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高考数学典型易错题会诊(上)


高考数学_典型易错题会诊

高考数学
典型易错题会诊 (上)

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高考数学_典型易错题会诊





考点 1 集合与简易逻辑 典型易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 命题角度 2 集合与不等式 命题角度 3

集合的应用 命题角度 4 简易逻辑 命题角度 5 充要条件 探究开放题预测 预测角度 1 集合的运算 预测角度 2 逻辑在集合中的运用 预测角度 3 集合的工具性 预测角度 4 真假命题的判断 预测角度 5 充要条件的应用 考点 2 函数(一) 典型易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域 命题角度 2 函数单调性的应用 命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用 命题角度 4 反函数的概念和性质的应用 探究开放题预测 预测角度 1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 预测角度 2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题 预测角度 3 反函数与函数性质的综合 考点 3 函数(二) 典型易错题会诊 命题角度 1 二次函数的图象和性质的应用 命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 命题角度 3 函数的应用 探究开放题预测 预测角度 1 二次函数闭区间上的最值的问题 预测角度 2 三个“二次”的综合问题 预测角度 3 含参数的对数函数与不等式的综合问题 考点 4 数 列 典型易错题会诊 命题角度 1 数列的概念 命题角度 2 等差数列 命题角度 3 等比数列 命题角度 4 等差与等比数列的综合 命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 命题角度 6 数列的应用 探究开放题预测 预测角度 1 数列的概念 预测角度 2 等差数列与等比数列 预测角度 3 数列的通项与前 n 项和
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预测角度 4 递推数列与不等式的证明 预测角度 5 有关数列的综合性问题 预测角度 6 数列的实际应用 预测角度 7 数列与图形 考点 5 三角函数 典型易错题会诊 命题角度 1 三角函数的图象和性质 命题角度 2 三角函数的恒等变形 命题角度 3 三角函数的综合应用探究开放题预测 预测角度 1 三角函数的图象和性质 预测角度 2 运用三角恒等变形求值 预测角度 3 向量与三角函数的综合 考点 6 平面向量 典型易错题会诊 命题角度 1 向量及其运算 命题角度 2 平面向量与三角、数列 命题角度 3 平面向量与平面解析几何 命题角度 4 解斜三角形 探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度 2 平面向量为背景的综合题 考点 7 不等式 典型易错题会诊 命题角度 1 不等式的概念与性质 命题角度 2 均值不等式的应用 命题角度 3 不等式的证明 命题角度 4 不等式的解法 命题角度 5 不等式的综合应用 探究开放题预测 预测角度 1 不等式的概念与性质 预测角度 2 不等式的解法 预测角度 3 不等式的证明 预测角度 4 不等式的工具性 预测角度 5 不等式的实际应用 考点 8 直线和圆 典型易错题会诊 命题角度 1 直线的方程 命题角度 2 两直线的位置关系 命题角度 3 简单线性规划 命题角度 4 圆的方程 命题角度 5 直线与圆 探究开放题预测 预测角度 1 直线的方程 预测角度 2 两直线的位置关系 预测角度 3 线性规划 预测角度 4 直线与圆
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预测角度 5 有关圆的综合问题 考点 9 圆锥曲线 典型易错题会诊 命题角度 1 对椭圆相关知识的考查 命题角度 2 对双曲线相关知识的考查 命题角度 3 对抛物线相关知识的考查 命题角度 4 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 命题角度 5 对轨迹问题的考查 命题角度 6 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 探究开放题预测 预测角度 1 椭圆 预测角度 2 双曲线 预测角度 3 抛物线 预测角度 4 直线与圆锥曲线 预测角度 5 轨迹问题 预测角度 6 圆锥曲线中的定值与最值问题 考点 10 空间直线与平面 典型易错题会诊 命题角度 1 空间直线与平面的位置关系 命题角度 2 空间角 命题角度 3 空间距离 命题角度 4 简单几何体 探究开放题预测 预测角度 1 利用三垂线定理作二面角的平面角 预测角度 2 求点到面的距离 预测角度 3 折叠问题 考点 11 空间向量 典型易错题会诊 命题角度 1 求异面直线所成的角 命题角度 2 求直线与平面所成的角 命题角度 3 求二面角的大小 命题角度 4 求距离 探究开放题预测 预测角度 1 利用空间向量解立体几何中的探索问题 预测角度 2 利用空间向量求角和距离 考点 12 排列、组合、二项式定理典型易错题会诊 命题角度 1 正确运用两个基本原理 命题角度 2 排列组合 命题角度 3 二项式定理 探究开放题预测 预测角度 1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合 预测角度 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 预测角度 3 利用二项式定理证明不等式 考点 13 概率与统计 典型易错题会诊 命题角度 1 求某事件的概率
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命题角度 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差 命题角度 3 统计探究开放题预测 预测角度 1 与比赛有关的概率问题 预测角度 2 以概率与统计为背景的数列题 预测角度 3 利用期望与方差解决实际问题 考点 14 极 限 典型易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 命题角度 2 数列的极限 命题角度 3 函数的极限 命题角度 4 函数的连续性 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 预测角度 2 数列的极限 预测角度 3 函数的极限 预测角度 4 函数的连续性 考点 15 导数及其应用 典型易错题会诊 命题角度 1 导数的概念与运算 命题角度 2 导数几何意义的运用 命题角度 3 导数的应用 探究开放题预测 预测角度 1 利用导数的几何意义 预测角度 2 利用导数探讨函数的单调性 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最 考点 16 复 数 典型易错题会诊 命题角度 1 复数的概念 命题角度 2 复数的代数形式及运算 探究开放题预测 预测角度 1 复数概念的应用 预测角度 2 复数的代数形式及运算 答案与解析

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考点-1 集合与简易逻辑 集合的概念与性质 集合与不等式 集合的应用 简易逻辑 充要条件 集合的运算 逻辑在集合中的运用 集合的工具性 真假命题的判断 充要条件的应用 典型易错题会诊 命题角度 1 集合的概念与性质 2 ,则下列关系中正确的是 ( ) 1.(典型例题)设全集U=R,集合M={x|x>1} ,P={x|x >1} A.M=P B.P ? M C.M ? P D.C U M ? P=? [考场错解] D [专家把脉] 忽视集合 P 中,x<-1 部分. 2 [对症下药] C ∵x >1 ∴x>1 或x<-1.故M ? P. ,若 P{0,2,5} ,Q= 2.(典型例题)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ? P,b ? Q} {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 [考场错解] A P 中元素与 Q 中元素之和共有 9 个. [专家把脉] 忽视元素的互异性,即和相等的只能算一个. [对症下药] B P 中元素分别与 Q 中元素相加和分别为 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个.
? ={n ? N|f(n) ? P} ,Q={3,4,5,6,7},记 P , 3.(典型例题)设 f(n)=2n+1(n ? N),P={l,2,3,4,5}

? ={n ? N|f(n) ? Q ? ) ? (Q ? ? CN P ? ? CN Q ? )等于 ( 则( P

)

A. {0,3} B. {1,7} C. {3,4,5} D. {1,2,6,7} .Q ? C N P={1,2} .故选D. [考场错解] D P ? C N Q={6,7} [专家把脉] [对症下药]
? 的意义. 未理解集合 P

? ={1}. P ? ={7} ? ={3,5,7} ? ={1,3,5} ? ? CN Q ? ? CN Q .Q .∴ P .故选B. B ∵P

4.(典型例题)设 A、B 为两个集合,下列四个命题: ①A B ? 对任意 x ? A,有 x ? B;②A B ? A ? B=?;③A B ? A

B;④A B ? 存在 x ? A,

使得 x ? B.其

中真命题的序号是_____. [考场错解] ∵A B,即 A 不是 B 的子集,对于 x ? A,有 x ? B;A ? B=?,故①②④正确. [专家把脉] 对集合的概念理解不清.∵A B,即 A 不是 B 的子集,但是 A,B 可以有公共部分,即存 “A B”是“任意 x ? A,有 x ? B”的必要 在 x ? A,使得 x ? B.不是对任意 x ? A,有 x ? B,故④正确. 非充分条件.②同①. ,B={2,3,4} ,故①、② [对症下药] 画出集合 A,B 的文氏图或举例 A={1,2} 均不成立,③A{1,2,3} ,B={1,2},∴A B 但 B ? A,故也错.只有④正确,符合集 合定义.故填④ 5.(典型例题Ⅰ)设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的 是 ( ) A. (C I A) ? B=I
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B.(C I A) ? (C I B)=I C.A ? (C I B)=? D.(C I A) ? (C I B)= C I B [考场错解] 因为集合 A 与 B 的补集的交集为 A,B 的交集的补集.故选 D. [专家把脉] 对集合 A,B,I 满足 A ? B ? I 的条件,即集合之间包含关系理解不清. [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图. 从图中可观察 A、C、D 均正确,只有 B 不成立.或运用特例法,如 A={1,2,3} ,B={1,2,3.4} ,I= {1,2,3,4,5} .逐个检验只有 B 错误. 专家会诊 1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的 集合{x|x ? P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要重视发挥图示法的作用,充 分运用数形结合(数轴,坐标系,文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题,直观地 解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如 A ? B,则 有 A=? 或 A ? ? 两种可能,此时应分类讨论. 考场思维训练 1 全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合N= ? x | x ?
? ? ? ? ,则M ? (C U N)等于 2 ?1 ?

1

(

)

A.{4} C.{2,3,4} 答案:B
? ?

B.{3,4} D. {1,2,3,4}
? ?, 得N ? x | x ? 2 ? 1, C U N= x | x ? 2 ? 1 ,? M ? (CU N ) ? ?3,4? 2 ? 1?

解析:由N= ? x | x ?

1

?

?

?

?

答 x o ? M ? xo ? 3m ? 1, yo ? N ,? yo ? 3n ? 2,? x0 yo ? (3m ? 1)(3n ? 2) ? 9mn ? 6m ? 3n ? 2 ? 3(3mn ? 2m ? n) ? 2 ? N .故选C. 3 设M={x|x4a,a∈R},N={y|y=3 ,x∈R},则 ( A.M∩N=? B.M=N D. M ? N C. M ? N 答案:B
x

2 设集合M={x|x=3m+1, m∈Z}, N=y|y{=3n+2, n∈Z}, 若x 0 ∈M,y 0 ∈N, 则x 0 y 0 与集合M,N的关系是 ( B.x 0 y 0 ? M MM A.x 0 y 0 ∈M D.x 0 y 0 ? N C.x 0 y 0 ∈N 案 : C 解 析 : )

)



解析:M= x | x ? 4a , a ? R ? M ? ?x | x ? 0? ? ?y | y ? 0? ? N .

?

?

选B

4 已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a、b∈A 且 a≠b},则 B 的子集的个数是 B.8 C.16 D.15 A.4 2 答案:解析: ? B ? ?0,6?, 它的子集的个数为 2 =4。
5 2

(

)

,若(a,b)∈M,且对 M 中的其他元素(c, 5 设集合 M={(x,y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3),- ≤y≤3} d),总有 c≥a,则 a=_____. 答案:解析:依题可知,本题等价于求函数不胜数 x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在 ? (1) 当 ? 1
5 ? y ? 3时的最小值. 2

5 1 25 5 9 ? y ? 1时, x ? ( y ? 3)(1 ? y ) ? ( y ? 3) ? ? y 2 ? y ? 6 ? ?( y ? ) 2 ? , 所以y ? ? 时, xmin ? . 2 2 4 2 4


2

y
3 2
2


9 4 9 4

3
5 2


9 4 9 4



x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y +3y=(y+ ) - , 所以当y ? 1时, xmin ? 4.而4 ? ,因此当y ? ? 时, x有最小值 ,即a ? . 命题角度 2 集合与不等式
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1.(典型例题)集合 A= ? x |
?

?

? x ?1 ? 0 ? ,B={x|x-b|<a=,若“a=1”是“A∩B≠?”的充分条件,则 b x ?1 ?

的取值范围是 ( ) A.-2≤b<2 B.-2<b≤2 C.-3<b<-1 D.-2<b<2 [考场错解] A 当 a=l 时,A={x|-1<x<1=且 B={x|b-1<x<b+1=.A∩B≠?.b-1<1 且 b+1≥-1. 故-2≤b<2.∴只有 A 符合. [专家把脉] A∩B≠? 时,在点-1 和 1 处是空心点,故不含等于. [对症下药] D 当 a=1 时,A={x|-1<x<1=.B={x|b-1<x<b+1=.此时 A∩B≠? 的充要条件是 b-1 <1 且 b+1>-1.即-2<b<2.故只有 D 符合. 2.(典型例题)(1)设集合 A={x|4x-1≥9,x∈R},B={x| [考场错解] [专家把脉] [对症下药] {x|x≤-3 或 x≥ }. ∵
x ≥0∴x(x+3)≥0.而此时 x+3≠0.故不含 x=-3. x?3 5 2 5 2 5 2 x ≥0,x∈R},则 A∩B=_____. x?3

A={x|x≤-3 或 x≥ }.B={x|x-3 或 x≥0}.∴A∩B=≤-3 或 x≥ }.
2x ? a x2 ? 2

3.(典型例题)已知 f(x)=

(x∈R)在区间[-1,1]上为增函数.

(1)求实数 a 的值所组成的集合 A; (2)设关于x的方程f(x)=
1 2 的两根为x 1 ,x 2 ,试问:是否存在实数m,使得不等式m +tm+1≥|x 1 -x 2 |对任意 x

a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. [考场错解]
2

(1)因为f(x)=

2x ? a x2 ? 2

(x∈R),所以f(x)=

? 2 x 2 ? 2ax ? 4 ( x 2 ? 2) 2

,依题意f(x)≥0 在[-1,1]上恒成

立,即 2x -2ax-4≤0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,a∈R;当 0<x≤1 时,a≥x大值为-1,得 a≥-1,当-1≤x<0 时 x交集). (2)方程f(x)=
2

2 2 2 恒成立,又 y=x- 在(0,1)上单调递增,所以 y=x- 的最 x x x

2 恒成立,由上知 a≤1.综上:a∈R(注意应对所求出的 a 的范围求 x

1 2 变形为x -ax-2=0,|x 1 -x 2 |= a 2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x 1 -x 2 |= a 2 ? 8 的取大值为 3, x
2

m +tm+1≥|x 1 -x 2 |对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立等价于m +tm+1≥3 在t∈[-1,1]恒成立,当 m=0 时,显 然不成立,当m>0 时,t≥ ≤
2 ? m2 ,解得m≤-2. m
2

2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 恒成立,所以-1≥ ,解得m≥2;当m<0 时,t≤ 恒成立,所以 1 m m m

综上:故不存在实数m,使得不等式m +tm+1≥|x 1 -x 2 |对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立. [专家把脉] (1)讨论 x 求参数的范围,最后应求参数的交集而不是并集.因为 x∈[-1,1]时,f(x) ≥0 恒成立.(2)注意对求出的 m 的值范围求并集而不是交集. [对症下药]
2

(1)因为f(x)=

2x ? a x ?2
2

(x∈R),所以f′(x)=

? 2 x 2 ? 2ax ? 4 ( x 2 ? 2) 2

,依题意f′(x)≥0 在[-1,1]

上恒成立,即 2x -2ax-4≤0 在[-1,1]上恒成立.
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当 x=0 时,a∈R;当 0<x≤1 时,a≥x大值为-1,得 a≥-1;当-1≤x<0 时 a≤x围求交集). (2)方法 1:方程f(x)=
2

2 2 2 恒成立,又 y=x- 在(0,1)上单调递增,所以 y=x- 的最 x x x

2 恒成立,由上知 a≤1.综上≤a≤1(注意应对所求出的 a 的范 x

1 2 变形为x -ax-2=0,|x 1 -x 2 |= a 2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x 1 -x 2 |= a 2 ? 8 的最 x
2

大值为 3,m +tm+1≥|x 1 -x 2 |对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立等价于m +tm+1≥3 在t∈[- 1,1]恒成立,当 m=0 时,显然不成立,当m>0 时,t≥ 成立,所以 1<
2 ? m2 ,解得m≤-2. m
2

2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2 恒成立,所以-1≥ ,解得m≥2;当m<0 时,t≤ 恒 m m m

1]恒成立, m的取值范围是 {m|m 综上: 存在实数m, 使得不等式m +tm+1≥|x 1 -x 2 |对任意a∈A及t∈[-1, ≥2 或m≤-}2(注意对求出的m的取值范围求并集). 方法 2:方程f(x)=
2

1 2 变形为x -ax-2=0,|x 1 -x 2 |= a 2 ? 8 ,又-1≤a≤1,所以|x 1 -x 2 |= a 2 ? 8 的最大值 x
2

为 3,m +tm+1≥|x 1 -x 2 |对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立等价于m +tm+1≥3 在t∈[-1,1]恒成立,令 2 2 2 g(t)=tm+m -2,有g(-1)=m +m-2≥0,g(1)=m -m-2≥0,解得{m|m≥2 或m≤-2}.(注意对求出的m的取值范 围求交集). 专家会诊 讨论参数 a 的范围时,对各种情况得出的参数 a 的范围,要分清是“或”还是“且”的关系,是“或” 只能求并集,是“且”则求交集. 考场思维训练 2 ( ) 1 设[x]表示不超过x的最大整数,则不等式[x] -5[x]+6≤0 的解集为 A.(2,3) B.[2,3] C.[2,4] D.[2,4] 2 答案:C 解析:由[x] -5[x]+6≤0,解得 2≤[x] ≤3,由[x]的定义知 2≤x<4 所选C. 2 已知不等式|x-m|<1 成立的充分非必要条件是 ? x ? A. ?? , ? 3 2
? ? ? 4 1? 1? 2? 1 3 1 ,则实数 m 的取值范围是 2

(

)

B. ?? , ? 2 3
? ?

? 1 4? ? ? 1 3 , 1 2

C. ? ? ?,? ?
?

?

D. ? ,?? ?

?4 ?3

? ?m ? 1 ? 答案:B 解析:因不等式|x-m|<1 等价于 m-1<x<m+1,依题意有 ? ? ?m ? 1 ? ? ?

??

1 4 ? m ? , 所以选B. 2 3

3 设 A、B 是两个集合,定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B}.若 M={x|x+1≤2},N={x|x=sinα|α∈等 R},则 M-N 等于 ( ) A.[-3,1] B.[-3,0] C.[0,1] D. [-3,0] 答案:B 4 已知集合 A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0=, B={x| (1)当 a=2 时,求 A∩B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.
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x ? 2a x ? (a 2 ? 1)

? 0 }.

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解析: (1)当 a=2 时,A=(2,7) ,B=(4,5)∴ A ? B ? (4,5). ( 2 ) ∵ B= ( 2a,a +1 ) , 当 a<
2

? 1 1 ?2a ? 3a ? 1 时A ? (3a ? 1,2)要使B ? A, 必须? 2 , 此时a ? ?1;当a ? 时, A ? ? , 使 3 3 ? ?a ? 1 ? 2

?2 a ? 2 1 ? , 此时1 ≤a≤3. B ? A的a不存在;当a ? 时, A ? ( 2,3a ? 1) 要使 B ? A, 必须? 2 3 ? ?a ? 1 ? 3a ? 1

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3] ? | ?1 | 命题角度 3 集合的应用 1.(典型例题)ω是正实数,设S ω ={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数},若对每个实数a,S ω ∩(a,a+1) 的元素不超过 2 个,且有a使S ω ∩(a,a+1)含 2 个元素,则ω的取值范围是_____. [考场错解] (π,2π) [专家把脉] [对症下药] 含两个元素,∴ ∵a使S ω ∩(a,a+1)含两个元素,如果
2?

?

>1 时,则超过 2 个元素,注意区间端点.
2?

由S ω ∩(a, a+1)的元素不超过两个,∴周期
2?

?

× <1. ∴ω>π又∵有a使S ω ∩(a, a+1)

1 2

?

周期≥1.∴ω≤2π.故ω∈(π,2π).
x (x∈R),区间 M=[a,b](a<b),集合 N={y|y=f(x),x∈M},则使 M=N 1? | x |

2.(典型例题)设函数 f(x)=成立的实数对(a,b)有 ( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个 [考场错解]

)

D ∵y=f(x)是奇函数,不妨设 x>0.f(x)=-1+
? ?b

1 ,∴f(x)在(0,+∞)上为减函数,即 x ?1

y=f(x) 在 [a , b] 上 为 减 函 数 , ∴ y=f(x) 的 值 域 为 ? , ? ,∴N∈ ?1? | b | 1? | a | ?
? ?b ?a ? , ? ? 1 ? | b | 1 ? | a |? ?

?a ?

∵M=N,∴M ? N∴a≥ [专家把脉] 两层含义.

?b ?a ,且 b≤ ,故有无数组解. 1? | b | 1? | a |

错误地理解了 M=N,只是 M ? N,忽视了 M=N, 包含 M ? N 和 N ? M

? ?? 1 ? [对症下药]∵f(x)= ? ? ?? 1 ? ? ?

1 ( x ? 0) x ?1 , ∵y=f(x)在[a, b]上为减函数 1 ( x ? 0) x ?1

∴y=f(x)的值域为 ?

? ?b ?a ? , ? ?1? | b | 1? | a | ?

∵N={y|y=f(x)},∴N 表示 f(x)的值域-b
?b ? ?a ? 1? | b | ? ∴M=N,∴ ? ? a ? b ,而已知 a<b,∴满足题意的 a、b 不存在,故选 A. ?b ? ? a ? 1? | a | ?

3.(典型例题)记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=1g[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为 B. x ?1

(1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围.
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[考场错解]

(1)由 2-

x?3 ≥0,得 x<-1 或 x≥1.∴A={x|x<-1 或 x≥1} x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) ∵B ? A ∴2a>1 或 a+1≤-1 ∴a> 或 a≤-2 又∵a<1∴a≤-2 或 <a<1
1 2 1 2

[专家把脉] [对症下药]

利用集合的包含关系时,忽视了端点的讨论. (1)由 2x?3 ≥0,得 x<-1 或 x≥1. x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a≤-2,而 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时,实数 a 的范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. 专家会诊 集合与不等式、集合与函数、集合与方程等,都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意 知识的融会贯通.有时要用到分类讨论,数形结合的思想. 考场思维训练 2 2 ( ) 1 已知集合A={x|(a -a)x+1=0,x∈R},B={x|ax -x+1=0,x∈R},若A∪B=?,则a的值为 A.0 B.1 C.0 或 1 D.0 或 4 答案:B 解析:AUB=?,∴A= ? 且 B=?,由 A=? 得 a=0 或 1;由 B=? 得 a>0 且△<0,解得 a> ,? a ? 1. 2 设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定义 P※Q={(a,b)|a∈p,b∈Q,则 P※Q 中元素的个数为 ( ) A.3 B.4 C.7 D.12 答案:D 3 已知关于 x 的不等式 (1)a=4 时,求集合 M; 答案:(1)当 a=4 时,原不等式可化为
4x ? 5 x2 ? 4 5 5 5 ? 0 ,即 4( x ? )( x ? 2) ? 0,? x ? (??,?2) ? ( ,2), 故M为(??,?2) ? ( ,2). 4 4 4 ax ? 5 x2 ? a
? 0 的解集为 M.

1 2

1 2

1 2

1 4

(2)若 3∈M 且 5 ? M,求实数 a 的取值范围. 答案:由 3 ? M得 由 5 ? M得
5a ? 5 52 ? a 3a ? 5 32 ? a
? 0,? a ? 9或a ?

5 , 3

① ②
5 3

? 0,? 1 ? a ? 25,

由①、②得 1 ? a ? , 或9 ? a ? 25.因此a的取值范围是[1, ) ? (9,25). 命题角度 4 简易逻辑 1.(典型例题)对任意实数 a、b、c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;③“a>b”是 “a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [考场错解] D [专家把脉] 忽视①中 c=0 的情况,③中 a,b 小于 0 的情况. [对症下药] B ①中 c=0 时,非必要条件;③中 0>a>b 时,非充分条件,②④正确.
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5 3

高考数学_典型易错题会诊

2.(典型例题)给出下列三个命题 ①若 a≥b>-1,则
a b ? 1? a 1? b n 2
2 2

②若正整数 m 和 n 满足 m≤n,则 m(n ? m) ?
2 2

③设P(x 1 ,y 1 )为圆O 1 :x +y =9 上任一点,圆O 2 以Q(a,b)为圆心且半径为 1.当(a-x 1 ) +(b-y 1 ) =1 时, 圆O 1 与圆O 2 相切 其中假命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [考场错解] A 2 2 [专家把脉] ③中(a-x 1 ) +(b-y 1 ) =1 时,即圆 O 2 与O 1 上任一点距离为 1,并不一定相切. [对症下药] B 3.(典型例题)设原命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d” ,则它的逆否命题 是( ) A.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 且 c≠d B.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d C.若 a+c≠b+d,则 a,b,c,d 不是实数,且 a≠b,c≠d D.以上全不对 [考场错解] A [专家把脉] 没有分清“且”的否定是“或” , “或”的否定是“且”. [对症下药] B 逆否命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d” . x 4.(典型例题)已知c>0,设P:函数y=c 在R上单调递减;Q:不等式x+|x-2c|>1 的解集为R,如果P和 Q有且仅有一个正确,求c的取值范围. [考场错解] 由函数y=c 在R上单调递减,得 0<c<1;∵x+|x-2c|= ?
x

? 2 x ? 2c , x ? 2c , 所以函数y=x+|x-2c|在 ? 2c , x ? 2c

R上的最小值为 2c,因为不等式 x+|x-2c|>1 的解集为R,所以 2c>1,得c> . 如果 P 真,得 0<c<1,如果 Q 真,则 c> . 所以 c 的取值范围是(0,+∞). [专家把脉] 将 P 和 Q 有且仅有一个正确,错误理解成 P 正确或 Q 正确. [对症下药] 由函数y=c 在R上单调递减,得 0<c<1;∵x+|x-2c|= ?
x

1 2

1 2

? 2 x ? 2c , x ? 2c , 所以函数y=x+|x-2c|在 ? 2c , x ? 2c

R上的最小值为 2c,因为不等式x+|x-2c|>1 的解集为R,所以 2c>1,得c> . 如果 P 真 Q 假,则 0<c≤ ;如果 Q 真 P 假,则 c≥1. 所以 c 的取值范围是(0,
1 )∪[1,+∞] 2 1 2

1 2

专家会诊 1.在判断一个结论是否正确时,若正面不好判断,可以先假设它不成立,再推出矛盾,这就是正难则 反. 2.求解范围的题目,要正确使用逻辑连结词, “且”对应的是集合的交集, “或”对应的是集合的并集. 考场思维训练 2 ? ? ( ) 1 已知条件P:|x+1|>2,条件q:5x-6>x ,则 p是 q的 A.充要条件 B.充分但不必要条件
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高考数学_典型易错题会诊

C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ┒ ┒ 答案:B解析:p:x<-3 或x>1,q:2<x<3,则q是p的充分但不必要条件,故 p是 q的充分但不必要条件。 2 x 2 已知命题p:函数log 0.5 (x +2x+a)的值域为R,命题q:函数y=-(5-2a) 是减函数.若p或q为真命题, p且q为假命题,则实数a的取值范围是( ) A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 2 1.答案:解析:命题p为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数x +2x+a的判别式△ =4-4a≥0,从而a≤1;命题q为真时,5-2a>1?a<2. 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选C. 3 如果命题 P:?∈{ ? },命题 Q:? ? { ?},那么下列结论不正确的是 ( ) A.“P 或 Q”为真 B. “P 且 Q”为假 C. “非 P”为假 D. “非 Q”为假 答案:B 2 4 已知在x的不等式 0<x -4<6x-13a的解集中,有且只有两个整数,求实数a的取值范围. 答 案 : 解 析 : 原 不 等 式 等 价 于
? 9 12 ? x ? 2或x ? ?2 , 令f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 13a, 画出f ( x)的函数图象,由已知可得f (4) ? 0 f (5) ? 0, 解得 ? a ? . ? 2 13 13 ? ? x ? 6 x ? 4 ? 13a ? 0

5 已知命题p:方程a x +ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x满足不等式x +2ax+2a≤0, 若命题“p或q是假命题,求a的取值范围. (ax+2) (ax-1)=0,显然a≠0 答案: 解析: 由a x +ax-2=0,得
2 2 2 2

2 2

2

∴x= ? 或x ?

2 a

2 1 1 ∵x ? [?1,1], 故 | |? 1或 | |? 1,?| a |? 1 a a a

“只有一个实数满足x +2ax+2a≤0”.即抛物线y=x +2ax+2a与x轴只有一个交点, 2 ∴△=4a -8a=0, ∴a=0 或 2, ∴命题“p或q为真命题”时“|a|≥1 或a=0” ∵命题“p或q”为假命题∴ a的取值范围为 ?a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1? 命题角度 5 充要条件
1 2

1.(典型例题)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 [考场错解] A [专家把脉] [对症下药] B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

(

)

当两直线垂直时,A 1 A 2 +B 1 B 2 =0,m -4+3m(m+2)=0,即m= 或m=-2;故不是充分必要条件. B 当 m= 时两直线垂直.两直线垂直时 m= 或 m=-2,故选 B.
?| lg | x ? 1 ||, x ? 1 2 . ,则关于x的方程f (x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同 0 , 1 x ? ?

