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浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件:第14课时 空间角与距离


专题四 立体几何与空间量

1

1.空间角主要包括:(1)两异面直线所成的角; (2)线面角;(3)二面角. 2.空间角的计算步骤:一作,二证,三计算. 3.异面直线所成角的范围:0°<θ≤90°,方法: 平移直线法,直线与平面所成的角的范围: 0°≤θ≤90°,方法:作垂线,找射影.求二面角的方 法:定义法,三垂线定理及其逆定理

,垂面法,射影 公式S′=S·cosθ.

2

4.用向量法求解空间角有较大优势.

(1)求异面直线所成的角:设a,b分别为异面
直线a,b的方向向量,则两异面直线所成角的余弦 值cosα =
a ?b a b

.

(2)求线面角:设向量l是斜线l的方向向量,n 是平面α的法向量,则斜线l与平面α所成角的正弦 值sinθ=
n?l n l

.

(3)求二面角:(方法一)在α内a⊥l,

在β内b⊥l,其方向如右图,则二面角
α-l-β的平面角的余弦值cosθ=
a ?b . a b

3

(方法二)设n1,n2是二面角α-l-β的两个半平
面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向

外侧,则二面角α-l-β的平面角的余弦值 n1 ? n2 cosθ= . n1 n2 5.空间距离主要是点到面的距离,求解方
法:直接法、等体积法、向量法. 用向量法求距离公式:

(1)点A到平面α的距离:(重点) ??? ?
d=
AB ? n n
4

,其中B∈α,n是平面α的法向

量.

(2)直线a与平面α之间的距离:(转化为点到面的
距离) d= 量.
??? ? AB ? n n

,其中A∈a,B∈α,n是平面α的法向

(3)两平行平面α,β之间的距离:(转化为点到面

的距离)
d= 向量.

??? ? AB ? n n

,其中A∈α,B∈β,n是平面α的法

(4)异面直线a,b之间的距离:(转化为点到辅助 平面的距离)

d=

??? ? AB ? n n

,其中n⊥a,n⊥b,A∈α,B∈b.
5

1.线面角

【例1】(鄂州二模)如图,正方形A1BA2C的边长为4,D 是A1 B的中点,E是BA2上的点,将△A1 DC及△A2 EC分 别沿DC和EC折起,使A 1 A 2 重合于A,且二面角A— DC—E为直二面角.

(1)求BE的长; (2)求AD与平面AEC所成角的正弦值.
6

结合翻折问题求线面角关键是确定折前、折后对 应线段之间的关系.

(1)因为A1、A2重合于A, 所以AC⊥AD,AC⊥AE, 故AC⊥平面ADE,所以AC⊥DE. 因为A-DC-E为直二面角, 所以过A作AF⊥CD于F,则AF⊥平面CDE, 故CD为AC在平面CDE上的射影,由三垂线定理的逆 定理有,CD⊥DE. 在Rt△CAD中,AD=2,AC=4, 4 所以DC=2 5 ,AF= ,
5
7

又因为CD ? DE,所以在正方形A1 BA2 C中,?DBE A1C BD ∽?CA1 D,故 ? ,即BE ? 1. A1 D BE 则由VD — AEC ? VA— DEC 得, 1 1 1 1 ? AE ? AC ? d ? ? ? CD ? DE ? AF, 3 2 3 2 2 5 即3 ? 4d ? 2 5 ? 5 ? ,故d ? , 3 5 2 5 所以点D到平面AEC的距离为 . 3 4

? 2 ? 解法1:设D到平面AEC的距离为d,

8

2 5 设AD与平面AEC所成角为?,则 sin ? ? . 3 解法2:由于AC ? 平面ADE,所以平面AEC ? 平面 ADE,所以点D在平面AEC上的射影在AE上,所以 ?DAE就是DA与平面AEC所成的角.在Rt ? ADE中, 5 易求得 sin ?DAE ? . 3

求线面角的常用方法:①垂线法:过线上一点直接 作面的垂线,则射影与斜线所成角就是线面角(关键是找 到垂足);②等体积法:当垂足不好确定时,可以不确定, 用等体积法求距离,从而求得线面角;③向量法.
9

【变式训练】 (2011?4月稽阳联谊)如图,在一个由矩形 ABCD和正三角形APD组合而成的平面图形中,AD ? 2, DC ? 2,现将正三角形APD沿AD折成四棱锥P ? ABCD, 使P在平面ABCD内的射影恰好在边BC上.

