nbhkdz.com冰点文库

高等数学2期末复习题与答案

时间:2015-01-03


《高等数学》2 期末复习题 一、填空题: 1.
3? ( x2 ? y2 ) 的 定 义 域 是 函 数 z ? x2 ? y2 ?1 ? l n

1 ≦

X^2+Y^2<3 2.设 z ? (1 ? x) y , 则
?z ? ?y

.

(1 ? x) y ln(1

? x)

.
?

3.函数 z ? ln(1 ? x2 ? y 2 ) 在点 (1, 2) 的全微分 dz 4.设 f ( x ? y, xy) ? x 2 ? y 2 , 则 f ( x, y) ?
y 设 f ( x ? y , ) ? x 2 ? y 2 , 则 f ( x, y) ? x

(1,2)

1 2 dx ? dy 3 3

. . 则
?z ? ?y

5.设 z ? e u sin v

而 u ? xy

v? x? y

exy [ x sin( x ? y) ? cos( x ? y)]

6.函数 z ? x 2 ? y 2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2, 2 ? 3 )的方 向导数是
2 0

1? 2 3
2y y

7.改换积分次序 ? dy? 2 f ( x, y)dx ?

; ? dy ?
0

1

1? y 2 y ?1

f ( x, y )dx ?

.

8.若 L 是抛物线 y 2 ? x 上从点 A (1,?1) 到点 B (1,1) 的一段弧,则 ? xydx=
L

9.微分方程 (1 ? e2 x )dy ? ye2 x dx ? 0 的通解为 二、选择题: 1.
tan(xy) 等于 ( ( x , y ) ?( 2 , 0 ) y lim

.

) (上下求导)

A.2,

B.

1 2

C.0

D.不存在 )

2.函数 z ? x ? y 的定义域是( D A. ? ( x, y) x ? 0, y ? 0? C. ( x, y) y ? 0, x 2 ? y

B. ( x, y) x 2 ? y

?

? ?

?

?

D. ( x, y) x ? 0, y ? 0, x 2 ? y
1

?

3.

?f ( x, y ) | ( x0 , y 0 ) ? ( B ?x
A. lim
?x ?0


f ( x0 ? ?x, y 0 ) ? f ( x0 , y 0 ) ?x f ( x0 ? ?x, y 0 ) ?x

f ( x0 ? ?x, y 0 ? ?y ) ? f ( x0 , y 0 ) ?x f ( x0 ? ?x, y 0 ? ?y ) ? f ( x0 ? ?x, y 0 ) ?x

B. lim

?x ?0

C. lim

?x ?0

D. lim

?x ?0

5.设 z ? F ( x 2 ? y 2 ) ,且 F 具有导数,则 A. 2 x ? 2 y ; C. (2 x ? 2 y) F ?( x 2 ? y 2 ) ;

?z ?z ? ? (D ?x ?y



B. (2 x ? 2 y) F ( x 2 ? y 2 ) ; D. (2 x ? 2 y) F ?( x 2 ? y 2 ) .

6.曲线 x ? a cost , y ? a sin t , z ? amt,在 t ? A. (1,1, 2 ) B. (?1,1, 2 )

? 处的切向量是 ( D ) 4
D. (?1,1, 2m) ) D.是极小值点

C. (1,1, 2m) ( A

7.对于函数 f ( x, y) ? x 2 ? xy ,原点 (0,0) A.是驻点但不是极值点
D

B.不是驻点

C.是极大值点

8.设 I= ?? 5 x 2 ? y 2 ? 1dxdy , 其中 D 是圆环 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 所确定的闭区域, 则必有( ) A.I 大于零 B.I 小于零 C.I 等于零 D.I 不等于零,但符号不能确定。

9. 已知 L 是平面上不包含原点的任意闭曲线, 若曲线积分 则 a 等于 ( ). A -1

?
-2

L

xdx ? aydy ?0 , x2 ? y 2

B 1

C

2

D
L

10.若 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则曲线积分 ? ( x ? y )ds =( A.0 B.1 C. 2 D.2 )



11.设 D 为 x 2 ? y 2 ? 2 y, 则 ?? f ( x 2 ? y 2 )dxdy ? (
D

2

A. ? dy?
0

2

2 y? y2

0
2 sin ?

f ( x 2 ? y 2 )dx ;
f (r 2 ) rdr ;

B. D. )

?

