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3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(共58张PPT)


第三章 三角函数、解三角形

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角
函数

知识要求
内容 考试 说明 任意角的概念、弧度制 任意角的正弦、余弦、正切的 定义 三年 12年(1考):山东T16 考题 11年(2考):新课标全国卷T7 江西T14 了解 (A) √ √ 理解 (B) 掌握 (C)

1

.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合,考查三角函 数求值问题 考情 2.三角函数的定义与向量等知识相结合,考查三角函数定 播报 义的应用 3.主要以选择题、填空题为主,属中低档题

【知识梳理】 1.角的有关概念 角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看 α 与β 角的终边相同 角的分类 正角 、_____ 负角 和_____ 零角 角可分为_____ 象限角 和轴线角 可分为_______

α +k·360° β =____________(k∈Z)
α +k·2π (或β =__________,k∈Z)

2.象限角与轴线角 (1)象限角:
? 2k?<?<2k? ? ,k ? Z 2 ? 2k? ? <?<2k? ? ?,k ? Z 2 3? 2k? ? ?<?<2k? ? ,k ? Z 2 3? 2k? ? <?<2k? ? 2?,k ? Z 2

(2)轴线角:
?=k?,k ? Z

? ?= ? k?,k ? Z 2 k ?= ?,k ? Z 2

3.弧度的概念与相关公式 在半径为r的圆中: 分类 定义(公式) 半径长 的弧所对的圆心角,用符号 长度等于_______ 1弧度的角 rad表示
l 角α 的弧度 r 弧长用l表示) |α |=____( 数公式 ? ①1°=____rad 180 角度与弧度 180 ? ( ) 的换算 ②1rad=_____ ?

弧长公式

|α |r 弧长l=______

1 1 扇形的面积 lr | ? |?r 2 S=______=_______ 2 2 公式

4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

定义

设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 y 正弦 余弦 正切 y叫做α 的_____, x叫做α 的_____, 叫做α 的____,

各 象 限 符 号



记作sinα 正 ___
正 ___ 负 ___ 负 ___

记作cosα 正 ___
负 ___ 负 ___ 正 ___

记作tanα 正 ___
负 ___ 正 ___ 负 ___

x





口诀

一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数

正弦

余弦

正切

三角 函数线 MP 为 有向线段___ 正弦线 OM 为 有向线段___ 余弦线 AT 为 有向线段___ 正切线

【考点自测】

1.(思考)给出下列命题:
①三角形的内角必是第一、二象限角;

②第一象限角必是锐角;
③不相等的角终边一定不相同;

④若β =α +k·720°(k∈Z),则α 和β 终边相同;
⑤点P(tanα ,cosα )在第三象限,则角α 的终边在第二象限.

其中正确的是(
A.①②

)
C.②⑤ D.④⑤

B.③④

【解析】选D.①错误.90°的角可以是三角形的内角,但它不是

第一、二象限角.
②错误.390°的角是第一象限角,但它不是锐角.

③错误.390°的角和30°的角不相等,但终边相同.
④正确.由终边相同的角的概念可知正确. ⑤正确.由已知得tanα<0,cosα<0,所以α为第二象限角.

2.角-870°的终边所在的象限是( A.第一象限 C.第三象限

)

B.第二象限 D.第四象限

【解析】选C.因为-870°=-2〓360°-150°,又-150°是第三 象限角,所以-870°的终边在第三象限.

3.已知角α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α 的终边 在( ) B.y轴上 D.直线y=-x上

A.x轴上 C.直线y=x上

【解析】选A.由角α的余弦线长度为1分析可知,角α的终边在

x轴上.

4.(2014·邵阳模拟)已知点P(sin α -cos α ,tan α )在第一 象限,则在[0,2π ]内α 的取值范围是(
? ? A.( , ) 4 2 3? 5? C.( , ) 4 4 B.(?, 5? ) 4 ? ? 5? D.( , ) ? (?, ) 4 2 4

)

?sin ? ? cos ?>0, 【解析】选D.由已知得 ? ? tan ?>0, 5? ?? < ? < , ? ? 4 解得 ? 4 即 ? <?< ? 或 ?<?<5? . 2 4 ?0<?< ? 或?<?<3? , 4 ? 2 2 ?

5.弧长为3π ,圆心角为135°的扇形半径为 为 .

