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2015年高一四校班第3讲:一元二次不等式(教师版)


2015 年高一四校班第 3 讲:一元二次不等式
小试牛刀:
1、若 c ? 1, a ? c ? ? A? a ? b ? B ? a ? b

?C ? a ? b

c ? 1, b ? c ? 1 ? c .则下列结论中正确的是 ( A



? D? a ? b

/>
1 ? 3x ? y ? 7 ) 2.已知 ?1 ? x ? y ? 1 ,1 ? x ? y ? 3 , 则 3x ? y 的取值范围是______ (答: ;
3.已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则

1? c ? 的取值范围是______(答: ? ?2, ? ? ) 2? a ?

4.不等式 ( x ? 2) x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集是____(答: {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; 5. 不等式 ( a -2)x 2+2( a -2) -4<0,对一切 x ∈R 恒成立, 则 a 的取值范围是 .

解析: ?

?a ? 2
2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0

或 a ? 2 答案: (?2,2]

6.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,则 2x+3y 的最小值是 解析: x ? 1 ? 2 y ? 0 ? y ?

2



1 2

所以 0 ? y ?

1 2

1 2x ? 3 y 2 ? 2(1 ? 2 y) ? 3 y 2 ? 3 y 2 ? 4 y ? 2 在 [ 0, ] 上递减, 2 3 2 故 ( 2 x ? 3 y ) min ? 4 1 评述:注意 0 ? y ? ! 2
7. 已知 f ( x) ? ( x ? a)(x ? b) ? 2 并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则实数 a, b, ? , ? 的 大小关系可能是( A ) A. ? ? a ? b ? ? B. a ? ? ? ? ? b C. a ? ? ? b ? ? D. ? ? a ? ? ? b

2 2 8.设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有

且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是
x y

?

1 1 ?a?0 或 ? a ?1 2 2
x3 ? b 恒成立的 b 的最小值是 y4

.

9. 设实数 x、 y 满足 2? x ? y ?3, 1? [答案] 4. ∵
2

?2, 则使得 a ?

.

x 4 1 x3 = ( x ? y)?2 ? ( ) ?[ ,4] 4 y 9 y

10. 若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x? (0, ) 成立, 则 a 的取值范围是

1 2

a?? .

5 2

11. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立, 则 a 的取值范围是 . ?

1 3 ?a? 2 2

12.在实数集 R 上定义一种运算“△” ,且对任意 a, b ? R ,具有性质: ① a?b ? b?a ; ② a? 0 ? a ; ③ (a?b)?c ? c?(a ? b) ? (a?c) ? (b?c) ? c , 则函数 f ( x ) ? x?

1 的值域是 x

?? ?,?1?? ?3,???

.

13.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,如果 2 x 2 ? ax ? 2a

对 于 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x , 函 数 值 均 为 正 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ____-7<a 《 0 , a=2____________.

14. 已 知 f ( x) ? x2 ? ax ? b , a, b ? R , A ? {x x ? f ( x), x ? R} ? (?2, 4) , 试 用 区 间 表 示
B ? { x x ? f[ f( x )], ? x = R }

.

答案: (?2 2, ?2) ? (2 2, 4)

典型例题:
一:求待定系数(基础) 例 1. 不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集为 x ? (4,5) ,求关于 x 的不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解 集。
2 2

解析:由题意可知方程 x ? mx ? n ? 0 的两根为 x ? 4 和 x ? 5
2

由韦达定理有 4 ? 5 ? ? m , 4 ? 5 ? ?n ∴ m ? ?9 , n ? ?20 ∴ nx ? mx ? 1 ? 0 化为 ?20 x ? 9 x ? 1 ? 0 ,即 20 x ? 9 x ? 1 ? 0
2 2 2

1 1 (4 x ? 1)(5x ? 1) ? 0 ,解得 ? ? x ? ? , 4 5 1 1 2 故不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解集为 (? , ? ) . 4 5
举一反三: 2 【变式 1】不等式 ax +bx+12>0 的解集为{x|-3<x<2},则 a=__-2_____, b=___-2_____。
2 【 变 式 2 】 已 知 ax ? 2 x ? c ? 0 的 解 为 ?