2?

0

d? ? f (r 2 ) rdr ;
0

1

C.

?

?

0

d? ?

0

?

1

?1

dx?

2

0

f ( x 2 ? y 2 )dy .

12. 微分方程 ex ( y? ? y) ? 1 的通解为(

A. ye x ? c ; B. ye? x ? x ? c ;C. y ? ( x ? c)e? x ;D. y ? cxe? x 13.( )是微分方程 y?? ? y? ? e? x 在初始条件 y
x?0

? 1, y?

x?0

? ?1 下的特解.

A. y ? c1 ? c2 xe? x ;B. y ? ? xe? x ;C. y ? 1 ? 2 xe? x ;D. y ? 1 ? xe? x . 三、计算题: 1.设 z ? f (ex sin y, x3 ? y3 ) ,求
?z ?z 及 ,其中 f 具有一阶连续偏导数. ?x ?y

?x ? y ? u ? v 2.设 ? , ? x sin v ? y sin u



?u ?v , ?x ?x

3.求旋转抛物面 z ? x 2 ? y 2 ? 1在点 (2,1,4) 处的切平面及法线方程。

4.求函数 f ( x, y) ? x3 ? y3 ? 3x2 ? 3 y 2 ? 9x 的极值

3

5.计算 ?? xy 2 dxdy ,其中 D 是由圆周 x 2 ? y 2 ? 4 及 y 轴所围成的右
D

半闭区域.

6.计算 ?? e ? y dxdy ,其中 D 是以 O(0,0) ,A(1,1) ,B(0,1)为顶点的三角
2

D

形闭区域.

7.计算 ??? xdxdydz , 其中 ? 是三个坐标面与平面 x ? y ? z ? 1 所围成的区域.
?

8.计算

其中 L 为圆 x ? (2 x ? y ? 4)dx ? (3x ? 5 y ? 13)dy ,
L

2

? y 2 ? 25 的正向边界。

9. 计 算 曲 线 积 分

?

L

( y 3 ? x)dy ? ( x3 ? y)dx, 其 中 L 是 从 O(0, 0) 沿 上 半 圆

x 2 ? y 2 ? 2 x 到 A(2, 0).

4

10.验证:在整个 xoy 面内, 4 sin x sin 3 y cos xdx ? 3 cos3 y cos2 xdy是某个函数的 全微分,并求出这样的一个函数.

11.求微分方程 ( x2 ? 1) y? ? 2 xy ? 4 x2 的通解.

12.求解微分方程的特解: ( y 2 ? 3x2 )dy ? 2xydx ? 0, y(0) ? 1

13.解微分方程 yy?? ? ( y?)2 ? ( y?)3 ? 0

. 四、应用题: 1.用钢板制造一个容积为 V 的无盖长方形水池,应如何选择水池的长、宽、高 才最省钢板.

2.已知矩形的周长为 24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱 体体积最大时的矩形面积.
5

3.求抛物线 y 2 ? 4 x与曲线y ? 2 x 所围成的闭区域的面积.

4.求抛物面 z ? 6 ? x2 ? y 2 与锥面 z ? x 2 ? y 2 所围成的立体的体积.

高等数学 2 期末复习题答案
一、填空题: 1、 {( x, y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 3} 4、 x 2 ? 2 y; 2、 (1 ? x) y ln(1 ? x)
1 2 3、 dx ? dy 3 3

x 2 (1 ? y) 1? y

5、 exy [ x sin( x ? y) ? cos( x ? y)]

6、 1 ? 2 3 (注:方向导数

?f ?l

? f x ( x0 , y0 ) cos ? ? f y ( x0 , y0 ) cos ? )
( x0, y0 )

7、 ? dx ?x f ( x, y )dy ;
0 2

4

x

?

0

?1

dx?

