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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第6讲 抛物线(含解析)新人教A版


第 6 讲 抛物线
一、选择题 1.抛物线 x =(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( ) 5 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 1 ?1 ? 2 解析 根据分析把抛物线方程化为 x =-2? -a?y,则焦参数 p= -a, 2 ?2 ? 1 1 -a -a 2 p 2 3 故抛物线的准线方程是 y= = ,则 =1,解得 a=-

. 2 2 2 2 答案 D 2.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点在圆 x +y +2x-3=0 上,则 p=( A. 1 2 B.1 D.3
2 2 2 2 2

)

C.2

解析 ∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点为( , 0)在圆 x +y +2x-3=0 上, ∴ +p-3=0, 2 4 解得 p=2 或 p=-6(舍去). 答案 C 3.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB= ( 4 A. 5 3 B. 5 3 C.- 5 ). 4 D.- 5

p

2

2

p2

?y2=4x ? → 解析 由? 得 x2-5x+4=0,∴x=1 或 x=4.不妨设 A(4,4),B(1,-2),则|FA ? y = 2 x - 4 , ?

→→ -8 FA· FB 4 → → → |=5,|FB|=2,FA· FB=(3,4)· (0,-2)=-8,∴cos∠AFB= = =- .故选 D. 5 → → 5×2 |FA||FB| 答案 D x2 y2 4.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双 a b 曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 ( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y ).

2 2 x2 y2 c c2 a +b b 解析 ∵ 2- 2=1 的离心率为 2,∴ =2,即 2= 2 =4,∴ = 3.x2=2py 的焦点坐 a b a a a a

1

p 2 2 2 p x y b ? 标为? x,即 y=± 3x.由题意,得 =2, ?0,2?,a2-b2=1 的渐近线方程为 y=± a 1+? 3?2 ∴p=8.故 C2:x2=16y,选 D. 答案 D 5.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,

P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为(
A.18 B.24 C.36

). D.48

解析 如图,设抛物线方程为

y2=2px(p>0).
∵当 x= 时,|y|=p, 2 |AB| 12 ∴p= = =6. 2 2 又 P 到 AB 的距离始终为 p, 1 ∴S△ABP= ×12×6=36. 2 答案 C 6.已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3=0 和 y 轴的距离之和的最 小值是 A. 3 B. 5 ( C.2 ). D. 5-1

p

解析 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛物线的定义 可知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d +|PF|-1.易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离, 故 d+|PF|的最小值为 = 5,所以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. 答案 D 二、填空题 7.已知动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线 x=-1 的距离 相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y =4x. 答案 y =4x 8. 已知抛物线 y =4x 的焦点为 F, 准线与 x 轴的交点为 M, N 为抛物线上的一点, 且满足|NF| = 3 |MN|,则∠NMF=________. 2
2 2 2

|2+3| 2 +?-1?2
2

2

解析 过 N 作准线的垂线,垂足是 P,则有 PN=NF,∴PN= ∠MNP= 3 , 2

3 MN,∠NMF=∠MNP.又 cos 2

π π ∴∠MNP= ,即∠NMF= . 6 6 答案 π 6

9.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽________米.

解析

如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2

=-2py.由题意 A(2,-2)代入 x2=-2py,得 p=1, 故 x2=-2y.设 B(x, -3), 代入 x2=-2y 中, 得 x= 6, 故水面宽为 2 6米. 答案 2 6 10.过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= =________. y2=2x, ? ? 1 ? 解析 设过抛物线焦点的直线为 y=k? ?x-2?,联立得,?y=k?x-1?, ? ? 2? ? 整理得,k2x2-(k2 25 ,|AF|<|BF|,则|AF| 12

k2+2 k2+2 1 1 25 +2)x+ k2=0,x1+x2= 2 ,x1x2= .|AB|=x1+x2+1= 2 +1= ,得,k2=24,代 4 k 4 k 12 1 1 3 入 k2x2-(k2+2)x+ k2=0 得, 12x2-13x+3=0, 解之得 x1= , x= , 又|AF|<|BF|, 故|AF| 4 3 2 4 1 5 =x1+ = . 2 6 答案 5 6

三、解答题 x2 y2 3 11.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与 a b 3

3

直线 y=x+2 相切. (1)求 a 与 b; (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴垂 直,l2 交 l1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型. 解 c (1)由 e= = a b2 3 b 6 1- 2= ,得 = . a 3 a 3

又由原点到直线 y=x+2 的距离等于椭圆短半轴的长,得 b= 2,则 a= 3. (2)法一 由 c= a2-b2=1,得 F1(-1,0),F2(1,0). 设 M(x,y),则 P(1,y). 由|MF1|=|MP|,得(x+1)2+y2=(x-1)2,即 y2=-4x,所以所求的 M 的轨迹方程为 y2= -4x,该曲线为抛物线. 法二 因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上, 所以|MF1|=|MP|, 即 M 到 F1 的距离等于 M 到 l1 的距离.此轨迹是以 F1(-1,0)为焦点,l1:x=1 为准线的抛物线,轨迹方程为 y2=- 4x. → → 12.已知抛物线 C:y2=4x,过点 A(-1,0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,设AP=λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M,求证:直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F; 1 1? (2)若 λ∈? ?3,2?,求|PQ|的最大值. 思维启迪:(1)可利用向量共线证明直线 MQ 过 F;(2)建立|PQ|和 λ 的关系,然后求最值. (1)证明 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x1,-y1). → → ∵AP=λAQ,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2,
2 2 2 2 2 ∴y2 1=λ y2,y1=4x1,y2=4x2,x1=λ x2,

∴λ2x2+1=λ(x2+1),λx2(λ-1)=λ-1, 1 ∵λ≠1,∴x2= ,x1=λ,又 F(1,0), λ → ∴MF=(1-x1,y1)=(1-λ,λy2) 1 ? → =λ? ? λ-1,y2?=λFQ, ∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F. 1 (2)由(1)知 x2= ,x1=λ, λ 得 x1x2=1,y2 y2 1· 2=16x1x2=16, ∵y1y2>0,∴y1y2=4, 则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

4

2 2 2 =x2 1+x2+y1+y2-2(x1x2+y1y2)

1?2 ? 1? =? ?λ+λ? +4?λ+λ?-12 1 ?2 =? ?λ+λ+2? -16, 1 1? 1 ?5 10? λ∈? ?3,2?,λ+λ∈?2, 3 ?, 1 10 1 112 4 7 当 λ+ = ,即 λ= 时,|PQ|2 有最大值 ,|PQ|的最大值为 . λ 3 3 9 3 13.设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值. 解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|= 2p. 2p. 2,

由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 因为△ABD 的面积为 4 1 即 · 2p· 2p=4 2 1 2,所以 |BD|· d=4 2

2,解得 p=-2(舍去)或 p=2.

所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x2+(y-1)2=8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90° . 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|. 2 所以∠ABD=30° ,m 的斜率为 当 m 的斜率为 3 3 或- . 3 3

3 3 2 3 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 x2=2py 得 x2- px-2pb=0. 3 3 3

4 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ= p2+8pb=0, 3 p 解得 b=- . 6 p |b1| 因为 m 的纵截距 b1= , =3, 2 |b| 所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 当 m 的斜率为- 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3

综上,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3.

5

14.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,

y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0).
2 2

∵点 P(1,2)在抛物线上,∴2 =2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y =4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA=
2

y1-2 y2-2 (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得

y2 1=4x1,① y2 2=4x2,②


y1-2 y2-2 =- ,∴y1+2=-(y2+2). 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+y2=-4. 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2), ∴kAB=
2 2

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2

6

7


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