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山东省师范大学附属中学2016届高三数学最后一模试题 文


2016 年山东师大附中高考模拟试题 数学(文史类)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页,满分 150 分. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将 条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0

.5 毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分.共 50 分. 1.已知集合 M ? {x || x ? 1 |? 2} N ? ? x | A. ?? 1,3? B. ?? 1,3? C. ?? 1,4?

? ?

5 ? ? 1? ,则 M ? N 等于( x ?1 ?
D. ?? 1,4?



a?R , 2. 已知 i 为虚数单位, 若
A. 2 3.已知函数 f ? x ? ? ? A.1 B. 3

2?i 为纯虚数, 则复数 z ? (2a ? 1) ? 2i 的模等于 ( a?i
C. 6 D. 11 )



?1 ? x,
x ?a ,

x ? 0, x ? 0.

若 f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于( D.4 )

B.2

C.3

4. 命题“若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? 0

B.若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 D. 若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? 0

5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体. 它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅 助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是( )

6. 下列说法中正确的个数为(



①若样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数 x ? 5 ,则样本 数据 2 x1 ? 1, 2 x2 ? 1,?, 2 xn ? 1 的平 均数为 10 ②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后, 平均数与方差均没有变化 ③采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16, 27,38, 49 的同学 均被选出,则该班学生人数可能为 60 A.0 B.1 C. 2 D.3 ) 7.函数 f ? x ? ? sin x ? ln ? x ?1? 的图象大致为(

8.函数 f ( x ) ? sin(? x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位后与原函数的 3


图象关于 x 轴对称,则 ? 的最小正值是 ( A. C.2

1 2

B.1 D.3 )

9.执行如图所 示的程序框图,若输入 K=5 ,则输出的 S 是( A.18 C.78 B.50 D.306

10. 设函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整 ? f ( x ? 1), x ? 0

数,如 [ ?1.2] =-2,[1 .2 ] =1,[1] =1,若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f ( x ) 的图象恰有三 个不同的交点,则 k 的取值范围是 ( A. ( , ] ) D. [ , )

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

1 1 4 3

第 II 卷(非选择题 共 100 分 ) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.在 ?ABC 中,若 a sin A ? b sin B ? c sin C ? 3a sin B .则角 C 等于

?x ? y ? 1 ? 12 .设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2x ? y 的取值范围为 ?x ? 0 ?
2 2 2



13.在区间 ?1, 2? 上随机取一个数 r ,则使得圆 x ? y ? r 与直线 x ? y ? 2 ? 0 存在公共点 的概率为 14.四边形 ABCD 中, AC ? BD 且 AC ? 2, BD ? 3 ,则 AB ? CD 的最小值为 15. F1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, P 是双曲线右支上一点,满 a 2 b2


??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? 足 OP ? OF2 ? PF2 ? 0( O 为坐标原点) , 且 3 PF1 ? 4 PF2 , 则双曲线的离心率为

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ?
2

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4?

(I)求 f ? x ? 的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)若 x ? x0 ? 0 ? x0 ?

? ?

??

? 为f ? x ? 的一个零点,求 cos 2 x0 的值. 2?

17.(本题满分 12 分)某市为了了解今年高中毕业生的 体能状况, 从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测 试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.数据 分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图), 已知从 左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30 .第 6 小组的频数是 7. (Ⅰ)求这次铅球测试成绩合格的人数; (Ⅱ) 若参加测试的学生中 9 人成绩优秀, 现要从成绩优秀的学生中, 随机选出 2 人参加 “毕 业运动会” ,已知学生 a 、 b 的成绩均为优秀,求两人 a 、 b 至少有 1 人入选的概率.

18.(本题满分 12 分)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上,且 AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所 在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (I)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (III)设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的 体积分别为 VF ? ABCD , VF ?CBE ,求 VF ? ABCD : VF ?CBE .19. (本 题满分 12 分) 用部分自然数构造如图的数表: 用 aij (i ? j ) 表示第 i 行第 j 个数 ( i, j ? N ? ) , 使得 ai1 ? aii ? i. 每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第 n ( n ? N ? ) 行的第二个数为 bn (n ? 2) , (I)写出 bn ?1 与 bn 的关系,并求 bn ? n ? 2? ; (Ⅱ) 设 cn ? 2 ?bn ?1? ? n , 证明:

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? c2 c4 c6 c2 n 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C : 离心率为

1 ,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的 2

圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过椭圆的右焦点 F 的直线 l1 与椭圆交于 A、B , 过F 与 l1 垂直的直线 l2 与椭圆交于 C、D ,与 l3:x ? 4 交于

P,
(1)求证:直线 PA、PF、PB 的斜率 kPA , kPF , kPB 成等差数列 (2)是否存在常数 ? 使得 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | 成立,若存在,求出 ? 的值,若 不存在,说明理由. 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? 个不同的极值点. (I)求 a 的取值范围;
1? ? ? (Ⅱ)记两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 .已知 ? ? 0 ,若不等式 e ? x1 ? x2 恒成立,

a 2 x ? x ? a ( a ? R )在其定义域内有两 2

求 ? 的范围.

