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高一数学必修二2.1.2空间中直线与直线的位置关系导学案(解析版)


2.1.2 空间中直线与直线的位置关系 一、课标解读 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 二、自学导引 问题 1、观察长方体模型,归纳空间中两条直线的关系:

异面直线: 1、 定义 2、 异面直线的画法



问题 2:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。在 空间中,是否有类似的规律?

公理 4:

问题 3:思考教材 P47 的思考题,∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何?

等角定理:

异面直线所成的角:

三、合作探究 1、如何理解异面直线的定义?

2、求异面直线所成的角的步骤?

四、典例精析 例 1 如图所示,已知 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,求证: (1)E,F,G,H 四点共面 (2)若四边形 EFGH 是矩形;求证:AC⊥BD

ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AD, A1 D1 的中点,求证: 变式训练 1.已知 E, E1分别是正方体 E1 E ‖ B1 B

例 2 如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N分别是A1 B1 , B1C1的中点.

理由 问:(1) AM和CN是否是异面直线?说明
(2) D1 B和CC1是否是异面直线?说明 理由

变 式 训 练 2 如 图 所 示 , a, b是异面直线, A, B ? a, C, D ? b, E, F分别是 线 段 ,

AC和BD的中点, 判断EF和a、EF和b的位 置关 系,并证 明你 的结 论.

例 3 如图所示,正方体 AC1 中, E, F分别是A1 B1、B1C1的中点, 求异面直线 DB1 与

EF 所成角的大小.

变式训练 3 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,求 A1 B与B1 D1所成的角

五、自主反馈 1、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) A、2 对 C、6 对 B、3 对 D、12 对 )

2、过平面内一点与平面外一点的直线,和平面内不过该点的直线是( A、平行线 B、相交直线 C、异面直线 D、互相垂直的相交直线 3、平面 与平面 相交, 直线 a , 直线 b

, 则这三个命题中,不正确的命题个数是( )

①a、b 必为异面直线 ②a、b 必为平行直线③a、b 必为相交直线 A、0 B、1 C、2 ) D、3

4、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面对角线中,与 AD1 成 60°角的有( A、4 条 C、8 条 B、6 条 D、10 条

5、异面直线 a、b 成 60°角,直线 c⊥a,则直线 b 与 c 所成的角的范围是( ) A、 [30°,90°] C、 [60°,120°] B、 [60°,90°] D、 [30°,120°] A1 D1 M D A D、
4 5

C1 B1 N

6、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 B1C1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是: A、
3 2

C B

B、

10 10

C、

3 5

答案 2.1.2 空间中直线与直线的位置关系 例 1 证明: (1)在 ?ABD中

? E, H分别是AB, AD的中点, ? EH // BD, 同理FG // BD,? EH // FG,? E, F , G, H四点共面

(2)由(1)知 EH // BD,同理AC // GH

又?四边形EFGH是矩形, ? EH ? GH ,
? AC ? BD
例 2 (1)不是异面直线,理由:

? M , N分别是A1 B1 , B1C1的中点, ? MN // A1C1
// D1 D, 而D1 D ? // C1C ,? A1 A ? // C1C 又 ? A1 A ?

?四边形A1 ACC1是平行四边形? A1C1 // AC 得到MN // AC,? A, M , N , C在同一个平面内
? AM和CN不是异面直线
(2)是异面直线,证明略

O点, 例 3 解:连接 A1C1 , B1 D1 , 设它们相交于

取DD1的中点G, 连接OG, 则OG // B1 D, EF // A1C1 ? ?GOA DB1与EF所成的角或补角 1为异面直线 ? GA1 ? GC1 , O为A1C1的中点, ? GO ? A1C1

? 异面直线DB1与EF所成的角为 90?
变式训练 1. 略

? 2.证明:假设 EF和a共面,设为
则EF ? ? , a ? ? ,? A, B, E, F ? ?
? BF ? ? , AE ? ? ,

又? C ? AE, D ? BF, ? C, D ? ? ,? b ? ?,从而a, b共面

这与题设矛盾, ? 假设不成立 ? EF与a是异面直线
3. 60
?

自主反馈答案 1. C ;2、C ;3、D ;4、C ;5、A ;6、D


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