1 2

1 2

1 2

2.(典型例题)设定义域为R的函数f(x)= ?

实数解的充要条件是 ( ) B.b>0 且 c<0 A.b<0 且 c>0 C.b<0 且 c=0 D.b≥0 且 c=0 2 [考场错解] B △=b -4ac.当c<0 时,△>0.故f(x)有两个不同实根,∴x有 7 个不同根. [专家把脉] ∵f(x)的根为正时,x 有 4 个不同实根.应考虑 f(x)的根的正负. [对症下药] C 当 x=1 时 f(x)=0,∴c=0. 2 2 即, |1g|x-1||(1g|x-1|+b)=0, 当x≠1 时,f(x)=|1g|x-1||, ∴f (x)+bf(x)+c=1g |x-1|+b|1g|x-1||=0. ∴1g|x-1|=0 或 1g|x-1|=-b,∴x=2 或 x=0 或 1g|x-1|=-b①∴b<0.①式有 4 个不同实根故 c=0 且 b<0, 恰有 7 个不同实根
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3.(典型例题)若非空集合 M ? N,则 a∈M 或 a∈N 是 a∈(M∩N)的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] a∈(M∩N)的意思是 a∈M 且 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 不能推出 a∈(M∩N),同样 a∈(M ∩N)也不能推出 a∈M 或 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 是 a∈(M∩N)的既不充分也不必要条件,所以选 D. [专家把脉] “或”与“且”理解错误,逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别,a∈M 或 a∈N 包 括三种:a∈M 但 a ? N;a∈N 但 a ? M;a∈M 且 a∈N.所以 a∈(M∩N)可以推得 a∈M 或 a∈N. a∈N 但 a ? M; [对症下药] a∈(M∩N)的意思是 a∈M 且 a∈N, 而 a∈M 或 a∈N 包括三种: a∈M 但 a ? N; a∈M 且 a∈N,所以 a∈M 或 a∈N 不能推出 a∈(M∩N);a∈(M∩N)可以推得 a∈M 或 a∈N.所以选 B. 2 2 4.(典型例题)设命题p:关于x的不等式a 1 x +b 1 x+c 1 >0 与a 2 x +b 2 x+c 2 >0 的解集相同;命题q:
a1 b1 c1 ? ,则命题p是命题g的 ? a2 b2 c2

(

)

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] 因为
a1 b1 c1 2 2 ,所以不等式a 1 x +b 1 x+c 1 >0 与a 2 x +b 2 x+c 2 >0 是等价的不等式,解集相 ? ? a2 b2 c2
2 2

同,所以q能推出p而不等式a 1 x +b 1 x+c 1 >0 与a 2 x + b 2 x+c 2 >0 的解集相同不能得出 B. [专家把脉]
2

a1 b1 c1 ,所以选 ? ? a2 b2 c2

因为
2

a1 b1 c1 2 2 ? ? 若a 1 与a 2 的符号不同,这时a 1 x +b 1 x+c 1 >0 与a 2 x +b 2 x+c 2 >0 的解集不相 a2 b2 c2 a1 b1 c1 =-1,但它们的解集不相同,所以q不能推出P. ? ? a2 b2 c2

同,如-x +3x-2>0 与x -3x+2>0,尽管 [对症下药] 因为

a1 b1 c1 2 2 这时a l x +b 1 x+c 1 >0 与a 2 x +b 2 x+c 2 >0 的解集不相 ? ? ,若a 1 与a 2 的符号不同, a2 b2 c2
2 2

同,所以q不能推出p;不等式x +x+3>0 与x +1> 0 的解集相同,但

a1 b1 c ? ? 1 ,所以p不能推出q,所以选D. a2 b2 c2

专家会诊 (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念:当“若 p 则 q”形式的命题为真时,就记作 p ? q 称 p 是 q 的充分条件,同时称 q 是 p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. “等价于” , “当且仅当” , (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义词语: “必须并且只需” , “……,反之也真”等. (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又 是概念所具有的性质. (4)从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A、B 互为充要条依. (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即 条件的必要性). 考场思维训练 ( ) 1 设 ab、是非零向量,则使 a·b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 A.a=b B.a⊥b C.a∥b D.a=λb(>0) 答案:C解析:由 a?b=|a| |b|可得 a∥b;但 a∥b, a?b=±|a| |b|, 故使 a?b=|a| |b| 成立的一个必要 充分条件是:a∥b.故选C. 2 若条件甲:平面α内任一直线平行于平面β,条件乙:平面α∥平面β,则条件甲是条件乙的
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高考数学_典型易错题会诊

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:C 解析:甲乙可以互推。选C. ( ) 3.已知函数 f(x)=ax+b(0≤x<1),则 a+2b>0 是 f(x)>0 在[0,1]上恒成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 答案:B 解析:∵f(x)>0 在[0,1]上恒成立?a+2b>0,但 a+2b>0 推不出 f(x)>0 在[0,1]上恒 成立。 4 命题 A:|x-1|<3,命题 B:(x+2)(x+a)<0,若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( ) B.[4,+∞] A.(4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-4) 答案:C 探究开放题预测 预测角度 1 集合的运算 1.设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P ? Q ? I,若含 P、Q 的一个运算表达式,使运算结果为空集,则 这个运算表达式可以是_______;如果推广到三个,即 P ? Q ? R ? I,使运算结果为空集,则这个运算表达 式可以是_______.(只要求写出一个表达式). [解题思路] 画出集合 P、Q、I 的文氏图就可以看出三个集合之间的关系,从它们的关系中构造集合 表达式,使之运算结果为空集. [解答] 画出集合P、Q、I的文氏图,可得满足P ? Q ? I,含P、Q的一个运算表达式,使运算结果为空 集的表达式可以是P∩(C I Q);同理满足P ? Q ? R ? I,使运算结果为空集的表达式可以是(P∩Q)∩(C I R),或 (P∩Q) ∩(C I R).答案不唯一. 2 2 2.设A={(x,y)|y -x-1=0},B={(x,y)|4x +2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N, 使得(A∪B)∩C=?,证明此结论. [解题思路] 由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到 b、 k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值. [解答] ∵(A∪B) ∩C=?, ∴A∩C=? 且 B∩C=? ∵? ?
?y2 ? x ?1 ? ? y ? kx ? b
2 2 2

(

∴k x +(2bk-1)x+b -1=0 ∵A∩C=? 2 2 2 ∴△ 1 =(2bk-1) -4k (b -1)<0 2 2 2 ∴4k -4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b -16>0,即b >1 ∴? ?
?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? b
2



∴4x +(2-2k)x+(5+2b)=0 ∴B∩C=?, 2 ∴△ 2 (1-k) -4(5-2b)<0
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∴k -2k+8b-19<0,从而 8b<20,即b<2.5

2



?4k 2 ? 8k ? 1 ? 0, 由①②及b∈N,得b=2 代入由△ 1 <0 和△ 2 <0 组成的不等式组,得 ? ?
2 ? ?k ? 2 k ? 3 ? 0

∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B) ∩C=?. 预测角度 2 逻辑在集合中的运用 1.已知不等式: ①|x+3|>|2x|;②
x?2 x ? 3x ? 2
2

? 1 ;③2x +mx-1<0.

2

(1) 若同时满足①、②的 x 也满足③,求 m 的取值范围; (2) 若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,求 m 的取值范围. [解题思路] (1)若同时满足①、②的 x 也满足③,即求出不等式①、②的交集是③的解集的子集;第 (2)问,若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,即满足③的 x 满足①、②的并集. [解答] (1)由|x+3|>| 2x|得-1<x<3,由
x?2 x ? 3x ? 2
2

? 1 得 0≤x<1 或 2<x≤4,同时满足①、②的集

合 A=[0,1] ∪(2,3).满足③的集合为 B,因为 B ? A,所以 f(3)≤0,且 f(0)<0,故 m≤- . 7 (2)方法 1:∵B ? (-1,3) ∪[0,1] ∪(2,4),∴B ? (-1,4),即方程 2x +mx-1<0 的两根在(-1,4) 内,由根的分布可得31 ≤m<1. 4
2

13

方法 2:若满足③的 x 至少满足①、②中的一个,即求同时不满足①、②的集合的补集. ①的解集{x|x≤-1 或 x≥3},②的解集{x|x<0 或 1≤x≤2 或 x>4=. 2 ①∩②={x|x≤-1 或x>4},补集为(-1,4),即方程 2x +mx-1<0 的两根在(-1,4)内,由根的分布可得 31 ≤m<1. 4
2 2 2 2

2.集合A={x|x -ax+a -19=0},B={x|log 2 (x -5x+8)=1},C={x|x +2x-8=0},求当a取什么实数时,A∩B ?和A∩C=?同时成立. [解题思路] 求出集合 B,C.由 A∩B ?,即 A∩B≠?,从而求 a.,由 A∩C=?,来检验. 2 2 2 [解答] log 2 (x -5x+8)=1,由此得x -5x+8=2,∴B={2,3}.由x +2x-8=0,∴C={2,-4},又A∩C=?, 2 2 ∴2 和-4 都不是关于x的方程x -ax+a -19=0 的解,而A∩B ?,即A∩B≠?, 2 2 ∴3 是关于x的方程x -ax+a -19=0 的解,∴可得a=5 或a=-2. 当 a=5 时, 得 A={2, 3}, A∩二{2}, 这与 A∩C=? 不符合, 所以 a=5(舍去); 当 a=-2 时, 可以求得 A={3, -5},符合 A∩C=?,A∩B ?,∴a=-2. 预测角度 3 集合的工具性 a 1 和d均为实数, 它的前n项和为S n , 设集合A={(a n , 1. 已知{a n }是等差数列, d为公差且不为零,
*

Sn )|n n

∈N },B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R},试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请 举例说明. (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 中至多有一个元素; (3)当a 1 ≠0 时,一定有A∩B≠?. [解题思路] (1)要证明这些点都在同一条直线上;即证任意两点的斜率相等;(2)A∩B中至多有一个 元素;集合A,B所表示的曲线至多有一个交点;(3)当a 1 ≠0 时,集合A,B所表示的曲线一定有交点. [解答](1)a n =a 1 +(n-1)d,
Sn n ?1 =a 1 +d,A n =[a 1 +(n-1)d,a 1 + d] n 2
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1 4

2

2

高考数学_典型易错题会诊

∵ k An A n?1 ? k An A n?1 = , ∴这些点都在同一条直线上. (2)方法 1(几何法):集合A表示的点在直线y= x+ a 1 上,集合B表示的点在双曲线 x -y =1 上,由 数形结合可知,当a 1 ≠O时,直线y= x+ a 1 与双曲线 x -y =1 只有一个交点,当a 1 =0 时,直线y= x+ a 1 与双曲线 x -y =1 无交点. 故 A∩B 中至多有一个元素; 方法 2(代数法):集合A表示的点在直线y=
1 2 1 2 1 4
2 2

1 2

1 2

1 2

1 4

2

2

1 2

1 2

1 4

2

2

1 2

1 2

1 4

2

2

1 1 1 2 2 x+ a 1 上,集合B表示的点在双曲线 x -y =1 上,将 2 2 4

2 y= x+ a 1 代入方程 x -y =1,化成关于x的方程 2a 1 x+ a1 +4=0,当a 1 =0 时,x无解,当a 1 ≠0 时,x有惟

一解.故A∩B中至多有一个元素; (3)由(2)可知,当a 1 ≠0 时,直线y= x+ a 1 与双曲线 x -y =1 只有一个交点,A∩B中有一个元素.故 一定有A∩B≠?. 2.设M是满足下列两个条件的函数f(x)的集合:①f(x)的定义域是[-1,1];②若x 1 ,x 2 ∈[-1,1], 则|f(x 1 )-f(x 2 )|≤4|x 1 -x 2 |.试问: 2 (1)定义在[-1,1]上的函数g(x)=x +3x+2005 是否属于集合M?并说明理由; (2)定义在[-1,1]上的函数 h(x)=4sinx+2006 是否属于集合 M?并说明理由. [解题思路] 判断函数g(x)与h(x)的集合是否属于集合M,即证明函数g(x)与h(x)是否满足下列两个条 件①f(x)的定义域是[-1,1];②若x 1 ,x 2 ∈[-1,1],则 |f(x 1 )-f(x 2 )|≤4|x 1 -x 2 |. [解答]
2 2 +3x 1 - x 2 -3x 2 |=|x 1 -x 2 ||x 1 +x 2 +3|, ∵-2≤x 1 +x 2 ≤2, 即 1≤x 1 +x 2 +3≤5, (1)|g(x 1 )-g(x 2 )|=| x1

1 2

1 2

1 4

2

2

∴|x 1 +x 2 +3 |≤5,|g(x 1 )-g(x 2 )|≤5|x 1 -x 2 |,不符合条件②.故不属于M; (2)|h(x 1 )-h(x 2 )|=|4sinx 1 -4sinx 2 |=4|sinx 1 -sinx 2 |≤4|x 1 -x 2 |,故属于M; 3.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体 的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A、B 都 赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? [解题思路] 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. [解答] 赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合为
3 5

U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B. 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为 人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+(
x +1)=50,解得 x=21. 3 x +1,赞成 A 而不赞成 B 的 3

所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. 预测角度 4 真假命题的判断 ? 1.已知p、q为命题,命题“ (p或q)”为假命题,则 ( A.p 真且 q 真 B.p 假且 q 假 C.p,q 中至少有一真 D.p,q 中至少有一假
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)

[解题思路] 利用p与 p一真一假,得p或q为真命题,或将“ (p或q)”为假命题转化为“ p且 q” 为假命题. ? [解答] 由已知“ (p或q)”为假命题,得p或q为真命题,根据真值表,得p、q中至少有一真;或由 ? ? ? ? ? “ (p或q)”为假命题,得“ p且 q”为假命题,所以 p、 q中至少有一假,得p、q中至少有一真.所 以本题答案是C. 2.已知p:|1x ?1 2 2 ≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0),若﹂p是﹂q的必要而不充分条件,求实数m的取值 3

?

?

高考数学_典型易错题会诊 ? ?

范围. [解题思路] 利用等价命题先进行命题的等价转化, 搞清晰命题中条件与结论的关系, 再去解不等式, 找解集间的包含关系,进而使问题解决. [解答] 由题意知: 命题:若﹂P 是﹂q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是 q 的充分不必要条件. p:|12

x ?1 x ?1 x ?1 |≤2 ? -2≤ -1≤2 ? -1≤ ≤3 ? -2≤x≤10 3 3 3
2

q:x -2x+1-m ≤0 ? [x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 * ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴不等式|1x ?1 2 2 |≤2 的解集是x -2x+1-m ≤0(m>0)解集的子集. 3

又∵m>0 ∴不等式*的解集为 1-m≤x≤1+m ∴?
?1 ? m ? ?2 ?m ? 1 ∴m≥9, ?? ? ? 1 m 10 ? ?m ? 9

∴实数 m 的取值范围是[9,+∞]. 预测角度 5 充要条件的应用 1.设符合命题 p 的所有元素组成集合 A,符合命题 q 的所有元素组成集合 B,已知 q 的充分不必要 条件是 p,则 ( ) 集合 A、B 的关系是 A.A ? B B.A B C.B A D.A=B [解题思路] 由 q 的充分不必要条件是 p,可得 p 可推 q,但 q 不能推 p,再利用充要条件与集合之 间的关系可求解. [解答] 由 q 的充分不必要条件是 p,可得 P 可推 q,但 q 不能推 p,所以 A 中的元素都是 B 中的元 B,所以选 B. 素,B 中至少有一个元素不是 A 中的元素,所以 A 2.0<a≤ 是函数f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用二次函数的对称轴与单调区间的关系求解. [解答] 若 0<a≤ ,则函数f(x)=ax +2(a-1)+3 为开口向上的二次函数,且对称轴为x=
2

1 5

2

(

)

1 5

2

2 ? 2a 1 = -1 2a a 1 5

∈[4,+∞],由二次函数的图像知函数f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数,所以 0<a≤ 是函数 f(x)=ax +2(a-1)+3 在 (- ∞ , 4) 上 为 减 函 数 的 充 分 条 件 ; 反 过 来 若 a=0 , 函 数 f(x)=ax +2(a-1)+3 为 2 f(x)=-2x+3,它在R上为减函数,所以在(-∞,4)上为减函数,即a=0 符合函数f(x)=ax +2(a-1)+3 在 (第 18 页 共 136 页
2 2

高考数学_典型易错题会诊

∞,4)上为减函数,但 0 (0, ),所以 0<a≤ 不是函数f(x)=ax +2(a-1)+3 在(-∞,4)上为减函数的必 要条件.所以选A. 考点高分解题综合训练 1 设全集为I,P∩T=(C I P)∪s,则 ( ) A.T∪S=I B.P=T=S C.T=I D.P∪(C I S)=I 答案:A 解析:利用韦恩图可判断。 2 ( ) 2 已知A={x|2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则A∩B= A.(-3,-2)∪(1,+∞) B.(-3,-2)∪[1,2] C.[-3,-2]∪(1,2) D.(-∞,-3)∪(1,2) 2 答案:C 解析:由|2x+1|>3,得x>1 或x<-2,由x +x-6≤0 得-3≤x≤2, ∴ A ? B ? [?3,?2) ? (1,2], 故选C. 3 已知命题“非空集合 M 中至少有一个元素是集合 N 中的元素”是假命题,下列命题: (1)M 中的元素都不是集合 N 中的元素 (2)M 中的元素都是集合 N 中的元素 (3)M 中的元素至多有一个元素是集合 N 中的元素 (4)N 中的元素都不是集合 M 中的元素 其中正确的命题个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C 3个 D.4 个 答案:B 解析: “非空集合M中至少有一个元素是集合N中的元素”是假命题,则它的否命题:M中的元 素都不是集合N中的元素是真命题.故只有(1)正确。选A。 4 已知 a>b>0,全集 U=R,集合 M={x|b<x<
a?b },N={x| ab <x<a=,P={x|b<x≤ ab },则 P,M, 2

1 5

1 5

2

N 满足的关系是 ( ) A.P=M∪N. B.P=M∪N. C.P=M∩(C U N). D.P=(C U M)∩N. 答案:C 解析:取 a=4,b=2,画出数轴可判断选 C. 2 2 ( ) 5 命题P:如果x +2x+1-a <0,那么-1+a<x<-1;命题q:a<1,那么q是p的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由命题 p 真,可得 a<0, 而由 a<0?q:a<1,所以 p 是 q 充分不必要条件,q 是 p 的必要不 充分条件,故选 A. 6 已知α、β是不同的两个平面,直线 a ? α,直线 b ? β. 命题 p:a 与 b 无公共点;命题 q:α ∥β,则 p 是 q 的 ( )条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案:B 解析:考查线线、线面、面面的位置关系。 7 命题 p:若 a,b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件. 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1)∪[3,+∞],则 A.“p 或 q”为假 C.p 真 q 假 B. “p 且 q”为真 D.p 假 q 真 ( )

答案:D 解析:命题 p:由|a|+|b|>1 ?|a+b|≯1∴命题 p 是假,命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2中 | x ? 1 | ≥2, ∴x≥3 或 x≤1, ∴命题 q 为真。 8 两个集合A与B之差记作“A/B” ,定义为:A/B={x|x∈A,且x ? B},如果集合A={x|log 2 x<1,x∈
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R},集合B={x|x-2|<1,x∈R},那么A/B等于 ( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥3} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x≤1} 答案:D 解析:求出 A、B 后,按题中定义运算。 9 设集合A={1,2,3,4,5}共有K个子集,记子集A i 的元素之和为S i (i=1,2,…,k),则S 1 +S 2 +… +S k =_________. 答案: 240 解析: 二元集合之和为T 2 =4T 1 , 同理T 3 =6T 1 , T 4 =4T 1 , T 5 =T 1 , 设单元素集合之和为T 1 =1+2+3+4+5=15, S 1 +S 2 + ? +S 5 =T 1 +T 2 +T 3 +T 4 +T 5 =240. 2 10 二次函数y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x 3 y 6 2 0
2

1 4

0 6

1 6

2 4

3 4 0 6

则ax +bx+c>0 的解集是__________. 答案:(-∞,-2) ?(3,??) 解析:取三点代入函数中解出不等式即可。 11 每天早晨,李强要做完以下几件事,再去公司上班: 起床穿衣 8 分钟; 洗脸刷牙 5 分钟; 煮早饭 t 分钟; 吃早饭 7 分钟; 听广播 15 分钟; 整理房间 6 分钟. 若 李强做完这些事最快需要 30 分钟,那么煮早饭的时间 t 最多为_______分钟. 答案:15 解析:起床穿衣 8 分钟;煮早饭 t 分钟;吃早饭 7 分钟;这三项不能同时做.洗脸刷牙 5 分钟; 与听广播 15 分钟;整理房间 6 分钟;都可同时做.若李强做完这此事最快需要 30 分钟,那么煮早饭的时 间 t 最多为 30 分钟. 12 设全集U=R,(Ⅰ)解关于x的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R);(Ⅱ)记A为(1)中不等式的解集,集合 B={x|sin(πx?
3

)+ 3 cos(πx-

?
3

)=0}.若(C U A)∩B恰有 3 个元素,求a的取值范围.

解析: (1)由|x-1|+a-1>0 得|x-1|>1-a,当a>1 时, 答案: 解集是R; 当a≤1 时, 解集是 ?x | x ? a或x ? 2 ? a?.(2) 当 a>1 时
?
3



C U A=?
?
3


?
3


?
3

a
? ?
3 3



1





C U A= ?x | a ? x | 2 ? a?,因sin(?x ? ) ? 3 cos(?x ? ) ? 2[sin(?x ? ) cos ? cos(nx ? ) sin ] ? 2 sin ?x, 由sinnx=0 得x=k ∈ Z,∴B=Z 当(C u A)?B恰有 3 个元素时,a应满足
?a ? 1 ? ?a ? 2 ? a ? 3, ?? 1 ? a ? 0 ? ? ?1 ? a ? 0.
2 2

13 已知三个集合E={x|x -3x+2=0},F={x|x -ax+(a-1)=0},G={x|x 2 -bx+2=0},问:同时满 2 足F G ? E的实数a和b是否存在?若存在.求出a、b所有值的集合;若不存在,请说明理由. 案 : 解 析 : E ?1,2? 答
? ? F= ? 1, a,?1?,由F? E , a ? 1 ? 1,2. ? a ? 2,3.由G? E , ? ? b 2 ? 8 ? 0或?b 2 ? 8 ? 0, 且1 ? G或2 ? G , 解得 ? 2 2 ? b ? 2 2或b ? 3.

E, ,

综上所述, a ? 2 、3 且-2 2 ? b ? 2 2或b ? 3. 14 已知椭圆方程
x2 a
2

?

y2 b2

+=1(a>b>0),A(m,0)为椭圆外一定点,过 A 作直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,

且有 AP ? ? AQ ,Q 关于 x 轴的对称点为 B,x 轴

上一点 C,当 l 变化时,求点 C 在 BP 上的充要条件. 答 案 : 解 析 : 连 结 AB , 因 为 B 、 Q
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关 于

x

轴 对 称 , 所 以

高考数学_典型易错题会诊
| ??? ? |?| ??? ? |, 又
AQ AB

| ??? ? |

??? ?
AB

AP

?

??? ?
PC

CB

, 所以 ??? ? ? ? ???, 设P ( x1, y1 ), Q( x2 y2 ),
PC CB

C(x o ,O),则B(x 2 ,-y 2 ),可得y 1 = ?y2 , x1 ? m ? ? ( x2 ? m), xo ? x1 ? ? ( x2 ? xo ) 又
2 x1

a

2

?

2 y1

b

2

? 1,

2 x2

a

2

?

2 y2

b2

? 1, 所以有

( x1 ? ?x2 )( x1 ? ?x2 )

a2

? ?2 ? 1

将(1)代入(2)中得 xo ? 标为 (
a2 ,0). m

a2 a2 所以 C 在 BP 上的充要条件是 C 的坐 , 所以C的坐标为( ,0) 由于上述解题过程可逆, m m

考点-2 函数 (一) 函数的定义域和值域 函数单调性的应用 函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 典型易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域
? f ( x) ? g ( x) ? 1.(典型例题)对定义域D f 、D g 的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)= ? ? f ( x) ? ? ? g ( x)
当x ? D f 且x ? D g 当x ? D f 且x ? D g 当x ? D f 且x ? D g

(1)若函数f(x)=

1 2 ,g(x)=x ,写出函数h(x)的解析式; x ?1

(2)求问题(1)中函数 h(x)的值域. [ 考 场 错 解 ] (1) ∵ f(x) 的 定 义 域 D f 为 (- ∞ , 1) ∪ (1 , + ∞ ) , g(x) 的 定 义 域 D g 为 R. ∴
? x2 ? ? x ?1 ? 1 h(x)= ? ? x ?1 ?1 ? ? x ? (??,1) ? (1,??)
( x ? 1) ( x ? 1)

(2)当 x≠1 时,h(x)=

x2 1 1 =x-1+ +2≥4.或 h(x)= ∈(-∞,0)∪(0,+∞). ∴h(x)的值域 x ?1 x ?1 x ?1

为(4,+∞),当 x=1 时,h(x)=1.综合,得 h(x)的值域为{1}∪[4,+∞]. [专家把脉] 以上解答有两处错误:一是当x∈D f 但x ? D g 时,应是空集而不是x≠1.二是求h(x)的值 域时,由x≠1 求h(x)=x-1+ [对症下药]
, h(x)= ? ? x ?1 1 +2 的值域应分x>1 和x<1 两种情况的讨论. x ?1

(1)∵f(x)的定义域D f =(-∞,1)∪(1,+∞)·g(x)的定义域是D g =(-∞,+∞).所以,
x ? (??,1) ? (1,??). x ? 1. x2 x2 ?1 ?1 1 = =x-1+ +2. x ?1 x ?1 x ?1
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? x ?1, ?

2

(2)当 x≠1 时,h(x)=

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若 x>1,则 x-1>0,∴h(x)≥2 ( x ? 1) 当且仅当 x=2 时等号成立.

1 +2=4. x ?1

若 x<1,则 x-1<0.∴h(x)=-[-(x-1)-

1 ]+2≤-2+2=0.当且仅当 x=0 时等号成立. x ?1

当 x=1 时,h(x)=1. 综上,得 h(x)的值域为(-∞,0)∪{1}∪[4,+∞]. 2.(典型例题)记函数 f(x)= 2 ?
x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为 B. x ?1

(1)求 A; (2)若 B ? A,求实数 a 的取值范围. [考场错解] (1)由 2x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. x?3 x ?1

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0 得(x-a-1)(x-2a)<0 当 a=1 时,B=? .∴B ? A. 当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1), ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1.即 a≥ 或 a≤-2 而 a≤1,∴ ≤a≤1 或 a≤-2. 故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. [专家把脉] 由函数的概念知函数的定义域为非空集合,所以错解中 a=1 时 B= ?,说明函数不存在, 因此 a=1 不适合. [对症下药] (1)由 2x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0, x?3 x ?1
1 2

1 2

1 2

∴x<-1 或 x≥1.即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞]. (2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0, 当 a=1 时,B= ?,∵定义域为非空集合,∴a≠1.当 a<1 时,a+1>2a,∴B=(2a,a+1),∵B ? A,∴2a ≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 或 a ≤-2.而 a<1,∴ ≤a≤1 或 a≤-2,
1 2 1 2

故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ ,1]. 3.(典型例题)记函数 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 1 ? (1) 集合 M,N; (2) 集合 M∩N.M∪N. [考场错解] ?. (2)∴M∩N=?.M∪N={x|x> }. [专家把脉] 求集合 N 时解不等式 12 ≥0 两边同乘以(x-1)不等号不改变方向,不符合不等式性 x ?1 3 2
2 的定义域为集合 N.求 ?1

1 2

(1)由 2x-3>0 解得 x> .∴M={x|x> }.由 1-

3 2

3 2

2 ≥0 得 x-1≤x-3∴-1≤-3.∴N= x ?1

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质,应先移项化为 然是错误的. [对症下药]

f ( x) ≥0 的形式再转化为有理不等式,求解,另外定义域不可能为非空集合.∴N=? 显 g ( x)

(1)由 2x-3>0,得 x> .∴M={x|x> }.由 1-

3 2

3 2

?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 2 x?3 ≥0 得 ?0?? x ?1 x ?1 ?x ? 1

∴x≥3 或 x<1.∴N={x|x≥3 或 x<1}. M∪N={x|x> }∪{x|x≥3 或 x>1}={x|x> 或 x<1}. (2)∴M∩N={x|x> }∩{x|x≥3 或 x>1}={x|x≥3}. 4.(典型例题)若集合M={y|y=2 },P={y|y= x ? 1 },则M∩P等于 A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} [考场错解] 选 A 或 B [专家把脉] [对症下药] 错误地认为是求函数y=2 和y= x ? 1 的定义域的交集. 实际上是求两函数的值域的交集. ∵集合中的代表元素为y,∴两集合表示两函数的值域,又∴M={y|y=2 }={y|y>0},
-x -x -x

3 2

3 2

3 2

(

)

P={y|y= x ? 1 }={y|y≥0}.∴M∩P={y|y>0},故选C. 专家会诊 1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围,必须对字母酌取值情况进 行讨论,特别注意定义域不能 为空集。2.求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用. 考场思维训练 x 1 若函数y=lg(4-a·2 )的定义域为R,则实数a的取值范围是 ( )

A.(0,+∞) C.(-∞,2) 答案:D

B.(0,2) D.(-∞,0)
4 2x
在R上恒成立.