,面积

3 【解析】弧长l=3π,圆心角α= ? ,由弧长公式l=|α|r 4 1 得 r= l = 3? =4, 面积S= lr=6π. 2 ? 3? 4

答案:4



6.角α 终边上有一点P(x,5),且cos α = sin α =_______. 【解析】因为 r= x 2 ? 25,
x = . 因为x≠0, x 2 ? 25 13 所以r=13,所以 sin ?= 5 . 13

x (x≠0),则 13

所以 cos ?= =

x r

x

答案: 5
13

考点1

象限角及终边相同的角

【典例1】(1)已知角α 的终边落在阴影所表示的范围内(包括 边界),则角α 的集合为 .

(2)如果α 是第三象限的角,试确定-α ,2α 的终边所在位置.

【解题视点】(1)先写出在0°~360°范围内满足条件的角,再 由终边相同角的关系写出集合. (2)由α的范围写出-α与2α的范围,再由终边相同角的关系判

断.

【规范解答】(1)在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角为
90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表

示的范围内的角α的集合为{α|90°+k·360°≤α
≤135°+k·360°,k∈Z}∪{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·

360°,k∈Z}
={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z}∪

{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}. 答案:{α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°,n∈Z}

(2)由α是第三象限的角得π+2kπ<α< 所以- 即

? +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z), 2

3? -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z), 2

3? +2kπ(k∈Z), 2

所以角-α的终边在第二象限. 由π+2kπ<α<
3? +2kπ(k∈Z),得2π+4kπ<2α<3π 2

+4kπ(k∈Z).所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负 半轴.

【互动探究】在本例(2)的条件下,判断 置.

? 的终边所在的位 3

【解析】因为π+2kπ<α< 3? +2kπ(k∈Z), 所以 +
? 3 2k? ? ? 2k? (k∈Z). < < + 3 3 2 3 2

当k=3n(n∈Z)时,
? ? ? +2n?< < +2n? (n∈Z); 3 3 2

当k=3n+1(n∈Z)时,
π+2nπ< ? < 7 ? +2nπ(n∈Z);
3 6

当k=3n+2(n∈Z)时,
5? ? 11 +2n?< < ?+2n? ? n ? Z ?. 3 3 6 所以 ? 的终边在第一、三、四象限. 3

【易错警示】判断终边所在位置时注意分类讨论
本例第(2)题【互动探究】由 ?+ 2k? <? < ?+ 2k? (k∈Z)判断
? 终边所在位置时,要注意分类讨论的原则和标准,否则易出 3 3 3 3 2 3

现漏解或重解的情况.

【规律方法】 1.表示区间角的三个步骤

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 -360°~360°

范围内的角α和β,写出最简区间.
(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得

区间角集合.

2.确定kα,? (k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或 ? 的
k k

范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或 的终边所在位
置.

? k

等分象限角的规律 已知α是第m(m=1,2,3,4)象限角,求 ? 是第几象限角.
n

(1)等分:将每个象限分成n等份. (2)标注:从x轴正方向上第一个区域起,按逆时针方向顺次标 上1,2,3,4,1,2,3,4,?,依次循环,直至填充所有区域. (3)选区间:出现数字m的区域即为
? 的范围. n

【变式训练】设集合M={x|x= k ×180°+45°,k∈Z},N= {x|x= k ×180°+45°,k∈Z},那么(
4 2

)

A.M=N C.N?M

B.M?N D.M∩N=?

【解析】选B.方法一:由于M={x|x=

k 〓180°+45°,k∈Z} 2

={?,-45°,45°,135°,225°,?}, N={x|x= k 〓180°+45°,k∈Z}={?,-45°,0°,
4

45°,90°,135°,180°,225°,?}, 显然有M?N,故选B.
k 〓180°+45°=k·90°+45°= 2 k 45°·(2k+1),2k+1是奇数;而N中,x= 〓180°+45° 4

方法二:由于M中,x=

=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有 M?N,故选B.

【加固训练】 1.给出下列命题: ① - 3?是第二象限角;② 4 ? 是第三象限角;③-400°是第四
4 3

象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( A .1 个 B.2个
3? 4

)

C .3 个

D .4 个
4? =π+ 3

【解析】选C. ① - 是第三象限角,故①错误.②

4? ? ,从而 是第三象限角,故②正确.③-400°=-360°-40 3 3

从而③正确.④-315°=-360°+45°,从而④正确.

