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椭圆、双曲线、抛物线


1.椭圆
(1)椭圆概念
第一定义 平面内与两定点 椭圆。即: 其中两定点 焦距。 、 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离。 叫做椭圆的 。椭圆 为椭圆的动点。椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴,长为 、 的距离的和等于常数 ( )的动点 P 的轨迹叫做

截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴,长为 可变为

第二定



平面内到定点 (c,0)的距离和定直线 : 离心率 ,0<e<1)的点的轨迹是椭圆。

( 不在 上)的距离之比为常数 (即

其中定点 为椭圆的焦点,定直线 称为椭圆的准线(该定直线的方程是 点在 x 轴上) ,或 第三定义 (焦点在 y 轴上) ) 。

(焦

根据椭圆的一条重要性质:椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值,定 值为 ,可以得出,在坐标轴内,动点( )到两定点( ) ( )的斜率乘积等 于常数 m(-1<m<0) 注意:考虑到斜率为零时不满足乘积为常数,所以 掉两个点的椭圆。[2] 其他定义 椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。 无法取到,即该定义仅为去

(二)几何性质
基本性质 1、 范围: 焦点在 轴上 , ; 焦点在 轴上 ,

2、对称性:关于 X 轴对称,Y 轴对称,关于原点中心对称。

3、顶点: (a,0) (-a,0) (0,b) (0,-b) 4、离心率:e=c/a 或 e=√1-b^2/a? 5、离心率范围 0<e<1 6、离心率越大椭圆就越扁,越小则越接近于圆 7、焦点(当中心为原点时)(-c,0) , (c,0)或(0,c) , (0,-c) 8、x? /a? +y? /b? =1 (a>b>0)与 x? /(ma)? +y? /(mb)? =1 (a>b>0,m 为实数)为离心率相同的 椭圆 9、P 为椭圆上的一点,PF1(或 PF2)<a+c 切线法线 定理 1:设 F1、F2 为椭圆 C 的两个焦点,P 为 C 上任意一点。若直线 AB 切椭圆 C 于点 P,且 A 和 B 在直线上位于 P 的两侧,则∠APF1=∠BPF2。 定理 2:设 F1、F2 为椭圆 C 的两个焦点,P 为 C 上任意一点。若直线 AB 为 C 在 P 点的法线,则 AB 平分∠F1PF2。 离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值, (范围:0<X<1) e=c/a(0<e<1) ,因为 2a>2c。离心率越大,椭圆越扁平;离心率越小,椭圆越接近于 圆形。 椭圆的焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线 x=+a^2/c) 的距离为 b^2/c

离心率与 的关系: 准线方程

(焦点在 x 轴上) (焦点在 y 轴上) 准圆方程 准圆为 从准圆上任一点向椭圆引两条切线,这两条切线垂直

2.双曲线
(1)双曲线的定义
我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为 2a,小于

|F1F2|)的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线 [1] ) 即:│PF1-PF2│=2a 2a<2c

定义 1: 平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)
的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

定义 2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数 e(e=c/a(e>1) ,即为双
曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。双 曲线准线的方程为 x=± a? /c(焦点在 x 轴上)或 y=± a? /c(焦点在 y 轴上) 。

定义 3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥
都相交时,交线称为双曲线。

定义 4:在平面直角坐标系中,二元二次方程 F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 满足
以下条件时,其图像为双曲线[1] 。 1.a、b、c 不都是零. 2.b2 - 4ac > 0. 注:第 2 条可以推出第 1 条。 在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于 x,y 轴对称的情形。 这时双曲线的方程退化为:x2/a2 - y2/b2 = 1. 上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于 x,y 轴对称。 标准方程为: 1、焦点在 X 轴上时为: x2/a2 - y2/b2 = 1 (a>0,b>0) 2、焦点在 Y 轴上时为: y2/a2 - x2/b2 = 1 (a>0,b>0)

(2)双曲线的几何性质 焦点
在定义 1 中提到的两个定点称为该双曲线的焦点,定义 2 中提到的一给定点也是双曲 线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横(纵)坐标满足 c? =a? +b? 。

准线
在定义 2 中提到的给定直线称为该双曲线的准线。

离心率
在定义 2 中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率。 离心率 e=c/a 双曲线有两个焦点,两条准线。 (注意:尽管定义 2 中只提到了一个焦点和一条准线。 但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义 2 同时得到双曲线的两支, 而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。 )

顶点

双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。

实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴。实轴长的一半称为实半轴。

渐近线
双曲线有两条渐近线。 渐近线的方程求法是:将右边的常数设为 0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的 解,例如:X2/2-Y2/4=1,令 1=0,则 X2/2=Y2/4,则双曲线的渐近线为 Y=±(√2)X 一般地我们把直线 Y=± (bX/a) 叫做双曲线的渐进线 (asymptote to the hyperbola ) (焦 点在 X 轴上) 焦点在 y 轴上 直线为 Y=± (aX/b)

顶点连线斜率
双曲线 x2/a2 - y2/b2 = 1 上一点与两顶点连线的斜率之积为 b2/a2。

3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内, 到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 其中定点叫抛物线的焦点, 定直线叫抛物线的准线。

标准方程:方程 y 2 ? 2 px

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。
p ,0) ,它的准线方 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 程是 x ? ?

p ; 2

右开口抛物线:y2=2px 左开口抛物线:y2= -2px 上开口抛物线:x2=2py 下开口抛物线:x2=-2py[p 为焦准距(p>0)]

(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式: y ? ?2 px , x ? 2 py , x ? ?2 py .这四种抛物线的
2 2 2

图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y l

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0) y
F

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

图形

o F

l

x

F o

x

l

o

x

焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率

p ( , 0) 2 p x?? 2
x?0

(?

p , 0) 2 p x? 2
x?0

p (0, ) 2 p y?? 2

p (0, ? ) 2 p y? 2

y?0
y轴

y?0
y轴

x轴
(0, 0)
e ?1

x轴
(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

(0, 0)
e ?1

说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3) 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。


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