解析:∵4-a ? 2 x ? 0的解集为R ? a ?

4 2x

? 0,? a ? 0.

2 已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为 ( ) A.[-4,1] B.[0,5] C.[-4,1]∪[0,5] D.[-2,3] 答案:D 解析:f(x-2)的图象是把 f(x)的图象向右平移 2 个单位.因此 f(x-2)的值域不变. 2 3 已知函数f(x)=lg(x -2mx+m+2) (1)若该函数的定义域为 R,试求实数 m 的取值范围. 2 答案:解析:(1)由题设,得不等式x -2mx+m+2>0 对一切实数x恒成立, 2 ∴△=(-2m) -4(m+2)<0,解得-1<m<2. (2)若该函数的值域为 R,试求实数 m 的取值范围. 2 答案:由题设,得不等式△=(-2m) -4(m+2) ≥0 解得m≤1 或m≥2. 4
2 8x ? n 的定义域为R,值域为[0,2],求实数m,n的值. 已知函数f(x)=log 3 mx ? 2

x ?1

2 mx 2 ? 8 x ? n 8x ? n 答 案 : 解 析 : ∵ f(x)=log 3 mx ? 的 值 域 是 [0 , 2]. ∴ u=g(x)= 的 值 域 为 [1 , 9]. 由 2 2

x ?1

x ?1

u=

mx 2 ? 8 x ? n x2 ? 1

得(u-m)x -8x+(u-n)=0. ∵ x ? R,当u ? m ? 0时, ? ? (?8)2 ? 4(u ? m)(u ? n) ? 0. 当u-m=0 时上式仍成
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2

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立,即有u -(m+n)u+(mn-16) ≤0. ∴关于u的方程u -(m+n)u+mn-16=0 有两根 1 和 9,由韦达定理得 ?
2

2

?m ? n ? 1 ? 9 解得m=n=5.即为所求。 ?mn ? 16 ? 1 ? 9

命题角度 2 函数单调性的应用 2 x 1.(典型例题Ⅱ)已知a≥0,且函数f(x)=(x -2ax)e 在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围. x 2 x x 2 [考场错解] ∵f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1, 1]上是单调函数, f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立.即 x 2 e [x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∵e >0,g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立. 即? ?
? 2(1 ? a ) ? 2(1 ? a ) ? ? ?1 ? ?1 2 或△=4(1-a) +8a<0 或 ? 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ? g (1) ? 0. ? ?

解得:a∈?. 故 f(x)在[-1,1]上不可能为单调函数. [专家把脉] 上面解答认为 f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数,其实 f(x)还有可能为单调减 函数,因此应令 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 x x 2 [对症下药] f′(x)=e (x -2ax)+e (2x-2a)=e [x +2(1-a)x-2a] ∵f(x)在[-1,1]上是单调函数. (1)若 f(x)在[-1,1]上是单调递增函数. x 2 x 则 f ′ (x) ≥ 0 在 [-1 , 1] 上 恒 成 立 , 即 e [x +2(1-a)x-2a] ≥ 0 在 [-1 , 1] 上 恒 成 立 . ∵ e >0 . ∴ g(x)=x +2(1-a)x-2a≥0 在[-1,1]上恒成立,则有 ?
2

?a ? 1 ? ?1 ?a ? 1 ? 1 2 或△=4(1-a) +8a<0 或 ? g ( ? 1 ) ? 0 ? ? g (1) ? 0

解得,a∈?. (2)若 f(x)在[-1,1]上是单调递减函数, 则 f′(x)≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∴e [x +2(1-a)x-2a]≤0 在[-1,1]上恒成立. x 2 ∵e >0.∴h(x)=x +2(1-a)x-2a≤0 在[-1,1]上恒成立. 则有 ?
?h( ?1) ? 0 ??1 ? 0 3 ?? ?a ? . h ( 1 ) ? 0 3 ? 4 a ? 0 4 ? ?

∴当 a∈[ ,+∞]时,f(x)在[-1,1]上是单调函数. 2.(典型例题)已知函数f(x)=a +
x

3 4

x?2 (a>1) x ?1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [考场错解] (1)设-1<x 1 <x 2 ,f(x 2 )-f(x 1 )=a +
x2

x2 ? 2 x ?2 x ? 2 x1 ? 2 x2 x1 ? ? a x1 ? 1 ? a -a + 2 >0. x2 ? 1 x1 ? 1 x 2 ? 1 x1 ? 1

∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数. (2)设x 0 为方程f(x)=0 的负数根,则有a + ∵x 0 ≠-1,∴当-1<x 0 <0 时,0<x 0 +1<1.
x0

x0 ? 2 3 x0 2 ? x 0 =0.即a = =-1+ , x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



3 3 1 x0 >3,-1+ >2,而 <a <1 1 ? x0 1 ? x0 a

与①矛盾.

∴原方程没有负数根. [专家把脉] 第(1)问错在用定义证明函数单调性时,没有真正地证明f(x 2 )>f(x 1 ).而只是象征性地
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令f(x 2 )-f(x 1 )>0 这是许多学生解这类题的一个通病.第(2)问错在把第(1)问的条件当成第(2)问的条件, 因而除了上述证明外,还需证明x 0 <-1 时,方程也没有负根. [对症下药] (1) 设-1<x 1 <x 2 ,f(x 2 )-f(x 1 )=a + a -a +
x2 x1 x2

x2 ? 2 x ?2 ? a x1 ? 1 = x2 ? 1 x1 ? 1

( x ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 1) 3( x 2 ? x1 ) x 2 ? 2 x1 ? 2 x1 x2-x1 x1 x2-x1 ? =a (a -1)+ 1 =a (a )+ . x 2 ? 1 x1 ? 1 ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) ( x 2 ? 1)( x1 ? 1)

∵x 2 -x 1 >0,又a>1, x2-x1 ∴a >1.而-1<x 1 <x 2 .∴x 1 +1>0,x 2 +1>0. ∴f(x 2 )-f(x 1 )>0 ∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)设x 0 为方程f(x)=0 的负数根,则有a + 显然x 0 ≠-1, 当 0>x 0 >-1 时, 1>x 0 +1>0, 的解. 当x 0 <-1 时.x 0 +1<0
3 3 x0 <0,-1+ <-1,而a >0 矛盾.即不存在x 0 <-1 的解. 1 ? x0 1 ? x0
3 x0

x0 ? 2 3 ? (1 ? x0 ) 3 x0 2 ? x 0 =0.即a = ? ? -1+ . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 1 xO >3, -1+ >2. 而 <a <1. 这是不可能的, 即不存在 0>x 0 >-1 1 ? x0 1 ? x0 a

3.(典型例题)若函数f(x)=l0g a (x -ax)(a>0 且a≠1)在区间(- ,0)内单调递增,则a的取值范围是 (
1 4 9 4

1 2

) B.[ ,1] D.(1,- ) A
1 2

A.[ ,1] C.[ ,+∞] [考场错解]

3 4

9 4

当a∈(0, 1)时, 要使f(x)=log a (x -ax)在区间(- , 0)上单调递增. ∴x -ax>0 在(- ,
3

3

1 2

3

1 2

0)上恒成立,∴(- ) + a≥0

1 2

a≥ .综合得a∈[ ,1].当a>1 时,x -ax>0 在(- ,0)上不可能成立.

1 4

1 4

3

1 2

[专家把脉] 上面解答根本没有按复合函数单调性法则进行判断,而只是考虑函数的定义域,这样的 答案肯定是错误的. 3 [对症下药] 设 ? (x)=x -ax 当 0<a<1 时,依题意,(x)在(- ,0)上单调递减且 ? (x)在(- ,0)上大于 0. ∵ ? ′(x)=3x -a.即 ? ′(x)≤0 在(- ,0)上恒成立 ? a≥3x 在(- ,0)上恒成立. ∵x∈(- ,0)∴3x ∈(0, ). ∴a≥ .此时 ? (x)>0.∴ ≤a<1. 当 a>1 时, ? (x)在(- ,0)上单调递增,
1 2 1 2
2 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

3 4

3 4

3 4

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∴ ? ′(x)=3x -a≥0 在(- ,0)上恒成立. ∴a≤3x 在(- ,0)上恒成立. 又 3x ∈(0, )·∴a≤0 与a>1 矛盾. ∴a 的取值范围是[ ,1]. 故选 B. 专家会诊 1.讨论函数单调性必须在定义域内进行,因此讨论函数的单调性必须求函数定义域. 2.函数的单调性是对区间而言的,如果 f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是增(减)函数,不能说 f(x) 在(a,b)∪(c,d)上一定是增(减)函数.
3 4
2 2

2

1 2

1 2

3 4

3.设函数 y=f(u),u=g(x)都是单调函数,那么复合函数 y=f[g(x)]在其定义域上也是单调函数.若 y=f(u)与 u=g(x)的单调性相同,则复合函数 y=f[g(x)]是增函数;若 y=f(u),u=g(x)的单调性相反,则复 合函数 y=f[g(x)]是减函数.列出下表以助记忆. y=f(u ) ↗ ↗ ↘ ↘ u=g(x ) ↗ ↘ ↘ ↗ y=f[g(x )] ↗ ↘ ↗ ↘

上述规律可概括为“同性则增,异性则减” . 考场思维训练 1 函数 f(x)对任意实数 x 都有 f(x)<f(x+1)那么 ( A.f(x)是增函数 B.f(x)没有单调减区间 C.f(x)可能存在单调增区间,也可能不存在单调减区间 D.f(x)没有单调增区间 C 解析:根据函数单调性定义进行判断. 2
2

)

函数y= log 1 (x -3x+2)的单调增区间是_______.单调递减区间是_________.
2

解析:(-∞,1),(2,+ ∞)根据复合函数单调性法则进行求解。 3 如果函数 f(x)的定义域为 R,对于任意实数 a,b 满足 f(a+b)=f(a)·f(b). * (1)设f(1)=k(k≠0),试求f(n)(n∈N ) 答 案 : 解 (1)
? f (n ? 1) ? f ( n) ? f (1),?



f (n ? 1) ? f (1) ? k ? 0. ? ? f (n)?是以k为首项, k为公比的等比数例,? f (n) ? f (1) ? [ f (1)]n ?1 ? k n .(n ? ??) f ( n)

(2) 设当 x<0 时,f(x)>1,试解不等式 f(x+5)> 答案:(2)对任意的

1 . f ( x)

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x x x x ? R, f ( x) ? f ( ? ) ? f 2 ( ) ? 0, 假定存在xo ? R, 使f ( xo ) ? 0, 则取x ? 0, 有f ( x) ? f ( x ? xo ? xo ) ? f ( x ? xo ) ? f ( xo ) ? 0.这与已知相矛盾则f ( 2 2 2 ? 0, 于是对任意x ? R, 必有f ( x) ? 0.

∵f(0)=f(0+0)=f2(0)≠0. ∴f(0)=1, 设x 1 <x 2 , 则x 1 -x 2 <0 则f(x 1 -x 2 )>1,又∵f(x 2 )>0. ∴f(x 1 )=f[(x 1 -x 2 )+x 2 ]=f(x 1 -x 2 ) ?f(x 2 )>f(x 2 ). ∴f(x)为 R 上的减函数,解不等式 f(x+5)>
1 f ( x)

∵f(x)>0, ∴不等式等价于 f(x+5) ?f(x)>1.即 f(2x+5)>f(0),又∵f(x)为减函数,∴2x+5<0. 解得不等式的解集为 ? x | x ? ? ?
? ?

5? 2?
2

4

是否存在实数a,使函数f(x)=log a (ax -x)在区间[2,4]上是减函数?
1 2 1 当a>1 时,要使f(x)在区间[2,4]上是减函数,则有: ) ? 2a 4a

1.答案:解析:设 ? (x)=ax2-x=a ( x ?
? a? ?1 ? ?4 ? ? ? 2 a ? ? ?? (4) ? 0 ?a ? ? ? ?

1 8 ? a ?? 1 4

当 0<a<1 时,要使 f(x)在[2,4]上是减函数,则有 ? ?

? 1 a? ? ?2 ? ?? ? 2a ?? (2) ? 0 ?a ? ? ? ?

1 4 1 2

?a ?

1 . 2



1 ? a ?1. 2 1 2

综合,得存在实数 a,且 a 的范围为 ( ,1).

命题角度 3 函数的奇偶性和周期性的应用 1. (典型例题)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2), 当 x∈[3, 4]时,f(x)=x-2. 则 A.f(sin )<f(cos ) C.f(sin1)<f(cos1)
1 2 1 2

(

)

B.f(sin

?
3

)>f(cos
3 2

?
3

)

D.f(sin )<f(cos )

3 2

[考场错解] A 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期.设 x∈[-1,0]知 x+4∈[3,4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数 又 f(x)为偶函数.∴f(x)=f(-x) ∴x∈[0, 1]时,f(x)=x+2, 即 f(x)在[0, 1]上也是增函数. 又∵sin <cos [专家把脉]
1 2 1 1 1 ? f(sin )<f(cos ). 2 2 2

上面解答错在由 f(x)=f(-x)得 f(x)=x+2 这一步上, 导致错误的原因主要是对偶函数图像
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不熟悉. [对症下药] C 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1,0],知 x+4∈[3,4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2. ∴f(x)在[-1,0]上是增函数. 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)的图像关于 y 轴对称. ∴f(x)在[0,1]上是减函数. A:sin <cos B:sin
?
3
1 2 1 1 1 ? f(sin )>f(cos ) 2 2 2

>cos

2 ? ? ? f(sin )>f(cos ). 3 3 3

C:sin1>cos1 ? f(sin1)<f(cos1). 故正确答案 C. 2.(典型例题)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使得 f(x) <0 的 x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) [考场错解] C f(-x)=f(x)<0=f(2).∴x>2 或 x<-2. [专家把脉] 以上解答没有注意到偶函数在对称区间的单调性相反.错误地认为 f(x)在[0,+∞]上仍 是减函数,导致答案选错. [对症下药] D ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).∴f(x)<0.f(|x|)<f(2).又∵f(x)在(∞,0)上是减函数,∴f(x)在[0,+∞]上是增函数,|x|<2 ? -2<x<2.选 D. 3 . ( 典 型 例 题 ) 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y=f(x) 的 图 像 关 于 直 线 x= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______ [考场错解] 称. ∴f(x)=f(1-x) ∴f(-x)+f(-x+1)=0. ∴f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0.f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0. ∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) [专家把脉] 上面解答忽视了奇函数性质的运用.即 f(x)在 x=0 处有定义 ? f(0)=0. [对症下药] 填 0 依题意 f(-x)=-f(x).f(x)=f(1-x).∴f(-x)=-f(1-x) 即 f(-x)+f(1-x)= 0 f(x)+f(x-1)=0 ∴f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.又∵f(x)在 x=0 处有定义,∴f(0)=0∴ f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O. 4.(典型例题)设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7] 上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论. [考场错解] 依题意 f(x)=f(4-x).f(x)=f(14-x).∴f(4-x)=f(14-x),∴f(x)=f(x+10)∴f(x)是以 10 为周期的函数,f(3)=0.∴f(-3)=f(7)=0. ∴f(3)=f(-3)=-f(3).∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由(1)知 f(x)是周期为 10 的周期函数,又 f(3)=f(1)=0,∴f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0.
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1 对称,则 2

填-f(0)

∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).又 f(x)的图像关于 x= 对

1 2

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故 f(x)在[0,10]上有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2005]上有 401 个解.[-2005,0]上有 401 个解,所以函数丁 y=f(x)在[-2005,2005]上有 802 个解. [专家把脉] (1)对题意理解错误,题设中“在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0”说明除了 f(1)、 f(3)等于 0 外再不可能有 f(7)=0. (2)因 f(x)在 R 上既不是奇函数, 又不是偶函数. 不能认为 x∈[0, 10], [-10,0]上各有两个解,则认为在[0,2005]与在[-2005,0]上解的个数相同是错误的,并且 f(x)=0 在[0, 2005]上解的个数不是 401 个,而是 402 个. [对症下药] 由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数丁 y=f(x)的对称轴为 x=2 和 x=7. 从而知函数 y=f(x)不是奇函数. 由?
? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) 从而知 f(x)是周期为 10 的 ?? ? f(4-x)=f(14-x) ? f(x)=f(x+10). f ( 7 ? x ) ? f ( 7 ? x ) ? ? f ( x) ? f (14 ? x)

周期函数. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)=f(-3)≠0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数. (2)由(1)知 f(x)是以周期为 10 的周期函数. ∴f(1)=f(11)=…=f(2001)=0 f(3)=f(13)=…=f(2003)=0 f(x)=0 在[0,2005]上共有 402 个解.同理可求得 f(x)=0 在[-2005,0]上共有 400 个解. ∴f(x)=0 在[-2005,2005]上有 802 个解. 专家会诊 1.函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断有时需要将函数进行化简. 2.要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性,要充分利用 f(x)与 f(-x)之间的转化关系和图像的 对称性解决有关问题. 3.解题中要注意以下性质的灵活运用. (1)f(x)为偶函数 ? f(x)=f(-x)=f(|x|). (2)若奇函数 f(x)的定义域包含 0,则 f(0)=0. 考场思维训练 1 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 g(x)是奇函数,已知 g(x)=f(x-1),若 g(-1)=2006,则 f(2006)的 值为 ( ) A.2005 B.-2005 C.-2006 D.2006 答案:D 解 析 : 由 题 设 条 件 易 得 f(x+4)=f(x), ∴ f(2006)=f(2). 又 f(-2)=g(-1)=2006. ∴

f(2006)=2006.
? x ? 2, x ? ?1, 2 函数f(x)=lg(1+x ),g(x)= ? h( x) =tan2x中________是偶函数. ?0, | x |? 1, ?? x ? 2, x ? 1, ?
2

答案:解析:f(x)、g(x).运用奇偶性定义进行判断。 2 3 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x+x . (1)求证:f(x)是周期函数; 答案:解析:(1)f(x+2)=-f(-x), ∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)是周期为 4 的周期函数。 (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式;
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答案:当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数。 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 因而求得 x∈[2,4] 时f(x)=x2-6x+8. (3) 计算:(0+)f(1)+f(2)+…+f(2004) 答案:f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又 f(x)是周期为 4 的周期函数。 ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0. 又 f(2004)=f(0)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+ …+f(2004)=0. 4 设 a、b∈R,且 a≠2 定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg 答案:解析:f(x)=lg
1 ? ax 是奇函数,求 b 的取值范围. 1 ? 2x

? f (? x) ? ? f ( x) 1 ? ax ? ( ?b ? x ? b) 是奇函数,等价于,对任意 x∈(-b,b)都有: ?1 ? 2ax 1 ? 2x ? 1 ? 2x ? 0 ?

① ②

① 式即为lg 入(2)得 即?

1 ? ax 1 ? 2x . 即a2x2=4x2.此式对任意x∈(-b,b)都成立相当于a2=4, ∵a≠2, ∴a=-2.代 ? lg 1 ? 2x 1 ? ax
?0

1 ? 2x 1 ? 2x

1 1 1 1 1 ? x ? .此式对任意x ? (?b, b)都成立相当于 ? ? ?b ? b ? 所以得b的取值范围为(0, ]. 2 2 2 2 2

命题角度 4 反函数的概念和性质的应用 2 ( ) 1.(典型例题)函数f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 A.a∈(-∞,1) B.a∈[2,+∞] C.a∈[1,2] D.a∈(-∞,1)∪[2,+∞] [考场错解] 选 A 或 B ∵a∈(-∞,1]∴f(x)在区间[1,2]上是增函数.∴f(x)存在反函数.当 a∈ [2,+∞).对称轴 x=a 在区间[1,2]的右侧,∴f(x)在 [1,2]上是减函数.∴f(x)存在反函数. [专家把脉] 上面解答只能说明 A 或 B 是 f(x)存在反函数的充分条件,并不是充要条件. [对症下药] ∵一个函数在某区间上存在反函数的充要条件是此函数在这个区间上是单调函数. ∴对称轴 x=a 不应在(1,2)内,∴a≤1 或 a≥2.故选 C. 2.(典型例题Ⅰ)y= 2 x ? x 2 (1≤x≤2)的反函数是 ( )

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A.y=1+ 1 ? x 2 (-1≤x≤1) B.y=1+ 1 ? x 2 (0≤x≤1) C.y=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤1) D.y=1- 1 ? x 2 (0≤x≤1) [考场错解]
2

∴(x-1) =1-y . ∴x-1=- 1 ? y 2 , ∴x=1- 1 ? y 2 . x、 y对换得y=1- 1 ? x 2 C ∵y =2x-x .

2

2

2

2

又 1-x ≥0.∴-1≤x≤1.因而f(x)的反函数为y=1- 1 ? x 2 (-1≤x≤1). [专家把脉] 上面解答有两处错误(一)∵1≤x≤2,∴x-1≥0.由(x-1) =1-y 开方取“正号”而不是取 “负号” ;(二)反函数的定义域应通过求原函数的值域而得到,而不是由反函数解析式确定. [对症下药] B 由 y=
2 x ? x 2 ? (x-1) =1-y . ∴ x ∈ [1 , 2]x-1 ∈ [0 , + ∞ ] . ∴
2 2 2 2

x-1= 1 ? y 2 ? =1+ 1 ? y 2 .x、y对换得y=1+ 1 ? x 2

又∵y= 2 x ? x 2 ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 (1≤x≤2).∴0≤y≤1

即原函数值域为[0,1].所以反函数为y=1- 1 ? x 2 (0≤x≤1).选B. 3.(典型例题)设f (x)是函数f(x)= (a -a )(a>1)的反函数,则使f (x)>1 成立的x的取值范围为 ( )
a2 ?1 ,+∞) 2a a2 ?1 ,a) 2a
-1

1 2

x

-x

-1

A.( C.(

B.(-∞,

a2 ?1 ) 2a

D.(a,+∞) C ∵ y=
1 2
-1

[考场错解]

(a -a ) , ∴ a -2y · a -1=0 . a =
-1

x

-x

2x

x

x

2y ? 2 y2 ?1 2

=y+

y2 ?1 . ∴

x=log a (y+ y 2 ? 1 ),x、y对换.∴f (x)=log a (x+ x 2 ? 1 )(x∈R)又∵f (x)>1,∴log a (x+ x 2 ? 1 )>1 ? x + x 2 ? 1 >a.
?x ? a a2 ?1 ? x 2 ? 1 >a-x ? ? a 2 ? 1 ∴ 2a <x<a.选C. ?x ? 2a ?

[专 家把脉 ]

上面 解答错在最后 解不等式 x 2 ? 1 >a-x,这一步 ,因为 x+ x 2 ? 1 >a-x 应等价于

?a ? x ? 0 ? ? a 2 ? 1 或 a≤x.错解中只有前面—个不等式组.答案显然错了. ?x ? 2a ?

[对症下药]

A
-1

解法 1

∵ y=

2y ? 2 y2 ?1 1 x -x 2x x x (a -a ) ? a -2y · a -1=0 , a = =y+ 2 2
-1

y2 ?1 ∴

x=log a (y+ y 2 ? 1 ).∴f (x)=log a (x+ x 2 ? 1 )(x∈R).∵f (x)>1 ∴log a (x+ 3 2 ? 1 )>1 ? x+ x 2 ? 1 >a ?
?a ? x ? 0 a2 ?1 ? 0 ? ? ? a x x 2 ? 1 >a-x ? ? 2 或 <x<+∞. 2 2a ? ? x ? 1 ? (a ? x)

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解法 2:利用原函数与反函数的定丈域、值域的关系.原题等价于x>1 时,f(x)= (a -a )的值域,∴ f(x)= (a -a )在R上单调递增.∴f(x)> (a1 2
x -x

1 2

x

-x

1 2

a2 ?1 1 )= .选A. a 2a
-1 -1

4.(典型例题)设函数f(x)的图像关于点(1,2)对称,且存在反函数f (x),f(4)=0,f (4)=________. -1 [考场错解] 填 0 ∵y=f(x)的图像关于点(1,2)对称,又∵f(4)=0,∴f(0)=4,∴f (4)=0 [专家把脉] 上面解答错在由图像过点(4,0)得到图像过点(4,0)上,因为 f(x)图像关于点(1,2) 对称不是关于 y=x 对称,因此应找出图像过点(-2,4)是关键. [对症下药] 填-2. 解法 1 ∵f(4)=0,∴f(x)的图像过点(4,0).又∵f(x)的图像关于点(1,2)对称,∴f(x)的图像过 -1 点 (2-4,4-0)即(-2,4).∴f(-2)=4.∴f (4)=-2. 解法 2 设y=f(x)上任一点P(x、y)关于点(1,2)对称的点为P′(2-x,4-y).依题意 4-y=f(2-x),∴ -1 4-f(x)=f(2-x) ? f(x)+f(2-x)=4.令x=4.∴f(4) +f(-2)=4.又f(4)=0,∴f(-2)=4.∴f (4)=-2. 专家会诊 -1 1.求反函数时必须注意:(1)由原解析式解出x=f (y),如求出的x不唯一,要根据条件中x的范围决定 取舍,只能取一个;(2)要求反函数的定义域,即原函数的值域. 2.分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成. -1 3.若点(a,b)在原函数y=f(x)的图像上,则(b,a)在反函数y=f (x)的图像上. 考场思维训练 2 ( ) 1 函数y=3x -1(-1≤x<0)的反函数是 A.y= 1 ? log 3 x (x≥ ) B.y=- 1 ? log 3 x (x≥ ) C.y= 1 ? log 3 x ( <x≤1) D.y=- 1 ? log 3 x ( <x≤1) 答案:D 解析:由y=3x2-1得 x2-1=log 3 y ∵-1≤x<0, ∴x=- log3 x ? 1, xy互换得y ? ? log3 x ? 1,
? ?1 ? x ? 0,? ?1 ? x 2 ? 1 ? 0,?

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 ? 3x 2 ? 1 ? 1.故原函数的反函数为 : y ? ? 1 ? log3 x ( ? x ? 1)选D. 3 3

2 (典型例题)定义在R上的函数y=f(x)为周期函数,最小正周期为T,若函数y=f(x),x∈(0,T)时E有 -1 ( ) 反函数y=f ,x∈D.则函数y=f(x),x∈(2T,3T)的反函数为 -1 A.y=f (x),x∈D -1 B.y=f (x-2T),x∈D -1 C.y=f (x+2T),x∈D -1 D.y=f (x)+2T.x∈D 答案:D 解析:∵x∈(2T,3T), ∴x-2T=(0,T).又∵f(x)的周期为 2T,y=f(x)=f(x-2T). ∴ x-2T=f-1(y)+2T,x,y互换,得 y=f-1(x)+2T.当x∈(2T,3T)的反函数为y=f-1(x)+2T,x∈D. 3 已知f(x)=
a?x -1 的反函数.f (x)的图像的对称中心是(-1,3),求实数a的值. x ? a ?1
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高考数学_典型易错题会诊

答案: 解析:∵f(x)=-1从而a=2.

1 的对称中心是 (a+1,-1) ∴f-1(x)的对称中心是 (-1,a+1) , ∴a+1=3, x ? (a ? 1)

探究开放题预测 预测角度 1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 1.已知定义域为[0,1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x 1 ≥0,x 2 ≥0,x 1 +x 2 ≤1,则有f(x 1 +x 2 )≥f(x 1 )+f(x 2 ). (1)求 f(0)的值; (2)求函数 f(x)的最大值. [解题思路] (1)令x 1 =x 2 =0 可得答案(2),先证f(x)在[0,1]上是单调函数,再求其最大值. [解答] (1)令x 1 =x 2 =0,由条件①得f(0)≥0,由条件③得f(0)≤0.故f(0)=0. (2)任取 0≤x 1 ≤x 2 ≤1,可知x 2 -x 1 ∈(0,1),则f(x 2 )=f[(x 2 -x 1 )+x 1 ]≥f(x 2 -x 1 )+f(x).又∵x 1 - x 2 ∈ (0, ∴f(x)≥f(x 1 ) ∴f(x)在[0, 1]上是增函数, 于是当 0≤x≤1 时, 有f(x)≤f(1)=1. ∴ 1), ∴f(x 2 -x 1 )≥0. 当x=1 时,[f(x)] max =1.即f(x)的最大值为 1. 2.设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,k 是正常数,且对任意的 x∈(0,+∞),恒有 f[f(x)]=kx 成 立. (1) 若 f(x)是(0,+∞)上的增函数,且 k=1,求证:f(x)=x. (2)对于任意的x 1 、x 2 ∈(0,+∞),当x 2 >x 1 时,有f(x 2 )-f(x 1 )>x 2 -x 1 成立,如果k=2,证明: < < . [解题思路] (1)用反证法证明;(2)用反证法先证 f(x)>x,再运用函数单调性进行放缩. [解答] (1)假设 f(x)>x ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(f(x)]=x. ∴f(x)>f[f(x)]. ∴x>f(x)这与假设矛盾.∴f(x)>x 不可能成立 同理可证 f(x)<x 也是不可能成立的. 综合,得 f(x)=x. (2)先证f(x)>x,假设存在x 0 ∈(0,+∞),使得f(x 0 )≤x0,若f(x 0 )=x 0 ,则f[f(x 0 )]=f(x 0 ).即 2x 0 = f(x 0 )=x 0 ,∴x 0 矛盾;若f(x 0 )<x 0 ,由条件可知f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x 0 )>0. ∴f[f(x 0 )]<f(x 0 ),即 2x 0 <f(x 0 ). ∴2x 0 <x 0 ? x 0 <0 矛盾,∴f(x)>x 因此,f{f[f(x)]}-f[f(x)]>f[f(x)]-f(x)>f(x)-x. 即 2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x 解得 <
4 3 f ( x) 3 < . x 2 3 2 4 3 f ( x) x

预测角度 2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 1 . 设 f(x) 是 定 义 在 [-1 , 1] 上 的 偶 函 数 . 当 x ∈ [-1 , 0] 时 , f(x)=g(2-x) , 且 当 x ∈ [2,3] 时 , 3 g(x)=2a(x-2)-4(x-2) , (1)求 f(x)的表达式; (2)是否存在正实数 a(a>6),使函数 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上,若存在,求出正实数 a 的 值;若不存在,请说明理由. [解题思路] (1)运用函数奇偶性和条件 f(x)=g(2-x)可求得 f(x)的解析式. (2)利用导数可求得 f(x) 的最大值.令最大值等于 12 可知是否存在正实数 a. [解答] (1)当 x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3]
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高考数学_典型易错题会诊

f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x) =4x -2ax 3 得f(x)=4x -2ax(x∈[-1,0]) ∵y=f(x)在[-1,1]上是偶函数 3 ∴当x∈[0,1]时,f(x)=f(-x)=-4x +2ax ∴f(x)= ? ?
?4 x 3 ? 2ax ? ?? 4 x ? 2ax
3

3

3

? 1 ? x ? 0, 0 ? x ? 1.