1? x

0

f ( x, y)dy ? ? dx ?
0

1

1? x2

0

f ( x, y)dy

0 1 4 4 (注: ? xydx ? ? x(? x )dx ? ? x xdx ? ) 9、 y2 (1 ? e2 x ) ? C L 1 0 5 5 二、选择题: 1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C; 11. C; 12.C; 13.D 三、计算题:

8、

1.解:令 u ? ex sin y, v ? x3 ? y3 ,则
6

?z ?z ?u ?z ?v ?z x ?z ? ? ? ? ? e sin y ? 3x 2 ? e x sin y ? f1? ? 3x 2 ? f 2? ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?v

?z ?z ?u ?z ?v ?z x ?z ? ? ? ? ? e cos y ? 3 y 2 ? e x cos y ? f1? ? 3 y 2 ? f 2? ?y ?u ?y ?v ?y ?u ?v

2. 解:两方程分别两边对 x 求偏导数,注意 u , v 是关于 x , y 的二元函数,得
? ?u ?v 1? ? ? ? ?x ?x ? ?v ?s i n v?x c o vs ?y ? ?x ? ? ?u ?v ? ?1 ? ? ?x ?x 即 ? ?u ? y cos u ?u ? x cos v ?v ? sin v u cos ? ?x ?x ?x ?

这是以 当 J?

?u ?v , 为未知量的二元线性方程组。 ?x ?x

1 1 ? ?( x cos v ? y cos u) ? 0 时,有 y cos u ? x cos v 1 ?u 1 1 x cos v ? sin v ? ? ?x J sin v ? x cos v x cos v ? y cos u 1 ?v 1 1 sin v ? y cos u ? ?? ?x J y cos u sin v x cos v ? y cos u


3. 解:旋转抛物面 z ? x 2 ? y 2 ? 1在点 (2,1,4) 处的切向量
n ? (2 x, 2 y, ?1)
(2,1,4)

? (4, 2, ?1)

于是,所求切平面方程为 4( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 4) ? 0 ,即 4 x ? 2 y ? z ? 6 ? 0 法线方程为
x ? 2 y ?1 z ? 4 ? ? 4 2 ?1

? ?f ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 0 ? ? ?x 4. 解:解方程组 ? , ? ?f ? ?3 y 2 ? 6 y ? 0 ? ? ?y

得四个驻点 P 1 (1,0), P 2 (1, 2), P 3 (?3,0), P 4 (?3, 2) .又

? ? 6 x ? 6 , f x? y ? ? 0 , f y? ? . 6 f x? x ? ? 6y ? y
7

2 A ? 0 ,则 P 对P 1 (1,0) 是函数的极小值点; 1 (1,0), AC ? B ? 0, 且 2 对P 2 (1, 2) 不是极值点; 2 (1, 2), AC ? B ? 0 ,则 P 2 对P 3 (?3,0) 不是极值点; 3 (?3,0), AC ? B ? 0 ,则 P 2 A ? 0 ,则 P4 (?3, 2) 是函数的极大值点. 对P 4 (?3, 2), AC ? B ? 0 ,且

于是,函数有极小值 f (1,0) ? 1 ? 3 ? 9 ? ?5 , 极大值 f (?3, 2) ? ?27 ? 8 ? 27 ? 12 ? 27 ? 31. 5. 解:利用极坐标变换,令 x ? r cos? , y ? r sin ? ,则 dxdy ? rdrd? ,且 D 可表 示为: 0 ? r ? 2, ?

?
2

?? ?

?
2

.于是
2

??

D

x y d x d?y? ? r c o ? s ?r
2

D

sin ? ? r d r? d ??
2 0

2

4

r 2? d r c? os ?
? 2

?

2

s?i n?d

1 1 ? r 5 ? sin 3 ? 5 0 3

2

?
2 ?

?
2

?

64 . 15

6. 解:三角形区域 D 由直线 y ? x, y ? 1 及 y 轴围成,选择先对 x 积分,

??