1 1 ? x ? ,试求 a 、 c ,并解不等式 3 2

?cx 2 ? 2 x ? a ? 0 .

【答案】由韦达定理有: ?

1 1 2 1 1 c ? ? ? , ? ? ? ,∴ a ? ?12 , c ? 2 . 3 2 a 3 2 a
2 2

∴代入不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 得 ?2 x ? 2 x ? 12 ? 0 ,
2 即 x ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 3 ,

故不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集为: (?2,3) .
2

【变式 3 】已知关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2),求关于 x 的不等式
2

bx2 ? ax ? 1 ? 0 的解集.
【答案】由韦达定理有: ?

? ?a ? 1 ? 2 ?a ? ?3 2 ,解得 ? , 代入不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 得 ?b ? 1? 2 ?b ? 2 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,即 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 1 . 2 1 2 ∴ bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为: (??, ) ? (1, ??) . 2

20.已知 a, b, x, y ? (0, ??) , (1)求证:

a 2 b2 (a ? b)2 ,并指出等号成立的条件; ? ? x y x? y 2 9 1 ( x ? (0, )) 的最小值,并求出等号成立时的 (2)利用此不等式求函数 f ( x) ? ? x 1? 2x 2 x 值.

二:不等式恒成立问题 2 2 例 2.已知关于 x 的不等式(m +4m-5)x -4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 解析: 2 (1)当 m +4m-5=0 时,m=1 或 m=-5 若 m=1,则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立,符合题意。 若 m=-5,则不等式为 24x+3>0,不满足对一切实数 x 均成立,所以 m=-5 舍去。 2 (2)当 m +4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时, 2 2 由此一元二次不等式的解集为 R 知, 抛物线 y=(m +4m-5)x -4(m-1)x+3 开口向上, 且 与 x 轴无交点,
2 ? ?m ? 4m ? 5 ? 0 所以 ? , 2 2 ? ? ? 16 ( m ? 1 ) ? 12 ( m ? 4 m ? 5 ) ? 0 ?

即?

?m ? 1或m ? ?5 ?1 ? m ? 19

, ∴ 1<m<19。

综上所述,实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。

【变式 1】 若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为非空集, 求 m 的取值 范围. 【答案】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,符合题意. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意 当 m ? 0 时,只需 ? ? 0 , 即?

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 0
1 8

,解得 ?

1 ? m ? 0, 8

综上, m 的取值范围为: m ? [ ? , ??) . 【变式 2】. 若不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围. 2 剖析:对于 m∈[-2,2] ,不等式 2x-1>m(x -1)恒成立,把 m 视为主元,利用函 数的观点来解决. 2 解:原不等式化为(x -1)m-(2x-1)<0. 2 令 f(m)=(x -1)m-(2x-1) (-2≤m≤2).
2

? ? ?( 2 x2 ?1 ) ? (2 x ? 1 ) ? 0, ? f( ? 2) 则? ? ?( 2 x2 ?1 ) ? (2 x ? 1 ) ? 0. ? f(2)
解得
1? 3 ?1? 7 <x< . 2 2

例 3.已知: f ( x) ? (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 , ① 当 x ? R 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; ② 当 x ? [1,3) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; ③ 当 x ? (1,3) 时,恰有 f ( x) ? m x ? 7 成立,求 a, m 的值。 解:① a ? 2 或 ?

?a ? 2 ?? ? 4?a ? 2? ? 16?a ? 2? ? 0
2

? ?2 ? a ? 2 ,∴ a ? ?? 2,2? 。

② a ? 2 ,成立

?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 ? 34 或? f (1) ? 0 ? a ? 2或2 ? a ? a ? 2 ,对称轴 x ? ?1 ? ? 15 ? f (1) ? 0 ? f (3) ? 0 ? 34 ? a ? (?? , ] 15 2 ③ f ( x) ? mx ? 7 ? g ?x? ? ?a ? 2?x ? ?2a ? 4 ? m?x ? 3 ? 0 ,∵ x ? (1,3) 时,恰有 f ( x) ? m x ? 7 成立 ?a ? 2 ?a ? 2 ?a ? 3 ? ? ∴ ? g ?1? ? 0 ? ?3a ? m ? 3 ? ? 。 ? g ?3? ? 0 ?5a ? m ? 9 ?m ? 6 ? ?