?1? 求证:平面PAB ? 平面PBC; ? 2 ? 求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.

10

?1? 过P作PO ? BC,PO ? BC ? O,因为P在
平面ABCD内的射影恰好在边BC上,则PO ? 平面 ABCD,因此AB ? PO.又ABCD为矩形,则AB ? BC, 因此AB ? 平面PBC,则平面PAB ? 平面PBC;

11

? 2 ?因为PB ? PC,O为BC的中点,则取AD中点M ,
连接MO,PM .因为PM ? 3,MO ? 2, 在Rt? POM 中,PO ? OM ,则PO ? 1, 因此PB ? PC ? 2,因此CP ? PB. 又AB ? CP,因此CP ? 平面APB, 则?CAP为直线AC与平面PAB所成角, 又AC ? 6,CP ? 2, CP 因此sin?CAP ? ? AC 3 ? , 3 6 2

3 即直线AC与平面PAB所成角的正弦值为 . 3

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2.二面角 【例2】 10? (20 浙江卷)如图,在矩形ABCD中,点E, 2 F 分别在线段AB,AD上,AE ? EB ? AF ? FD ? 4, 3 沿直线EF 将?AEF 翻折成?A? EF,使平面A? EF ? 平面 BEF .

(1)求二面角A? ? FD ? C的余弦值; (2)点M ,N 分别在线段FD,BC 上,若沿直线MN 将四边形MNCD向上翻折,使C与A?重合,求线段FM 的长.
13

(1)建立空间直角坐标系,分别找到平面 A ′FD 与平面CDF 的法向量,利用法向量的关系求二 面角,或用几何法找到二面角的平面角;(2)利用 C 与A′重合,找到等量关系,求出FM的长.

方法1: ? 取线段EF的中点H,连结A? H . ?1 因为A? E ? A? F 且H 是EF的中点,所以A? H ? EF . 又因为平面A? EF ? 平面BEF, 所以A? H ? 平面BEF .

14

如图建立空间直角坐标系A ? xyz.

则A?(2, 2, 2 2),C ?10,8, 0?,F ? 4, 0, 0?,D ?10, 0, 0?. ??? ? ??? ? 故 FA ? (?2, 2, 2 2, ? ? 6, 0, 0?. ) FD 设n ? ( x,y,z )为平面A? FD的一个法向量, ??2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 ? 所以 ? , ?6 x ? 0 ?

15

取z ? 2,则n ? (0, 2,2). ? 又平面BEF的一个法向量m ? ? 0, 0,1?. n?m 3 故 cos n,m〉 〈 ? ? . n m 3 3 所以二面角A? ? FD ? C的余弦值为 . 3 ? 2 ? 设FM ? x,则M (4 ? x, 0, 0). ???? ????? ? 因为翻折后,C与A?重合,所以 | CM ? A?M | , 2 2 2 2 2 2 故(6 ? x) ? 8 ? 0 ? (2 ? x) ? 2 ? (2 2) , 21 得x ? . 4 21 经检验,此时点N 在线段BC上,所以FM ? . 4

16

方法2:取线段EF的中点H,AF的中点G,连结A?G, A? H,GH .

因为A? E ? A? F 且H 是EF的中点, 所以A? H ? EF . 又因为平面A? EF ? 平面BEF, 所以A? H ? 平面BEF . 又AF ? 平面BEF, 故A? H ? AF . 又因为G、H 是AF、EF的中点, 所以GH ? AB,所以GH ? AF .

17

于是AF ? 平面A?GH, 所以?A?GH 为二面角A? ? FD ? C的平面角. 在Rt ?A?GH中,A? H ? 2 2,GH ? 2,A?G ? 2 3, 3 所以 cos ?A?GH ? . 3 3 故二面角A? ? FD ? C的余弦值为 . 3 ? 2 ? 设FM ? x,因为翻折后,C与A?重合, 所以CM ? A?M . 而CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x) 2,
18

A?M 2 ? A?H 2 ? MH 2 ? A? H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2 21 2 2 ?(2 ? x) ? 2 ,得x ? . 4 21 经检验,此时点N 在线段BC上,所以FM ? . 4
解这类题可借助于传统几何法或建立空间直 角坐标系,翻折问题要抓住不变量.

