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排列组合知识点总结

时间:2016-01-22


排列组合与二项式定理
1 分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一 种都可以独立的完成这个事情) 2 分步计数原理 完成一件事需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 3 排列 排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m≤n )个元素(被取出的元素各不相同) ,按照 一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义;从 n 个不同元素中,任取 m( m≤n )个元素的所有排列的个数 公式

A

m n

A

m n

=

n! 规定 0 ! =1 (n ? m)!

4 组合 组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m( m≤n )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m ( m≤n )个元素的所有组合个数

C

m n

C

m n

=

n! m !(n ? m)!

性质

C =C
n

m

n?m n

C

m n ?1

? Cn ?Cn

m

m ?1

排列组合题型总结
一 直接法 1 .特殊元素法与特殊位置法 例1 少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。 二 间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。 例2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多

并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

三 插空法 例3

当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法

在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插

入方法?



捆绑法

当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法 种

例 4.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有

练习.某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一 所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有 种 Eg 三个女生和五个男生排成一排 (1) 女生必须全排在一起 有多少种排法 (2) 女生必须全分开 (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生 (5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法 五.隔板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法 例 5. 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名 额分配方案共 种 。

六.平均分堆问题 例 6.本不同的书按以下方式处理,各有几种分法? (1)平均分成三堆(2)平均分给甲乙丙三人(3)一堆一本,一堆两本,一堆三本 (4)甲得一本,乙得两本,丙得三本(5)一人得一本,一人得两本,一人得三本 七.填涂问题 例 7.某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 1) ,现要栽种 4 种颜色的花,每部 分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 A 答) . (120) 5 B
6 2 1 3 4

种(以数字作

A

C

D E

B C

E D
图 3

图1

图2

练习.如图 2,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一 种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数 练习.将一四棱锥(图 3)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可 供使用,则不同的染色方法共 种 练习.在九宫格中填上 4 种颜色,相邻两格颜色不相同,且 1,5,9 颜色相同,问有多少种方法?

八、分配问题 例 8.甲、乙、丙、丁、戊五名教师去大西北三个乡进行教学交流,要求没个乡至少去一名教 师; ( 1 )问有多少种分配方法? ( 2 )若甲、乙不同乡,则有多少种分配方法? ( 3 )若甲、乙不同乡,且丙丁同乡,则有多少种分配方法? ( 4 )若甲、乙不同乡,且丙丁不同乡,则有多少种分配方法? ( 5 )若甲不去第一个乡,则有多少种分配方法? 九、贺卡问题

N n ? n !(

1 1 1 1 ? ? ? ?????? ? (?1) n ) 2! 3! 4! n!

例 9.某中学高三年级共有 12 个班级,在即将进行的月考中,拟安排 12 个班主任老师监考数学, 每班 1 人,要求有且只有 8 个班级是自己的班主任老师监考,则不同的监考安排方案共有( )
A.4455 种 B.495 种 C.4950 种 D.7425 种

十、雨伞问题 例 10.如图所示,将圆分成 n 个区域,用 3 种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色不同,把不同的
染色方法种数记为 an . (1) a4 = . (2) an = .


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