例 4.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x,都有 f ( x) ? x , 且当 x ?(1,3)时,有 f ( x ) ? (1)证明: f (2) ? 2 ;

1 ( x ? 2) 2 成立。 8

(2)若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式;

(3)在(2)的条件下设 g ( x) ? f ( x) ?

m x , x ? [0,??) ,若 g ( x) 图上的点都位于直线 2

y?

1 的上方,求实数 m 的取值范围。 4

解: (1)由条件知 f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 2 恒成立 又∵取 x=2 时, f (2) ? 4a ? 2b ? c ? ∴ f (2) ? 2 .

1 (2 ? 2) 2 ? 2 与恒成立, 8

(2)∵ ?

?4a ? 2b ? c ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 0

∴ 4a ? c ? 2b ? 1, ∴ b ?

1 , 2

c ? 1 ? 4a .

又 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 恒成立.
2 ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1) ? 4a (1 ? 4a ) ? 0 ,

1 2

1 1 1 1 2 1 1 ,b ? ,c ? , ∴ f ( x) ? x ? x ? . 8 2 2 8 2 2 1 2 1 m 1 1 (3) g ( x) ? x ? ( ? ) x ? ? 在x ? [0,?? ) 必须恒成立, 8 2 2 2 4
解出: a ? 即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0在x ? [0,??) 恒成立.
2

①△<0,即 [4(1-m)] -8<0,解得: 1 ?
2

2 2 ; ? m ? 1? 2 2

?? ? 0 ? ② ?? 2(1 ? m) ? 0 ? f ( 0) ? 2 ? 0 ?
总之, m ? (??,1 ?

解出: m ? 1 ?

2 . 2

2 ). 2

三:含参数不等式 例 5.解关于 x 的不等式 (a ?1) x ? (2 ? a) x ?1 ? 0 。
2

解: (1) a ? 1 时, x ? 1 ? 0 即 x ? 1

2分

1 )( x ? 1) ? 0 1? a 1 1 ?1 ∴ ? x ?1 ∵ 1? a 1? a 1 )( x ? 1) ? 0 (3) a ? 1 时, ( x ? 1? a 1 a ?1 ? ∵ 1? a 1? a 1 1 ? 1 ,∴ x ? 或x ? 1 ∴ 若 0 ? a ? 1 时, 1? a 1? a 1 ? 1 ,∴ ( x ? 1)2 ? 0 即 x ? 1或x ? 1 若 a ? 0 时, 1? a 1 1 ?1, ∴ x ? 或x ? 1 若 a<0 时, 1? a 1? a 1 或x ? 1 ; a ? 0 时, x ? 1 综合:若 a<0 时, x ? 1? a 1 或x ? 1 ; a ? 1 时, x ? 1 若 0 ? a ? 1 时, x ? 1? a 1 a ? 1 时, ? x ?1 1? a
(2) a ? 1 时, ( x ? 四:集合与不等式 例 6 : 已 知 命 题 P : 函 数 f ( x) ?

5分

6分 7分 8分

1 (1 ? x) 且 f (a) ? 2 ; 命 题 Q : 集 合 3 A ? {x | x 2 ? 9x ? 20 ? 0} , B ? {x | x ? a} 且 A B ,若命题 P 、Q 中有且仅有一个为真
命题,求实数 a 的取值范围. 1 解:P: | (1 ? a) |? 2 ? a ? (?5, 7) 3 Q: a ? [?4,??) 当 P 真 Q 假,则 a ? (?5,?4) ; 当 Q 真 P 假,则 a ? [7, ??) 所以 a ? (?5,?4) ? [7,??) ----- 2 分 -----4 分 -----6 分 -----8 分 -----9 分

