? a ? c , F1F2 ? 2c ,又因为 AF , F1F2 , F1B 成等比数列,所以有 1 1
4c2 ? (a ? c)(a ? c) ? a2 ? c2 ,即 5c 2 ? a 2 ,所以 a ? 5c ,离心率为 e ?
18.【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 (5 为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。

c 5 . ? a 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率 m m ?4

-7-

【考点】双曲线的性质。 【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

c m ? m2 ? 4 ∴ e= = = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。 a m

三、解答题
23.【2012 高考真题北京理 19】 (本小题共 14 分)

【答案】解: (1)原曲线方程可化简得:

x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 2 ?5 ? m ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?

3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ① xM xN ? 2 , ,② 2 2k ? 1 2k ? 1

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)

MB 方程为: y ?
????

? 3xM ? kxM ? 6 x ? 2 ,则 G ? ,?, 1 xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

? 3xM ? ???? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

???? ???? 欲证 A , ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线 G



3 xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

G 将①代入易知等式成立,则 A , ,N 三点共线得证。 ②

24.【2012 高考真题广东理 20】 (本小题满分 14 分)

-8-

x2 y 2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= ,且椭圆 C a b 3
上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l :mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同 的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面积;若 不存在,请说明理由. 【答案】本题是一道综合性的题目,考查直线、圆与圆锥曲线的问题,涉及到最值与探索性 问题,意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

25.【2012 高考真题重庆理 20】 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 的 中点分别为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程

-9-

【答案】 【命题立意】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的基本运算,直线的一般式方程以 及直线与圆锥曲线的综合问题.

- 10 -

28.【2012 高考真题福建理 19】如图,椭圆 E: F2,离心率

的左焦点为 F1,右焦点为

.过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q.试探 究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,说明理由.

- 11 -

30.【2012 高考真题陕西理 19】本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4

(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 【答案】

??? ?

??? ?

- 12 -

31.【2012 高考真题山东理 21】 (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上位于 第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为

3 . 4
(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; 【答案】

- 13 -

33.【2012 高考真题天津理 19】 (本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两 a 2 b2

点,O 为坐标原点.

- 14 -

(Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足 k ?

3.

【答案】

- 15 -

- 16 -


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