D

e

? y2

dxdy ? ? dy ? e
0 0

1

y

? y2

dx ? ? ye
0

1

? y2

1 2 1 dy ? ? e ? y ? (1 ? e ?1 ) . 2 2 0

1

(注:此题也可以参看课本 167 页例 2 的解法) 7.解题过程见课本 124 页例 1.
P( x, y) ? 2 x ? y ? 4, Q( x, y) ? 3x ? 5 y ? 13 在 L 围成的圆域 D: x2 ? y 2 ? 25 上 8. 解:

全在连续的偏导数,

?P ?Q ?Q ?P ? ?1, ? 3 ,从而 ? ? 4 .于是由格林公式,得 ?y ?x ?x ?y
D D

?

L

(2 x ? y ? 4)dx ? (3x ? 5 y ? 13)dy ? ?? 4dxdy ? 4?? dxdy ? 4? ? 25 ? 100? .
8

9. 解:P( x, y) ? x3 ? y,

有 Q( x, y) ? y3 ? x ,

?P ?Q 在整个 xoy 平面上恒 ?1? ?y ?x

成立,所以曲线积分与路径无关,故可取 x 轴上线段 OA 作为积分路径. OA 的方程为 y ? 0 ,且 x 从 0 变到 2, dy ? 0 ,从而

?
??
2 3 0

L

( y3 ? x)dy ? ( x3 ? y)dx ? ? (y 3 ? x)dy ? ( x3 ? y)dx
OA

1 x dx ? x4 ? 4 . 4 0
Q( x, y) ? ?3cos3 y cos 2 x ,有


2

10. 解: P( x, y) ? 4sin x sin 3 y cos x,

?P ? 4sin x cos x ? 3cos 3 y ? 6sin 2 x cos 3 y ?y
?Q ? ?3cos 3 y ? 2(? sin 2 x) ? 6sin 2 x cos 3 y , ?x

即有

?P ?Q ? 在 整 个 x o y平 面 上 恒 成 立 , 因 此 在 整 个 xoy 面 内 , ?y ?x

4s i n xs i n 3y c o x sd? x 3c o 3 sy c o 2 sx d 是某个函数的全微分 y .

取 ARB 为积分路径,其中各点坐标分别为 A(0, 0), R( x, 0), B( x, y) ,得

u( x, y) ? ?

( x, y )

(0,0)

4sin x sin 3 y cos xdx ? 3cos3 y cos 2 xdy

? ? 4sin x sin 3 y cos xdx ? 3cos 3 y cos 2 xdy ? ? 4sin x sin 3 y cos xdx ? 3cos 3 y cos 2 xdy
AR RB

? ? 0dx ? ? ?3cos3 y cos 2 xdy ? ?3cos 2 x ? cos3 ydy
0 0 0

x

y

y

1 ? ?3cos 2 x ? sin 3 y ? ? sin 3 y cos 2 x . 3 0
11. 解法一:方程可改写为 y? ?
2x 4 x2 y ? ,这是一阶非齐次线性微分方 x2 ? 1 x2 ? 1
9

y

程.先求对应的齐次线性方程的通解. 由 y? ?
y? C1 . x ?1
2

2x dy 2x y ? 0 ,分离变量,得 ?? 2 dx , 两 边 积 分 , 解 得 x ?1 y x ?1
2

用 常 数 变 易 法 , 将 C1 换 成 C ( x) . 即
y? ? 1 2x C ?( x) ? 2 C ( x) . x ?1 ( x ? 1) 2
2

y?

C ( x) , x2 ? 1

代入原方程,化简得 C?( x) ? 4 x2 .故 于是方程的通解为 y ? 解法二:方程可改写为
2

C ( x) ?

4 3 x ?C. 3

1 4 3 ( x ? C) . x ?1 3

y? ?

2x 4 x2 y ? . x2 ? 1 x2 ? 1 2x 4 x2 , Q ( x ) ? .利用通解公式 x2 ? 1 x2 ? 1
2x 2x

这是一阶非齐次线性微分方程,其中 P( x) ?

y?e ?

? P ( x ) dx

? ? 2 dx P ( x ) dx 4 x 2 ? x2 ?1dx ? x ?1 (? 2 e dx ? C ) (? Q( x)e dx ? C ) ? e x ?1

?

