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教育部课题2.2.2双曲线的简单几何性质

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教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

2.2.2 双曲线的简单几何性质(一)

复习引入
1. 双曲线的定义: 我们把平面内与两个定点F1、F2的

距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)
的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点.
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

新课讲授
2. 双曲线的标准方程:
y F1
O
2 2

y
F2 x c2=a2+b2 O F2 x

F1

y x x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ? 2 ? 1(a>0,b>0) 2 2 a b a b 焦点在x轴上,焦点 焦点在y轴上,焦点 是F1(-c, 0)、F2(c, 0). 是F1(0, -c)、F2(0, c).

2

2

复习引入
3. 椭圆的简单几何性质:
y b B2
2 2

x y ? 2 ? 1 (a>b>0) 2 a b
范围

A1 A -a F O F 2 x a 1 2 -b B1

对称性

图形关于x x ? a 轴、y轴、 y ? b 原点对称

离心率 c (±a, 0) e ? a (0, ±b) 0?e?1

顶点

新课讲授
利用双曲线的标准方程研究双曲线的 几何性质

x y 以 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 为例. a b

2

2

新课讲授
1.范围 双曲线上点 (x, y)都满足


x2 y2 ?1 ? 2 ? 0 2 a b
从几何角度看范围,但要 从代数角度证明

x ? 1, 即 x2≥a2, 2 a
F1

2

y F2 O a x

∴ |x|≥a (a>0). 双曲线在不等式

-a

x≥a与x≤-a所表示的区域内.

新课讲授
2.对称性
双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的.

坐标轴是双曲线的对称轴. 原点是双曲线的对称中心.
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心.
从几何角度容易看出对称性,从代数 角度要如何证明。椭圆也一样。

y
F2

F1 O

x

新课讲授
3.顶点 令y=0,得x=±a,∴双曲线和x轴 有两个交点A1(-a, 0)、A2(a, 0) . 双曲线和它的对称轴 y 有两个交点,它们叫做双 B2 曲线的顶点. y=b 令x=0,得y2=-b2,F1 F2 A2 x A1 O 这个方程没有实数根, 则双曲线和y轴无交点. 特殊点B1(0,-b)、B2(0, b). B1 y=-b

新课讲授
3.顶点 线段A1A2 叫做双曲线的实轴. 线段B1B2叫做双曲线的虚轴. 实轴的长等于2a. 虚轴的长等于2b.

y B2

a叫做双曲线的实半轴长.F1 F2 A2 x b叫做双曲线的虚半轴长. A1 O 实轴与虚轴等长的双曲线 B1 叫等轴双曲线.

虚轴为什么要标出? 第一,跟离心率即双曲线开口大小有关,第二跟渐近线有关。 渐近就是渐渐靠近。其实两者是一回事。

新课讲授
4.渐近线 经过A2、A1作y轴的平行线 x=±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y=±b,四 两条直线 条直线围成一个矩形 (如图).

叫做双曲线
2 2

b ?x y ? y ? ? x ? ? ? 0? a ?a b ?

y

B2

F1

a A1 O

F2
A2 x

x y ? 2 ? 1 的渐近线. 2 a b

b B1

新课讲授
4.渐近线 a=b时,实轴和虚轴等长,这样的 双曲线叫做等轴双曲线.
这时双曲线方程为x2-y2=a2,渐 近线方程为x=±y,它们互相垂直,并 且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.

新课讲授

如何求出渐近线?

一,即把双曲线方程的右边1改为0。二,画出实轴、虚轴, 矩形的对角线就是。要不要死记硬背?

新课讲授
5.离心率(刻画双曲线的开口程度) c 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? , a 叫做双曲线的离心率.
∵ c >a>0,
2 2

∴e>1.

2 b c ?a c 2 ? ? ? 1 ? e ? 1. 2 a a a

a不变,e增大,则b增大,于是双曲线开口越开阔。

例题讲解
例1. 求双曲线9y2-16x2=144的实半

轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.

例2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋
转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为 25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m).
y 13 C′ 12 A′ 0 A x C

B′

25

B

只有到了近代才可以造出来。从近代开始,生活中出现了有双曲线 的物体即建筑物。它们是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的 性质建造的。不知道双曲线的性质,建筑物是造不出来的。

解:如图,建立直角坐标系xOy,使小圆

y C′ 13 C O 12 A B 25 x

的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合。
这时,上下口的直径CC′,BB′都平行于x 轴,且︱CC′ ︱=13×2, ︱BB′ ︱= 25×2

A′

B′ x2 y 2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), a b 令点C的坐标为 13, y),则点B的坐标为 25, y ? 55). ( (

252 ( y ? 55)2 ? - ? 1 (1) 2 2 ? 12 b ? , 因为点B, C 在双曲线上,所以? 2 2 ? 13 ? y ? 1. ( 2) ? 122 b2

5b 由方程 (2), 得y ? (负值舍去),代入方 程(1), 得 12
5b ( ? 55)2 2 25 - 12 2 ?1 2 12 b

y C′
13

C A x B

化简得 b2 ? 275b ?18150? 0 19
用计算器解方程,得b≈25 A′
B′ x2 y2 所以,所求双曲线的方 程为 ? ?1 144 625

O

12

25

小 结

. .
A2 B2

图形

. .
F1
A1 A2
O

y

B2

y
F2
B1

F2

x

F2(0,c) x F1(0,-c)

F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

B1 F (c,0) 2

A1 O F1

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R

y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(e ? 1)

e?

c a

(e ? 1)
a x b

y??

b x a

y??

对于椭圆和双曲线到底是a大还是b大还是c大,需要死记硬背 吗?对于椭圆和双曲线到底是a2= b2+c2,还是 c2=a2+b2需要死记 硬背吗?如果给出椭圆、双曲线具体的数字的方程判断焦点在x轴 还是y轴需要死记硬背吗?双曲线的渐近线需要死记硬背吗? 答:1、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 2、只要画出椭圆、双曲线知道顶点、焦点位置a、c大小就可以判 断。 3、因为给出的是具体数字的椭圆、双曲线方程,所以根据数字大 小即可判断焦点在什么轴。

4、根据特征直角三角形。
5、两种求渐近线的方法。


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