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吉林省吉林一中2012-2013学年上学期高二11月考数学文试题


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吉林一中 2012-2013 高二数学文 11 月考试卷

模块单元测试试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

一 二 三 四 五 总分

第 I 卷(选择题)
请修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单项选择

1. 下列命题中的真命题是( A. 3 是有理数

) C.e 是有理数 ) D.?x | x是小数?

B.2 2 是实数

R

2. 下列命题中,是正确的全称命题的是(

A.对任意的 a, b ? R ,都有 a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 ; B.菱形的两条对角线相等; C. ?x, x 2 ? x ; D.对数函数在定义域上是单调函数。

3. 已知 an ? ?n2 ? 25n ? n ? N? ? ,则数列 ?an ? 的最大项是( A. a12 B. a13 C. a12或a13 D. a10或a11



4. 已知 xy<0,则代数式 A.有最小值 2 C.有最小值-2

x2 ? y2 ( xy

) B.有最大值-2 D.不存在最值 )

5. 数列{an}的前 n 项和 Sn=3n—c, 则 c=1 是数列{an}为等比数列的 (
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A 充分非必要条件 C 充分必要条件

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B 必要非充分条件 D 既非充分又非必要条件
2 2 ; ②若 a ? b , ac ? bc ; 则

c 6. 对于任意实数 a, b, c, d , 命题①若 a ? b, c ? 0 , a ? 则c b
2 2 ③若 ac ? bc ,则 a ? b ;④若 a ? b, 则

1 1 ? ;⑤若 a ? b ? 0, c ? d ,则 ac ? bd .其 a b
D.4

中真命题的个数为几个 ( ) A.1 B.2 C.3

7. 已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75o , 则b ? ( A.2 ) B.4+ 2 3 C.4— 2 3 D. 6 ? 2

8. 设 p: f(x)=2x2+mx+l 在(0, +∞)内单调递增, m≥-5, ?q 是 ?p 的 q: 则 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



? x ? 2 ? 0, ? 9. 已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
的取值范围是 ( A.[-2,-1] ) B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

10. 在等比数列 ?an ? 中, a7 ? a11 ? 6 , a4 ? a14 ? 5 ,则

a20 ? a10
D. ?





A.

2 3

B.

3 2

C.

3 2 或 2 3

3 2 或? 2 3

11. 已 知 a, b? R , 且 a, G, b 成 等 差 数 列 , a, H , b 成 等 比 数 列 , 则 “ a ? b ” 是 “ G ? H ”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

12. 已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,且 S3=S8,S7=Sk,则 k 的值为( A.3
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B.4

C.5

D.6

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第 II 卷(非选择题)
请修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13. 已知 a ,b ,c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, a ? 1, b ? 3, B ? 60? , 若 则 sin C ? ____________. 14. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=18,S3=26,则{an}的公 比 q= . 15. 锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 取值范围是( ) A.(-2,2) B.(0,2) C.( 2 ,2) D.( 2 , 3 )

b 的 a

16. 若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 xlg x ? ylg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____
评卷人 得分 三、解答题

17. 设锐角△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, a ? 2b sin A , (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+sinC 的取值范围. 18. 已 知 p : 实 数 x 满 足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , 其 中 a ? 0 ; q : 实 数 x 满 足

x 2 ? x ? 6 ? 0或x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围。

19. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . 且 (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式;
bn ? an an ? t

(2)设数列 {bn } 的通项公式为
(m ? 3,m ? N)

,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm

成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.

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20. 已 知 公 差 大 于 零 的 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足: a3 ? a4 ? 117, a2 ? a5 ? 22 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若数列 {bn} 是等差数列,且 bn ?

Sn ,求非零常数 c; n?c

(3)若(2)中的 {bn} 的前 n 项和为 Tn ,求证: 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn . (n ? 9)bn ?1

21. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N* . (1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

22. 设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an=

nban?1 (n≥2). an?1 ? n ? 1

(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n,2an≤bn+1+1.
答案 一、单项选择 1.【答案】B

2 【解析】 2 属于无理数指数幂, 结果是个实数; 3 和 e 都是无理数; x | x是小数? ? R 。 ?
2.【答案】D 【解析】A中含有全称量词“任意” ,因为 a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2 ? (a ?1)2 ? (b ?1)2 ? 0 ; 是假命题,B,D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的” ,菱形的对角线不相 等;C是特称命题。 3.【答案】C 4.【答案】B

【解析】因 x2+y2≥2|xy|=-2xy,又 xy<0,故

x2 ? y2 ≤-2. xy

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5.【答案】C 【解析】数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-c,

? (n ? 1) ?3 ? c 则 an= ? 由等比数列的定义可知: ?2 ? 3 n ?1 (n ? 2) ? c=1 ? 数列{an}为等比数列
6.【答案】A 因为①若 a ? b, c ? 0 ,则 ac ? bc ;错误
2 2 ②若 a ? b ,则 ac ? bc ;错误 2 2 ③若 ac ? bc ,则 a ? b ;成立

④若 a ? b, 则

1 1 ;错误,⑤若 a ? b ? 0, c ? d ,则 ac ? bd ,错误,故选 A ? ; a b

7.【答案】A 【解析】 sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos300 ? 由 a ? c ? 6 ? 2 可 知 , ?C ? 750 , 所 以 ?B ? 300 , sin B ?