1 4 x2 1 4 [ ? ( x 2 ? 1)dx ? C ] ? 2 ( x3 ? C ) . 2 2 ? x ?1 x ?1 x ?1 3

12. 课本 212 页第 8 题第(1)小题。
x x2 x dx 解 : 原 方 程 可 写 成 1? 3 2 ? 2 ?0 .令 u ? ,即 y y y dy
x ? yu , 有

dx du du ?u? y , 则 原 方 程 成 为 1 ? 3u 2 ? 2u (u ? y ) ? 0 , 分 离 变 量 , 得 dy dy dy 2u dy du ? .两边积分,得 u 2 ? 1 ? Cy . u ?1 y
2

10

代入 u ?

x 并整理,得通解 x2 ? y 2 ? Cy3 . y

由初始条件 x ? 0, y ? 1, 得 C ? ?1 .于是所求特解为 y3 ? y 2 ? x2 . 13.解题过程见课本 212 页例 5. 四、应用题: 1.解法一:设水池的长、宽、高分别是 x, y, z .已知 xyz=V,从而高 z ? 池表面的面积
V ,水 xy

1 1 S ? xy ? 2( xz ? yz ) ? xy ? 2V ( ? ) x y
S 的定义域 D ? {( x, y) 0 ? x ? ??,0 ? y ? ??}. 这个问题就是求二元函数 S 在区域 D 内的最小值.

1 2V ? ?S ? y ? 2V (? 2 ) ? y ? 2 ? 0, ? x x ? ?x 解方程组 ? ? ?S ? x ? 2V (? 12 ) ? x ? 2V ? 0. y y2 ? ?y ?

在区域 D 内解得唯一得驻点

?

3

2V , 3 2V .

?

根据实际问题可知最小值在定义域内必存在 ,因此可断定此唯一驻点就是最小
3

值点.即当长,宽均为 3 2V ,高为

2V 时,水池所用材料最省. 2

解法二:设水池的长、宽、高分别是 x, y, z .已知 xyz=V,水池表面的面积

S ? xy ? 2( xz ? yz )
S 的 定 义 域 D ? {( x, y, z) x ? 0, y ? 0, z ? 0} . 此 题 就 是 求 函 数

S ? xy ? 2( xz ? yz) 在约束条件 xyz=V 下的最小值.

构造拉格朗日函数 L ? xy ? 2( xz ? yz ) ? ? ( xyz ? V ) .
11

? ?L (1) ? ?x ? y ? 2 z ? ? yz ? 0, 即xy ? 2 xz ? ? xyz ? 0 ? ? ?L ? x ? 2 z ? ? xz ? 0, 即xy ? 2 yz ? ? xyz ? 0 (2) ? ? ?y 解方程组 ? ? ?L ? 2 x ? 2 y ? ? xy ? 0, 即2 xz ? 2 yz ? ? xyz ? 0 (3) ? ?z ? ? ?L ? xyz ? V ? 0. (4) ? ? ??

比较(1) , (2) , (3)式,得 x=y=2z,代入(4)式中,有 x3 ? 2V ,即 x ? 3 2V .
3 ?3 2V ? 3 2 V , 2 V , 于是,x,y,z 只有唯一一组解 ? ?. ? 2 ? ? ?

由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此,函数 S 在其唯一驻点
3 ?3 2V ? 3 2 V , 2 V , ? ? 处必取得最小值. ? 2 ? ? ?

3

故当长方形水池的长,宽,高分别是 3 2V , 3 2V , 2.解题过程见课本 98 页例 4. 3.利用二重积分求闭区域的面积

2V 时所用材料最省. 2

解:所求区域的面积为 A ? ?? dxdy ,其中 D 为抛物线 y 2 ? 4 x与曲线y ? 2 x
D

所围成的闭区域.两曲线交于两点(0,0) , (1,2).选择先对 x 积分,于是,
A ? ?? dxdy ? ? dy ? y22 dx ?
D 0 4 2 y

1 2 1 4 1 (2 y ? y 2 )dy ? ? ? . ? 4 0 4 3 3

4.利用三重积分计算立体的体积. 解法一: 所求立体的体积为 V ? ??? dxdydz , 其中 ? 是抛物面 z ? 6 ? x2 ? y 2
?

