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河南省中原名校联盟2014届高三上学期第一次摸底考试 数学文


中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试

文科数学试题
(考试时间:150 分钟 试卷满分:150 分)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要 求的。 1.已知集合 P={x| x 2 ≤1},M={a},若 P∪M=P,则 a

的取值范围是 ( )

A. (-1,-1) B.[1,+∞) C.[-1,1] D. (-∞,-1]∪[1,+∞) 2.复数 z=i(i+1) 为虚数单位)的共轭复数是 (i ( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 3.对于给定空间中的直线 l,m,n 及平面α , “m,n ? α ,l⊥m,l⊥n”是“l⊥α ”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是 ( ) A.2 3 C.2 B.6 D.2 2 )



5.执行右边的程序框图,若 t∈[-1,2],则 s∈( A.[-1,1) B.[0,2] C.[0,1) D.[-l,2]
2 2

6.若直线 y=kx 与圆 x +y -4x+3=0 的两个交点关 于直线 x+y+b=0 对称,则 ( ) A.k=-1,b=2 B.k=1,b=2 C.k=1,b=-2 D.k=-1,b=-2 7.已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 a1,

a +a10 1 a3,2a2 成等差数列,则 9 =( 2 a9+a8
D.3+2 2



A.1- 2

B.1+ 2

C.3-2 2

8.如图所示,M,N 是函数 y=2sin(wx+ ? ) >0) (ω x 轴的交点,点 P 在 M,N 之间的图像上运动,当 面积最大时 PM · PN =0,则ω =

图像与 △MPN

uuur

uuu r





·1·

A. C.

? ?
4

B.

?
3

2

D.8

9.正方形 AP1P2P3 的边长为 4,点 B,C 分别是边 P1P2,P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 折成一个三 棱锥 P-ABC(使 P1,P2,P3 重合于 P) ,则三棱锥 P-ABC 的外接球表面积为 ( ) A.24π B.12π C.8π D.4π

? x+2y-5≥0 ? 2 2 10.在圆 ( x ? 2) +( y ? 2) =4 内任取一点,则该点恰好在区域 ? x-2y+3≥0 内的概率为 ? x≤3 ?
( A. )

1 8?

B.

1 4?

C.

1 2?

D.

1

?

x 2 y2 11.等轴双曲线 2 - 2 = (a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0) ,方程 ax 2+bx-c=0 的实根分别为 1 a b

x1 和 x2 ,则三边长分别为| x1 |,| x2 |,2 的三角形中,长度为 2 的边的对角是
( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 ( ) D.不能确定

12.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f ?( x) >f(x) ,则 A.f(2)< e 2 f(0) C.f(2)= e 2 f(0)

B.f(2)≤ e 2 f(0) D.f(2)> e 2 f(0)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知向量 a ,b 满足| a |=1, b |=2, 与 b 的夹角为 60°, | a 则| a - b |=__________. 14.已知{ an }是等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和 S5=10,则其公差 d=___________. 15.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) ,则该几何体的体积为__________m3.

r

r

r

r

r

r

·2·

?2 x 2-3 x+1, x≤1 ? 16.已知函数 f(x)= ? ,关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的 2 ?-x +x, x>1 ?
实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 + x2 + x3 的取值范围是_______________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= sin 2 x -sin(2x-

?
2

) .

(1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c=3,f( △ABC 的面积.

C 1 )= ,若 sinB=2sinA,求 2 4

18. (本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观 众进行调查,其中女性有 55 名。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” ,已知“体育 迷”中有 10 名女性。 (1)根据已知条件完成下面的 2×2 表,并据此资料判断你是否有 上的把握认为“体育迷”与性别 非体育迷 男 女 合计 (2) 将日均收看该体育项目不低于 50
·3·

列 联 95%以 有关?

