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高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定与性质导学案 新人教A版必修2


第二章 2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质 【学习目标】 1. 理解直线与平面垂直的定义;掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用; 2. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用; 3. 了解反证法证题的思 路和步骤; 4. 掌握平行与垂直关系的转化. 【学习重点】 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 【知识链接】 当两条直线的夹角为 90 ,这两条直线互相垂直;它们的位置关

系是相交或异面. 【基础知识】 1.如果直 线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记做 l ? ? . l 叫做垂线, 0 ? 叫垂面,它们的交点 P 叫垂足.如图所示. 2.直线与平面垂直的判定定理 一条线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简 记:线线垂直,线面垂直). 判定方法还有: (1)定义法 (2)两条平行线中的一 条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. (3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么这 条直线也垂直于另一个平面. 3.直线与平面垂直的性质定 理 (1)一条直线垂直一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (简记:线面垂直,线线垂直) (2)垂直于同一个平面的两条直线平行. (3)过一点仅有一条直线垂直于已知平面 (4)过一点仅有一个平面垂直于已知直线 【例题讲解】 例 1 判断下列命题是否正确,并说明理由. ⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线,则另一条也垂直于这条直线; (√) ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面,则另一条也垂直于这个平面; (√) ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面,则另一个也垂直与这个平面; (√) ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行; (√) ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行; (√) ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. (×) 例 2 已知 a ∥ b , a ? ? ,求证: b ? ? . 例 3 已知直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,求证: a ∥ b . 变式训练 1:在三棱锥 V-ABC 中, VA ? VC , AB ? BC ,求证: VB ? AC . 【达标检测】 1. 直线 l 和平面 ? 内两条直线都垂直,则 l 与平面 ? 的位置关系是( D ). A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能 2. 下列四个命题中错误的是( D ). A. a ? ? , b ? ? ? a ∥ b B. a ? ? , a ∥ b ? b ? ? C. a ? ? , b ∥ ? , ? a ? b D. a ? ? , a ? b ? b ∥ ? 3. 已知直线 a , b 和平面 ? ,下列错误的是( D ). a / /b ? a ??? A. B. ??b ?? ??a ?b b ??? a ??? C. a ? b? ? ? a ∥? 或 a ?? b ??? D. a / /? ? ? ? a∥b b ??? 4. a , b 是异面直线,那么经过 b 的所有平面( A ). A.只有一个平面与 a 平行 B.有无数个平面与 a 平行 C.只有一个平面与 a 垂直 D.有无数个平面与 a 垂直 5. 平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是( D ). A.平面 ABC 必平行于 ? B.平面 ABC 必垂直于 ? C.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内 6. 已知平面

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