(2)命题条件等价于[f(x)] max =12,因为f(x)为偶函数,所以只需考虑 0≤x≤1 的情况. 2 求导f′(x)=-12x +2a(0≤x≤1,a>6), 由 f′(x)=0 得 x= ∵
a a 或 x=(舍). 6 6

a >1,当 0≤x≤1 时 6

f′(x)>0,f(x)在[0,1]上单调递增,

∴[f(x)] max =f(1)=12,∴a=8. 综上,存在 a=8 使得 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上. 2.函数 y=f(x)是偶函数,且是周期为 2 的周期函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1.在 y=f(x)的图像上 有两点 A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点 C 的坐标为(0,a),(其中 a>2),求 △ABC 面积的最大值. [解题思路] 先利用函数的周期性和奇偶性分别求出f(x)在[0,1]和[1,2]时的解析式,再利用图象 设出 A、b的坐标,然后以A、B的纵坐标作为自变量建立面积函数关系,借助函数关系式即可求得S △ABC 的 最大值. [解答] ∵f(x)是以 2 为周期的周期函数,当 x∈[2,3]时,f(x)=x-1. ∴当 x∈[0,1]时,f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1. 又 ∵ f(x) 是 偶 函 数 , ∴ 当 x ∈ [-1 , 0] 时 , f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1 ; 当 x ∈ [1 , 2] 时.f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3. 设A、B的纵坐标为t(1≤t≤2),并设A在B的左边,则A、B的横坐标分别为 3-t、t+1,则|AB|=(t+1)-(3 -t)=2t-2,∴△ABC的面积S= (2t-2)(a-t)=-t +(a+1)t-a=-(t∴当 < 当
3 2 a 2 ? 2a ? 1 a ?1 ≤2 即 2<a≤3 时,S 有最大值 . 2 4 1 2
2

a ? 1 2 ( a ? 1) 2 )+ -a. 2 4

a ?1 >2,即 a>3 时,函数 S 在[1,2]上单调递增,∴S 有最大值 S(2)=a-2. 2

预测角度 3 反函数与函数性质的综合 1.在R上的递减函数f(x)满足:当且仅当x∈M ? R + 函数值f(x)的集合为[0,2]且f( )=1;又对M中的 任意x 1 、x 2 都有f(x 1 ·x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ). (1)求证: ∈M,而
1 4 1 ? M; 8
-1 -1 -1 -1

1 2

(2)证明:f(x)在M上的反函数f (x)满足f (x 1 )·f (x 2 )=f (x 1 +x 2 ). (3)解不等式f (x 2 +x)·f (x+2)≤ (x∈[0,2]). [解题思路] 由给定的函数性质,证明自变量 x 是属于还是不属于集合",最后利用反函数的概念、 性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式. [解答] 2],
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-1 -1

1 4

(1)证明:∵ ∈M,又 = × ,f( )=1.∴f( )=f( × )=f( )+f( )=1+1=2∈[0,

1 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

高考数学_典型易错题会诊

∴ ∈M, 又∵f( )=f( × )=f( )+f( )=1+2=3 ? [0,2].∴
-1

1 4

1 8

1 2

1 4

1 2

1 4

1 ? M. 8

(2)证明:∵f(x)在M上递减,∴f(x)在M上有反函数f (x),x∈[0,2]. -1 -1 任取x 1 、x 2 ∈[0,2],设y 1 =f (x 1 ),y 2 =f (x 2 ). ∴x 1 =f(y 1 ),x 2 =f(y 2 )(y 1 ,y 2 ∈M) -1 ∵x 1 +x 2 =f(y 1 )+f(y 2 )=f(y 1 ·y 2 ),∴y 1 ·y 2 =f (x 1 +x 2 ) -1 -1 -1 -1 -1 又y 1 ·y 2 =f (x 1 )·f (x 2 ),∴f (x 1 )·f (x 2 )=f (x 1 +x 2 ). -1 (3)∵f(x)在M上递减,∴f (x)在[0,2]上也递减, ∴f (x 2 +x)·f (x+2)≤ 等价于f (x +x+x+2)≤f (2).
?0 ? x 2 ? x ? 2, ?? 2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1 ? ? ? ∴ ?0 ? x ? 2 ? 2, ? ?? 2 ? x ? 0 ?x?0. ? 2 ? x ? ?2或0 ? x ? 2 ? x ? 2 x ? 2 ? 2. ? ?
-1 -1

1 4

-1

2

-1

故不等式的解集为{x|x=0}. x 2.已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a (a>0 且a≠1). (1) 求证:f(2x)=2f(x)·g(x) (2) 设f(x)的反函数为f (x),当a= a -1 时,试比较f [g(x)]与-1 的大小,并证明你的结论. (3) 若a>1,n∈N 且n≥2,比较f(n)与nf(1)的大小,并证明你的结论. x [解题思路] 先根据函数f(x)·g(x)的奇偶性和f(x)+g(x)=a 可解出f(x)·g(x).再借助基本不等式 和叠加法证明后两小题. x [解答] (1)f(x)+g(x)=a , -x x 又f(-x)+g(-x)=a ,而f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴-f(x)+g(x)=a , ∴f(x)=
a x ? a?x a x ? a ?x ,g(x)= . 2 2 a x ? a?x a x ? a ? x a 2 x ? a ?2 x 1 · = = f(2x) 2 2 4 2
* -1 -1

∴f(x)·g(x)=

(2)∵0<a= 2 -1<1. ∴f(x)= f(-1)= ∵g(x)=
-1

a x ? a?x 是(-∞,+∞)上的减函数,则其反函数也是减函数,又由于 2

( 2 ? 1) ?1 ? ( 2 ? 1) =1. 2
2 a x ? a ?x ≥ =1=f(-1) 2 2

∴f [g(x)]≤-1. (3)f(n)-nf(1)=
1 2

(a -a )-

n

-n

1 2

n(a-a )=

-1

1 2

(a-a )[a +a +

-1

n-1

n-3



+a

-(n-3)

+a

-(n-1)

]-

-1 -1 n-1 n-3 -(n-3) -(n-1) 1 1 n(a-a )= (a-a )[a +a +…+a +a -n] 2 2

当a>1 时,a-a >0 n-1 -(n-1) a +a >2 n-3 -n(n-3) a +a >2 ……
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-1

高考数学_典型易错题会诊

+a >0 ∴a +a +…+a ∴f(n)-nf(1)>0,即 f(n) >nf(1) 考点高分解题综合训练 1 函数 f(x)=x+ x 2 ? 1 ,则其反函数的定义域是 ( )

n-1

n-3

-(n-1)

-(n-3)

A.(-∞,-1)∪[1,+∞) B.[1,+∞) C.[-1,0] D.[-1,0]∪(1,+∞) 答案:D 解析:反函数的定义域即为原函数的值域,x2-1≥0?x≥1 或x≤-1,当x≥1 时,函数f(x)是单 调递增函数,此时值域为(1,+∞)当x≤-1 时,f(x)=x+ x 2 ? 1 ? 为[-1,0],故值域为[-1,0]∪(1,+ ∞), 从而选D. 2 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4).当x>2 时,f(x)单调递增,如果x 1 +x 2 <4 且 ( ) (x 1 -2)(x 2 -2)<0,则f(x 1 )+f(x 2 )的值为 A.可能为 0 B.恒大于 0 C.恒小于 0 D.可正可负 答案:C 解析:不妨设x 1 <x 2 ,则x 1 <2<x 2 ,且x 1 +x 2 <4,由f(-x)=-f(x+4)可知,函数f(x) 的图象关于点 (2,0)成中心对称,函数在(2,+∞)上单调递增,∴f(x 1 )+f(x 2 )<f(x 1 )+f(4-x 1 )=f(x 1 )-f(x 1 )=0, 故选C. 3 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0 时,f(x)=( ) ,那么f(x)=( ) ,那么f (0)+f (-8) ( ) B.-3
1 2
x

1 x ? x2 ? 1

为单调递减函数,此时值域

1 2

x

-1

-1

的值为 A.2

C.3

D.-2

? 1 x ( x ? 0) ?( 2 ) ? 答案:C 解析:f(x)= ?0 ( x ? 0) , 故f ?1 (0) ? 0 ? x ? ? 2 ( x ? 0) ? ?

f-1(-8)=3.故选 C. 4. B 解析:① ?x? 的值域为[0,1];②③正确;④错误 4 符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数{x}=x-[x],那么下列命题 ( ) 中正确的个数是 ①函数{x}的定义域为 R,值域为[0,1]; ②方程{x}=有无数解; ③函数{x}是周期函数; ④函数{x}是增函数. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
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高考数学_典型易错题会诊

答案:C 解析:∵f(x)的周期为 3,∴f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即 5

2a ? 3 2 ? ?1.解得 ? 1<a< .故选 C. a ?1 3 2a ? 3 ,则 a ?1

设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)=
2 3
2 3

(

)

A.a<

B.a< 且 a≠-1 D.m> 或 m<-1
2 3

2 3

C.-1<a<

答案:D 解析:因为函数 y=f(x)为偶函数,所以 y=f(1-x)=f(x-1),它的图可由 y=f(x)的图向右平移 1 个 单位得到,故对称轴为 x=1,且在(4,6)内是增函数,故选 D。 6 已知定义在 R 上的偶函数 y=f(x)的一个单调递增区间是(3,5),则函数 y=f(1-x) A.图像的对称轴为 x=-1,且在(2,4)内是增函数 B.图像的对称轴为 x=1,且在(2,4)内是减函数 C.图像的对称轴为 x=0,且在(4,6)内是增函数 D.图像的对称轴为 x=1,且在(4,6)内是增函数 ( )

答案:解析:[-1,3]由x2-2x-8≥0?x≤-2 或x≥4.由 1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1<x<a+1,又由A ∩B=?,故 ? 7
?a ? 1 ? ?2, ?a ? ?1 解得? 即 ? 1 ? a ? 3. a ? 1 ? 4 , ? ?a ? 3, 1 1? | x ? a |

函数 f(x)= x 2 ? 2 x ? 8 的定义域为 A,g(x)=

的定义域为 B,且 A∩B=? ,则实数 a 的取值

范围是_________ 答案:解析:[-1,3]由x2-2x-8≥0?x≤-2 或x≥4.由 1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-1<x<a+1,又由A ∩B=?,故 ? 8
?a ? 1 ? ?2, ?a ? ?1 解得? 即 ? 1 ? a ? 3. a ? 1 ? 4 , ? ?a ? 3,
-1

已 知 y=f (x) 是 函 数 f(x)= ?

? x ? 1,?1 ? x ? 0. -1 的 反 函 数 , 则 函 数 g(x)=f(x)+f (x) 的 表 达 式 是 ? , 0 1 . x ? x ? ?

g(x)=________ 2.答案:解析: ?
? x ? 1, f ?1 ( x) ? ? ?? x , ?1?, ?1, 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1.

0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 0. ??1, ?1, 0 ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1.
2

故 f ( x) ? f ?1 ( x) ? ? 9

已知函数f(x)在定义域上是减函数,且f(a-1)>f(1-a ).求a的取值范围;

?? 1 ? a ? 1 ? 1 ? 2 答案:解析:由牺件可得 ? ?? 1 ? a ? 1 ? 1, ? 2 ? ?a ? 1 ? 1 ? a .

解得0 ? a ? 1.

10 若f(x)满足:在(0,+∞)上f(xy)=f(x)+f(y),且对x>1,f(x)>0 恒成立,求证:f(x)存在反函数 f (x)并比较f
-1 -1

a?b 1 -1 -1 [f (a)+f (b)]的大小. 2 与 2

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高考数学_典型易错题会诊

答案:解析:∵f(x,y)=f(x)+f(x) ∴f(x)=f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ). ? f ( ) ? f ( x) ? f ( y ). 设 0<x 1 <x 2, 则
x2 x ? 1, 有f ( x2 ) ? f ( x1 ? f ( 2 ) ? 0 xc1 x1

x y

x y

x y

∴f(x 1 )<f(x 2 )从而f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则有f(x)存在反函数。 令f(x)=uf(y)=u,则f-1(u)=x,f-1(u)=y. ∴u+v=f[f-1(u)]+f-1[f-1(u)]=f[f-1(u)?f-1(u)] ∴f-1(u+v)=f-1(u) ?f1-(v), ∴f-1(x)=[f-1 ( 2 ) ]2∴
a b ? a a?b 1 ?1 1? b a b [ f (a) ? f ?1 (b)] ? ? f ?1 ( )]2 ? [ f ?1 ( )]2 ? ? f ?1 ( ) ? f ?1 ( ) ? f ?1 ( ? ) ? f ?1 ( ). 2 2? 2 2 ? 2 2 2 2 2
x

故 f ?1(

a?b 1 ) ? [ f ?1 (a ) ? f ?1 (b)]. 2 2

11 已知集合A=[2,log 2 t],集合B={x|x 2 -14x+24≤0},x 1 t∈R,且A ? B. (1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b-a. 若 A 的区间“长度”为 3,试求 t 的值. (2)某个函数 f(x)的值域是 B,且 f(x)∈A 的概率不小于 0.6,试确定 t 的取值范围. 12 集合 A 是由适 合以下性质的函数 f(x)组成的,对任的 x≥0,f(x)∈[-2,4],有 f(x)在[0,+∞]上是增函数. (1)试判断 f1(x)=-2 及 f2(x)=4-6·()(x≥0)是否在集合 A 中?若不在集合 A 中,试说明理由; 答案:解析: (1)log 2 t-2=3?t=32; (2) 对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的 x≥D 总成 立?证明你的结论. 答案:B=[2,12],由题意及概率的意义得 12
log 2 t ? 2 ? 0.6 ? 8 ? log 2 t ? 12 ? 28 ? t ? 212. 即 t∈[256,4096]. 12 ? 2

集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)组成的,对任意的 x≥0,f(x)∈[-2,4],有 f(x)在[0,+8]上 地增函数。
1 2
x

( ) (x≥0)是否在集合A中?若不在集合A中,试说明理由; (1) 试判断f1(x)= x -2 及f2(x)=4-6· 答案:解析: (1)函数f 1 (x)= x ? 2 不在集合A中,这是因为当x=49>0,f 1 (49)=5>4,不满足条件 f 2 (x)=4-6 ( ) x 在集合A中。 (2)对于(1)中你认为是集合 A 中的函数 f(x)不等式 f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的 x≥D 总成 立?证明你的结论? 答案:∵ f(x)+f(x+2)-2f(x+1)=4-6
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) x ? 4 ? 6 ? ( ) x ? 2 ? 8 ? 12( ) x ?1 ? 6 ? ( ) x [2 ? ? 1 ? ( ) 2 ] ? 6( ) x (? ) ? 0. ? f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意 x 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2

≥0 总成立.
x 2 ? ax ? x 1 2 (x>0).

13

已知函数 f(x)=

(1)写出函数 f(x)的单调区间,并指出在每一个单调区间内,函数是递增的还是递减的.(不必证明)
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高考数学_典型易错题会诊

答案:f(x)=x ?

1 2 2 ? a在(0, ]上递减, 在[ ,??)上递增. 2x 2 2

(2)若不等式 f(x)>0 对于 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; 答案:f(x)>0 即 a>- ( x ? 由(1)的结论知当 x ?
1 ) 恒成立,∴a> 2x [ ?( x ? 1 )] max, 2x

2 1 时[?( x ? )] max ? ? 2故a ? ? 2 . 2 2x
-1 -1

(3)若f(x)(x≥1)的反函数f (x),试求f (a+ ). 答案:根据反函数的意义,令 x ?
3

9 4

1 9 1 9 ? a ? a ? , 得4 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0, 解得x ? (舍去).或x ? 2. ? f ?1 (a ? ) ? 2. 2x 4 4 4

14 已知函数f(x)=x +ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1),又P(x 1 ,y 1 ),q(x 2 ,y 2 )是其图像上 任意两点(x 1 ≠x 2 ). (1)求证:f(x)的图像关于点(0,b)成中心对称图形; 答案:∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得a=-1. ∴f(x)=x3-x+b的图象可由y=x3-x的图象向上(或向下)平 移b(或-b )个单位得到.又y=x3-x是奇函数,其图象关于原点成中心对称图形,∴f(x) 的图象关于 点(0,b)成中心对称图形。 (2)设直线 PQ 的斜率为 k,求证:|k|<2. 答案:∵点P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 y 2 )在f(x)=x3-x+b的图象上, ∴k=
3 3 ? x1 ? b) ? ( x2 y1 ? y2 ( x1 ? x2 ? b) 2 2 ? ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1. x1 ? x2 x1 ? x2

2 2 2 2 2 2 又 x1x2 ? [?1,1]x1 ? x2 ,? 0 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 3, 从而 ? 1 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 ? 2,?| k |?| x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 |? 2.

(3)若 0≤x 1 <x 2 ≤1,求证:|y 1 -y 2 |<1. 答案:∵0≤x 1 <x 2 ≤1,且|y 1 -y 2 |=2|x 1 -x 2 |=-2(x 1 -x 2 )+2 ①+②得 2|y 1 -y 2 |<2.故|y 1 -y 2 |<1. 考点-3 函数 (二) 二次函数的图象和性质的应用 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 函数的应用 二次函数闭区间上的最值的问题 三个“二次”的综合问题 含参数的对数函数与不等式的综合问题 典型易错 会诊 命题角度 1 二次函数的图象和性质的应用 2 1.(典型例题)已知向量a=(x ,x+1),b=(1-x,t)若函数f(x)=ab在区间(-1,1)上是增函数,求t 的 取值范围. 2 3 2 2 [考场错解] 依定义f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t,则f′(x)=-3x -2x+t. 2 1)上恒成立. 设g(x)= 若f(x)在(-1, 1)上是增函数, 则在(-1, 1)上恒有f′≥0 ? t>3x -2x在区间(-1,
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高考数学_典型易错题会诊

3x -2x=3(x- ) - ,∴当x= 时,[g(x)] min =∴t≥- 即 t 的取值范围是[- ,+∞].
1 3 1 3

2

1 3

2

1 3

1 3

1 3

[专家把脉] 上面解答由t≥3x -2x在区间(-1, 1)上恒成立得t大于或等于 3x -2x的最小值是错误的. 因 2 为若t≥[g(x)] min 只能说存在一个x的值能使t≥3x -2x成立,但不能保证x在(-1,1)上的每一个值都能使t 2 ≥3x -2x成立.因而t应大于或等于g(x)在(-1,1)上的最大值. 2 3 2 2 [对症下药] 解法 1:依定义f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t.则f′(x)=-3x +2x+t(-1,1)上是增函 2 2 数,则f′(x)=-3x +2x+t≥0 在 (-1,1)上恒成立,即t≥3x -2x在(-1,1)上恒成立. 设g(x)=3x -2x=3(x- ) - .∵对称轴为x= .∴g(x)<g(-1)=5. 因而要 t≥g(x)在(-1,1)上恒成立. ∴t≥5.即t的取值范围是[5,+∞]. 2 3 2 解法 2:依定义f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x2+tx+t,f′(x)=-3x +2x+t, 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上恒有 f′(x)≥0,∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线. ∴当且仅当 ?
? f ?(1) ? t ? 1 ? 0 ? t≥5 时,f′(x)在(-1,1)上满足 f′(x)>0.即 f(x)在(-1,1)上是增 ? f ?( ?1) ? t ? 5 ? 0
2

2

2

1 3

2

1 3

1 3

函数. 故 t 的取值范围是[5,+∞].
? 2.(典型例题)已知函数f(x)=ax- x 的最大值不大于 ,又当x∈ ? ? 4 , 2 ? 时,f(x)≥ 8 . 2 6 ? ?
3
2

1

1 1

1

(1)求 a 的值; (2)设 0<a 1 < ,a n+1 =f(a n ),n ∈N ,证明:a n < [考场错解] ∴
3 2
2

1 2

*

1 . n ?1
2

第(1)问,∵f(x)=ax- x =- (x- a) + ①
1

3 2

1 3

a2 . 6

a2 1 2 ≤ ,即a ≤1 ? -1≤a≤1 6 6 1 1
1

? ? ? ? 即 f(x) ≥ 在 ? 又当 x∈ ? ? 4 , 2 ? 时,f(x)≥ 8 , ? 4 , 2 ? 上恒成立 ? 8 ≤f(x)在 ? 4 , 2 ? 上的最小值为 f( 4 ) 8 ? ? ? ? ? ? 1 1
1

1 1

1

∴f( )≥ .即 ?
7 8

1 4

1 8

a 4

3 1 7 ? ?a≥ . 32 8 8



综合,①,②知 ≤a≤1. [专家把脉] ∴对称轴 x=
1 1? a 1 1 上面解答错在 f(x)在 ? ? , ? 的最小值的计算上,由①得-1≤a≤1.∴ ∈(- , ), ?4 2?
3
3 3

a 1 1 1 离端点 较远,因此,f(x)的最小值应是 f( ).而不是 f( ). 3 2 2 4

[对症下药]

(1)由于f(x)=ax- x =- (x-

3 2

2

3 2

a 2 a2 )+ 2 6

∴f(x)的最大值为
1 1

a2 a2 1 2 .∴ ≤ ,即a ≤1.∴-1≤a≤1 6 6 6
1 1

? ? f(x)≥ , 即f(x)≥ 在 ? ∴ ≤[f(x)] min .由①得-1≤a≤1. ∴- ≤ 又x∈ ? ? 4 , 2 ? 时, ? 4 , 2 ? 上恒成立. 8 8 8 3 ? ? ? ? 1 1
1
1

1 1? a 3 a 3 1 1 a≤ .∴f(x)在 ? ? , ? 上的最小值为f( )= - .∴- ≥ .解得a≥1
3

?4 2?

2

2

8

2

8



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高考数学_典型易错题会诊

由①,②得 a=1. (2)(i)当n=1 时,0<a 1 < ,不等式 0<a n < 故 n=2 时,不等式也成立. (ⅱ)假设n=k(k≥2)时,不等式 0<a k < 为 增 函 数 , 所 以 0<a k <
1 3 2 1 1 成立,因为f(x)=x- x 的对称轴x= 知f(x)在[0, ]上 k ?1 2 3 3 1 k ?1
1 2

1 1 2 1 成立.因f(x)>0,x∈(0, ),所以 0<a 2 =f(a 1 )≤ < . n ?1 3 6 3



1 3



0<f(a k )<f(

1 k ?1

)







0<a k+1 <

1 1 1 1 k?4 1 1 3 - · . ? ? ? ? ? k ?1 2 ( k ? 1) 2 k ? 2 k ? 2 k ? 2 2(k ? 1) 2 ( k ? 2) k ? 2

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任何n∈N ,不等式a n <
*

1 成立. n ?1

3.(典型例题Ⅰ)已知函数 f(x)的二项式系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解 (2)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 2 [考场错解] (1)设f(x)=ax +bx+c(a≠0). 2 2 ∵ f(x)+2x=ax +(b+2)x+c>0 的 解 集 . 为 (1 , 3) , ∴ 1 、 3 是 方 程 ax +(b+2)x+c=0 的 两 根 , ∴
? b?2 ? ? 1? 3 ? 4 ? ?b ? ?4a ? 2 ? a ?? ? a ?c ? 3a. ? ? 1? 3 ? 3 ? ?c

① ∴f(x)=ax -(2+4a)x+3a 2 由方程f(x)+6a=0 得ax -(2+4a)x+9a=0

2


2 2

∵方程②有两个相等的根,∴△=[-(2+4a)] -4a·9a=0 即 5a -4a-1=0,解得a=1 或a=- . ∴f(x)的解析式为f(x)=x -6x+9 或f(x)=(2)由f(x)=ax -(2+4a)x+3a=a(x令2 2

1 5

1 2 6 3 x - x- . 5 5 5

a 2 ? 4a ? 1 1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 )可得f(x)的最大值为. a a a

a 2 ? 4a ? 1 >0 ? a(a+2+ 3 )(a+2- 3 )<0 a

解得 0<-2- 3 或-2+ 3 <a<0. 故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2- 3 )∪(-2+ 3 ,0). [专家把脉] 上面解答由 f(x)+2x>0 的解集为(1, 3). 忽视了隐含条件 a<0. 所以(1)应舍去 a=1. 另
a 2 ? 4a ? 1 ,从而很不容易求得 a 的范围. a

外第(2)问若没有 a<0 这个条件,也不能说 f(x)的最大值是-

[对症下药] (1) ∵ f(x)+2x > 0 的 解 集 为 (1 , 3), ∴ f(x)+2=a(x-1)(x-3) 且 a<0 , 因 而 2 ① f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax -(2+4a)x+3a 2 由方程f(x)+6a=0 得ax -(2+4a)x+9a=0 ② 因为方程②有两个相等的根,∴△=[-(2+4a)] -4a·9a=0.即 5a -4a-1=0,解得a=1 或a=- . 由于a<0,舍去a=1.将a=- 代入①得f(x)的解析式为f(x)=第 41 页 共 136 页
2 2

1 5

1 5

1 2 6 3 x - x- . 5 5 5

高考数学_典型易错题会诊

(2)由f(x)=ax -2(1+2a)x+3a=a(x? a 2 ? 4a ? 1 ?? ?0 , ? a ?a ? 0. ?

2

a 2 ? 4a ? 1 1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 )及a<0,可得f(x)的最大值为.由 2 a a

解得a<-2- 3 或-2+ 3 <a<0.

专家会诊 利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况,还可以讨论二次函 数在闭区间上的最值.对于根的分布问题,一般需从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负; ③对称轴 x=b 与区间端点的关系.另外,对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间 2a

的相对位置确定二次函数的单调性进行求解. 考场思维训练 2 1 若函数f(x)=x +bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x),则下面不等关系成立的是 A.f(2)>f(0)>f(-2) B.f(-2)>f(2)>(0) C.f(0)>f(-2)>f(2) D. f(-2)>f(0)>f(2) 答案: B 解析:由 f(1+x)=f(-x) 得 f(x) 的对称轴 x= f(-2)>f(2)>f(0).

(

)

1 ∵ b=-1. ∴ f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. ∴ 2

2 若函数y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值为 3,最小值为 2,则m的取值范围是__________. 答案:[1,2]解析:y=(x+1)2+2 是以直线x=1 为对称轴开口向上、其最小值为 2 的抛物线,又∵f(0)3. 结合图象易得,2≥m≥1. ∴m 的取值范围是[1,2]. 3 设函数f(x)=ax +bx+1(1,b∈R). (1)若 f(-1)=0,则对任意实数均有 f(x)≥0 成立,求 f(x)的表达式. 答案:解析: (1)∵f(-1)=0?a-b+1=0?b=a+1,又∵对任意实数均有 f(x) ≥0 成立,
? ? ?a ? 1 ?a ? 0 ?a ? 0 ?? ?? ?? 2 2 ? ? ?b ? 2. ?? ? b ? 4 a ? 0 ?(a ? 1) ? 4a ? 0
2

2

∴f(x)=x2+2x+1. (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx 是单调递增,求实数 k 的取值范围. 2]上恒成 答案: g(x)=xf(x)-kx=x(x2+2x+1)-kx=x3+2x2+(1-k)x,g′(x)=3x2+4x+1-k≥0 在[-2, 立?g′(x)在[-2,2]上的最小值g′(x)(- ) ? 0,? k ? ? . )
2

2 3

1 3

4

已知二次函数f(x)=(lga)x +2x+4lga的最大值为 3,求a的值.
1 2 1 ) ? ? 4 lg a 由已知,f(x)有最大值 3,∴lga<0 并且 lg a lg a
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答案:解析:原函数式可化为 f(x)=lga ( x ?

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?