2 例 7.已知全集 U ? R , a ? b , M ? {x x ? 3x ? 4 ? 0} , A ? {x ( x ? a)(x ? b) ? 0} ,

B ? {x x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0} .
(1)若 CU A ? M ,求 a、 b 的值; (2)若 a ? b ? ?1 ,求 A ? B ;

(3)若 a ?
2

1 ∈ CU B ,求 a 的取值范围. 4

解: (1) CU A = {x ( x ? a)(x ? b) ? 0} , M ? {x ? 1 ? x ? 4} 若 CU A ? M ,则 a ? 1,b ? ?4 或 a ? ?4,b ? 1

(2)? a ? b ? ?1 ,? ? a ? ?b ? 1 ,

? A ? {x x ? ?a或x ? ?b} , B ? {x x ? ?a或x ? 2} .
? A ? B ? {x x ? ?a或x ? 2}

例 8.关于 x 的不等式组 ?

2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 的整数解的集合为 A. 2 ? 2 x ? ( 2 k ? 5 ) x ? 5 k ? 0 ?

(1)当 k ? 3 时,求集合 A; (2)若集合 A ? ?? 2? ,求实数 k 的取值范围; (3)若集合 A 中有 2013 个元素,求实数 k 的取值范围. (1) 当 k ? 3 时,第二个不等式的解为 ? 3 ? x ? ? (2) ? 3 ? k ? 2 ; (3)当 ?k ? ?

5 ,A??; 2

5 - 4, ?, - 2 0 1?5, 所 以 ? 2016 ? ?k ? ?2015 , 得 时 , A ? ?? 3, 2

2015 ? k ? 2016 5 1? 4 k ? 2 0 1, 5 得 ? , 所 以 2 0 ? 3, ?, - 2014 当 ?k ? ? 时 , A ? ?? 2, 2 ? 2015 ? k ? ?2014 所以实数 k 的取值范围为 2015 ? k ? 2016 或 ? 2015 ? k ? ?2014 .

五:证明题 例 9(1)已知:当 a,b,m 均为正数,且 a >b ,求证: (2) 当 a,b,m 均为正数,且 a <b ,对真分数

a +m a < ; b +m b

a ,给出类似上小题的结论,并予以证明; b a b c + ? ? 2 (可直接应用第(1)、 (3)在 ?ABC 中, 三边分别为 a,b,c , 求证: b + c a + c a +b
(2)小题结论). 解:(1)证明: ? a ? b ? 0且m ? 0

?

a +m a m(b-a) a +m a - = <0, ? < b+m b b(b+m) b+m b
a a a +m ,有 ? b b b+m

(4 分) (1 分)

(2)当 a,b,m 均是正数,且 a ? b ,对真分数 证明:∵ b ? a ? 0且m>0

a +m a m(b-a) a a +m (3 分) - = >0, ? < b+m b b(b+m) b b+m a b c (3)由(2)的结论得,a,b,c>0,且 , , 均小于 1, b?c c?a a?b a 2a b 2b c 2c ? ? ? , ? , b?c a?b?c c?a a?b?c a?b a?b?c a b c 2a 2b 2c ? ? ? ? ? ? ?2 b?c c?a a ?b a ?b?c a ?b?c a ?b?c ?
1 2 例 10.函数 f(x)=ax +bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 有两根 x1,x2 满足 0<x1<x2< ,当 x∈ a (0,x1)时,证明:x<f(x)<x1. 题一: 证明:∵x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的两根, ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2).∵x∈(0,x1), ∴x-x1<0,x-x2<0, ∵a>0,∴f(x)-x>0,即 f(x)>x. f(x)-x1=f(x)-x+x-x1=a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)=(x-x1)(ax-ax2+1). 1 ∵0<x2< ,∴ax2<1,1-ax2>0,ax>0,∴ax-ax2+1>0,x-x1<0, a ∴(x-x1)(ax-ax2+1)<0,f(x)-x1<0,f(x)<x1,综上所述:x<f(x)<x1.