19

【变式训练】 (2011?5月舟山中学模拟)如图, 直二面角D ? AB ? E中,四边形ABCD是 边长为2的正方形,AE ? EB,F为CE上 的点,且BF ? 平面ACE.

?1? 求证:AE ? 平面BCE; ? 2 ? 求二面角B ? AC ? E的平面角的正弦值.

20

?1? 证明:因为直二面角D ? AB ? E
中,四边形ABCD是边长为2的正方形,因 此有BC ? 平面AEB,即BC ? AE,又 BF ? 平面ACE,所以BF ? AE,则有 AE ? 平面BCE.

21

? 2 ? 如图,过B作BG ? AC,垂足为G.
因为BF ? 平面ACE,连接GF,则 GF ? AC,因此?BGF 为二面角 B ? AC ? E的平面角.因为AE ? BE, AE ? BE,所以AE ? BE ? 2,所以 2 3 BF 6 BF ? ,BG ? 2,sin?BGF ? ? , 3 BG 3 6 因此二面角B ? AC ? E的平面角的正弦值为 . 3
22

3.综合问题
【例3】如图,在三棱锥P ? ABC中,PA ? 底面ABC,PA ? AB,?ABC ? 60?, ?BCA ? 90?,点D,E分别在棱PB,PC 上,且DE ? BC.

?1? 求证:BC ? 平面PAC; ? 2 ?当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的
角的余弦值;

? 3? 是否存在点E,使得二面角A—DE —P为直
二面角?并说明理由.

23

求直线与平面所成的角及二面角,解题的关键 是找到所求的角及二面角的平面角,再解三角形,此 题前两问属于常规解法,第三问出现探索问题:“是 否存在?”,一般先假设其存在,再给予证明.

?1? 证明:因为PA ? 底面ABC,所以PA ? BC.
又?BCA ? 90?,所以AC ? BC. 而PA ? AC ? A,所以BC ? 平面PAC.

24

方法1:2 ?因为D为PB的中点,DE / / BC, ? 1 所以DE ? BC. 2 又由?1? 知,BC ? 平面PAC, 所以DE ? 平面PAC,垂足为点E. 所以?DAE是AD与平面PAC 所成的角. 因为PA ? 底面ABC,所以PA ? AB,PA ? AB, 所以?ABP为等腰直角三角形,所以AD ? 在Rt ?ABC中,?ABC ? 60? ,
25

1 2

AB.

1 所以BC ? AB. 2 DE BC 2 所以,在Rt ?ADE中, ?DAE ? sin ? ? . AD 2 AD 4 14 2 故 cos ?DAE ? 1 ? sin ?DAE ? . 4 14 所以AD与平面PAC 所成的角的余弦值为 . 4 ? 3? 假设存在一点E,使得二面角A ? DE ? P为直二面 角.因为ED / / BC,又由?1? 可知BC ? 平面PAC, 所以DE ? 平面PAC.
26

因为AE ? 平面PAC,PE ? 平面PAC, 所以DE ? AE,DE ? PE, 所以?AEP为二面角A ? DE ? P的平面角. 若二面角A ? DE ? P为直二面角,则AE ? PC. 在Rt ?PAC中,作AE ? PC,点E即为所求. 方法2:2 ? 建立空间直角坐标系如图,设PA ? AB ? 1, ? 3 3 则各点坐标分别为P ? 0, 0,1?,B ? 0,1, 0 ?,C ( , ,, 0) 4 4 1 1 3 3 1 D(0, , ),E ( ,, ), 2 2 8 8 2
27

???? ? 1 1 ??? 3 3 1 所以 AD ? (0, , ), ? ( ,, ). AE 2 2 8 8 2 由DE ? 平面PAC可知?DAE即是所求二面角. ???? ??? ? ???? ??? ? AD ? AE 14 所以 cos AD, 〉 ???? ??? ? 〈 AE ? . ? 4 AD AE
28

? 3? 如图所示,设D点的y轴坐标为x.