体育迷

合计

分钟的观众称为“超级体育迷” , 已知“超级体育迷”中有 2 名女 性,若从“超级体育迷”中任意 选取 2 人,求至少有 1 名女性观 众的概率。

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, AB∥DC, 已知 BD=2AD=2PD=8,AB=2DC=4 5 . (1)设 M 是 PC 上一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)若 M 是 PC 的中点,求棱锥 P-DMB 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中, 点 A,B 的坐标分别为(- 2 ,0) ,B( 2 ,0)点 C 在 x 轴上方. (1)若点 C 坐标为( 2 ,1) ,求以 A,B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程: (2)过点 P(m,0)作倾斜角为

3? 的直线 l 交(1)中曲线于 M,N 两点,若点 4

Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径的圆上,求实数 m 的值.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=

1-a 2 . x +ax-lnx(a∈R) 2

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 a≥2 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)若对任意 a∈(2,3)及任意 x1 , x2 ∈[1,2],恒有 ma+ln2>|f( x1 )-f( x2 )|成立, 求实数 m 的取值范围.

·4·

【选考题】 请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线, △ACD 的外接圆交于 BC 于点 E,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? 点 A(2,3) ,倾斜角为

? x=4 cos ? (θ 为参数) ,直线 l 经过定 ? y=4sin ?

?
3



(1)写出直线 l 的参数方程和圆的标准方程; (2)设直线 l 与圆相交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)解不等式 f(x)≤3x+4; (2)若不等式 f(x)≥m 的解集为 R,求实数 m 的取值范围.

文科数学参考答案
一、选择题(本大题共 60 分,每小题 5 分) CABBD CBAAC CD 二、填空题(本大题共 20 分,每小题 5 分) 13、 3 14、

1 2

15、 4

16、 ( ,

5 8+ 6 ) 2 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分)

1 ? cos 2 x 1 1 ???????2 分 ? cos 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ∴ cos 2 x ? 1 时,函数取得最大值 1;当 cos 2 x ? ?1 时,函数取得最小值 0 当 ??4 分
17、解: (I) f ( x) ?
·5·

(Ⅱ ? f ( )

C 1 )? , 2 4 1 1 1 ? cos C ? ? 2 2 4

又? C ? (0, ? )

2? 3 ? sin B ? 2sin A ? b ? 2a ?c ? 3 ?C ? ? 9 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a ? cos ? a2 ? 9 7 2? 3

???????6 分

???????8 分

???????10 分

? S ?ABC ?

1 9 3 ab sin C ? a 2 sin C ? 2 14

???????12 分

18、解: (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,??1 分 从而完成 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100 ???????2 分

将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得

100 ? ? 30 ?10 ? 45 ?15 ? 100 k? ? ? 3.030 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
2

???????5 分

因为 3.030 ? 3.841 ,所以我们没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关。 ????6 分 (2)由频率分布直方图知“超级体育迷”为 5 人, 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为

? ? ?? a1 , a2 ? , ? a1 , a3 ? , ? a2 , a3 ? , ? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? b1 , b2 ??
其中 ai 表示男性, i ? 1, 2,3 , b j 表示女性 j ? 1, 2 。

? 由这 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的。 用 A 表示“任取 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则

A ? ?? a1 , b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? b1 , b2 ??
事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P ? A ? ?

????10 分 ????12 分

7 。 10
·6·

19、 (I)证明:在 ?ABD 中,由于 AD ? 4, BD ? 8, AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB 。故 AD ? BD 。
2 2 2

又平面 PD ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD ,故平面 MBD ? 平面 PAD (II)解:过 M 作 MN ? DC 于 N , ??????????6 分

? M 是 PC 的中点,? MN ? 2 16 ?VP ? DMB ? VP ? DBC ? VM ? DBC ? 3
20、解析: (1)设椭圆方程

??????????12 分

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

c ? 2, 2a ? AC ? BC ? 4, b ? 2 ??2 分
椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

??????????4 分

(2)直线的方程为 y ? ? ? x ? m ? ,令 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,联立方程得:

4m ? ? x1 ? x2 ? 3 ? , 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 4 ? 0, ? 2m 2 ? 4 ? x ?x ? ? 1 2 3 ?
? ? 16m 2 ? 12(2m 2 ? 4) ? 0 ? ? 6 ? m ? 6
若 Q ?1, 0 ? 恰在以线段 MN 为直径的圆上, 则

y1 y ? 2 ? ?1 ,即 m 2 ? 1 ? ? m ? 1?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 ?x2 ? 0 , ????8 分 x1 ? 1 x2 ? 1 2 ? 19 , 3

3m 2 ? 4m ? 5 ? 0 ,解得 m ?