2.若α =k·180°+45°(k∈Z),则α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限

)

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

【解析】选A.当k=2n(n∈Z)时,α=2n·180°+45°(n∈Z), 在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,α=2n·180°+

225°(n∈Z),在第三象限.

3.如图所示:

则终边在图中所示直线上的角的集合为

.

【解析】由题干图易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x
上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角

的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°
+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.

答案:{β|β=135°+n·180°,n∈Z}

考点2

弧度制及应用

【典例2】(1)(2014·长沙模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦 长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.sin 2 C. 2
sin 1

)

D.2 sin 1

(2)已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数 是( A .1 ) B .4 C .1 或4 D .2 或4

【解题视点】(1)利用弦心距、半径、弦长的一半构成的直角 三角形求解. (2)构造弧长和半径的方程组求解.

【规范解答】(1)选C.如图:∠AOB=2弧度,
过O点作OC⊥AB于C,并延长OC交弧AB于D. 则∠AOD=∠BOD=1弧度,且AC= 1 AB=1, 在Rt△AOC中,AO ?
sin 1 AC 1 ? , sin?AOC sin 1 2

即r? 1 , 从而弧AB的长为 l ?| ? |?r ? 2 .
sin 1

(2)选C.设此扇形的半径为r,弧长为l,
? 2r ? l ? 6, r ? 1, 则 ?1 解得 ? 或 ? ? rl ? 2, ?l ? 4 ?2 从而 ? ? l ? 4 ? 4 或 ? ? l ? r 1 r

?r ? 2, ? ?l ? 2.
2 ? 1. 2

【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长公式l =|α|r,扇形的面积公式是S=
1 1 lr ? ? r 2(其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角). 2 2

(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个
量中的任意两个量.

提醒:运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的
度量单位为弧度制.

【变式训练】(2014·随州模拟)一个半径为R的扇形,它的周 长为4R,则这个扇形所含弓形的面积是(
R2 A. 2 1 C. ? 2 ? sin 1?cos 1? R 2 2 1 B. R 2sin 1?cos 1 2 D.R 2 (1 ? sin 1? cos 1)

)

【解析】选D.设圆心角为θ,由题知2R+R·θ=4R,得θ=2,
1 所以S弓=S扇-S△= 1 ·2R·R- 1 R2·sin 2=R2- R2·sin 2= 2 2 2

R2·(1- 1 sin 2)=R2(1-sin 1·cos 1).
2

【加固训练】 1. (2014·哈尔滨模拟)已知扇形的面积为 3? ,半径为1,则
16

该扇形的圆心角的弧度数是(
A. 3? 16 B. 3? 8 C. 3? 4 D.

)

3? 2 【解析】选B.S扇= 1 lr ? 1 ? r 2 ? 1 ? ? 1 ? 3? ,所以|α|= 3? . 2 2 2 16 8

2.一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2 km,一列火车 用每小时30 km的速度通过,求火车10 s转过的弧度数. 【解析】因为圆弧半径为R=2 km=2 000 m,速度v=30 km/h=
25 m/s,所以10 s走过的弧长为 250 m,火车10 s转过的弧度数 3 3 250 l 1 ?? ? 3 ? . R 2 000 24

考点3

三角函数的定义及三角函数线的应用

高频考点 通 关

【考情】任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理 解内容.在高考中以选择题、填空题的形式出现,考查利用定 义求三角函数值或已知三角函数值求坐标等问题.

【典例3】(1)(2014·厦门模拟)若三角形的两内角α ,β 满足

sin α ·cos β <0,则此三角形必为(
A.锐角三角形 B.钝角三角形

)

C.直角三角形

D.以上三种情况都有可能

(2)(2014·东莞模拟) 若角θ 的终边经过点P( ? 3,m)(m≠0)

且sin θ =

2 ,则cos θ 的值为______. m 4

【解题视点】(1)根据三角形中角的范围,先判断sin α的符 号,再判断cos β的符号,从而可解. (2)根据三角函数的定义利用sin θ=
2 ,求出m后再求解. m 4

【规范解答】(1)选B.三角形的两内角α,β的终边一定落在 第一、二象限或y轴的非负半轴上,所以sin α>0,又因为 sin α·cos β<0,所以cos β<0,故角β为钝角,此