2016 年山东师大附中高考模拟试题参考答案 数学(文史类) 一、BCBDB 二、 AADAD

? 6

?-1,2?

2- 2

?

13 4

5

三、16.解: (I) f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4?

? sin 2 x ? 3 sin 2 x ?

1 ? sin x ? cos x ?? sin x ? cos x ? 2

?

1 ? cos 2 x 1 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?? 1 ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
-------------------3 分

f ? x?















?

------------------4 分

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,? k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z





f ? x?

















[ k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 6 3

?

------------------6 分 ( II )

?? 1 ?? 1 ? ? f ? x0 ? ? 2sin ? 2 x0 ? ? ? ? 0 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 2 6? 4 ? ?

------------------8 分

0 ? x0 ?

?
2

,?

?
6

? 2 x0 ?

?

5 ? ? ? ? ?? ? 2 x0 ? ? 0 6 6 6 6
2

?? 15 ? ? 1? cos ? 2 x0 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 6? 4 ? ? 4?
------------------10 分

? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? cos 2 x0 ? cos ? 2 x0 ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin 6 6? 6? 6 6? 6 ? ? ?

?

15 3 1 1 3 5 ?1 ? ? ? ? 4 2 4 2 8

------------------12 分 17.解: (Ⅰ)第 6 小组的频率为 1 -(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

∴ 第 4 、 5 、 6 组 成 绩 均 合 格 , 人 数 为 (0.28 + 0.30 + 0.14) × 50 = 36(人).------------------4 分 (Ⅱ) 设成绩优秀的 9 人分别为 a, b, c, d , e, f , g , h, k , 则选出的 2 人所有可能的情况为:

ab, ac, ad , ae, af , ag , ah, ak ; bc, bd , be, bf , bg , bh, bk ; cd , ce, cf , cg , ch, ck ; de, df , dg , dh, dk ; ef , eg , eh, ek ; fg , fh, fk ; gh, gk ; hk . 共 36 种,其中 a 、 b 到少有 1 人入选的情况有 15 种,
∴ a 、 b 两 人 至 少 有 1 人 入 选 的 概 率 为

P?

1 5 ? 3 6

.

5 1 2

------------------12 分 18.解: (1)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,

? CB ? 平面 ABEF , ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF . ------------------4
分 (2) 设 DF 的中点为 N , 则 MN //

1 1 CD , 又 AO // CD , 2 2

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形, ? OM // AN , 又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ? OM // 平面 DAF . -----------------8 分 (3)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , 1 2 ? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ? S ABCD ? FG ? FG , 3 3 ? CB ? 平面 ABEF , 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG , 3 3 2 6

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .
19. 解 ( 1 )

------------------12 分 由 已 知 得

bn?1 ? bn ? n



?当n ? 2时,bn ? b1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ?
n(n ? 1) . 2

n(n ? 1) , 2

? bn ? 1 ? 又 ? b1 ? 1,

------------------6 分 ( 2 )由( 1 ) cn ? 2 ? bn ?1? ? n ? n2 , 分

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2? 2 ? ? ? ? --8 c2 k 4k 4k ? 1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

1 1 1 1 1? 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2 c4 c6 c2 n 2 ? 3 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? 2 n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2
20.解(1)由题意知 e ? 分 又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆 ------------------12 分

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 2 ? ,即 a 2 ? b 2 . ? ,所以 e ? 2 ? 2 a 2 3 a a 4

--------2

x2 ? y 2 ? b2 , 与 直 线
6 12 ? (?1) 2 ? 3


x? y? 6 ?0











b?

----------------------3 分

b ?3, 所以 a ? 4 , 故椭圆 C 的方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

-------------------4

分 (2)由题意知直线 l1 的斜率存在且不为 0,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 . ① ? 1, ? ? ?4 3
设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A( x1,? y1 ) . 利用根与系数的关系得 x1 ? x2 ? 分 由题意知直线 l2 AE 的斜率为 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , , x x ? 4k 2 ? 3 1 2 4 k 2 ? 3

---------------6

1 1 ,则直线 l2 的方程为 y ? ? ( x ? 1) k k

令 x ? 4 ,得 P 点的坐标 P ? 4, ?

? ?

3? ? k?

k PA ? k PB

3 3 y2 ? k? k ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? 3 ? 1 ? 1 ? ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 k ? x1 ? 4 x2 ? 4 ? y1 ?

=k?

2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 3 x1 ? x2 ? 8 ? ? x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 16 k x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 16

4k 2 ? 12 8k 2 8k 2 ? 5 ? ? 8 ?8 3 k2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? ? =k? 4 4k 2 ? 12 8k 2 8k 2 k 4k 2 ? 12 ? 4? 2 ? 16 ? 4? 2 ? 16 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3 4k ? 3 2
=? k?