1 ? 4 lg a ? 3. lg a

整理得

4(lga)2-3lga-1=0

? 1 4 1000 1 解得lga=1,lga= . ? lg a ? 0.故取 lg a ? ? ? a ? 10 4 ? . 4 4. 10

1

命题角度 2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 |lnx| -|x-1|的图像大致是 ( ) 1.(典型例题)函数y=e [考场错解] 选 A 或 B 或 C |lnx| -|x-1|不注意分x≥1 和x<1 两种情况讨论,选B,主要是 [专家把脉] 选A,主要是化简函数y=e 化简时错误地认为当,x<1 时,e
|lnx|

-|x-1|=? x?

1 .选C,主要时当x≥1 时化简错误. x

[对症下药]

D

∵f(x)=e

|lnx|

-|x-1|= ? ?
2

1 ? 1, ( x ? 1) 作出其图像即可 x ?1, ( x ? 1) ? ? x1 ? x 2 ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?> 2 ?

y=log 2 x, y=x , y=cos2x这四个函数中, 当 0<x 1 <x 2 <1, 使f ? 2. (典型例题)在y=2 , ?

x

恒成立的函数的个数是 ) ( A.0 B.1 C.2 D.3 [考场错解] C [专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误.由题设条件知F(x)在(0,1)上是凸函数,认为y=log 2 x 和y=cos2x在(0,1)上是凸函数.其实y=cos2x在(0, [对症下药] B 根据条件,当 0<x 1 <x 2 <1,使f ? ?
x 2

? ? )是凸函数,在( ,1)是凹函数. 4 4
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立知f(x)在(0,1)上是凸函 ? ?> 2 ?

? x1 ? x 2 ? 2

数,因此只有y=log 2 x适合.y=2 和y=x 在(0,1)上是函数.y=cos2x在(0, 凹函数,故选B. 3.(典型例题)若函数f(x)=log a (2x +x)(a>0 且a≠1)在区间(0, 区间为 (
1 4
2

? ? )是凸函数,但在( ,1)是 4 4

1 )内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增 2

) B.(- ,+∞) D.(-∞,- )
1 2 1 4

A.(-∞,- ) C.(0,+∞)

[考场错解] 选 A 或 C [专家把脉] 选 A,求 f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误;选 C,求复合函数的单调区 间时没有注意内、外层函数均递减时,原函数才是增函数.事实上 (0,+∞)是 f(x)的递减区间. [对症下药]
1 2

D

∵f(x)=log a (2x +x)(a>0 且a≠1)在区间(0, )内恒有f(x)>0,若a>1,则由f(x)>0
2

2

1 2

x> 或x<-1.与题设矛盾.∴0<a<1.设 ? (x)= 2x +x=2(x+ ) - . ? (x)>0 ? x>0 或x<- )内是增函数.
1 2

1 4

2

1 8

1 .∴f(x)在(-∞, 2

4.(典型例题)已知函数f(x)=ln(e +a)(a>0) -1 (1)求函数y=f(x)的反函数y=f (x)及f(x)的导数f′(x). f-1 (2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)].不等式|m- (x)|lnf′(x)<0 成立.求实数m的取值范围. x y -1 x x [考场错解] (1)由y=f(x)=ln(e +a)得x=ln(e -a).∴f (x)=ln(e -a)(x>lna),f′(x)=[ln(e +a)]′
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x

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=

ex e x ? a. ex e ? a.
x x

(2)由|m-f (x)|+ln[f′(x)]<0 得-ln 恒成立.设h(x)=ln(e -a)+ln
x

-1

+ln(e -a)<m<ln(e -a)+ln
x

x

x

ex e ? a.
x

在(ln(3a),ln(4a))上

ex e ? a.
x

x

. S(x)=-ln
a ex

ex e ? a.

+ln(e -a).即m<[h(x)] mni .且m>[S(x)] max

∵ S(x) , h(x)=ln(e -a)+ln(1+ [h(x)] min =ln(2a)+ln =ln( a). [S(x)] max =ln(3a)-ln =ln( ∴ln(
12 8 a)<m<ln( a). 5 3 5 4 12 a) 5 4 3 8 3

) 在 [ln(3a) , ln(4a)] 上 是 增 函 数 . ∴

[专家把脉] 错在第(2)问 h(x),S(x)在(ln(3a),ln(4a))上是增函数没有根据.应用定义法或导数法 判定后才能用这一结论. [对症下药] (2)解法 1 ln(4a)]恒有
x

(1)由y=f(x)=ln(e +a)得x=ln(e -a)∴y=f (x)=ln(e -a)(x>lna),f′(x)= 由|m-f (x)|+ln(f′(x))<0 得-ln
x
-1

x

y

-1

x

ex e x ? a.

.

ex e ? a.
x

+ln(e -a)<m<ln(e -a)+ln. 即对于x∈[ln(3a),

x

x

e (e ? a ) e ?a
x

x

<em<

(e ) ? a ex

x 2

2



设t=e ,u(t)=

t (t ? a ) t 2 ? a2 m ,v(t)= ,于是不等式①化为u(t)<e <v(t),t∈[3a,4a] t?a t

当t 1 <t 2 ,t 1 ,t 2 ∈[3a,4a]时 u(t 2 )-u(t 1 )= v(t 2 )-v(t 1 )=
t 2 (t 2 ? a) t1 (t1 ? a ) (t 2 ? t1 )[t1t 2 ? a (t1 ? t 2 ) ? a 2 ] = >0. (t1 ? a )(t 2 ? a) t2 ? a t1 ? a
2 2 t2 ? a t1 ? a t1t 2 (t 2 ? t1 ) ? a 2 (t 2 ? t1 ) (t1 ? t 2 )(t1t 2 ? a 2 ) = = >0 t2 t1 t1t 2 t1t 2

∴u(t),v(t)在[3a,4a]上是增函数. 因此,当t∈[3a,4a]时,u(t)的最大值为u(4a)= 当且仅当u(4a)<e <v(3a). 即
12 12 8 m 8 a<e < a,于是,得ln a<m<ln( a). 5 3 5 5
-1 m

12 8 a,v(t)的最小值为v(3a)= a,而不等式②成立, 5 3

解法 2 由|m-f (x)|+ln(f′(x))<0 得 x x x x ln(e -a)-ln(e +a)+x<m<ln(e -a)+ln(e +a)-x. x x 设 ? (x)=ln(e -a)-ln(e +a)+x, r(x)=ln(e -a)+ln(e +a)-x, 于是原不等式对于 x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于 ? (x)<m<r(x). 由 ? ′(x)=
x x x



e
x

x

e ?a
x

?
x

e
x

x

e ?a

+1, r ?( x) ?

e
x

x

e ?a

?

e
x

x

e ?a

-1.

注意到 0<e -a<e <e +a,故有 ? ′(x)>0,r′(x)>0,从而可知 ? (x)与r(x)均在[ln(3a),h(4a)]上单 调递增,因此不等式③成立,当且仅当
? (ln(4a))<m<r(ln(3a)),即 ln(
12 8 a)<m<ln( a). 5 3
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高考数学_典型易错题会诊

专家会诊 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时,首先要弄清复合函数的构成,然后转转化为基 本初等函数的单调性加以解决,注意不可忽视定义域,忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作 用. 考场思维训练
1 x 2-x (e +e )(x<1)(其中e为自然对数的底数),则 2e 3 3 -1 1 -1 -1 1 -1 A.f ( )<f ( 2 ) B.f ( )>f ( 2 ) 2 2 3 3 -1 -1 -1 -1 C.f ( 2 )<f (2) D.f ( 2 )>f (2)

1

已知函数f(x)=

(

)

答案: D 解析: f(x)=
1 x e2 (e ? x )( x ? 1)令e x ? t , 则t ? (0, e)上是减函数, 则f ( x) ? 1且在(??,1)上是减函数,由于反函数的两个函数在各自的定义域上单调性相同, 2e e 3 ?1 ? f ( x)在[1,??]上是减函数. ? f ?1 ( ) ? f ?1 (2).选D. 2

2 A.

已知f(x)=a +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为
1 4

x

(

)

B.

1 2

C.2

D.4

答案: B解析:f(x)=ax+log a (x+1)是单调递增(减)函数. (∵y=ax与y=log a (x+1)单调性相同).且在[0, 1]的最值分别在端点处取得,最值之和:f(0)+f(1)=ao+log a 1+log 2 2=2, ∴log a 2+1=0, ∴a= . ? 选 B. 3 对于 0<a<1,给出下列四个不等式
1 ) a

1 2

(

)
1 ) a

①log a (1+a)<log a (1+ 其中成立的是 ( A.①与③ B.①与④ 答案: D 解析:
? 0 ? a ? 1,? a ? 1 ?

②log a (1+a)>loga(1+

③a < a

1+a

1?

1 a

④a > a

1+a

1?

1 a

) C.②与③

D.②与④

? 1 1 1 x ,? 1 ? a ? 1 ? .而y ? log a 与y ? a x均为减函数. ? log a (1 ? a) ? log a (1 ? ), a1? a ? a1 a . 选 D。 a a a

1

4

已知函数f(x)=log a [(

1 -2)x+1]在区间[1,2]上恒为正,求实数a的取值范围. a

答案:在区间[1,2]上使 f(x)>0 恒成立。 解析: (1)当 a>1 时,只要 ( ? 2) x ? 1 ? 1.
1 a

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高考数学_典型易错题会诊

即 ( ? 2) x ? 0. ? x ? [1,2],? ? 2 ? 0,? a ?
1 a

1 a

1 a

1 与 1 矛盾. 2

(2)当 0<a<1 时,设 g(x)= ( ? 2) x ? 1. 只要 0<g(x)<1. ① a= 时,g(x)=1f(x)=0 不能使 f(x)恒为正。 ② 当 0<a< 时, ? 2 ? 0, g ( x)是增函数, 只要? 当
? g ( 2) ? 0 1 1 ? a ? 1时, ( ? 2) ? 0.g ( x)是减函数, 只要? a 2 ? g (1) ? 1,

1 2

1 2

1 a

? g (1) ? 0 1 1 , 解得 ? a ? 1与0 ? a ? 矛盾. ? g () 1 2 2 ? 解得 1 2 1 2 ? a ? .综上所述 : ? a ? . 2 3 2 3

命题角度 3 函数的应用 2 1.(典型例题)某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1 =5.06x-0.15x ,和 其中x为销售量(单位: 辆). 若该公司在这两地共销售 15 辆车, 则能获得的最大利润为 ( ) L 2 =2x, A.45.606 B.45.6 C.46.8 D.46.806 2 [考场错解] D 设甲地销售x轴,则乙地销售 15-x辆.总利润L=L 1 +L 2 =5.06x-0.15x +2(15-x)= -0.15x +3.06x+30=-O.15(x∴当 x=
2

51 2 ) +46.806 5

51 时,获得最大利润 46.806 万元.故选 D. 5

[专家把脉]

上面解答中 x=

51 51 不为整数,在实际问题中是不可能的,因此 x 应根据抛物线取与 x= 5 5

接近的整数才符合题意. 2 [对症下药] B 设甲地销售x辆.则乙地销售(15-x)辆,则总利润L=L 1 +L 2 =5.06x-0.15x +2(15-x)= 2 2 * -0.15x +3.06x+30=-0.15(x-10.2) +46.806. 根据二次函数图像和x∈N ,∴当x=10 时,获得最大利 2 润L=-0.15×10 +3.06×10+30=45.6 万元.选B. 2.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥 补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元)与年产量 t(吨)满足函 数关系 x=2000 t ,若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元(以下称 S 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 W(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量. 2 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0.002t .在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的 前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少? [ 考 场 错 解 ] (1) 因 为 赔 付 价 格 为 S 元 / 吨 , 所 以 乙 方 的 实 际 利 润 为 :
? W=2000 t -St=(2000-S t )=S(2000- t )≤S· ? ? t ? 2000 ? t ? 6 ? =10003S. 当且仅当 t =2000- t .即t=10 (吨) ? 2 ? ?
2

时.W取得最大值. (2)设甲方净收入为 v 元,则 2 6 v=St-0.002t ,将t=10 代入上式 6 12 6 3 v=10 S-10 ×0.002=10 (S-2×10 ). ∵v 在(0,+∞)上是增函数.即 S 越大,v 越大,故甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求 的赔付价格 S 是任意大的数字. [专家把脉] 上面解答主要在第(1)问求 w 的最值时, 变形出了错误, 即由 w=2000 t -St=S t (2000- t )
2000 - t ).这一步出错导致后面结果都是错误的. S
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正确的变形为 w=2000 t -St=S t (

高考数学_典型易错题会诊

[对症下药] (1)解法 1 因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为:W=2000-St
2000 - t )≤S ( S

∵W=2000 t -St=S t ( W取得最大值.

t?

2 2000 ? t 1000 2 2000 1000 2 S ) =( ) 当且仅当 t = - t 即t=( ) 时, 2 S S S

∴乙方取得最大年利润的年产量t=( 解法 2

1000 2 ) 吨. S

因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为 W=2000 t -St.
1000 2 1000 2 )+ S S

∴W=2000 t -St=-S( t ∴当t=(

1000 2 ) 时,w取得最大值. S 1000 2 ) (吨) S

∴乙方取得最大年利润的年产量t=( 解法 3 由w′=

因为赔付价格为 S 元/吨,所以乙方的实际年利润为:w=2000 t -St.
1000 t

-S=

1000 ? S t t

,令w′=0 得t=t 0 =(

1000 2 ) .当t<t 0 时,w′>0;当t>t 0 时,w′<0.所以t=t 0 S

时w取得最大值.因此乙方取得最大年利润的年产量t 0 =( (3) 设甲方净收入为 v 元,则 2 v=St-0.002t . 将t=( v=

1000 2 ) 吨. S

1000 2 ) 代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式 S

1000 2 2 ? 1000 3 . S S4
1000 3 S2 ? 8 ? 1000 3 S5 ? 1000 2 (8000 ? S 3 ) S5

又 v′=-

-令 v′=0 得 S=20,当 S<20 时,v′>0;当 S>20 时,v′<0,

∴S=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 S=20(元/吨)时,获得最大净收入. 3.(典型例题)某段城铁线路上依次有 A,B,C 三站,AB=5km,BC=3km 在列车运行时刻表上,规定列 车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际运行时,假设列车 从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm/h,匀速行驶,列车从 A 站到达某站的 时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (1)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差; (2)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围. [考场错解] (1)列车在 B、C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是| -7|和| -11|
5 v 8 v 5 v 8 v

(2)由于列车在 B、C 两站的误差之和不超过 2 分钟,所以| -7|+| -11|≤2(*) 当 0<v≤ 时,(*)式变形为 -y+ -11≤2 解得
13 5 ≤v≤ . 20 7 5 7 5 v 8 v

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高考数学_典型易错题会诊

当 <v≤
5 7

5 7

8 5 8 时,(*)式变形为 7- + -11≤2, 11 v v 8 . 11

解得 <v≤ 当 v> 解得

8 5 8 时,(*)式变形为 7- +11- ≤2. 11 v v

8 13 <v≤ . 11 16 13 13 , ]. 20 16

综上所述,v 的取值范围[

由于一开始出现错误, [专家把脉] 上述解答错在单位不统一, 应将速度 v(km/h)化为 v(60km/分). 导致后面结果全是错误的. [对症下药] (1)列车在 B、C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是[
300 480 -7]和[ -11] v v

(2)由于列车在 B、C 两站的误差之和不超过 2 分钟,∴| 当 0<v≤
300 300 480 时,(*)式变形为 -7+ -11≤2, 7 v v 300 . 7

300 480 -11|≤2(*) -7|+| v v

解得 39≤v≤ 当

300 480 300 480 <v≤ ,(*)式变形为 7+ -11≤2, 7 11 v v 300 480 <v≤ 7 v 480 300 480 时,(*)式变形为 7+11≤2, 11 v v 480 195 <v≤ , 11 4 195 ] 4

解得

当 v> 解得

综上所述,v 的取值范围是[39,

4.(典型例题)某人在一山坡 P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔.如 图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖直线 OC,塔高 BC=80(米),山 高 OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直 线 l 上,l 与水平地面的夹角为α,tanα= .试问,此人距山崖的水平 距离多远时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)? [考场错解] 如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0),B(0,220),C(0,300) 直线 l 的方程为 y=(x-200)tanα,即 y= 设此人距山崖的水平距离为 x,则 P(x,
x ? 200 ? 300 x ? 640 x ? 800 k PC = 2 = . , k PB = x 2x 2x x ? 200 . 2 x ? 200 )(x>200),由经过两点的直线的斜率公式 2
1 2

由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得:
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高考数学_典型易错题会诊
160 64 x 2x ? x ? 800 x ? 640 x 2 ? 288 x ? 160 ? 640 1? ? 2x 2x .( x ? 200).

tan

k k ∠BPC= PB ? PC ? 1 ? k PB k PC 64 x x ? 288 x ? 160 ? 640
2

设 u=
2

∴ux -(288u-64)x+160×640u=0 ① ∵u≠0 2 2 ∵x∈R.△=(288u-64) -4×160×640u ≥0. 解得 u≤2. 当 u=2 时,x=320.即此人距山崖 320 米时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. [专家把脉] 上述解答过程中利用 x∈R 由判别式法求 u 的最大值是错误 因为 x>200, 即由判别式求得 u 的最大值, 的, 还必须检验方程①的根在(200, +∞)内. [对症下药] 如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0),B(0,220), C(0,300). 直线 l 的方程为 y=(x-200)tanα,即 y= 设此人距山崖的水平距离为 x,则 P(x,
x ? 200 ? 300 x ? 800 ? k PC = 2 , x 2x x ? 200 ? 220 x ? 640 k PB = 2 ? . x 2x x ? 200 . 2 x ? 200 )(x>200).由经过两点的直线的斜率公式 2

由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得 tan∠BPC=
k PB ? k PC ? 1 ? k PB ? k PC 2x 64 x 64 = ( x ? 200). ? x ? 800 x ? 640 x 2 ? 288 x ? 160 ? 640 160 ? 640 ? ? 288 1? x? 2x 2x x 160 ? 640 ? 288 达到最小.由均值不等式 x

要使 tan∠BPC 达到最大,只须 x+ x+

160 ? 640 ? 288 ≥2 160 ? 640 ? 288 , x 160 ? 640 时上式取得等号.故当 x=320 时 tan∠BPC 最大. x

当且仅当 x=

由此实际问题知,0<∠BPC<

?
2

,所以 tan∠BPC 最大时,∠BPC 最大,故当此人距山崖水平距离为 320

米时,观看铁塔的视角∠BPC 最大. 5.(典型例题)某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 件需要增加 投入 0.25 万元,市场对此产品的需要量为 500 件,销售收入为函数为 R(x)=5x是产品售出的数量(单位:百件). (1)把利润表示为年产量的函数 f(x). (2)年产量是多少时,当年公司所得利润最大?
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x2 (0≤x≤5),其中 x 2

高考数学_典型易错题会诊

(3)年产量是多少时,当年公司不亏本?(取 21.5625 =4.65). [考场错解] f(x)=5xx2 2

(1)设年产量为 x(百件),所以 (0.5+0.25x)
1 2 21.5625 (x-4.75) + 2 2

(2)f(x)=-

∴当 x=4.75(百件)时 [f(x)] max = ×21.5625=10.78125(万元) (3)∵f(x)≥0,∴ 本. [专家把脉] 上述解答忽视了 “市场对产品的需要量为 500 件” 条件, 事实上, 当产品生产量超过 500
x2 表示收入,而是 R(5). 2
1 2 21.5625 (x-4.75) + ≥0,解得 0.1≤x≤9.4 ∴年产量 10 件到 940 件之间不亏 2 2 1 2

件时,市场销售最多只能是 500 件,事实上,因此,这时不能用 R(x)=5x[对症下药]
?
x2

(1)设年产量 x(百件),所以
(0 ? x ? 5) ( x ? 1) x2 1 2 21.5625 (0.5+0.25x)=- (x-4.75) + 2 2 2
1 2

? (0.5 ? 0.25 x), 5x ? f(x)= ? ? 2 ?12 ? 0.25 x, ?

(2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-5x-

∴当x=4.75(百件)时,[f(x)] max = ×21.5625(万元) 当 x>5 时,f(x)=12-0.25x<12-1.25< ×21.5625 ∴x=4.75 时,[f(x)] max = ×21.5625 即年产量是 475 件时,当年公司所得利润最大. (3)当 0≤x≤5 时,由 f(x)≥0, - (x-4.75) +
1 2
2

1 2

1 2

?0.1 ? x ? 9.4 21.5625 ≥0 ? ? 2 ?0 ? x ? 5

∴0.1≤x≤5. (ⅱ)当 x>5 时,12-0.25x≥0 ? 5<x<48. 综合得 0.1≤x≤48. 即生产量在 10 件到 4800 件不亏本. 专家会诊 与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题,也可涉及角 度、面积、体积、造价的最优化问题,解答这类问题的关键是建立相关函数的解析式,然后应用函数知识 加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去,看是否符合实际问题. 考场思维训练 1 把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值 是 ( ) A.
3 2 3 cm 2

B.4cm

2

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C.3 2 cm

2

D.2 3 cm

2

答案: D 解析: S= ( )2 sin 60. ? (
1 x 2 3 3 3 2 3 2 1 12 ? x 2 ? 36 ? 2 3 . [( x ? 6) 2 ? 36],? x ? 6时, Smin ? ( x ? 12 x ? 72) ? ) sin 60. ? 18 18 36 3 2

2 将一张 2mx6m的硬钢板按图纸的要求进行操作,沿线裁去阴影部分,把剩余部分按要求焊接成一个 有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),设 3 水箱的高为xm,容积为ym ). (1)求 y 关于 x 的函数关系式; 答案:依题意,长方体水箱长
6 ? 2x ? (3 ? x)m.宽为(2 ? 2 x)m.高为xm. 2

故水箱容积 y=(3-x)(2-2x)·x,
?3 ? x ? 0, 又? ? ?2 ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1. ?x ? 0 ?

∴y 关于 x 的函数关系式为 y=2x(1-x)(3-x),(0<x<1). (2)如何设计 x 的大小,可使得水箱装的水最多? 答案: y=2x3-8x2+6x,y =6x2-16x+6, 令y′=0 得 x ?


4? 7 4? 7 4? 7 ? (1,??). (?10,1), .? 3 3 3

? 当0 ? x ?

4? 7 4? 7 4? 7 ? x ? 1时, y′ ? 0,? 当x ? 时, y ′>0;当 时, y取最大值. 3 3 3 4? 7 m 时,水箱装的水最多。 3

因此把水箱的高设计成

3 (典型例题)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车 每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? 答案:当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出车辆数为 所以,这时租出了 88 辆车。 (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 答案:设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为 f(x)= f ( x) ? (100 ?
x ? 3000 x ? 3000 x2 1 ) ? ( x ? 150) ? ? 50 ? ? 162 x ? 21000 ? ? ( x ? 4050) 2 ? 307050 50 50 50 50 3600 ? 3000 ? 12, 50

所以,当 x=4050 时 f(x)最大, 最大值为 f(4050)=307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为 307050. 4 某车间有工人 30 人,现有生产任务:加工 A 型零件 100 个,B 型零件 50 个.在单位时间内,每个
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高考数学_典型易错题会诊

工人若加工 A 型零件能完成 10 个,若加工 B 型零件能完成 7 个.问这 30 名工人应如何分组,才能使任务完成得最快? 答案: 解: 设加工 A 型零件的一组工人数为 x, 则加工 B 型零件的另一组工人数为 30-x。 由题意加工 100 个 A 型零件所需的时间为 p(x)=
100 . 10 x

加工 50 个 B 型零件所需的时间为
q ( x) ? 50 . 7(30 ? x)

令 p(x)=q(x);
100 50 1 ? 解得x ? 17 . 10 x 7?30 ? x ? 2

当 x> 时q?x ? ? p?x ? ; 当 0<x<17 时,p(x)>q(x). 当 0<x<17 时,p(x)>q(x).
?10 1 ? x ? 17. ? ?x ? y ( x) ? ? ? 50 18 ? x ? 30. ? 7(30 ? x) ?

1 2

1 2 1 2

考虑到人数必须是整数,分别考虑 p(17)和 q(18),p(17)=

100 50 ? 0.588, q (18) ? ? 0.595, 10 ? 17 7 ? 12

即 p(17)<q(18). 所以加工 A 型零件组的工人数应是 17 人,加工 B 型零件组的工人应是 13 人完成任务最快。 5 (典型例题)如图,在直线y=0 和y=a(a>0)之间表示的是一条河流,河流的一侧河岸(x轴)是一条公 路,公路上的公交车站P(x,0)随时都有公交车来往.家住A(0,a)的某学生在位于公路上B(2a,0)处的学 校就读,每天早晨学生都要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上公交车站,再乘公交车去学校,或者直 接乘船渡河到达公路上B(2a,0)处的学校.已知船速为v 0 (v 0 >0),车速为 2v 0 (水流速度忽略不计). (Ⅰ)设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上的站 P(x,0),再乘公交车去学校,请用 x 来表示他所 用的时间 t; 答案:设该学生从家出发,先乘船渡河到达公路上的车站 P(x,0),再乘公交车去学校,则他所用的时间 t=f(x)=
a2 ? x2 uo ? 2a ? x (0 ? x ? 2a). 2uo

(Ⅱ)若
5 =2.236)

a ≤x≤a, 请问该学生选择哪种上学方式更加节约时间,并说明理由.(取 2 =1.414, 2

答案:若该学生选择先乘船渡河到达公路上的车站 p(x,0),再乘公交车去学校,则他所用的时间为
t ? f ( x) ? a 2 ? x 2 2a ? x ? ? uo 2uo a 2a ? a2 ? a2 2 ? ( 2 ? 3) a . ? 2u0 4 uo uo

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高考数学_典型易错题会诊

直接乘船渡河到达公路上 B(2a,0)处的学校所用的时间
t ? f (a) ? a 2 ? ( 2a ) 2 a ? 5 . uo uo 3 a a ? 5 ,所以该学生选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间. 4 uo uo

因为 ( 2 ? )

答:该同这选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间。 探究开放题预测 预测角度 1 二次函数闭区间上的最值的问题 1.已知函数f(x)=ax +(2a-1)x+1 在[- ,2]上的最大值为 3,求实数a的值. [解题思路] f( 根据 f(x)的最大值可能产生在抛物线段的端点或顶点处,分别令 f(- )=3.f(2)=3 和
3 2
2

3 2

1 ? 2a ) =3,再一一检验后决定取舍 a 的值. 2a

[解答] f(x)=a(x+ (1)令f(-

(2a ? 1) 2 2a ? 1 2 ) +1. 2a 4a

( 2a ? 1) 2 1 1 2a ? 1 )=[f(x)] max =3 ? 1 ? ? 3 ? a ? ? .有f ( x) ? ? ( x ? 1) 2 ? 3, 4a 2 2 2a

3 1 ? ?2 ? [ ? ,2],? a ? ? 舍去. 2 2

(2)令f(- )=[f(x)] max =3,∴a=- . 有 f(x)= ( x ? ) 2 ?
2 3 7 4 73 7 2 3 2 ,? ? ? ? ,? f (? )最大. ? a ? ? , 符合题意. 24 4 3 2 3 1 2 1 2 x ? 1. 2

3 2

3 2

(3)令 f(2)=3 ? a ? .有f ( x) ?

∴[f(x)] max =f(2)=3.符合题意. 综上:a=- 或 a= . 2.已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0 时,f(x)=2x-x . (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 a、b(a≠b)使 f(x)在[a,b]上的值域为[ , ],若存在,求 a 和 b,若不存在,说 明理由. [解题思路] (1)运用奇函数性质可求出 f(x)在 x≤0 上的解析式; (2)利用已知[a,b],[ , ]得
1 1 b a 1 1 b a
2

3 2

1 2

a、b 的符号,再运用二次函数在区间上的单调性列出 a、b 的方程组可解得 a、b 的值. 2 2 [解答] (1)设x<0,则-x>0,由当x≥0 时,f(x)=2x-x 且f(x)为奇函数,得f(-x)=-2x-x , 2 2 ∴f(x)=-f(-x)=-(-2x-x )=2x+x ∴f(x) ? ?
?2 x ? x 2 , ( x ? 0)
2 ? ?2 x ? x , ( x ? 0)

(2) ? ?1

?a ? b ?a ? b ?a ? b ? ? 1 ? ? 1 1 ? 0 ? ? b ? a ? 0 ? ab ? 0. ?b ? a ?a ? b ? ab ? ? ?
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① 由 0<a<b,∵(f)=2x-x =-(x-1) +1≤1, 又∵f(x)在[a,b]上值域为[ , ],∴
1 1 b a 1 ≤1,即 a≥1, a

2

2

? ? f (a) ? 即 1≤a<b,而f(x)=-(x-1) +1 在[1,b] 上为减函数.因此: ? ? ? f (b) ? ? ?
2

1 ? 1 2a ? a 2 ? ? ? a a 由? ? 可知a、b为方程 1 ? 1 2 2b ? b ? b b ? ?