综合题:
例 11:已知一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0, c ? 0) 的图像与 x 轴有两个不同的公 共点,其中一个公共点的坐标为 (c,0) ,且当 0 ? x ? c 时,恒有 f ( x) ? 0 . (1)当 a ? 1 , c ?

1 时,求出不等式 f ( x) ? 0 的解; 2

(2)求出不等式 f ( x) ? 0 的解(用 a , c 表示); (3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 8 , 求 a 的取值范围; (4)若不等式 m ? 2km ? 1 ? b ? ac ? 0 对所有 k ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围
2

1 1 2 时, f ( x) ? x ? bx ? , f ( x ) 的图像与 x 轴有两个不同交点, 2 2 1 1 1 ? f ( ) ? 0 ,设另一个根为 x2 ,则 x2 ? ,? x2 ? 1 , 2 2 2 1 则 f ( x) ? 0 的解集为 ( ,1) . ????3 分 2 c 1 (2) f ( x ) 的图像与 x 轴有两个交点,? f (c) ? 0 ,设另一个根为 x2 ,则 cx2 ? ? x2 ? a a 1 又当 0 ? x ? c 时,恒有 f ( x) ? 0 ,则 ? c , a 1 ∴ f ( x) ? 0 的解集为 (c, ) --------6 分 a 1 (3)由(2)的 f ( x ) 的图像与坐标轴的交点分别为 (c, 0), ( , 0), (0, c) a 1 1 这三交点为顶点的三角形的面积为 S ? ( ? c )c ? 8 , ------8 分 2 a
解: (1)当 a ? 1 , c ?

?a ?


c c 1 ? ? 2 16 ? c 2 16c 8

故 a ? ? 0,

? ?

1? ?. 8?

--------10

(4)? f (c) ? 0 ,∴ ac ? bc ? c ? 0 ,
2

又∵ c ? 0 ,∴ ac ? b ? 1 ? 0 , 要使 m ? 2km ? 0 ,对所有 k ?[?1,1] 恒成立,则
2

-----11 分

当 m ? 0 时, m ? (2k ) max =2

当 m ? 0 时, m ? (2k ) min =-2

2 当 m ? 0 时, 0 ? 2k ? 0 ,对所有 k ?[?1,1] 恒成立

从而实数 m 的取值范围为 分

m ? ?2 或 m ? 0 或 m ? 2

--------14

六:自主招生辅导之——柯西不等式
柯西不等式 设a1 , a2 , a3 ,? , an , b1 , b2 , b3 ,? , bn是实数,则
2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ?bn ) ≥ (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2 当且仅当bi ? 0(i ? 1, 2,? , n)或存在一个数

k , 使得ai ? kbi (i ? 1, 2,? , n)时, 等号成立?
证明:

2 2 2 an an a12 a2 ?1 例 1. 已知 a1, a2,?,an∈R ,求证; ? ??? ? ? a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1
+

例 2 已知 a , b, c, d 是不全相等的正数,证明: a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x 2 ? y 2 ? z 2的最小值.

课后练习:
1.已知 x 2 ? y 2 ? 3,a 2 ? b 2 ? 4 ,则 ax ? by的取值范围 2.若 x+y+z=6,则 x 2 ? y 2 ? z 2的最小值
2 3. 已知 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 6, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12,则 x2的取值范围 2 2 2

4.已知 a1 , a2 ,.... an ? R ? ,求证: (a1 ? a2 ? .....? an )(

1 1 1 ? ? ...... ) ? n 2 a1 a2 an

5. 设 x, y, z ? R ,且 2x+3y+4z=22,则

?

2 3 9 ? ? 的最小值是 a b c

6. 已知正实数 x,y 满足 3x 2 ? 2y 2 ? 6 ,则 2x+y 的最大值是

2 7. 已知 5x1 ? 6x2 - 7 x3 ? 4x4 ? 1, 则3x1 ? 2x2 ? 5x3 ? x4 的最小值是

2

2

2

8. 已知 实数a, b, c, d满足a ? b ? c ? d ? 3, a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 , 则 a 的最小值与
2 2 2 2

最大值的和是


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