?

2 ? 19 2 ? 19 ? (? 6, 6), ? (? 6, 6) 3 3

·7·

?m ?

2 ? 19 符合题意 3

????????12 分

21、解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ? ?) 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f '( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? . 令 f '( x) ? 0, 得x ? 1. x x

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0

? f ( x)在(0,1) 单调递减,在 (1, ??) 单调递增
? f ( x) 极小值 ? f (1) ? 1 ,无极大值
(Ⅱ) f '( x) ? (1 ? a ) x ? a ? ????????4 分

1 (1 ? a) x 2 ? ax ? 1 [(1 ? a) x ? 1]( x ? 1) ? ? x x x

?

(1 ? a )( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x

???????5 分

? a ? 2 ,? 0 ?
①当

1 ?1 a ?1

( x ? 1) 2 1 ? 0, f ( x) 在(0, ??) 上是减函数 ? 1 即 a ? 2 时, f '( x) ? ? x a ?1
1 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或x ? 1 , a ?1 a ?1 1 令 f '( x) ? 0 ,得 ? x ?1 a ?1

②当

综上,当 a ? 2 时, f ( x) 在(0, ??) 单调递减 当 a ? 2 时, f ( x) 在(0,

1 1 )和(1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增??8 分 a ?1 a ?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (2,3) 时, f ( x) 在[1, 2] 上单调递减 当 x ? 1 时, f ( x) 有最大值,当 x ? 2 时, f ( x) 有最小值

?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (1) ? f (2) ? ? ma ? ln 2 ?

a 3 ? ? ln 2 2 2

a 3 ???????10 分 ? ? ln 2 2 2 1 3 1 1 3 而 a ? 0 经整理得 m ? ? 由2 ? a ? 3得 ? ? ? ? 0, 2 2a 4 2 2a
·8·

?m ? 0
22、选修 4-1 几何证明选讲 解:连接 DE 因为 ACED 是圆的内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,

???????12 分

BE DE ,又 AB ? 2 AC , ? BA CA 所以 BE ? 2 DE ,又 CD 是 ?ACB 的平分线, 所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD 。 ???????5 分 (2)由条件的 AB ? 2 AC ? 2 设 AD ? t , 根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,
所以 ?DBE∽?CBA ,即有 即 ? AB ? AD ? ? BA ? 2 AD ? ? 2 AD ? CE ? , 所以 ? 2 ? t ? ? 2 ? 2t ? 2t ? 2 ? 即 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 解得 t ?

1 1 ,或 t ? ?2 (舍去) ,即 AD ? 2 2

???????10 分

23、选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 2 2 (1) x ? y ? 4 ①, ? ? t为参数 ? ② ?y ? 3? 3 t ? ? 2
(2)把②代人①得, t + 2 + 3 3 t - 3 = 0 ③ 设 t1 , t2 是方程③的两个实根,则 t1t2 = - 3 所以 PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? 3 24、选修 4-5:不等式选讲
2

???????5 分

(

)

???????10 分

??2 x ? 2, ? 解:因为 f ( x) ? ?4, ?2 x ? 2, ?
①?

x ? ?1 ? 1≤x≤3, 所以原不等式等价于 x?3
或③ ?

? x ? ?1 ??1≤x≤3 或② ? ??2 x ? 2≤3 x ? 4 ?4≤3 x ? 4

?x ? 3 , ?2 x ? 2≤3 x ? 4

??????2 分

解得①无解,② 0≤x≤3 ,③ x ? 3 , 因此不等式的解集为 x x≥0 . (Ⅱ)由于不等式 f ( x)≥m 的解集为 R ,所以 f ( x) min ≥m ,

?

?

???????5 分 ???????7 分

又 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | ≥ | x ? 1 ? 3 ? x |? 4 ,即 f ( x) min ? 4 , ???????9 分
·9·

所以 m≤4 ,即 m 的取值范围为 ? ??, 4? .

???????10 分

·10·


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