3 3 则各点坐标分别为P ? 0, 0,1?,B ? 0,1, 0 ?,C ( , ,, 0) 4 4 3 3 D(0,x,1 ? x),E ( x, x,1 ? x). 4 4 因为DE ? AE,DE ? PE, 当A ? DE ? P为直二面角时,PE ? AE.
29

??? ? 3 3 由AE ? ( x, x,1 ? x), 4 4 ??? ? 3 3 PE ? ( x, x, x ), ? 4 4 ??? ??? 3 2 9 2 ? ? 2 得 AE ? PE ? x ? x ? x ? x ? 0, 16 16 4 解得x ? 或x ? 0(舍去), 7 3 3 3 所以得E ( , , ), 7 7 7 也就说明符合题意的点E存在.

30

在立体几何试题中,有些出现了折叠 问题、割补问题,有些与函数、数列、三 角函数等结合,有些也与解析几何相结 合.但归根到底还是要抓好对立体几何基 本知识的复习,才能应对各种各样的变 化.

31

【变式训练 】 (2011·4月温州中学模拟)如图,已知 ABCD为平行四边形,∠A=60°,AF=2FB,AB=6, 点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD交EF于点N, 现将四边形ADEF沿EF折起,使点D在平面BCEF上的 射影恰在直线BC上.

32

(1)求证:BD⊥平面BCEF; (2)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值; (3)求三棱锥N-ABF的体积.

33

?1? 证明:因为EF ? DN,EF ? BN,所以
EF ? 平面BDN,所以平面BDN ? 平面BCEF. 又因为BN 为平面BDN 与平面BCEF的交线, 因此D在平面BCEF 上的射影在直线BN 上, 又D在平面BCEF 上的射影在BC上, 因此D在平面BCEF 上的射影即为B, 即BD ? 平面BCEF .

34

? 2 ? (几何法)在线段BC上取点M ,使BM

? FN,使

MN //BF,?DNM 或其补角为DN 与BF 所成的角, DN 2 ? MN 2 ? DM 2 3 因此cos?DNM ? ? , 2 DN ? MN 4 3 折后直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为 . 4 (空间向量法)以B为原点,以BC,BN,BD分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,在原图中有AB ? 6, ?DAB ? 60?,则BN ? 3,DN ? 2 3,因此折后图中
35

又MN ? BF ? 2,DM ? BD 2 ? BM 2 ? 10,DN ? 2 3,

BD ? 3,BC ? 3,则N (0,3,,D ? 0, 0,3?,C ? 3, 0, 0?, 0) F (?1,3,,因此BF ? BN ? NF ? (?1,3,,DN ? (0,3, 3) 0) 0) ? ??? ???? ? BF ? DN 3 ? ???? ? 则cos BF , DN ? ??? , 4 | BF | ? | DN | 3 直线DN 与直线BF 所成角的余弦值为 . 4 ? 3?因为AD ? EF,A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的 距离,由等积公式得VN ? ABF ? VA ? BNF ? VD ? BNF 3 因此所求的三棱锥的体积为 . 2
36

1 3 ? S?BNF ? BD ? , 3 2

1.求异面直线所成角的关键是作出异面直线 所成角的平面角,常用的方法有:(1)平移(利用中 a ?b 点)或补形;(2)向量法,cosθ= ;
a b

2.求线面角的常用方法:(1)垂线法:过线 上一点直接作面的垂线,则射影与斜线所成角就是 线面角(关键是找到垂足);(2)等体积法:当垂足不 好确定时,可以不确定,用等体积求距离,从而求 a ?n 得线面角;(3)向量法:sinθ= ;
a n

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3.求二面角的常用方法:(1)定义法:在棱 上找一点,过这点在两个半平面内分别作两条直线 跟棱垂直,则这两条直线所成角就是二面角的平面 角;(2)垂线法:过面上一点作另一面的垂线,过 垂足作棱的垂线,连结即得二面角的平面角;(3) n1 ? n2 向量法:|cosθ|= n n (注意方向); 1 2 4.求点到面的距离的常用方法:(1)等体积 法:变换顶点,使得几何体的高好求,求出体积, 再利用体积相等求出点到面的距离;(2)垂线法: 直接过点作面的垂线,求出垂线段的长度即可(最 a?n 好有面面垂直);(3)向量法:d= .
n
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