2x-x =
3 2

2

1 x
3 2


2


2

















x -2x +1=0,(x -x )-(x -1)=0,(x-1)(x -x-1)=0,x 1 =1,x 2 =

1? 5 1? 5 1? 5 ,x 3 = (舍) ,∴a=1,b= . 2 2 2 1 1 b a 1 b

②若a<b<0,∵f(x)=2x+x =(x+1) -1≥-1.又∵f(x)为[a,b]上值域为[ , ],∴ ≥-1,即b≤-1,即a
1 ? 1 f( )? , ? a a <b≤-1.而f(x)=(x+1) -1 在[a,-1]上为减函数,因此 ? ? ? f ( 1 ) ? b. ? ? b
2

2

2

由2a ? a 2 ?

1 1 及2b ? b 2 ? 可知a、b为 a b

方 程

2x+x =

2

1 x

的 两 根 , 将 此 方 程 化 为 x +2x -1=0 ? (x+1)(x -x-1)=0

3

2

2



x 1 =-1,x 2 =-

1? 5 1? 5 1? 5 ,x 3 = (舍),∴a=,b=-1. 2 2 2
1 1 b a

综合①,②知存在实数 a,b,使 f(x)在[a,b]上的值域为[ , ],有 a=1,b=
2

1? 5 1? 5 或 a=-1 或 b. 2 2

3.已知二次函数f(x)=ax +bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c∈R,且满足a>b>c,f(1)=0. (1)证明:函数 f(x)与 g(x)的图像交于不同的两点 A、B; (2)若函数 F(x)=f(x)-g(x)在[2,3]上的最小值为 9,最大值为 21,试求 a、b 的值. (3)求线段AB在x轴上的射影A 1 B 1 的长的取值范围. [解题思路](1)证△>0;(2)利用二次函数的单调性求解;(3)将|A 1 B 1 |的长度表示为 次函数数闭区间上的最值求解. [解答] (1)由g(x)=-bx与f(x)=ax +bx+c得ax +2bx+c=0.∵f(1)=a+b+c=0,a>b>c∴a>0,c<0,从而△ 2 =b -4ac>0,即函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点.
b2 b b 2 2 -<2.知F(x)=ax +2bx+c=a(x+ ) +c- . 在[2,3]上为 a a a
2 2

c 的函数,利用二 a

(2)c=-a-b,a>b>c.即a>c=-a-b,得 2a>-b,

增函数.∴[f(x)] max =F(3)=8a+5b =21,[F(x)] min =F(2)=3a+3b=9,解得a=2,b=1.

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高考数学_典型易错题会诊
2b ? x ?x ?? , ? c 1 2 3 2 ? 1 2 a (3)设方程F(x)=ax +2bx+c=0 的两根为x 1 、x 2 ,得 ? |A 1 B 1 | 2 =(x 1 +x 2 ) -4x 1 x 2 =4[( ? ) + ] c a 2 4 ?x ? x ? . ? 1 2 a ?
2

由 a>b>c,b=-a-c,得 a>-a-c>c,∴

1 c ∈(-2, ) a 2

设|A 1 B 1 | =h(

2

1 1 c c 1 2 3 c c )=4[( ? ) + ]的对称轴为x=- ,h=( )在 ∈(-2, )上是减函数. a a 2 4 2 a a 2

∴|A 1 B 1 | ∈(3,12),得|A 1 B 1 |∈( 3 ,2 3 ). 预测角度 2 三个“二次”的综合问题
2

2

1.已知二次函数f(x)=ax +bx+1(a,b∈R,且a>0),设方程f(x)=x的两个实根为x 1 和x 2 , (1)如果x 1 <2<x 2 <4,且函数f(x)的对称轴为x=x 0 ,求证:x 0 >-1. (2)如果|x 1 |<2,|x 2 -x 1 |=2,求b的取值范围. [解题思路] x 0 =(1)由二次函数的图像找出方程f(x)=x的两根x 1 、x 2 满足x 1 <2<x 2 <4 的充要条件.从而求出

1 b 的范围即可.(2)由x 1 ·x 2 = >0 知x 1 ,x 2 同号,故对较小根x 1 分 0<x 1 <2 和-2<x 1 <0 两种情况讨论可 2a a

求得b的取值范围. [解答] (1) 设 g(x)=f(x)-x=ax +(b-1)x+1 , 且 a>0 , 由 x 1 <2<x 2 <4 得 g(2)<0 且 g(4)>0 即
2

?4a ? 2b ? 1 ? 0 b 3 1 3 1 1 3 1 1 b ?? ? 1? 故x 0 = ? ? 1 ? ? ? 4a ? b ? ? 2a,由 ? 4a ? ? 2a, 得a ? ,? 2 ? ? ?1 ? 1 16 a ? 4 b ? 3 0 ? 4 a a a 2 4 2 8 8 2 4 a 2 ? 4? 8

(2)由g(x)=ax +(b-1)x+1=0 知x 1 x 2 =

2

1 >0,∴x 1 ,x 2 同号, a

① 若 0<x 1 <2,则x 2 -x 1 =2,即x 2 =x 1 +2>2 ∴ g(2)=4a+2b-1 < 0 , 又|x 2 -x 1 |= 2 (b ? 1)2 ? 1 <3-2b,解得b< . ②若-2<x 1 <0,则x 2 =-2+x 1 <-2,∴g(-2)<0 即 4a-2b+3<0.同理可求得b> . 故 b 的取值范围是(-∞,
2

(b ? 1) 2 a2

?

4 =4,得 2a+1= (b ? 1)2 ? 1 (a> 0, 负根 舍去 ) , 代 入上 式 得 a

1 4

7 4

1 7 )∪( +∞). 4 4

2.设二次函数f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ①当 x∈R,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x; ②当 x∈(0,2)时,f(x)≤ (
x ?1 2 ) ; 2

③f(x)在 R 上的最小值为 0.
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(1)求 f(x)的表达式; (2)求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈就有 f(x+t)≤x 恒成立. [解题思路] (1)本小题是利用二次函数的概念,性质求出其解析式.(2)本小题涉及到两个参变量 t 与 m 的讨论,可利用二次不等式在闭区间上恒成立的解题思路求解. [解答] (1)方法一 因为 f(x-4)=f(2-x), 所以函数 f(x)的图像关于 x=-1 对称. 所以b =-1, b=2a, 2a

由条件③,x=-1 时,丁 y=0 得 a-b+c=0. 由①得,f(1)≥1,由条件②,得 f(1)≤1,所以 f(1)=1 即 a+b+c=1. 即 a+b+c=1.
?b ? 2a ? 1 2 1 1 1 1 ? ∴  ?a ? b ? c ? 0, 解得a ? c ? , b ? . ∴f(x)= x ? x ? . 4 2 4 2 4 ? a ? b ? c ? 1 , ? ?

方法二 ∵f(x-4)=f(2-x),x∈R, ∴函数 f(x)的图像的对称轴为 x=-1. 由条件③,f(x)在 R 上的最小值为 0, 2 可知,函数f(x)的图像是开口向上,顶点位于点(-1,0)的抛物线,故不妨设f(x)=a(x+1) ,(a>0).由 条件①f(x)≥x,x∈R,当x=1 时f(1)≥1. 由条件②,f(x)≤ (
x ?1 2 ) x∈(0,2),当 x=1 时,有 f(1)≤1. 2 1 4 1 4 1 4 1 2 1 4

∴f(1)=1,从而 a= .? f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? x ? . 方法三 同解法 1,可判断f(x)图像的对称轴为x=-1,且f(-1)=0.∴b=2a,a-b+c=0.即b=2a,c=a, 2 故f(x)=ax +2ax+a 由条件①,f(x)≥x 对一切 x∈R 恒成立. 即ax +(2a-1)x+a≥0,x∈R恒成立. ? ? ?
2

?a ? 0 ?? ? (2a ? 1) ? 4a ? 0 ? 1 4
2 2

?a?

x ?1 2 1 .由条件②,f(x)≤ ( ) ,x∈(0,2) 2 4

令(a- )x +(2a- )x+(a- )由上a ? 故a ? ? 0,有?

1 4

2

1 2

1 4

1 4

?F(0) ? 0 1 1 1 1 1 ? a ? . ? a ? .? f ( x ) ? x 2 ? x ? . F ( 2 ) 0 ? 4 4 2 4 4 ?
2

(2)方法一 假设存在t,只要x∈[1,m]就有f(x+t≤x,即f(x+t)-x≤0,x +2(t-1)x+(t+1)2≤0 对一 切x∈[1,m]恒成立. 2 2 不妨设G(x)=x +2(t-1)x+(t+1) 则对 x∈[1,m],都有 G(x)≤0, 故?
??4 ? t ? 0 ?G (1) ? 0, ? ?? 2 2 G ( ) ? 0 m ? ? ?t ? (2 ? 2m)t ? (m ? 1) ? 0
2 2

设h(t)=t +(2+2m)t+(m-1) 即在区间[-4, 0]上存在实数t, 使h(t)≤0 成立. 由图像得, h(-4)≤0 ? 1<m ≤9. ∴m 的最大值为 9. 方法二 因为抛物线y= · (x+1) 的开口向上, y=f(x+t)的图像, 可由y=f(x)的图像平移t个单位得到, 要在[1,m]上,y=f(x+t)的图像在y=x的图像下方,且m最大,则 1、m应是关于x的方程 的两个根.
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1 2 (x+t+1) =x 4 1 4
2



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由 x=1 代入③式,得 t=0 或 t=-4. 由 t=0 时,代入③式,得 x1=x2=1. 当t=-4 时,代入③式,得x 1 =1 或x 2 =9. ∴m=9. 验证,当 t=-4 时,对任意 x∈[1,9]恒有 f(x-4)≤x ∴m 的最大值为 9. 2 3.已知f(x)=ax +2bx+4c(a、b、c∈R) (1)当a≠0 时,若函数f(x)的图像与直线y=±x均无公共点,求证:4ac-b 2 > . (2)若 a+c=0,f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- 求证:
3 4
2 3

1 4

1 2

b ≤2. a

(3)当 b=4,c= 时,对于给定负数 a,有一个最大正数 M(a)使得 x∈[0,M(a)]时都有|f(x)|≤5,问 a 为何值时,M(a)最大,并求出这个最大值 M(a)证明你的结论. (4)若 f(x)同时满足下列条件①a>0;②当|x|≤2 时,有|f(x)|≤2;③当|x|≤1 时,f(x)最大值为 2, 求 f(x)的解析式. [解题思路] (1)利用△<0 证明;(2)用反证法证明;(3)借助二次函数图像进行分类讨论.(4)利用不 等式性质推出-2≤f(0)≤-2 得 f(0)=-2,再借助最值可求得 a,b,c 值. 2 2 [解答] (1)∵f(x)的图像与y=x是公共点 △=(2b-1) -16ac=4b -16bc+1-4b<0 同理由f(x)的图像与y=-x公共点得 4b -16ac+1+4b<0 二式相加得 4ac-a > (2)若 a=0,则 c=0,∴f(x)=2bx [f(x)] max =4|b|= [f(x)] min -4|b|= ∴a≠0,则若|
2 3 2 3
2 2

1 4

b |>2 a

∴区间[-2,2]在对称轴 x=-

b 的左侧式右侧 a

∴f(x)在[-2,2]上是单调函数 [f(x)] max =4|b|=
2 3 1 2

[f(x)] min =-4|b|= ∴
b ≤2 a

也是不可能的

(3)f(x)=a(x+

4 2 16 ) +3a a 16 a

∵a<0∴[f(x)] max =3∴当 3-

16 4 >5,即-8<a<0 此时 0<M(a)<a a
2

∴M(a)是方程ax +8x+3=5 较小根 M(a)= ∴3? 8 ? 64 ? 8a 2 2 1 ? ? ? 2a 16 ? 2a ? 4 4 2

16 4 ≤5 即 a≤-8,此时 M(a)>5 a

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高考数学_典型易错题会诊

∴M(a)是方程ax +8x+3=-5 的较大根 M(a)=
? ? 8 ? 64 ? 8a ? 2a 4 4 ? 2a ? 2 ? 4 2a ? 2 ? 5 ?1 2

2

5 ?1 1 5 ?1 ? 因此当且仅当 a=-8 时,M(a)取最大值 2 2 2

(4)f(x)=2ax+2b ∵a>0 ∴[f′(x)] max =2a+2b=2 ∴a+b=1 -2≤f(0)=4c=4a+4b+4c-4(a+b)=f(2)-4≤2-4=-2 ∴4c=-2.∴c=又|f(x)|≤2 ∴f(x)=-2=f(0) ∴f(x)在 x=0 处取到最小值且 0∈[-2,2] ∴2b ? 0 ∴b=0 2a 1 2

从而a=1∴f(x)=x -2. 含参数的对数函数与不等式的综合问题
x ? t ?1 ,2y)在函数y=g(x)的 2

2

预测角度

3

1.已知函数f(x)=log 2 (x+1),当点(x,y)在y=f(x)图像上运动时,点P(

图像上运动. (1)求 y=g(x)的解析式; (2)当 t=4,且 x∈[0,1]时,求 g(x)-f(x)的最小值; (3)若在 x∈[0,1]时恒有 g(x)>f(x)成立,求 t 的取值范围. [解题思路] (1)用相关点法; (2)设 F(x)=g(x)-f(x)用基本不等式可求得 F(x)的最小值. (3)先由 g(x) >f(x)转化为一元二次不等式在 x∈[0,1]上恒成立,然后利用二次函数图像和性质可求得参数 t 的取值 范围. [解答] (1)令x′=
? x ? 2 x? ? t ? 1 y? x ? t ?1 ,y′=2y,点(x,y)在y=g(x);图像上,则 ? ,? =log 2 (2x′+t). y? ? 2 2 ?y ? 2 ?

即y′=2log 2 (2x′+t) ∴g(x)=2log 2 (2x+t). (2)当t=4 时,g(x)=2log 2 (2x+4). ∴F(x)=g(x)-f(x)=2log 2 (2x+4)log 2 (x+1)=log 2 当且仅当 4(x+1)=
4 ( 2 x ? 4) 2 =log 2 [4(x+1)+ +8]≥4. x ?1 x ?1

4 时,即x=0 时,[f(x)] min =4. x ?1
2 2

(3)由g(x)>f(x),即 2log 2 (2x+t)>log 2 (x+1),在x∈[0,1]时恒成立,即 ? (x)=4x +4(t-1)x+t -1>0 在[0,1]上恒成立.即 ? ?
4t ? 1 ? 4t ? 1 ? ? 4t ? 1 ?1 ? 0 ?0 ? ? ? 17 17 ?? 或? 即 1<t≤ 或t> 8 8 8 或? 8 8 ?? (1) ? 1 ?? ? 0 ?? (0) ? 0 ? ? ?

综合,得 t>1. 即满足条件 t 的取值范围是(1,+∞) x -1 -1 2.设函数f(x)=a +3a(a>0 且a≠1)的反函数为y=f (x),已知函数y=g(x)的图像与函数y=f (x)的图像 关于点(a,0)对称. (1)求函数 y=g(x)的解析式; -1 (2)是否存在实数a,使当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f (x)-g(-x)|≤1 成立?若存在,求出a的取值范围; 若不存在,说明理由. -1 [解题思路] (1)先求反函数f (x)再用相关点法可求得y=g(x)的解析式;(2)可将原不等式转化为一 元二次不等式在[a+2,a+3]上恒成立,利用二次函数图像和性质可判断是否存在实数a.
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[解答] 由f(x)=a +3a易得f (x)=log a (x-3a) 由题设的点对称可得 -1 g(a+x)+f (a-x)=0 则g(x)=-log a (-x-a)(x<-a) (2)假设存在适合题意的实数 a -1 2 2 则|f (x)-g(-x)|=log a (x-3a)+log a (x-a)|=|log a (x -4ax+3a )|≤1. 2 2 即-1≤log a (x -4ax+3a )≤1 (x>3a) 又∵x∈(a+2,a+3),∴应有 a+2>3a, ∴0<a<1,从而 a+2>2a. 2 2 2 2 ∴函数h(x)=x -4ax+3a 在[a+2,a+3]上为增函数,函数H(x)=log a (x -4ax+3a )在[a+2,a+3]上为减 函数,从而:[H(x)] max =H(a+2)=log a (4-4a) [H(x)] min =H(a+3)=log a (9-6a) 于是目标不等式等价于
?0 ? a ? 1, ? ?log a (9 ? 6a ) ?log (4 ? 4a ) ? 1, ? a

x

-1

① ② ③

解得 0<a≤

9 ? 57 12 9 ? 57 -1 )可使当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f (x)-g(-x)|≤1 成立. 12

综上可知,存在实数a∈(0, 考点高分解题综合训练 1

若不等式 3x 2 -log a x<0 的解集为{x|0<x< =的非空子集,则实数a的取值范围是
1 ,1] 27 1 ) 27

1 3

(

)

A.[

B.(

1 ,1) 27 1 ) 27 1 1 3 3 1 1 ,故 ? a ? 1. 27 27

C.(0,

D.(0,
2

答案: A解析:作出y=3x ,y=log a x的图象知 0<a<1.当y=log a x过点 ( , )时, a ? 2 已知 f(x)=
e x ? e? x ,则下列正确的是 2

(

)

A.奇函数,在 R 上为增函数 B.偶函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

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高考数学_典型易错题会诊

答案: A 解析:∵函数 f(x)=
2 2

e x ? e? x e? x ? e x 是增函数, 且f (? x) ? ? ? f ( x). ? f ( x)是奇函数. 2 2

3 若不等式x +2x+a≥-y -2y对任意实数x、y都成立,则实数a的取值范围是 A.a≥0 B.a≥1 C.a≥2 D.a≥3

(

)

答案: C解析:原不等式即为a≥2-[x+1]2+(y+1)2]恒成立,只需a大于或等于 2-[(x+1)2+(y+1)2]的 最大值为 2,即a≥2. 4 若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则a等于
2 4

(

)

A.

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

答案: A解析:f(x)=log a x(0<a<1)在[a,2a]上是减函数, ∴f(x)max=log a a=1,f(x)min=log a 2a=1+log a 2. ∴3(1+log a 2)=1. ∴a= 5 若函数 f(x)的图像可由函数 y=lg(x+1)的图像绕坐标原点 O 逆时针旋转
-x

2 . 4

?
2

得到, 则 f(x)等于(

)

A.10 -1 -x C.1-10

B.10 -1 x D.1-10
1x ) -1. 10

x

答案: A 解析:用图象易知 f(x)= ( 6 A.

若函数f(x)=log a (x+1)(a>0 且a≠1)的定义域和值域都是[0,1].则a等于
1 3

(

)

B. 2

C.

2 2

D.2

答案: D解析:(1)若a>1 时值域为[0,log a 2], ∴log a 2=1?a=2. 当 0<a<1 时,值域为[log a 2,0], ∴不合题意舍去,综合得a=2 7 函数 f(x)=
1 1 ? ex

的定义域是_________.
x x x

答案:(-∞,0)解析:依题意有 1-e >0,e <1?e <0. ∴定义域为(-∞,0). 8 把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题. 若函数f(x)=3+log 2 x的图像与g(x)的图像关于__________对称,则函数g(x)=__________. (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形). x x-3 答案:解析:如①x轴,-3-log 2 ;②y轴,3+log 2 (-x)③原点,-3-log 2 (-x).④y=x,2 9 若函数f(x)=log a (x -ax+3)在区间(-∞,
a 2 a2 ],由 3 4
?
2

a )上是减函数,求a的取值范围. 2

答案: 解析: f(x)=log a [x- ) 2 ? 3 ? 且底数a>1,∴a∈(1,2 3 ).

a2 a 2 ? 0, 得 ? 2 3 ? a ? 2 3 , 且(??, ) 上log a (x -ax+3)是减函数, 4 2

10 设函数f(x)=x +2bx+c(c<b<1),f(1)=0.且方程f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0.
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2

高考数学_典型易错题会诊

答案:解(1)f(1)=0?1+2b+c=0?b=
2

1 ?1 ? c c ?1 ,又 c<b<1,故 c<? 1 ? ?3 ? c ? ? , ① 2 3 2
2 2

方程f(x)+1=0 有实根,即x +2bx+c+1=0 有实根,故△=4b -4(c+1) ≥0,即(c+1) -4(c+1) ≥0,解得c≥3 或≤ -1② 又 c<b<1,综合①②-3<c≤-1, 又由 b= ?
c ?1 知 b≥0. 2

(2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以说明. 2 2 答案: f(x)=x +2bx+c=x -(c+1)x+c=(x-c)(x-1). f(m)=-1<0. ∴c<m<1.得 c-4<m-4<-3<c. ∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0. ∴f(m-4)的符号为正. 2 11 已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x +2ax+1(a为正常数)且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等. (1)求 a 的值; 答案:由题意 f(0)=g(0), ∴|a|=1,又 a>0, ∴a=1. (2)求函数 f(x)+g(x)的单调增区间. 答案: f(x)+g(x)=|x-1|+x +2x+1 当事人x≥1 时f(x)+g(x)=x +3x= ( x ? ) 当x<1 时,f(x)+g(x)=x +x+2= ( x ? ) 2 ? , 它在[? ,1)上单调递增. 综上单调递增区间为 [? ,??). 12 已知f(x)=ax +bx+c,其中a∈N,b,c∈Z. (1)若 b>2a,在[-1,1]上是否存在 x 使得|f(x|>b 成立. 答案: 由 b>2a,得 ?
b ? ?1 ,则 f(x)在[-1,1]上递增且 b>0,由|f(x)|>b,得 f(x)>b 或 f(x)<-b.假设 x 存在, 2a
2 2 2 2

3 2

2

?

9 4 它在[1,+ ∞]上单调递增.

1 2

7 4

1 2

1 2

则必有 f(1)>b 或 f(-1)<-b,即 a+b+c>b 或 a-b+c<-b,则 a+c<0 或 a+c>0, 即 a+c≠0. 故当 a+c=0 时,符合题设条件的 x 不存在; 当 a+c≠0 时,符合题设条件的 x 必存在 (2)当方程 f(x)-x=0 的根在(0,1)内时,试求 a 的最小值. 2 答案:设g(x)=f(x)-x=0 的两根为x 1 ,x 2 .则g(x)=a(x-x 1 )(x-x 2 ),由于g(0).g(1)=a x 1 x 2 (1-x 1 )(1-x 2 )≤ a
2

(

x1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x2 2 1 2 )( ) ? a . 2 2 16

其中,当x 1 =x 2 = 上述等号成立, 则, g (0).g (1) ?

1 2

1 2 a . 16

由于方程的根在(0,1)间,则 g(0)>0,g(1)>0.又已知 a,b,c 为整数,则 g(0)=c≥1.g(1)=a+b-1+c≥1. 则
1 2 a ? g (0) g (1) ? 1.即a 2 ? 16(a ? ? ), 则a ? 4, 经检验, a的最小值为4. 16

13 校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤烧开水 每吨开水费用 S 元,用电 炉烧开水每吨开水费用为 P 元,S=5m+0.8n+5,P=10.8n+20 66 ? n .其中 m 为每吨煤的价格,n 为每百度 电的价格;如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用,则用煤烧水;否则就用电炉烧水. (1)如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数; 答案:解(1)由题意知:S=P,可得 m=2n+4 66 ? n ? 1(0 ? n ? 66) (2)已知现在每百度电价不低于 50 元,那么当每吨煤的最高价不超过多少元时可以选择用煤?
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高考数学_典型易错题会诊

答案:当 S≤P,可得 m≤2n+4 66 ? n ? 1 ? ?2( 66 ? n ? 1)2 ? 133 ∵n≥50
? 66 ? n ? [0,4] ? 66 ? n ? 1时取最大值

2n+4 66 ? n ? 1 的取值区间为[115,133] ∴m 的最大值为 133 即每吨煤的最高价不超过 133 元时,选择用煤. 14 设 f(x)=
21 1? x (-1<x<1). ? lg 11x ? 12 1? x

(1)求证:该函数在其定义域内是减函数. 答案:令 h(x)=
21 1? x , p( x) ? lg , 11x ? 12 1? x

易证 h(x)在(-1,1)上是减函数且 p(x)在(-1,1)上也是减函数,证明略. (2)设 h(x)=
21 解方程 f(x)-h(x)=-1. 11x ? 12
2 -1

如果函数g(x)=lg(ax +2f (0)x+1)的值域为全体实数,试求实数a的取值范围. 答案:由 f(x)-h(x)=-1,得 lg x=
9 21 1? x 1? x 9 21 要使 ? lg ? 0.由于f ( x)为减函数, 故只能找到一个b, 使得f (b) ? 0, 考虑 lg ? ?1时, 经验证恰好x ? 时, ? 1, 11 11x ? 12 1? x 1? x 11 11x ? 12 1? x ? ?1, 解得 1? x

而 lg

1? x 9 ? ?1.故f ?1 (0) ? . 1? x 11
2 -1

要 使 g(x)=lg(ax +2f )(0)x+1) 的 值 域 为 全 体 实 数 , 有 (i)a=0 时 显 然 成 立 ,(ii)a ≠ 0, 则
?a ? 0 9 81 即4[ f ?1(0)]2 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? ( ) 2 .数a的取值范围是(0, ]. ? ? ? 0 , 且 11 121 ?

考点-4 数 列 数列的概念 等差数列 等比数列 差与等比数列的综合 数列与解析几何、函数、不等式的综合 数列的应用 数列的概念 等差数列与等比数列 数列的通项与前 n 项和 递推数列与不等式的证明 有关数列的综合性问题 数列的实际应用 数列与图形 典型易错题会诊 命题角度 1 数列的概念 1.(典型例 题)已知数 列{a n }满 足a 1 =1,a n =a 1 +2a 2 +3a 3 +…+(n-1)a n-1 ,(n≥2),则{a n }的通 项 a n =_________. [ 考 场 错 解 ] ∵ a n =a 1 +2a 2 +3a 3 + … +(n-1)a n-1 , ∴ a n-1 =a 1 +2a 2 +3a 3 + … +(n-2)a n-2 , 两 式 相 减 得 a n -a n-1 =(n-1)a n-1 ,∴a n =na n-1 .由此类推: a n-1 =(n-1)a n-2 ,…a 2 =2a 1 ,由叠乘法可得a n = [专家把脉] 矛盾. [对症下药]
n! 2 1 2

在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围.当n=1 时,a 1 = 与已知a 1 =1,

∵n≥2 时,a n =a 1 +2a 2 +3a 3 +…+(n-1)a n-1 ① 当n≥3 时,a n-1 =a 1 +2a 2 +3a 3 +…+(n-2)·a n-2
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①-②得 a n -a n-1 =(n-1)· a n-1 ∴当n≥3 时,
n! a 2 ,∵a 2 =a 1 =1 2

a a an a a =n, ∵a n = n · n ?1 · . . . · 4 ? 3 ? a2 =n·…·4· 3 a3 a2 an ?1 an ?1 an ? 2

×a 2 =

?1 ? n! n! ∴当n≥2 时,a n = . 当n=1 时,a 1 =1 故a n = ? ? 2 ?2 ? ?

(n ? 1) (n ? 2).

2.(典型例题)设数列{a n }的前n项和为S n ,S n = ________. [考场错解]∵S n = ∴a 1 =2. [专家把脉]

a1 (3n ? 1) (对于所有n≥1),且a 4 =54,则a 1 的数值是 2

a1 (3n ? 1) a1 (1 ? 3n ) 4-1 = ,∴此数列是等比数列,首项是a 1 ,公比是 3,由a 4 =a 1 ·3 , 2 1? 3

此题不知数列{a n }的类型,并不能套用等比数列的公式.而答案一致是巧合.
a1 4 a 3 (3 -1)- 1 (3 -1)=54,解得a 1 =2. 2 2
n-1

[对症下药]∵a 4 =S 4 -S 3 =

3.(典型例题)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n =3 +a n-1 (n≥2). (1)求a 2 ,a 3 ; (2)求通项a n 的表达式. 2 n-1 n-1 (2)由已知a n =3 +a n-1 ,即a n -a n-1 =3 [考场错解] (1)∵a 1 =1,∴a 2 =3+1=4,a 3 =3 +4=13. n-1 n-1 即a n 成等差数列,公差d=3 .故a n =1+(n-1)·3 . n-1 n-1 [专家把脉] (2)问中a n -a n-1 =3 ,3 不是常数,它是一个变量,故不符合等差数列的定义. 2 [对症下药] (1)∵a 1 =1,∴a 2 =4,a 3 =3 +4=13. (2)由已知a n -a n-1 =3 ,故a n =(a n -a n-1 )+(a n-1 -a n-2 )+…+(a 2 -a 1 )+a 1 =3 +3 +…+3+1=
n-1 n-1 n-2

3n ? 1 . 2

4.(典型例题Ⅲ)等差数列{a n }中,a 1 +a 2 +a 3 =-24,a 18 +a 19 +a 20 =78,则此数列前 20 项和等于 ) A.160 B.180 C. 200 D.220 [考场错解] 由通项公式a n =a 1 +(n+1)d.将a 2 ,a 3 ,a 18 ,a 19 ,a 20 都表示成a 1 和d.求a 1 、d,再利用等差数 列求和,选C. [专家把脉] 此方法同样可求得解.但解法大繁,花费时间多,计算量大故而出错,应运用数列的性 质求解就简易得多. [对症下药] B 由公式m+n=2P ? a m +a n =2ap?(只适用等差数列)即可求解.由a 1 +a 2 +a 3 =-24,可得: 3a 2 =-24 由a 18 +a 19 +a 20 =78,可得:3a 19 =78 即 a 2 =-8,a 19 =26 又∵S 20 =
20(a1 ? a20 ) =10(a 2 +a 19 )=180 2

(

2.(典型例题)若{a n }是等差数列,首项a 1 >0,a 2003 +a 2004 >0,a 2003 ·a 2004 <0,则使前n项和S n >0 成立 的最大自然数n是 ( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 [考场错解] na 1 + ∵a 2004 +a 2003 >0 , 即 2a 1 +2002d+2003d>0,(a 1 +2002d)(a 1 +2003d)<0,要使S n >0.即使

n(n ? 1) d>0.这样很难求出a 1 ,d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a 2003 >0,a 2004 <0,所以前 2003 项 2

为正,从第 2004 项起为负,由等差数列的n项和的对称性使S n >0.故而取n=4005 使S n >0. [专家把脉] 此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意.a 2003 >0,a 2004 <0. 且忽视了这两项的 大小.
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[对症下药] B ∵a 1 >0,a 2003 +a 2004 >0,a 2003 ·a 2004 <0,且{a n }为等差数列 ∴{a n }表示首项为正数, 公差为负数的单调递减等差数列,且a 2003 是绝对值最小的正数,a 2004 是绝对值最大的负数(第一个负数),且 |a 2003 |>|a 2004 |∴在等差数列{a n }中,a 2003 +a 2004 =a 1 +a 4006 >0,S 4006 = 大自然数n是 4006. 3.(典型例题)设无穷等差数列{a n }的前n项和为S n . (Ⅰ)若首项a 1 = ,公差d=1,求满足S k2 =(S k ) 的正整数k; ;使得对于一切正整数中k都有S k2 =(S k ) 成立. (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n } [考场错解] 0.故k=4. ( Ⅱ ) 由 对 一 切 正 整 数 k 都 有 S k2 =(S k )2 成 立 . 即 k a1+
2 2

4006(a1 ? a4006 ) >0 2

∴使S n >0 成立的最

3 2

2

(1)当a 1 = ,d=1 时,S n = n +n,由S k2 =(S k ) 得 k +k = ? k 2 ? k ? ,即k=0 或k=4. ∴k≠
?