与锥面 z ? x 2 ? y 2 所围成的立体. 利 用 直 角 坐 标 计 算 . 由 z ? 6 ? x2 ? y 2 与 z ? x 2 ? y 2 消 去 z , 解 得
x 2 ? y 2 ? 2 ,即 ? 在 xoy 面上的投影区域 D 为圆域 x2 ? y 2 ? 4 .于是
12

? ? {( x, y, z) x2 ? y 2 ? z ? 6 ? ( x2 ? y 2 ), x2 ? y 2 ? 4} .
因此
V ? ??? dxdydz ? ?? dxdy ?
? D 6?( x2 ? y 2 ) x2 ? y 2

dz

= ?? [6 ? ( x 2 ? y 2 ) ? x 2 ? y 2 ]dxdy (用极坐标)
D

??

2?

0

1 1 32 d? ? (6 ? r ? r ) ? rdr ? 2? (3r ? r 4 ? r 3 ) ? ? . 0 4 3 3 0
2 2 2

2

解法二:所求立体的体积为 V ? ??? dxdydz ,其中 ? 是抛物面 z ? 6 ? x2 ? y 2 与
?

锥面 z ? x 2 ? y 2 所围成的立体. 利 用 柱 面 坐 标 计 算 . 由 z ? 6 ? x2 ? y 2 与 z ? x 2 ? y 2 消 去 z , 解 得
x 2 ? y 2 ? 2 ,即 ? 在 xoy 面上的投影区域 D 为圆域 x2 ? y 2 ? 4 .于是,在柱面坐

标变换下

? ? {(r,? , z) r ? z ? 6 ? r 2 ,0 ? r ? 2,0 ? ? ? 2?} .
因此

V ? ??? dxdydz ? ? d? ? dr ?
? 0 0

2?

2

6? r 2

r

rdz
2

2 1 1 32 ? 2? ? r ? (6 ? r 2 ? r )dr ? 2? (3r 2 ? r 4 ? r 3 ) ? ? . 0 4 3 3 0

13


高等数学2期末复习题

高等数学2期末复习题_理学_高等教育_教育专区。《高等数学》2 期末复习题适用对象:12 级计电类本科班一、填空题: 1. 函数 z ? x 2 ? y 2 ? 1 ? ln(...

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

? y ? xe 满足 考试日期:2007 年 7 月 9 日星期一 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 1 页共 24 页 四.解答题(共 22 分) 1、...

大学高等数学期末考试试题及答案 2

大学高等数学期末考试试题及答案 2_理学_高等教育_教育专区。高数 2012 高等数学期末考试试题【A 卷】考试日期:2012 年 院(系)别 大题 小题 得分 一 班级 二...

高数2试题及答案

高数2试题及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高数2试题及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。这里有几张...

高等数学2试卷和答案

高等数学2试卷和答案_工学_高等教育_教育专区。高等数学2试卷高等数学(下)模拟试卷一填空题(每空 3 分,共 15 分) 一, 填空题 1 1 z= + x+ y x y ...

高数2试题及答案

高数2试题及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。模拟试卷一 一、单项选择题(每题 3 分,共 24 分) 1、已知平面 ? : x ? 2 y ? z ? 4 ? 0...

高数2期末考试试题B卷_图文

高数2期末考试试题B卷_工学_高等教育_教育专区。课程名称: 高等数学 2 适用...2、考试结束后,考生不得将试卷和草稿纸带出考场。 (答案请直接写在试卷 上,...

高数第二册习题及答案

高数习题及答案_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高数习题及答案_理学_高等教育_教育专区。《 高等数学练习(下) ...

高数二下练习题答案完整版(全部)

高数二练习题答案完整版(全部)_经济学_高等教育_教育专区。经济应用数学基础(一)第二版——微积分 高等数学 II 练习题 ___学院___专业 班级 姓名___ 反常...

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点(完整版)_理学_高等教育_教育专区。高等数学...3 ? 0 高等数学(2)期末 B 卷答案及评分标准 120 分钟 第 1 页共 65 页...