三角形为钝角三角形.
(2)由题意得,r ? 3 ? m2 ,所以
2 ? m, 2 4 3? m m

因为m≠0,所以 m ? ? 5.
当m= 5 时,r= 2 2 ,点P的坐标为( ? 3,5 ),

所以 cos ? ? x ? ? 3 ? ? 6 ,
r 2 2 4

当m= ? 5 时,r= 2 2, 点P的坐标为( ? 3, ? 5 ), 所以cos θ= x ? ? 3 ? ? 6 .
r 2 2 4

6 答案: ? 4

【通关锦囊】 高考指数 ◆◆◆ 重点题型 已知角α 终边上一 点P的坐标求三角 函数值 已知角α 的终边所 在的直线方程求三 角函数值 破 解 策 略

先求出点P到原点的距离r,然后 利用三角函数的定义求解 先设出终边上一点的坐标,求出 此点到原点的距离,然后利用三 角函数的定义求解相关的问题. 若直线的倾斜角为特殊角,也可 直接写出角α 的三角函数值 先判断角所在的象限,再根据各 象限的符号规律判断

◆◆◆

◆◆◆

判断三角函数值的 符号问题

【关注题型】 求三角函数的定 熟悉各三角函数在各象限的符号,

◆◇◇
◆◇◇

义域
利用三角函数线

同时要注意函数本身所含的条件
先找到“正值”区间,即0~2π 间

解不等式
利用三角函数线

满足条件的范围,然后再加上周期
先作出角,再作出相应的三角函数 线的有向性

◆◇◇

比较异名三角函 线,最后进行比较,应注意三角函数
数值

【通关题组】 1.(2014·郴州模拟)已知角α 的终边与单位圆的交点 P(x, 3 ),
2

则tan α =(
A. 3

)
C. 3 3
4

B. ? 3

D. ?

3 3
2

1 【解析】选B.由|OP|2=x2+ 3 =1,得x=〒 ,tan α= ? 3.

2.(2014·黄石模拟)点A(sin 2 014°,cos 2 014°)在直角 坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

【解析】选C.由2 014°=360°〓5+(180°+34°)可知,

2 014°角的终边在第三象限,所以sin 2 014°<0,
cos 2 014°<0,即点A位于第三象限.

3.(2011·新课标全国卷)已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ =(
A. ? 4 5 B. ? 3 5 C. 3 5 D. 4 5

)

【解析】选B. 由题意知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,将 其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ= 1 ,故cos 2θ= 2cos2θ-1= ? 3 .
5 5

【加固训练】 1.(2014·海口模拟)已知θ ∈( ? , ? ),在单位圆中角θ 的正
3 2

弦线、余弦线、正切线分别是MP,OM,AT,则它们的大小关系 是( ) B.AT>MP>OM

A.MP>OM>AT

C.AT>OM>MP

D.MP>AT>OM

【解析】选B.如图,由图可知AT>MP>OM.

2.(2014·厦门模拟)如图所示,角的终边与单位圆(圆心在原 点,半径为1的圆)交于第二象限的点A(cos α , 3 ),则
5

cos

α -sin α =_______.

【解析】由题意得cos2α+( 3 )2=1,所以cos2α= 16 .
5 4 又cos α<0,所以cos α= ? , 5 又sin α= 3 ,所以cos α-sin α= ? 7 . 5 5 7 答案: ? 5 25

3.(2014·南京模拟)函数 y ? 2cos x ?1 的定义域为_____. 【解析】因为2cos x-1≥0,所以cos x≥ 1 .
2

由三角函数线画出x满足条件的终边的 范围(如图阴影所示). 所以x∈[2kπ- ? ,2kπ+ ? ](k∈Z).
3 ? 答案:[2kπ- ,2kπ+ ? ](k∈Z) 3 3 3

【易错误区8】利用定义法求三角函数值问题的易错点 【典例】(2014·杭州模拟) 已知角α 的终边在直线3x+4y=0上, 则sin α +cos α + tan4 α 的值为______.
5

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

答案:

【类题试解】(2014·三明模拟)若420°角的终边所在直线上 有一点(-4,a),则a的值为(
A.4 3 B. ? 4 3 C. ? 4 3

)
D. 3
a .又 ?4 ?4

【解析】选B.由三角函数的定义有:tan 420°=

tan 420°=tan(360°+60°)=tan 60°= 3,故 a ? 3,得 a= ?4 3.


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