3 2

1 2

2

2

1 2

4

2

?1 ?2

?

2

k 2 (k 2 ? 1) k (k ? 1) 2 d=(ka 1 + d ) 即 2 2
2 ?a1 ? a1 ? 0, ? ? 故 ?a1d ? 0, 求得a 1 =0 或 1, ?d ? 0 ? ?

d 2 2 d2 2 2 2 (a 1 - a1 )k -adk 2 (k-1)+ k (k -1)k (k-1) =0 对—切正整数k恒成立. 2 4
2

d=0

,或a n ={1,1,1,…} . ∴等差数列a n ={0,0,0,…} 故而考虑取 k 的特值也均成立. [专家把脉] (Ⅱ)中解法定对一切正整数 k 都成立. 而不是一切实数. [对症下药] ( Ⅰ ) 当 a1=
n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 3 2 ,d=1 时 , S n =na 1 + d ? n? ? n ? n. 由 Sk 2 =(S k ) , 得 2 2 2 2 2

1 1 4 2 1 2 2 3 ( k ? 1) k +k =( k +k) ,即k 4 =0.又k≠0,所以k=4. 2 2

(Ⅱ)设数列{a n }的公差为d,则在S k2 =(S k ) 中分别取k=1,2,得
2 ?a ? a1 , (1) 2 ? ?S1 ? ( S1 ) , ? 1 即? ? 4 ? 3 2 ?1 2 2 d ? (2a1 ? d ) .(2) 4a1 ? ? ?S4 ? ( S 2 ) . ? 2 2 ?

2

由(1)得a 1 =0 或a 1 =1. 当a 1 =0 时,代入(2)得d=0 或d=6.若a 1 =0,d=0,则a n =0,s n =0,从而S k2 =(S k ) 成 2 2 (S 3 ) =324,S 9 =216 知S 9 ≠(S 3 ) ,故所得数列不符合题意.当a 1 =1 立;若a 1 =0,d=6,则a n =6(n-1),由S 3 =18, 2 2 时,代入(2)得 4+6b=(2+d) 解得d=0 或d=2.若a 1 =1,d=0,则a n =1,S n =n,从而S k2 =(S k ) 成立;若a 1 =1,d=2,则 2 2 (2n-1) =n ,从而S k2 =(S k ) 成立.综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列:①{a n }: a n =0, a n =2n-1,S n =1+3+…+ 即 0,0,0,…;②{a n }:a n =1,即 1,1,1,…;③{a n }:a n =2n-1,即 1,3,5,…. 4.(典型例题)已知数列{a n }的各项都是正数,且满足:a 0 =1,a n+1 = a n ·(4-a n ),n ? N. (1)证明a n <a n+1 <2,n∈N. n (2)求数列{a n }的通项公式a . [考场错解] 确. 2 °
1 2 1 2

2

用数学归纳法证明: (1)1°当n=1 时,a 0 =1,a 1 = a 0 (4-a 0 )= ,∴a 0 <a 1 <2,命题正

1 2

3 2




1 2

n=k





a k-1
1 2



ak


1 2

2.



n=k+1





a k -a k+1 = a k-1 (4-a k-1 )- a k (4-a k )=2(a k-1 -a k )- (a k-1 -a k )(a k-1 +a k )= (a k-1 -a k )(4-a k-1 -a k ).而a k-1 -a k <0. 4-a k-1 -a k >0,∴a k -a k-1 <0.又a k-1 = a k (4-a k )= [4-(a k -2) ]<2.∴n=k+1 时命题正确.由 1°、2°知, 对一切n∈N时有a n <a n+1 <2.
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1 2 1 2
2

高考数学_典型易错题会诊

(2)a n+1 = a n (4-a n )= [-(a n -2) +4].∴2(a n+1 -2)=-(a n -2) ∴a n+1 -2= (a n -2) 令b n =a n -2,∴b n =-( )
+2n-1

1 2

1 2

2

2

1 2

2

1 2

1+2+…

· b12n 又∵b 1 =a 1 -2=- .∴b n =-( )

1 2

1 2

2n+2n-1

.即a n =2-( )

1 2

2n+2n-1

.

[专家把脉]

在(Ⅱ)问中求b n 的通项时,运用叠代法.最后到b 0 而不是b 1 .
1 2 3 2

[对症下药](Ⅰ)同上,方法二:用数学归纳法证明:1°当n=1 时,a 0 =1,a 1 = a 0 (4-a 0 )= ,∴0<a 0 <a 1 <2;2°假设n=k时有a k-1 <a k <2 成立,令f(x)=
1 2 1 2 1 x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 ×2(4-2),也即当x=k+1 时 2

有:f(a k-1 )<f(a k )<f(2),即 a k-1 (4-a k-1 )< a k (4-a k ) 立,所以对一切n∈N,有a k <a k+1 <2 (2)下面来求数列的 通项 :a n+1 = b n =-

a k <a k+1 <2 成

1 1 2 2 a n (4-a n )= [-(a n -2) +4],所以 2(a n+1 -2)=-(a n -2) 令b n =a n -2,则 2 2
2

1 2 1 1 2 1 1 2 b2 1 1 2 1+2+ … +2n-1 2n n n-1 bn ?1 =- (bn ? 2 ) =- ·( ) n ?1 … =- ( ) b , 又 b n =-1, 所 以 b =-( )2 , 即 2 2 2 2 2 2 2 1 2
2n-1

a n =2+b n =2-( )

专家会诊 ;等差数列前n项和符合二次函数特征.借 1.要善于运用等差数列的性质: “若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q ” 助二次函数性质进 行数形结合法解等差数列问题. 2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题. 考场思维训练 1 在等差数列{a n }中,若a 4 +a 6 +a 8 +a 10 +a 12 =120,则a 9 - a 11 的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 答案: C 分析:略。 2 等差数列{a n }中,若其前n项的和S n = B.S m+n < A.S m+n >4 C.S m+n =4 D.-4<S m+n <-2 答案: B 分析:略。
2 2 3 数列{a n }是公差d≠0 的等差数列,其前n项和为S n ,且a 10 =1, a9 ? a15 .

1 3

(

)

m n * ,前m项的和S m = (m≠n,m,n∈N ),则 n m

( )

(Ⅰ)求{a n }的通项公式; 答案:由已知a 1 +9d=1
2 2 2 2 ? a15 , 所以a9 ? a15 ? 0,即(a9 ? a15 )(a9 ? a15 ) ? 0, 因为 a 9



因为d≠0,所以a 9 +a 15 =0,即a 1 +11d=0 由①②解得 a1 ?
n 所以an ? 6 ? . 2 11 1 ,d ? ? . 2 2



(Ⅱ)求 S 的最大值;
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高考数学_典型易错题会诊

答案:解a n =6-

n ? 0, 得n≤12, 2

所以,数列{a n }前 11,12 和最大,
S11 ? S12 ? 12 ? 11 12 ? 11 1 ? ? (? ) ? 33 2 2 2

(Ⅲ)将S n 表示成关于a n 的函数. 答案:由 a n ? 6 ? 得n ? 12 ? 2a, 又, Sn ? 4 在数列{a n }中a 1 = ,a 2 =
1 3 n 2 ? n 2 ? 23n ? (12 ? 2an ) 2 ? 23(12 ? 2an ) 2 1 , 所以, S n ? ? ? an ? an ? 33 4 4 2

5 ,且log 2 (3a 2 -a 1 )…log(3a n+1 -a n ),是公差为-1 的等差数列,又 18 1 3

2a 2 -a 1 ,2a 3 -a 2 ,…,2a n+1 -a n ,…是等比数列,公比为q,|q|<1,这个等比数列的所有项之和等于 . (1)求数列{a n }的通项公式; 答案:设b n =log 2 (3a n+1 -an),因为{ b n }是等差数列,d=-1.b1

=log 2 (3a 2 -a 1 )=log 2 (3 ? 5 ? 1 ) ? log 2 1 ? ?1于是b11 ? ?1 ? (n ? 1)(?1) ? ?n.
18 3 3
-n

即log 2 (3a n+1 -a)=-n,所以 3a n+1 -a n =2


5 1 2 ? ? . 18 3 9

设c n =2a n+1 -a n ,{c n }是等比数列,公比为q,|q|<1,c 1 =2a 2 -a 1 =2 ? 由
a1 1 1 2 1 2 1 ? 解得q ? .于是cn ? .( ) n ?1 ? .( ) n ,即 9 3 3 3 1? q 3 3 2 1 n .( ) . 3 3 1 2 1 3

2an ?1 ? an ?



由①,②解得 an ? 2[( )n ? ( ) n ](n ? ??). (2)计算
lim (a 1 +a 2 +…+a n ). n??

答案: lim(a 1 +a 2 +…+a n )
1 1 1 1 ? ? 1 1 ? 2 lim ?( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n )? 2 3 2 3 ? ? 2 3 n?? 1 1 1 1? ? 1 1 ? 2 lim ?( ? 2 ? ? ? n ) ? ? 2 ? ? n ? 2 3 2 2 3 3 ? ? n?? 1 ? 2.(1 ? ) ? 1. 2

5 已知数列{a n }是公差d≠0 的等差数列,其前n项和为S n . (1)求证:点P 1 (1,
S1 S Sn ),P 2 (2, 2 ),…P n (n, )在同一条直线l 1 上; 1 2 n

1. 答案:因为等差数列{a n }的公差d≠0, 所以
S k ? ka1 ? k (k ? 1)d S k k ?1 , d. ? a1 ? 2 k 2

S k S1 k ?1 ? ( a1 ? d ) ? a1 1 k 1 2 当 k ? 2(k ? ??)时, ? ? d (d是常数),即kp1 pk 是常数( k ? 2,3?, n). k ?1 k ?1 2

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高考数学_典型易错题会诊

所以P 2 ,P 3 ,…,P n 都在过点P 1 (1,a)且斜率为常数

d 的直线l 1 上. 2 2 4

(2)过点Q 1 (1,a 1 ),Q 2 (2,a 2 )作直线l 1 、l 2 ,设l 1 与l 2 的夹角为θ,求证:tanθ≤ 答案:直线l 2 的方程为y-a 1 =d(x-),直线l 2 的斜率为d.
d? d 2 |d| 2 ? d2 1 ? 2 |d |?|d | 1
2

tanθ=

d 1? d ? 2

?

?

2 ?|d | |d |

?

2 . 4

当且仅当

2 ?| d |,即 | d |? 2时等号成立. |d |

命题角度

3

等比数列
n?2 S n (n=1,2,3…).证明: n

1.(典型例题Ⅲ)数列{a n }的前n项和记为S n ,已知a 1 =1,a a+1 = (Ⅰ)数列{
Sn }是等比数列; n

(Ⅱ)S n+1 =4a n . [考场错解] (Ⅰ)已知a 1 =1,a n+1 = 即
n?2 S n ,∴a 2 =3S 1 =3,∴S 2 =4 n

a 3 = ·S 2 =2×4=8.∴S 3 =1+3+8=12.

4 2

S1 S S Sn }是公比为 2 的等比数列. ? 1, 2 ? 2, 3 ? 4 .故{ 1 2 3 n S n ?1 S S =4· n ?1 , 于是S n+1 =4(n+1)· n ?1 , =4a n .又a 2 =3.S 2 =a 1 +a 2 =4,因此对于任意正整数n≥ n ?1 n ?1 n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1,都有S n+1 =4a n . [专家把脉] (Ⅰ)中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明. (Ⅱ)中运用前推一项必 须使 n≥2. [ 对 症 下 药 ] ( Ⅰ ) ∵ a n+1 =S n+1 -S n ,a n+1 =
n?2 S n , ∴ (n+2)S n =n(S n+1 -S n ), 整 理 得 nS n+1 =2(n+1)=S n , 所 以 n

Sn Sn S n ?1 =2 故{ }是以 2 为公比的等比数列. n ?1 n n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

S n ?1 S S =4· n ?1 , (n2).于是S n+1 =4(n+1)· n ?1 , =4a n (n≥2).又a 2 =3S 1 =3, n ?1 n ?1 n ?1

故S 1 =a 1 +a 2 =4.因此

对于任意整数n≥1,都有S n+1 =4a n . 2.(典型例题)已知数列{a n }的前n项和为S n ,S n = (a n -1)(n∈N ). (Ⅰ) 求a 1 ,a 2 ; (Ⅱ)求证数列{a n }是等比数列. [考场错解] (Ⅰ)S 1 = (a 1 -1),得a 1 =- ,S 2 = (a 2 -1),即a 1 +a 2 = (a 2 -1),得a 2 = . (Ⅱ)a n =S n -S n-1 = (a n -1)- (a n-1 -1),得 [专家把脉]
1 3 1 3

1 3

*

1 3

1 2

1 3

1 3

1 4

an 1 1 1 ? ? ,所以{a n }是首项为- ,公比为- 的等比数列. an ?1 2 2 2

在利用a n =S n -S n-1 公式时,应考虑n≥2 时才能成立.
1 (a 1 -1), 3

[对症下药 ] (Ⅰ)由S 1 =

得a 1 =

1 1 1 1 (a 1 -1),∴a 1 =- .又S 2 = (a 2 -1),即a 1 +a 2 = (a 2 -1),得 3 2 3 3

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高考数学_典型易错题会诊

a2= . (Ⅱ)当 n>1 时,a n =S n S n-1 = (a n -1)- (a n-1 -1),得
1 3 1 3

1 4

an 1 1 1 =- ,所以{a n }是首项为- ,公比为- 的等比 an ?1 2 2 2

数列. 3.(典型例题)等比数列的四个数之和为 16,中间两个数之和为 5,则该数列的公比 q 的取值为 ( A. B.
1 或4 4 1 5 41 ? 33 或 4 8 33 ? 5 41 8 5 41 ? 33 33 ? 5 41 或 8 8

)

C. 4 或1 4

D. 4 或 或

[考场错解]
1 4

?a 4 ? 16?(1), a a 1 1 3 ? 设这四个数为 3 , ,aq,aq .由题意得 ? a 由①得a= ? ,代入②得q= ? 或 2 2 q q ? ? aq ? 5?(2), ?q
2

q = ? 2.q = 或q =4,故所求的 公比为 或 4.故应选 A. [专家把脉] 上述解答设等比数列的公比为q 是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而 题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象. [对症下药]设这四个数为a,aq,aq ,aq ,则 ? ?
2 3 2

2

2

1 4

?a ? qa ? aq 2 ? aq 3 ? 16, 1 5 41 ? 33 33 ? 5 41 解之得q ? 4或 或 或. 2 4 8 8 ? ?aq ? aq ? 5,

因此,应选D.
?1 ? 2 an 1 4.(典型例题)设数列{a n }的首项a 1 =a≠ ,且a n+1 = ? ? 4 ?a ? 1 ? n 4 ? n为偶数 1 , 记bn ? a2 n ?1 ? , n ? 1,2,3,? 4 n为奇数

(Ⅰ)求a 2 ,a 3 ; (Ⅱ)判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求
lim (b 1 +b 2 +b 3 +…+b n ). n??
1 4 1 4

[考场错解] (Ⅰ)a 2 =a 1 + =a+ ,a 3 = a 2 = a ;
a 1 2 n ?1? 1 bn ?1 4 ? a2 n ? 1 . ? (Ⅱ)b n+1 =a 2n+1 - . 1 a2 n ? 2 4 4 bn a2 n ?1 ? 4
lim n?? lim n??

1 2

1 2

1 8

(Ⅲ)求

(b 1 +b 2 +b 3 +…+b n )=

b1 (1 ?

1 1 ) a? 4n = b1 ? 4 ? 4 (a ? 1 ) ? 4 a ? 1 . 1 1 1 3 4 3 3 1? 1? 1? 4 4 4

[专家把脉]在求证b n 是等比数列是时,

a2 n a 1 式子中,an中n为偶数时, n ?1 ? a2 n ? 2 an 2
第 68 页 共 136 页

是连续两项,并不

高考数学_典型易错题会诊

能得出

an ? 2 1 ? . an 4
1 4 1 4 1 2 1 2

[对症下药] (Ⅰ)a 2 =a 1 + =a+ ,a 3 = a 2 = a+ ; (Ⅱ)
1 4

1 8


1 4

a 4 =a 3 +
1 4

1 4 1 2

=
1 4

1 2

a+
1 4

3 8
1 4

,
1 4





a5=

1 2

a4=
1 2

1 4

a+

3 16

,





b 1 =a 1 - =a- ,b 2 =a 3 - = (a- ),b 3 =a 5 - = (a- ),猜想:{b n }是公比为 的等比数列. 证明如下:因为b n+1 =a 2n+1 - = a 2n - = (a 2n-1 - )= b n ,(n∈N )所以{b n }是首项为a- ,公比为 的等 比数列.
lim lim (Ⅲ)求 (b 1 +b 2 +b 3 +…+b n )= n?? n?? 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2
*

1 4

1 2

b1 (1 ?

1 ) 2n ? b1 ? 2(a ? 1 ). 1 1 4 1? 1? 2 2

专家会诊 1.证明等比数列时应运用定义证
an ?1 a 为非 0 常数,而不能 n (此时 n≥2). an an ?1
2

2.等比数列中q可以取负值.不能设公比为q . 3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则a m ·a n =a p ·a k ”. 考场思维训练 1 试在无穷等比数列 , , 的数列),使它所有项的和为
1 2 1 4

1 ,…中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列 8
1 4

,则此子数列的通项公式为_______. 答案: a n = ( )n ; 分析:略。 2 已知等比数列{a n }的首项为 8,S n 是其前n项的和,某同学经计算得S 2 =20,S 3 =36,S 4 =65,后来该同学发 现了其中一个数算错了,则该数为( ) C.S 3 D.S 4 A.S 1 B. S 2 答案: C 分析:略。 3 已知数列{a n }的首项为a 1 ,公比为q(q≠-1),用 Sn? m 表示这个数列的第n项到第m 项共m-n+1 项的 和.(Ⅰ)计算 S1?3 , S4?6 , S7 ?9 ,并证明它们仍成等比数列; 答案: S 1→3 =a 1 (1+q+q ),S 4→6 =a 1 q 3 (1+q+q ), 6 S 7→9 =a 1 q (1+q+q ),因为
2 2 2

1 8

S7 ?9 S 4 ? 6 ? ? q3 , 所以S1?3S 4?6 S7 ?9成等比数列. S 4? 6 S1?3

(Ⅱ)受上面(Ⅰ)的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明. 答案:一般地

S n ? n ? m S p ? p ? m S r ? r ? m (2 P ? r ? n且mnpr均为整数)也成等比数列, S n ? n ? m ? a1 q n ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? q m ), S p ? p ? m ? a1q p ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m S r ? r ? m ? a1q r ?1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q m ), 5 6 S p? p ? m Sr ?r ? m ? ? q p ? n (2 p ? r ? n), 所以S n? n ? m S p ? p ? m S r ? r ? m成等比数列. S p? p ? m Sn ? n ? m
1 2
n+1 * *

4 已知数列{a n }中,a 1 = ,a n+1 = a n +( ) (n∈N ),数列{b n }对任何 n∈N 都有b n =a n+1 第 69 页 共 136 页

1 3

1 an. 2

高考数学_典型易错题会诊

(1)求证{b n }为等比数列;
1 1 1 1 n ?1 ? 1 1 1 1 1 答案: b n+1 =a n+2 ? an ?1 ? an ?1 ? ( )n ? 2 ? ? ? an ? ( ) ? ? (an ?1 ? an ) ? bn 2 3 2 2 ?3 2 ? 3 2 3

若b n =0,则a n+1 = an ? an ? an ? ( )n ?1
1 ? an ? 3 ? ( ) n 2 ? a1 ? b 3 1 , 不满足条件故 n ?1 ? ,即{bn }为等比数列 2 3 bn 1 2 1 3 1 2 1 2 1 9

1 2

1 2

1 3

1 2

b 1 =a 2 - a1 ? a1 ? ( ) 2 ? a1 ?
1 ? bn ? ( ) n ?1 3

(2)求{b n }的通项公式; (3)设数列{a n }的前n项和为S n ,求 答案: a n+1 ? 1 an ? bn ? ( 1 )n ?1
2 3 lim S n x??

.

又a n+1 = an ? ( ) n ?1
1 1 1 1 ? an ? ( ) n ?1 ? an ? ( ) n ?1 3 2 2 3 1 1 ? an ? 3.( ) n ? 2.( ) n 2 3

1 3

1 2

S N =3 ? ? ? ? ? ? ( )n ? ? ? ? ? ? ? ? ( )n ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 9 27 ?2 4 8
1? 1 ? 1? 1 ? 1 ? ( )n ? 1 ? ( )n ? ? ? 2 2 ? 3 3 ? = 3. ? ? 2. ? 1 1 1? 1? 2 3

?1

1

1

1

?

1 ?1

1

1

1 ?

= ( )n ? 3.( )n ? 2 ? lim S n =2 x→∞ 5 已知数列{a n }的首项为a 1 =2,前n项和为S n ,且对任意的正整数n,a n 都是 3S n -4 与 2- S n-1 的等差中项(n ≥2).(1)求证:数列{a n }是 等比数列,并求通项a n ; 答案:当n≥2 时,2a n =3S n -4+2 ? Sn ?1,即2( Sn ? Sn ?1) ? 3Sn ? 4 ? 2 ? Sn ?1得到Sn ? Sn ?1 ? 2, 又 a1 ? 2, 则有a2 ? 1, 而
1 2

1 3

1 2

5 2

5 2

5 2

1 2

1 1 an ?1 S n ?1 ? S n 1 a2 1 ? ? , ? , 所以数列?an ?是公比为 的等比数列, 得an ? n ? 2. 2 an S n ? S n ?1 2 a1 2 a

(2)证明 (log 2 S n +log 2 S n+2 )<log 2 S n+1 ; 答案:由 an ?
1 2
n?2

, 得S n ? 4 ?

1 2
n?2

,

第 70 页 共 136 页

高考数学_典型易错题会诊
Sn Sn ? 2 ? (4 ? ( S n ?1 ) 2 ? (4 ? 1 2
n?2

)(4 ?

1 2
n

) ? 16 ? 5( 1 2n ? 2

1 2
n?2

)?(

1 2
2 n ? 2.

)

1 2n ? 2

) 2 ? 16 ? 4(

)?

1 22 n ? 2.

? Sn Sn ? 2 ? ( S n ?1 ) 2

1 (log 2 S n ? log 2 S n ? 2 ) ? log 2 Sn ?1. ] 2

(3)若b n =

4 4 2 -1,c n =log 2 ( ) ,T n 、R n 分别为{b n }和{c n }的前n项和.问:是否存在正整数n,使得T n >R n ,若存 an an

在,请求出所有n的值,若不存在请说明理由. 答案: bn ? 2n ? 1, cn ? 2n,? Tn ? 2n ?1 ? n ? 2, Rn ? n 2 ? n, 当n=1、2、3 时,T n <R n .当n=4、5 时T N >R n .
D n ?1 n D 1 2 1 2 2 2 当n ? 6时,2n ?1 ? (1 ? 1) n ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? 1 ? (Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ) ? n ? 3n ? 4 ? n ? 2n ? 2.

即 2n ?1 ? n ? 2 ? n 2 ? n. Tn ? Rn . 命题角度 4

? n ? 4, n ? ?

等差与等比数列的综合
1 2
n-1

1.(典型例题)已知数列{a n }的前n项和S n =a[2-( ) ]-b[2-(n+1)( ) ](n=1,2,…),其中a,b是非零 常数,则存在数列{x n }、{y n }使得( ) A.a n =x n +y n ,其中{x n }为等差数列,{y n }为等比数列 B.a n =x n +y n ,其中{x n }和{y n }都为等差数列 C.a n =x n ·y n ,其中{x n }为等差数列,{y n }为等比数列 D.a n =x n ·y n ,其中{x n }和{y n }都为等比数列 [考场错解]∵a[2-( ) ]=x n , b[2-(n-1)( ) ]=y n ,又∵x n ,y n 成等比数列,故选D. [专家把脉]应从数列{a n }的前n项和S n 的表达式入手,而不能从形式上主观判断. [ 对 症 下 药 ] C. a n =S n -S n-1 =a[2+( ) ]-b[2-(n+1)·( ) ]-a[2+( ) ]+b[2-n( ) ]=(b n -b-a)·( )
1 2
n-1

1 2

n-1

1 2

n-1

1 2

n-1

a 1 =S 1 =3 a
1 2
n-1

1 2

n+1

1 2

n-2

1 2

n-2

∵{( ) }为

1 2

n-1

等比数列,{b n -a-b}为等差数列. 2.(典型例题)已知数列{a n }是首项为a且公比q不等于 1 的等比数列,S n 是其前n项和,a 1 ,2a 7 ,3a 4 成等 差数列. (Ⅰ) 证明 12S 3 ,S 6 ,S 12 -S 6 成等比数列; (Ⅱ)求和T n =a 1 +2a 4 +3a 7 +…+na 3n-2 . [考场错解] (Ⅰ)由a 1 ,2a 7 ,3a 4 成等差数列.得 4a 7 =a 1 +3a 4 ,4aq =a+3aq .从而可求q =q =- 时,
3 6 3 3

1 3 ,或q =1.当 4

1 4

S6 S ?S S S ?S 1 1 1 6 3 6 = , 12 6 =q = .故 12S 3 ,S 6 ,S 12 -S 6 成等比数列.当q =1 时, 6 = , 12 6 =q =1. 12 S3 16 S6 16 12 S3 6 S6

故 12S 3 ,S 6 ,S 12 -S 6 不成等比数列. [专家把脉]本题条件中已规定 q≠1.故应将 q=1 时舍去. 6 3 3 3 [对症下药](Ⅰ)证明:由a 1 ,2a 7 ,3a 4 成等差数列.得 4a 7 =a 1 +3a 4 ,即 4aq =a+3aq .变形得(4q +1)(q -1)=0, 所以q =- 或q =1(舍去)由
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3

1 4

3

高考数学_典型易错题会诊
S6 S ? S6 S S ?S S 1 ? q3 1 1 6 6 = ? ? , 12 = 12 ? 1 ? ? 1 ? 1+q -1=q = , 得 6 = 12 6 . 所 以 3 S6 12 16 12 S3 S6 16 12 S3 S6 12a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q 6 ) 1? q 1? q
a1 (1 ? q 6 ) 1? q a1 (1 ? q12 ) 1? q

12S 3 ,S 6 ,S 12 -S 6 成等比数列. ( Ⅱ ) 解
1 4
1 4
2


1 4
n-1

:T n =a 1 +2a 4 +3a 7 +…+na3 a-2 =a+2aq +3aq +…+naq ①
1 4
3

3

6

3(n-2)

,



T n =a+2·(- )a+3·(- ) a+…+n·(- ) a.
1 4
3

①×(- ) a得:- T n =- a+2·(- ) a+3·(- ) a+…+n·(- ) a ① ②
n?

1 4

1 4

1 4

2

1 4

n

② 有 :

? ? 1? a ?1 ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 5 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n ? -n·(- 1 )na T n =a+(- )a+(- ) a+(- ) a+…(- ) a-n·(- ) a= ? ? 1? 4 4 4 4 4 4 4 1? ?? ? ? 4?