2? 6 4

1 由正弦定理得 2

b?

a ?s i n ? B sin A

2? 6 1 ? ? ,故选 A 2 2 2? 6 4

8.【答案】B 9.【答案】C 【解析】作出不等式表示的平面区域,可知当直线 x ? y ? z 经过点 A(2,0)时,

z 取最大值 2,当直线 x ? y ? z 经过点 C(0,1)时 z 取最小值 ?1 ,选 C.
10.【答案】C 11.【答案】B 12.【答案】B
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二、填空题 13.【答案】1

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14.【答案】3 【解析】 a1q2 ? 18, a1 (1 ? q ? q2 ) ? 26, 解得 q=3。 15.【答案】D 16.【答案】12 【解析】 lg( xlg x ? ylg y ? z lg z ) ? 1 ? lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? 1 而 lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? (lg x ? lg y ? lg z)2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x)

? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10

x ? y ? z ? 12
三、解答题

17.【答案】(Ⅰ)因为 a ? 2b sin A ,所以由正弦定理得 sin B ?

1 . 2

因为△ABC 为锐角三角形,所以 (Ⅱ)? A ? B ? C ? ? , B ?

.

?
6

,? sin C ? sin( A ?

?
6

),

所以 cos A ? sin C ? cos A ? sin( A ? 因为 锐角三角形中 B ?

?
6

)?

? 3 3 sin A ? cos A = 3 sin( A ? ) , 3 2 2

?
6

,所以

?
3

? A?

?
2

,

2? ? 5? ? A? ? , 3 3 6

从而

1 ? 3 ,所以 cosA+sinC 的取值范围是 ? sin( A ? ) ? 2 3 2

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18.【答案】由 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 且 a ? 0 得

3a ? x ? a ,? p : 3a ? x ? a
由 x2 ? x ? 6 ? 0 得 ? 2 ? x ? 3 由 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 得 x ? ?4 或 x ? 2

? q : x ? ?4或x ? ?2
? ?q

? a ? ?4或0 ? 3a ? ?2 2 ? a ? ?4或0 ? a ? ? 3 2 ? a ? ?4或0 ? a ? ? 3 2 a ? ?4,? ? a ? 0 3
? a5 ? a13 ? 34, ? ?3a2 ? 9,

19.【答案】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得
?a1 ? 8d ? 17, ? a1 ? 1, ? ? 2 a ? d ? 3, d ? 2. 即? 1 解得 ? 故 an ? 2n ? 1,Sn ? n .

(2)由(1)知 3 1 2m ? 1 4 2? ? ? m ? 3? t ?1 , 即 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t ,??8 分.整理得

bn ?

2n ? 1 2n ? 1 ? t .要使 b1 ,b2,bm 成等差数列,必须 2b2 ? b1 ? bm ,

因为 m, 为正整数, t 所以 t 只能取 2, 5.当 t ? 2 时,m ? 7 ; t ? 3 时,m ? 5 ; t ? 5 3, 当 当 时, m ? 4 .故存在正整数 t,使得 b1 ,b2,bm 成等差数列.

20.【答案】(1) {an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22,又 a3 ? a4 ? 117, ∴ a3 , a4 是方程 n2 ? 22x ? 117 ? 0 的两个根 又公差 d ? 0 ,∴ a3 ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 ∴ ?

? a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 3d ? 13

∴?

?a1 ? 1 ?d ? 4

∴ an ? 4n ? 3

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(2)由(1)知, S n ? n ? 1 ? ∴ b1 ?

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S 2n 2 ? n n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n ∴ bn ? n ? 2 n?c n?c

1 6 15 , b2 ? , b3 ? 1? c 2?c 3?c
∴ c ? ? ( c ? 0 舍去)

∵ {bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c 2 ? c ? 0 (3)由(2)得 bn ?

1 2

2n 2 ? n ? 2n 1 n? 2

2Tn ? 3bn?1 ? 2(n2 ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1)2 ? 4 ? 4 , n ? 1 时取等号

64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ? 4 , n ? 3 时取等号 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n
等号不可能同时取到,所以 2Tn ? 3bn ?1 ?

64bn (n ? 9)bn ?1

21.【答案】 (1)由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ?1) ? 4(an ? n) , n ? N* . 又 a1 ?1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (2)由(1)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n .
n 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 4 ? 1 ? n(n ? 1) .

3

2

22.【答案】(1)由 a1=b>0,知 an=

nban?1 >0, an?1 ? n ? 1

1 1 n n ?1 = + · . b b an an ?1
令 An=

1 n ,A1= , b an

1 1 + An-1 b b 1 1 1 = +?+ n ?1 + n ?1 A1 b b b 1 1 1 = +?+ n ?1 + n b b b
当 n≥2 时,An=
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1 1 (1 ? n ) n b = b ?1 ①当 b≠1 时,An= b 1 b n (b ? 1) 1? b
②当 b=1 时,An=n.

? nb n(b?1) ,b?1 ? ∴ an ? ? 1,bb 1?1 ? ? ?
n

2nb n (b ? 1) bn ? 1 n+1 n n+1 (2)证明:当 b≠1 时,欲证 2an= ≤b +1,只需证 2nb ≤(b +1) . bn ? 1 b ?1
∵(bn 1+1) =bn (b n ?


bn ? 1 - + - - =b2n+b2n 1+?+bn 1+bn 1+bn 2+?+1 b ?1

1 1 1 ? b n ?1 ? n ?1 ? ? ? b ? ) n b b b

>bn(2+2+?+2) =2nbn,

2nb n (b ? 1) + ∴2an= <1+bn 1. n b ?1
当 b=1 时,2an=2=bn+1+1. 综上所述 2an≤bn+1+1.

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