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2-3 从速度的倍数到数乘向量


§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量

问题: 在物理中位移与速度的关系:s=vt,力与加速度的关
系:f=ma.其中位移、速度,力、加速度都是向量,而时间、

质量都是数量. 已知非零向量a,作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a) a -a -a -a a a a
O A B C OC = O

A+ AB + BC =a+a+a 记作3a 3a与a方向相同 |3a|=3|a| N M Q P PN = PQ + QM + MN

=(-a)+(-a)+(-a) 记作-3a
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|

运算律: 结合律 第一分配律 第二分配律 方向规定如下: (1) ?a = ? a

? ?? ?a = ????a

?? + ? ?a = ?a + ?a ? ?a + b? = ?a + ?b

实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和

? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, (2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;特别地,当 ? = 0 或 a = 0 时, ?a = 0

对于向量 a(a ? 0),如果有一个实数 ? ,使b = ? a ,那么 a 与b 共线。 由实数与向量的积的定义知,

定理 a 是一个非零向量,若存在一个实数 ? ,使 得 b = ? a ,则向量 a 与非零向量 b 共线。 定理 ? 实数 若向量 a 与非零向量 ,使得 b = ?a 。

b 共线,则存在一个

例1.计算:
(1) ?? 3?? 4a (2) 3?a + b? ? 2?a ? b? ? a (3)?2a + 3b ? c ? ? ?3a ? 2b + c ? -12a 5b -a+5b-2c

例2 设x是未知向量,解方程5(x+a)+3(x-b)=0

例3.如图:已知 AD = 3 ? AB, DE = 3BC,试说明 AC与 AE 的关系. C A

E

解:? AE = AD + DE = 3 AB + 3 ? BC

= 3?AB + BC ?

B
D

= 3 ? AC
∴ AC与 AE 共线且同方向 ,长度是 AE 的3倍.

练习:

e2 是两个不共线向量,已 AB = 2e1 + Re 2 , (1)设 e1 、
CB = e1 + 3e2 ,若A、B、C三点共线,求的R值. R=6
(2)若O为

BC = 6e2 , ABCD的对角线交点,AB = 4e1 ,
D. DO

则 3e2 ? 2e1 等于( B ) A.AO B.BO C. CO

(3)在?ABC 中,点D、E、F分别是边BC、CA、AB的 AC 中点,那么 AB + AD + BC + BE + CF = __________ (4)如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,点 1 N是BD上的一点, BN = BD ,求证M、N、C三点共线. 3 D C N A M B

小结
? 数乘向量的运算 ? 向量共线的判定定理 ? 向量共线的性质定理

3.2 平面向量基本定理

心态 行动 O

? ? ? ? 根据已知向量 e1、e2作出形如?1e1 + ?2e2的向量
? ? ? ? 已知同一平面内向量 e1、 e2 , 作出向量 a = e1 ? 2e2 , b = 1.5e1 + e2
? e1 1

? e2 2
a
B

A

1.5 e1 A

e1
o

?

b

? 2e2

e2

B

互动探究
平面内的任一向量是否都可以用形如 ?1 e1 + ?2 e2 的向量来表示?
OC = a
e1
C A

e2

a

OA = e1

OB = e2
OM = ?1 e1

M

?1 e1
B

ON = ?2 e2

N

?2 e2

O

OC = OM + ON = ?1 e1 + ?2 e2

? ? ? 动手做一做 , 下列各题中能否把 a表示成?1e1 + ?2e2的形式?

纸上得来终觉浅
? a
? e2

? e1

? a
? ? e1 e 2

? ? e1 a
? e2

? a
? e1
? e2

? a
? e1 ? e2

② ③ ① ④ ⑤ ? ? ? 1.a能表示成?1e1 + ?2 e2形式的有__________ _______ ①、③、⑤ ? ? ? 2.a不能表示成?1e1 + ?2 e2形式的有__________ ②、④ ______ ? ? ? ? ? 3.a能表示成?1e1 + ?2 e2时,e1与e2有什么共同特征? ? ? ? ? ? 4.a不能表示成?1e1 + ?2 e2时,e1与e2有什么共同特征? ? ? ? ? ? 5.对于给定满足条件的向 量e1与e2,使得a = ?1e1 + ?2 e2的实数

?1、?2有多少对?

平面向量基本定理
e2 不共线 如果e1、是同一平面内的两个 的向量,那么对于这一平面内的任一 ?2 使 向量a有且只有一对实数 ?1 、 a = ?1 e1 + ?2 e2
e 2 叫做表示这一 我们把不共线 的向量 e1、 平面内所有向量的一组基底。

小试本领
若e1与e2是不共线的两个向量, 则下列各组向量中 能够作为平面基底的是

? ? A. a = 0和b = e1 ? 2e2
? ? C. a = 3e1 + 5e2和b = 6e1 + 10e2 ? ? D. a = ?e + 2e 和b = 5e ? 7e 1 2 1 2
? 3 ? B. a = 2e1 ? 3e2和b = e1 ? e2 2

( D)

实战演练
? ? 例: 如图 , 在?ABC中,已知AB = a, AC = b , D是BC边上的中点,
? ? E是AB边上的中点, 试用a、b 表示AD和DE
A

解: ? D、E分别是BC、AB边上的中点,
? ? AB = a, AC = b
E

? 1 1 1 ? DE = CA = ? AC = ? b 2 2 2 1 AD = AB + BD = AB + BC 2 1 1 1 = AB + ( AC ? AB ) = AB + AC 2 2 2 1? 1? = a+ b 2 2

B

C D

露一手

2 在□ABCD中,BP = BC 3

若AB = a, BC = b,

试用a, b表示向量PD

D
b

C P

解: ? PD = PC + CD
1 1 PC = BC = b, 3 3
CD = ? DC = ? AB

A

a

B

1 ? PD = b ? a 3

= ?a

1.平面向量基本定理, ①如何判断两个向量能否做它们所在平面内所有向量的 基底; ②在几何图形将向量用基底表示; ③基底给定时对于该平面内任一向量的分解是唯一的。

脑子转一转
? ? 如图, 在?ABC中,已知AB = a , AC = b , D是BC边上的中点,
1 EB = AB, 3 ? ? 试用a、b 表示AD和DE
E A

B

C D


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