= a-( +n)·(- ) a.所以T n =

4 5

4 5

1 4

n

16 1 n ? 16 4 ? a?? ? n ? ·(- ) a. 25 25 5 4 ? ?

3.(典型例题)如图,△OBC的三个顶点坐标分别为(0,0) 、 (1,0) 、 (0,2) , 设P 1 为线段BC的中点,P 2 为线段CO的中点,P 3 为线段OP 1 的中点,对于每一个正整 数n,P n+3 为线段P n P n+1 的中点,令P n 的坐标为(x n ,y n ) (Ⅰ)求a 1 ,a 2 ,a 3 及a n ; (Ⅱ)证明y n+4 =1yn * ,n∈N , 4
*

,a n = y n +y n+1 +y n+2 .

1 2

(Ⅲ)若记b n =y 4n+4 -y 4n ,n∈N ,证明{b n }是等比数列. [考场错解](1)∵y 1 =y 2 =y 4 =1,y 3 = ,y 5 = ,可求得a 1 =a 2 =a 3 =2,由此类推可求得a n =2 (Ⅱ)将 y n +y n+1 +y n+2 =2 同除以 2,得y n+4 =
1 2 1 2

3 4

y4 yn ?1 ? yn ? 2 . , ∴y n+4 =14 2 bn
4

b (Ⅲ)b n+1 =y 4n+8 -y 4n+4 =- 1 (y 4n+4 -y 4n )=- 1 b n .∴ n ?1 =- 1 .故{b n }是等比数列.
4 4

[专家把脉]第(Ⅰ)问题运用不完全归纳法求出a n 的通项.理由不充分,第(Ⅲ)问中
bn ?1 b =- 1 .要考虑b 1 是否为 0.即 n ?1 有意义才更完整. bn bn 4

[对症下药] (Ⅰ)因为y 1 =y 2 =y 4 =1,y 3 = y n+3 =
yn ? yn ?1 . 2

3 1 ,y 5 = ,所以a 1 =a 2 =a 3 =2.又 由题意可 知 2 4

∴a n+1 = y n+1 +y n+2 +y n+3 = y n+1 +y n+2 +

1 2

1 2

yn ? yn ?1 1 * = y n +y n+1 +y n+2 =a n ,∴{a n }为常数列.∴a n =a 1 =2,n∈N . 2 2
4

y ?y y ?y y 1 (Ⅱ)将等式 y n +y n+1 +y n+2 =2 两边除以 2,得 1 y n + n ?1 n ? 2 =1,又∵y n+4 = n ?1 n ? 2 ,∴y n+4 =1- n .
2

2

2

4

(Ⅲ)∵b n+1 =y 4n+8 -y 4n+4 = ?1 ?
?

?

y4 n ? 4 ? ? y ? 1 1 b n ,又∵b 1 =y 8 -y 4 =- 1 ≠0,∴{b n }是公比 ? - ?1 ? 4 n ? =- (y 4n+4 -y 4n )=4 ? ? 4 ? 4 4 4

为- 1 的等比数列.
4

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高考数学_典型易错题会诊

4.(典型例题)在等差数列{a n }中,公差d≠0,a 2 是a 1 与a 4 的等比中项.已知数列a 1 ,a 3 , ak1 , ak 2 ,…,akn,… 成等比数列,求数列{k n }的通项k n .
2 =a 1 ·a 4 [考场错解]∵a n =a 1 +(n-1)d, a2

∴(a 1 +d) =a 1 (a 1 +3 d ).∴d=a 1 ,∴a n =nd.a 1 =d.a 3 =3d.∴ ∴
ak n ?1 ak n ?

2

a3 =3=q.∴ ak n ? kn d . ak n ?1 ? kn ?1d . d1

kn ?1 n-1 n-1 =q=3.∴{k n }是公比为 3 的等比数列.∴k n =1·3 =3 . kn

[专家把脉]错因在把k 1 当作数列{a n }的首项.k 1 =1.而实际上k 1 =9.
2 [对症下药] 依题设得a n =a 1 +(n-1)d, a2 =a 1 a 4 ,∴(a 1 +d) =a 1 (a 1 +3d),整理得d =a 1 d, ∵d≠0,∴d=a 1 ,得
2 2

a n =nd,所以,由已知得d,3d,k 1 d,k 2 d,…k n d n …是等比数列.由d≠0,所以数列 1,3,k 1 ,k 2 ,…k n ,… 数 列 , 首 项 为 1, 公 比 为 q=
n-1 n+1

也是等比

3 =3, 由 此 得 k 1 =9. 等 比 数 列 {k n } 的 首 项 k 1 =9, 公 比 q=3, 所 以 1
n+1

k n =9×q =3 (n=1,2,3,…),即得到数列{k n }的通项k n =3 . 专家会诊 1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律. 2.等比数列中应注意考虑公比等于 1 的特殊情况,等比数列中的公差为 0 的特殊情况在解题时往往被 忽视. 3 在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处. 考场思维训练 1 已知数列{a n }满足 3a n+1 +a n =4(n≥1),且a 1 =9,其前n项之和为S n ,则满足不等式|S n -n-6|< 整数n是 ( ) A.5 B.6 答案: C 设
1 的最小 125

C.7

D.8

1 1 ? 1 ? 3(an ?1 ? ? ) ? ?(an ? ? ), 则? ? ?1,? 3(an ?1 ? 1) ? ?(an ? 1)1),? ?an ? 1?是以8为首项,? 为公比的等比数列,? an ? 8(? ) n ?1 ? 1, S n ? 6 ?1 ? ( ? ) n ? ? 3 3 3 ? ?

可化为3n ? 750, 最小整数n是7.

2 已知等差数列{a n }的首项为a,公差为b;等比数列{b n }的首项为b,公比为a,其中a,b∈N ,且a 1 <b 1 <a 2 < b 2 <a 3 . (Ⅰ)求 a 的值;
? a ? a ? b ? ab ? a ? 2b, a, b ? ? ? ,
? a? ? ? ?? ?a ? ? ?
+

+

答案: ?a ? b ? ab,

?? ?ab ? a ? 2b.

b , b ?1 2b b ?1

1 ? , a ? 1? ? ?a ? 1 ? b ?1 ?? ? a ? 2或a ? 3(a ? 3时不合题意舍去).故a ? 2. ?? 2 a ? 4. ? ?a ? 2 ? . ? b ?1 ?
+

(Ⅱ)若对于任意n∈N ,总存在m∈N ,使a m +3=b n ,求b的值; 答案: am ? 2 ? (m ? 1)b, bn ? b ? 2n ?1,由am ? 3 ? bn , 可得5 ? (m ? 1)b ? b. 2n ?1, 即b(2 -m+1)=5,∴b=5. + (Ⅲ)在(Ⅱ)中,记{c n }是所有{a n }中满足a m +3=b,m∈N 的项从小到大依次组成的数列,又记S n 为{c n }的 + 前n项和,S n ≥T n (n∈N ). . n-1 答案:由(2)知a n =5n-3,b n =5 2 ,
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n-1

高考数学_典型易错题会诊
? am ? bn ? 3 ? 5 ? 2n ?1 ? 3, ? Cn ? 5.2n ?1 ? 3, ? S n ? 5(2n ? 1) ? 3n, Tn ? 1 n(5n ? 1). 2 ? S1 ? T1 ? 2, S 2 ? T2 ? 9. 当n ? 3时, S n ? Tn ? 5[2n ?

1 2 1 n ? n ? 1] 2 2 1 1 ? 5[(1 ? 1) n ? n 2 ? n ? 1] 2 2 1 1 1 2 3 ? 5[1 ? Cn ? Cn ? Cn ? ?) ? n 2 ? n ? 1] 2 2 n(n ? 1) 1 2 1 ? 5[1 ? n ? ? n ? n ? 1] ? 0. 2 2 2 ? S n ? Tn .综合以上, 便得S n ? Tn (n ? ? ? ).

3 设函数f(x)=ax +bx+c的图像是以(2,0)为顶点且过点(1,1)的抛物线;数列{a n }是以d为公差的 等差数列,且a 1 =f(d-1), a 3 =f(d+1);数列{b n }是以q(q>0)为公比的等比数列, 且b 1 =f( 式; 2 答案:解设f(x)=a(x-2)
1 1 -1),b 3 =f( +1). 求数列{a n }{b n }的通项公 q q

2

∵过点(1,1),∴f(x)=(x-2)

2

a1 ? f (d ? 1) ? (d ? 3) 2 , a3 ? f ( d ? 1) ? (d ? 1) 2 a3 ? a1 ? 2d , (d ? 1) 2 ? (d ? 3) 2 ? 2d得d ? 4 又a1 ? (d ? 3)3 ? 1 ? an ? 4 n ? 3 1 1 1 b1 ? f ( ? 1) ? ( ? 3) 2 , b3 ? f ( ? 1) q q q 1 ?1 1 b3 3 q ? ( ? 1) 2 : ? q2 ( ) 2 ? q 2 q ? 0, 得q ? , 1 q b1 3 ?3 q 1 3 又b1 ? ( ? 3) 2 ? (3 ? 3 ) 2 ? bn ? (3 ? 3 ) 2 ( ) n ?1 q 3

4 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 和 数 列 {a n } 满 足 下 列 条 件 ,a 1 =a,a n =f(a n-1 )(n=2,3,4,…),a 2 ≠ a 1 ,f(a n )-f(a n-1 )=k(a n -a n-1 )(n=2,3,4,…)其中a为常数,k为非零常数. + (1)令b n =a a+1 -a n (n∈N ),证明:数列{b n }是等比数列; 答案:证明:由 b1 ? a2 ? a1 ? 0, 可得b2 ? a3 ? a2 ? f (a2 ) ? f (a1 ) ? k (a2 ? a1 ) ? 0.
由数学归纳法可证bn ? an ?1 ? an ? 0(n ? ??) 由题设条件,当n ? 2时 bn an ?1 f (an ) ? f (an ?1 ) k (an ? an ?1 ) ? ? ? ?k bn ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 因此, 数列{bn }是一个公比为k的等比数列

(2)求数列{a n }的通项公式; n-1 n-1 答案:解;由(1)知,b n =k b 1 =k (a 2 -a 1 )(n∈N) 当k≠1 时,b 1 +b 2 +?+b n-1 =(a 2 -a 1 )
1 ? k n ?1 (n ? 2) 1? k

当k=1 时,b 1 +b 2 +?+b n+1 =(n-1)(a 2 -a 1 )(n≥2). 而b 1 +b 2 +?+b n-1 =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a 3 -a 2 )+ ?+(a n -a n-1 )=a n -a 1 所以,当k≠1 时a n -a 1 =(a 2 -a 1 )
1 ? k n ?1 (n ? 2) . 1? k

(n≥2)

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高考数学_典型易错题会诊

上式对n=1 也成立.所以,数列{a n }的通项公式为
a n ? a ? ( f (a) ? a) 1 ? k n ?1 (n ? ??)当k ? 1时an ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) (n ? 2). 1? k

上式对n=1 也成立,所以,数列{a n }的通项公式为a n =a+(n+1)(f(a)-a) (n∈N?) (3)当|k|<1 时,求
lim an . n??

答案:解:当|k|<1 时 lima n =lim ?a ? ( f (a) ? a)
? ?

?

1 ? k n ?1 ? f (a) ? a ? ? a? 1? k ? 1? k ?

n→∞n→∞ * 5 设实数a≠0,数列{a n }是首项为a,公比为-a的等比数列,记b n =a n lg|a n |(n∈N ),S n =b 1 +b 2 +…+b n ,求 证:当a≠-1 时,对任意自然数n都有S n = 答案:解: an ? a1q n ?1 ? a(?a)n ?1 ? (?1)n ?1 a n .
? bn ? an lg | an |? (?1) n ?1 a n lg | (?1) n ?1 a n |? (?1) n ?1 na 2 lg | a | ? S n ? a lg | a | ?2a 2 lg | a | ?3a 2 lg | a | ? ? ? (?1) n ? 2 ( n ? 1)a n ?1 lg | a | ? (?1) n ?1 na n lg | a | ? [a ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? ( ?1) n ? 2 (n ? 1)a n ?1 ? ( ?1) n ?1 na n ] lg | a |

a lg | a | (1 ? a)
2

[1+(-1) (1+n+na)a ]

n+1

n

记S ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (?1) n ? 2 (n ? 1)a n ?1 ? (?1) n ?1 na n



aS=a a 2 ? 2a 2 ? ? ? (?1)n ?3 (n ? 2)a n ?1 ? (?1) n ? 2 (n ? 1)a n ? (?1)n ?1 na n ?1 ② ①+②得 (1 ? a) S ? a ? a 2 ? a3 ? ? ? (?1) n ? 2 a n ?1 ? (?1)n ? 2 a n ? (?1)n ?1 na n ?1 ∵a≠-1, ∴(1+a)S=
?S ? a ? (?1) n ?1 a n ?1 ? (?1) n ?1 n.a n ?1 1 ? (1 ? a )
.



a ? ( ?1) n ?1 a n ?1 ? (1 ? a ) ? (?1) n ?1 n.a n ?1 (1 ? a ) 2 (?1) n ?1 a n ?1 (1 ? a) 2

? S ? a ? (1 ? n ? na ) ? ?

a[1 ? (1 ? n ? na )(?1) n ?1 a n ]

(1 ? a) 2 a lg | a | ? Sn ? [1 ? ( ?1) n ?1 (1 ? n ? na )a n ] (1 ? a ) 2

命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 1. (典型例题) 已知定义在R上的函数f(x)和数列{a n }满足下列条件: a 1 =a,a n =f(a a-1 )(n=2,3,4,…),a2 ≠a1,f(a n )-f(a n-1 )=k(a n -a n-1 )(n=2,3,4,…),其中a为常数,k为非零常数. * (Ⅰ)令b n =a a+1 -a n (n∈N ),证明数列{b n }是等比数列; (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅲ)当|k|<1 时,求
lim an . n??

[考场错解](Ⅰ)证明:由b 1 =a 2 -a 1 ≠0,可得:b 2 =a 3 -a 2 =f(a 2 )-f(a 1 )=k(a 2 -a 1 )≠0.由数学归纳法可证
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高考数学_典型易错题会诊

b n =a n+1 -a n ≠0(n∈N ).由题设条件,当n≥2 时 故数列{b n }是公比为k的等比数列.

*

bn a ?a f (an ) ? f (an ?1 ) k ( an ? an ?1 ) ? n ?1 n ? ? =k bn ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 1 ? k n ?1 1? k

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 b n =k (a 2 -a 1 )(n ∈ N )b 1 +b 2 +…+b n-1 =(a 2 -a 1 ) b 1 +b 2 +…+b n-1 =a 2 -a 1 +a 3 -a 2 +…+a n -a n-1 =a n -a 1 (n≥2) ∴a n -a 1 =(a 2 -a 1 ) 故a n =a[f(a)-a] (Ⅲ)当|k|<1 时
lim an n??

n-1

*

.

(n ≥ 2)



1 ? k n ?1 (n≥2) 1? k 1 ? k n ?1 * * (n∈N )∴a n =a+(n-1)[f(a)-a](n∈N ) 1? k

=

lim

? 1 ? k n ?1 ? f (a) ? a ?a ? ( f [a] ? a) ? =a+ ? 1 k 1? k n?? ? ? ? ?

2.(典型例题)如图,直线l 1 :y=kx+1-k(k≠0,k≠ ? )与l 2 相交于点P.直线l 1 与x轴交于点P 1 ,过点P 1 作x轴的垂线交于直线l 2 于点Q 1 ,过点Q 1 作y轴的垂线交直线l 1 于点P 2 ,过点P 2 作x轴的垂线交直线l 2 于点Q 2 ,…这样一直作下去,可得到一系列点 P 1 ,Q 1 ,P 2 ,Q 2 ,…点P n (n=1,2,…)的横坐标构成数列{x n }. (Ⅰ)证明x n+1 -1=
1 * (x n -1),(n∈N ); 2k

1 2

(Ⅱ)求数列{x n }的通项公式; (Ⅲ)比较 2|PP n | 与 4k |PP 1 | +5 的大小. [ 考 场 错 解 ] 证 明 : 设 点 P n 的 坐 标 是 ( x n ,y n ) , 由 已 知 条 件 得 点 Q n 、 P n+1 的 坐 标 分 别 是 :
1 1 1 1? ? 1 1? ? ? x n , x n ? ?, ? a n ?1 , x n ? ? . 由 P n+1 在 直 线 l 1 上 , 得 x n ? = 2 2 2 2 2 2 ? ?? ?
2 2 2

kx n+1 +1-k. 所 以

1 ( x n -1 ) =k(x n+1 -1). 即 2

x n+1 -1=

1 * (x n -1),n∈N . 2k x n ?1 ? 1 1 1 1 1 n ? , 故{x n -1}是等比数列, 且首项x 1 -1=- , 公比为 .从而求得x n =1-2×( ) ,n xn ?1 2k k 2k 2k

(Ⅱ)由 (Ⅰ) 知 ∈N .
*

[专家把脉] (Ⅱ)问中对于x n+1 -1= [对症下药](Ⅰ)同错解中(Ⅰ). (Ⅱ)解法:由题设知x 1 =1-

1 (x n -1)先应考虑x n -1 能否为 0,继而可求. 2k

1 1 1 ,x 1 -1=- ≠0,又由(Ⅰ)知x n+1 -1= (x n -1), k k 2k



以数列{x n -1}是首项为x 1 -1,公比为

1 1 1 n-1 的等比数列.从而x n -1=- ×( ) ,即x n =1-2 2k k 2k

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高考数学_典型易错题会诊

×(

1 n * ) ,n∈N . 2k ? y ? kx ? 1 ? k , 2 2 2 1 1 得点P的坐标为(1,1).所以 2|PP n | =2(x n -1) +2(kx n +1-k-1) =8× ?y ? 2 x ? 2 , ?

(Ⅲ)解法:由 ? ?

(

1 2n 1 2n-2 1 2 2 2 2 2 2 ) +2(2 ) ,4k |PP 1 | +5=4k [(1- -1) (0-1) ]+5=4k +9. 2k 2k k 1 2 1 2 1 2 1 2 |<1,所以 2|PP n | < 2k

(i)当|k|> ,即k<- 或k> 时,4k 8×1+2=10,故 2|PP n | <4k |PP 1 | +5.
2 2 2

2

|PP 1 | +5>1+9=10.D而此时 0<|

2

(ii)当 0<|k|< ,即k∈(- ,0)∪(0, )时,4k |PP | +5<1+9=10.而此时| >8×1+2=10.故 2|PP n | >4k |PP 1 | +5. 3. (典型例题) 已知函数f(x)= S n =b 1 +b 2 +…+b n (n∈N ). (Ⅰ)用数学归纳法证明b n ≤
( 3 ? 1) n 2 n ?1
* 2 2 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2 |>1,所以 2|PP N | 2k

x?3 ( x ? ?1). 设数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 =f(a n ),数列{b n }满足b n =|a n - 3 |, x ?1



(Ⅱ)证明S n <

2 3 . 3
5 2 2 ,a n +1= (n≥2),∴a 2 =2,a 3 = ,a 4 =2.…∴a n ≥ a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 3 ( 3 ? 1) n 2 n ?1

[考场错解](Ⅰ)b n =|a n - 3 |,又∵a n =1+

1.b n =

2 a n ?1 ? 1

?2? 3 ?

2 2 a n?2 ? 1 ?3

? 2 ? 3 =…由叠代法.b n ≤

.

( 3 ? 1) 2 2 ( 3 ? 1) n (Ⅱ)S n =b 1 +b 2 +…+b n <( 3 -1)+ ??? ? ( 3 ? 1) ? 2 2 n ?1

1? (

3 ?1 n ) 2 3 2 < . 3 3 ?1 1? 2

[专家把脉]运用叠代法时并不能化简成

( 3 ? 1) n 2 n ?1

.

[对症下药](Ⅰ)证明:当x≥0 时,f(x)=1+ 明不等式b n ≤
( 3 ? 1) n 2 n ?1

2 * ≥1.因为a 1 =1,所以a n ≥1(n∈N ).下面用数学归纳法证 x ?1

.
( 3 ? 1) k 2 k ?1

(1)当 n=1 时,b 1 = 3 -1,不等式成立, (2)假设当n=k 时 ,不等式成立,即b k ≤
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.那么

高考数学_典型易错题会诊
( 3 ? 1) a k ? 3 1 ? ak
*

b k-1 =|a k+1 - 3 |=

?

( 3 ? 1) ? ?1 3 ?1 bk ? .所以,当n=k+1 时,不等式也成立.根据(1)和(2) , 2 2k

可知不等式对任意n∈N 都成立. ( Ⅱ ) 证 明 : 由 ( Ⅰ ) 知 , bn ≤
1? ( ( 3 ? 1) n 2 n ?1

. 所 以 S n =b 1 +b 2 + … +b n ≤

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n ( 3 -1)+ ??? ? ( 3 ? 1) ? 2 2 n ?1

3 ?1 ) 1 2 2 * 2 <( 3 -1) · 3 .故对任意n∈N ,S n < ? 3. 3 3 3 ?1 3 ?1 1? 1? 2 2

[专家会诊] 函数、数列、解析几何三者的综合,展示了知识的交汇性,方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函 数与数列的联系,即数列是一种特殊函数,以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不 等式的综合更显出问题的综合性. 考场思维训练 1 设函数y=f(x)
2x 2 ? 2
x

图像上两点P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ),若 OP = (OP1 ? OP2 ) ,且点P的横坐标为 .

1 2

1 2

(1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个值; 答
? ? (1)因为, ???
OP


x1 x2



y ? y2 1 2 2 1 ?? ? ?? ??), 所以P为P ? ? 1, 所以y p ? 1 ? ( ?? 1P 2的中点, 则x1 ? x2 ? 1 y1 ? y2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 OP OP2 1 2 2 2 2 ? 2 2x2 ? 2

(2)若S n =f(

1 2 3 * )+f( )+f( )+…+f(1),n∈N ,求S n ; n n n

答案:由(1)知 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 f (1) ? 2 ? 2 而S n ? f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( n ? 1) ? f ( n )
n n n n n

Sn ? f (

n ?1 n?2 n?3 n 1 )? f( )? f( ) ??? f ( ) ? f ( ) n n n n n

两式相加,得 2 Sn ? (n ? 1) ? 1 ? 2(2 ? 2 ) ? n ? 3 ? 2 2 , 所以S n ? n ? 3 ? 2 2 (3)记T n 为数列 ? ? 值范围.
? ? * ? ? 的前n项和,若T n <a·(S n+2 + 2 )对一切n∈N 都成立,试求a的取 ? ? ( S n ? 2 )( S n ?1 ? 2 ) ? ? 1

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高考数学_典型易错题会诊

答案:由(2)有 Sn ? 2 ?

n?3 n?4 1 4 1 ? ? 1 ? ? 4? ? , S n ?1 ? 2 ? . ? 2 2 ( S n ? 2 )( S n ?1 ? 2 ) (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n?4?

? 1 ? 1 1 ? ??? Tn ? 4 ? ? 4 ? 5 5 ? 6 ( ? 3 )( ? 4 ) n n ? ? 1 1 ? n ?1 1 1 1 ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4 5 5 6 3 4 ? 4 n n n ? ? ? ? 由题意得 : Tn ? a ? ( S n ? 2 ? 2 ) 因为Sn ? 2 ? 2 ? 0, 所以a ? Tn Sn ? 2 ? 2 ? 2n 2 ? (n ? 4)(n ? 5) n ? 20 ? 9 n

设备g (n) ? n ?

20 , 易证g (n)在[2 5 ,? ? ?]上是增函数, 在[0,2 5 ]上是减函数, n

而g (4) ? 9, g (5) ? 9, 所以g (n)的最小值为9, 于是

2 1 1 ? , 所以a ? 20 9 9 n? ?9 n

2 已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0 对称的图像为C,且f(-1)=0,若点(n+1, 曲线C上,并有a 1 =a 2 =1. (1)求曲线 C 的方程; 答案:设 f(x)=kx+b(k≠0),则曲线 C 的方程为 f ?1( x) ? ( x ? b).
? f (?1) ? 0,? ? k ? b ? 0

a n ?1 * (n∈N )在 an

1 k

(1) an ? 1 a 又点(n ? 1, (n ? ??), 在曲线C上,? (2, 2 ) an a1 (2)

即(2,1)在曲线上. 1 ? 1 ? ( 2 ? b) k

由①②得:k=b=1

∴C:x-y-1=0.

(2)求数列{a n }的通项公式;
点(n ? 1), ? ? an ?1 (n ? ??)在曲线C上, an

答案:

an ?1 ? n, 而an ? 1. an a2 a3 a ? ? n ? 1 ? 2 ? 3?(n ? 1), a1 a2 an ?1

? an ? (n ? 1)!

(3)设S n = 答案:

an a1 a 2 ? ??? , 若Sn>M恒成立,求实数M的取值范围. 2! 3! (n ? 1)!

an (n ? 1)! 1 1 1 ? ? ? ? . ( n ? 1)! (n ? 1)! n(n ? 1) n n ? 1

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高考数学_典型易错题会诊 ? Sn ? 1 ? 1 1 关于n单调递增,? S n ? S1 ? . n ?1 2 1 故 ? S n ? M恒成立, 则M ? (??, ) 2
k +

3 过P(1,0)做曲线C:y=y (x∈)(0,∞),k∈N k>1)的切线,切点为Q 1 ,设Q 1 在x轴上的投影为P 1 , 又过P 1 做曲线C的切线,切点为Q 2 ,设Q 2 在x轴上的投影为P 2 ,…依次下去得到一系列点Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,…Qn的 横坐标为a n .求证: (Ⅰ)数列{a n }是等比数列;
k k ?1 答案: y′=kx ,若切点是Q n (a n ,a k n ), 则切线方程为 y ? an ? kan ( x ? an ).
k-1

当 n=1 时,切线过点 P(1,0)
k k ?a ? ka1 (1 ? a1 ).得a1 ? 即0 ? a1

k . k ?1 an k ? . an ?1 k ? 1

k k ?1 ? kan ( an ?1 ? an ).得 当n ? 1时, 切线过点Pn ?1 (an ?1,0)即0 ? an

? 数列{an }是首项为 ? an ? ( k n ) . k ?1

k k 的等比数列. , 公比为 k ?1 k ?1

(Ⅱ)a n ≥1+ 答案: an ? (

n k ?1

k n n 1 n 1 2 1 n 1 0 1 1 2 0 n ? Cn ? Cn ? C1 ? 1? ) ? (1 ? ) ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ? Cn . n k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

(Ⅲ)

?a
i ?1

n

i
i

? k 2 ? k (注:

?
n

)

(Ⅲ) 答
Sn ?

?a
i ?a

n

i
i

? k 2 ? k (注:

?a ? a ? a
i
1

2

? ? ? an ).

i ?1







1 2 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 n k ?1 n ?1 n k ?1 n ,则 .两式相减(1 ? )Sn ? Sn ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? a1 a2 an an k a1 a2 a3 an an ? 1 k a1 a2 a3 an an ?1

?

1 1 1 1 ? ? ??? a1 a2 a3 an k ?1 k ?1 n [1 ? ( ) )] k ?1 n k k ? (k ? 1)[1 ? ( ) ]. k ?1 k 1? k 1 S n ? k ? 1. ? k

1 ? Sn ? k

? k ? ? ? , k ? 1,?

i ?1ai i
2

?a

n

i

? k 2 ? k.

4 在xOy平面上有一系列点P 1(x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ),…P n (x n ,y n ),…对每个正整数n,点P n 位于函数y=x (x ≥ 0) 的 图 象 上 。 以 点 P n 为 圆 心 的 圆 P n 与 x 轴 都 相 切 , 且 圆 P n 与 圆 P n+1 又 彼 此 相 外 切 。 若 x 1 =1, 且
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高考数学_典型易错题会诊

x n+1 <x n (n=1,2,3…). 求证:数列|
1 |是等差数列; xn 3π . 2

设圆P n 的面积为S n ,T n = S1 + S2 + S3 +… Sn ,求证T n <

2 , yn ? rn , | Pn Pn ?1 |? rn ? rn ?1. 答案:记圆P n 的半径为r n ,由条件知,y n = xn




1 1 ? ? 2. xn ?1 xn

2 2 ( xn ? xn ?1) 2 ? ( yn ? yn ?1 ) 2 ? rn ? rn ?1 ? yn ? yn ?1, ( xn ? xn ?1) 2 ? 4 yn yn ?1 ? 4 xn ? xn ?1,因为xn ?1 ? xn , 所以xn ? xn ?1 ? 2 xn ? xn ?1,

所以数列{

1 }是等差数列, 公差为2. xn

( 2)由(1)知,

1 1 2 4 2 2 2 2 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, xn ? , S n ? ?rn ? ?xn 所以Tn ? ?x1 ? ?x2 ? ?x3 ? ? ? ?xn xn 2n ? 1

? ? [1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ],因为n ? 2时, ), 所以1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ( ? ? 1 ? (1 ? ) ? 2 3 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 3)(2n ? 1) 2 2n ? 3 2n ? 1 3 5 ( 2n ? 1) 2 1 1 1 1 1 3 3 ??? ( ? )

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数学经典易错题会诊与高考试题预测11

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数学经典易错题会诊与高考试题预测12

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数学经典易错题会诊与高考试题预测1

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