0 3 ?24k 2 ? 24 2 ? ? ? ? ? 2k PF 2 2 k 36 ?1 ? k ? k 36 ?1 ? k ?
, 所 以



kPA ? kPB ? 2kPF

kP 、A 、 k

P

F成

k

等 P

差 B





-------------------------9 分

1 ? k 2 64k 2 ? 4 ? 3 ? 4k 2 ?? 4k 2 ? 12 ? 1? k 2 ? (3) | AB |? ? |a| 3 ? 4k 2

?

12 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2
? ? 1 ?2 ? 12 ?1 ? ? ? ? ? ? ? k ? ? 12 ?1 ? k 2 ? ?? | CD |? ? 2 4 ? 3k 2 ? 1? 3 ? 4? ? ? ? k?

---------------------------------------------------------------10 分







---------------------------11 分

1 1 3 ? 4k 2 4 ? 3k 2 7 ? ? ? ? 2 2 | AB | | CD | 12 ?1 ? k ? 12 ?1 ? k ? 12
| CD | ? 所 以 | AB ?
-------------13 分 21.解:因为 f ' ( x) ? ln x ? ax (解法一)转化为,函数 y ? ln x 与函数 y ? ax 的图象在 (0, ??) 上有两个不同交点,如图.

7 | AB CD | 12

| | 存 在| ? ? ,

7 12

使 得 等 式 成 立

可见,若令过原点且切于函数 y ? ln x 图象的直线斜率为 k ,只须 0 ? a ? k . 令切点 A( x0 ,ln x0 ) ,所以 k ? y? |x ? x0 ? 解 得

ln x0 1 1 ln x0 ? ,又 k ? ,所以 , x0 x0 x0 x0
于 是

x0 ? e

,

k?

1 e

,





0?a?

1 . e

------------6 分

(解法二)转化为函数 g ( x) ?

ln x 与函数 y ? a 的图象在 (0, ??) 上有两个不同交点. x

又 g ?( x) ?

1 ? ln x ,即 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , x ? e 时, g ?( x) ? 0 , x2
1 , e

所以 g ( x) 在 (0, e) 上单调增,在 (e, ??) 上单调减.从而 g ( x)极大 ? g (e) ?

又 g ( x) 有且只有一个零点是 1,且在 x ? 0 时, g ( x) ? ?? , 在 x ??? 时, g ( x) ? 0 , 所以 g ( x) 的草图如下, 可见,要想函数 g ( x) ?

ln x 与函数 y ? a 的 x

图象在 (0, ??) 上有两个 不同交点, 只须 0 ? a ?

1 . e

------------6 分

(2)因为 e1?? ? x1 ? x2? 等价于 1 ? ? ? ln x1 ? ? ln x2 . 由(1)可知 x1 , x2 分别是方程 ln x ? ax ? 0 的两个根, 即 ln x1 ? ax1 , ln x2 ? ax2 所以原式等价于 1 ? ? ? ax1 ? ?ax2 ? a( x1 ? ? x2 ) ,因为 ? ? 0 , 0 ? x1 ? x2 , 所以原式等价于 a ? 分

1? ? . x1 ? ? x2

------------8

x1 x x2 又由 ln x1 ? ax1 , ln x2 ? ax2 作差得, ln 1 ? a( x1 ? x2 ) ,即 a ? . x2 x1 ? x2 ln x1 x2 1? ? ? 所以原式等价于 , x1 ? x2 x1 ? ? x2 ln
因为 0 ? x1 ? x2 ,原式恒成立,即 ln

x1 (1 ? ? )( x1 ? x2 ) ? 恒成立. x2 x1 ? ? x2

令t ?

x1 , t ? (0,1) , x2

则 不等式 ln t ? 令 h(t ) ? ln t ?

(1 ? ? )(t ? 1) 在 t ? (0,1) 上恒成立. t??

(1 ? ? )(t ? 1) , t ??

1 (1 ? ? )2 (t ? 1)(t ? ? 2 ) 又 h?(t ) ? ? , ? t (t ? ? )2 t (t ? ? )2
当 ? 2 ? 1 时,可见 t ? (0,1) 时, h?(t ) ? 0 ,所以 h(t ) 在 t ? (0,1) 上单调增,又 h(1) ? 0 ,

h(t ) ? 0 在 t ? (0,1) 恒成立,符合题意.
当 ? 2 ? 1 时,可见 t ? (0, ? ) 时, h?(t ) ? 0 , t ? (? ,1) 时 h?(t ) ? 0 ,
2 2

所以 h(t ) 在 t ? (0, ? ) 时单调增,在 t ? (? ,1) 时单调减,又 h(1) ? 0 ,
2 2

所以 h(t ) 在 t ? (0,1) 上不能恒小于 0,不符合题意,舍去. 综上所述,若不等式 e1?? ? x1 ? x2? 恒成立,只须 ? 2 ? 1 ,又 ? ? 0 ,所以 ? ? 1 . -------14 分


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