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福建省历届高中数学预赛试卷


目录
2004 年福建省高中数学预赛试题 .......................................................................................... 2 2005 年福建省高中数学预赛试题 ......................................................

.................................... 4 2006 年福建省高中数学预赛试题 .......................................................................................... 6 2007 年福建省高中数学预赛试题 .......................................................................................... 8 2008 年福建省高中数学预赛试题 ........................................................................................ 10 2009 年福建省高中数学预赛试题 ........................................................................................ 12 2010 年福建省高中数学预赛试题 ........................................................................................ 14 2011 年福建省高中数学预赛试题 ........................................................................................ 15 2012 年福建省高中数学预赛试题 ........................................................................................ 17

1

A.

2004 年福建省高中数学预赛试题 2004.9.12. 8: 00 — 10: 30 一、选择题(本题满分 24 分,每小题 4 分) 1. 已知点(, )在直线 + 2 = 3上移动,当2 + 4 取最小值时,点(, )与原点的距离是( )
3√5 4

B.

45 16

2. 设双曲线 A. ? , ?
6 3 1 8

2

2

3. 正四面体的 4 个面分别写着1,2,3,4,将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上,与 桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是( ) A. B.
64 9

B.? , ?
6 2

?

2 2

C.

= 1的离心率 ∈ ? C.? , ?
3 2

3√2 4

D.

8

9

2√3 3

, 2?,则双曲线的两条渐近线夹角的取值范围是( ) D.? ,
3 2 3

?

C.

6. 两 个 周 期 函 数 1 , 2 的 最 小 正 周 期 分 别 为 , , 且 = ( ≥ 2, 为整数) . 如 果 函 数 3 = 1 + 2 的最小正周期为 . 那么五种情形:" < ", " = ", " < < ","t=b"," > "中, 不可能出现的情形的个数是( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 7. 已知log = 24, log = 40, log = 12.那么log =________________. 8. 设() = ( 2 ? 8 + 1 )( 2 ? 8 + 2 )( 2 ? 8 + 3 )( 2 ? 8 + 4 ). = {|() = 0}. . 那 么 max{1 , 2 , 3 , 4 } ? 已 知 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } ? min{1 , 2 , 3 , 4 } =__________.

4. 甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方 去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打 12 局,乙共打 21 局,而丙共当裁判 8 局.那么整个比赛的第 10 局的输方( ) A.必是甲 B.必是乙 C.必是丙 D.不能确定 2 2 2 5. 曲线 + ? = 0与 + + = 0有且只有 3 个不同的公共点,那么必有( ) A.(4 + 4 + 4)( + 1) = 0 B.(4 ? 4 ? 4)( + 1) = 0 C.(4 + 4 + 4)( ? 1) = 0 D.(4 ? 4 ? 4)( ? 1) = 0

16

1

D.

13 16

9. 如果实数, 满足3 + 2 ? 1 ≥ 0,那么 = 2 + 2 + 6 ? 2的最小值是_______. 10. 不等式组sin > cos > tan > cot在(0,2)中的解集(用区间表示)是___________. 11. 四面体中, = = , = = , = = .如果异面直线 AB 与 CD 所成 的角为, 那么cos =___________. 12. 设 , , ∈ ? , ≤ . 为 关 于 的 不 等 式 lg ? lg < lg < lg + lg 的 解 集 . 已 知 card () = 50 . 当取最大可能值时,√ + =_________. 三、解答题(本题 90 分.共 4 个小题.第 13,14,15 题各 20 分,第 16 题 30 分) 13. 求 函 数 () = |sin + cos + tan + cot + sec + csc| 的 最 小 值 . 其 中 14.椭圆 2 + 4 2 = 8中,是长为 的动弦.为坐标原点.求△面积的取值范围.
5 2

sec = cos , csc = sin.
1 1

2

16.(1)给定正整数 ≥ 5,集合 = {1,2, ? , }.是否存在一一映射: → 满足条件:对一 切(1 ≤ ≤ ? 1),都有|(1) + (2) + ? + ()? (2) ? 为全体正整数的集合,是否存在一一映射: ? → ? 满足条件:对一切 ∈ ? ,都有 |(1) + (2) + ? + ()?证明你的结论. 注:映射: → 称为一一映射,如果对任意 ∈ ,有且只有一个 ∈ 使得() = .题中“|” 为整除符号.

15.无 穷数 列{ }中( ≥ 1), 对 每个奇 数 , , +1 , +2 成 等 比数 列, 而对 每个 偶数 , , +1 , +2 成等差数列.已知1 = , 2 = . (1)求数列的通项公式.实数, 满足怎样的充要条件时,存在这样的无穷数列? (2)求2 , 4 , ? , 2 ,的调和平均值,即
∑ =1
1 2

的值.

3

2005 年福建省高中数学预赛试题 考试时间:2005 年 9 月 11 日上午 8:00~10:30 一、选择题:每题 6 分,满分 36 分


大值为( ) A0 B
1 2

1、设函数()的定义域为,且对任意实数 ∈ ?? , ? , (tan) = sin2,则(2sin)的最 2 2 2、实数列{ }定义为 = A 1
√6 2 5 3

C

A3 B ?4 C 3或?4 D 8 3、 正四面体的棱长为1, 是△内一点, 点到边, , 的距离之和为, 点到 2 2 平面, , 的距离之和为 y,则 + 等于( ) B C D 50 = ,, 是互质的正整数,则 + 等于(
12 7

√2 2

2 ??1 +2

D1

?1 +1

, = 2,3, ? , 1 = 1, 9 = 7,则5 的值为( )

4、数列1 , 2 , ? , 100 满足如下条件:对于 = 1,2, ? ,100, 比其余99个数的和小,已知 A 50 A
√2 2

5、若sin + sin = B 6、为椭圆
2 9 2 16 √3 2

B

100

切点分别为、,直线与轴、轴分别交于点, ,则△ 的最小值为( A B
2 9

+

2 9

二、填空题:每小题 9 分,满分 54 分 7 、 实 数 , , 满 足 2 + 2 = 7, 2 + 4 = ?7, 2 + 6 = ?14 , 则 2 + 2 + 2 =______________. 8、设是集合{1,2, ? ,15}的一个非空子集,若正整数满足: ∈ , + || ∈ ,则称是子 集的模范数,这里||表示集合中元素的个数。对集合{1,2, ? ,15}的所有非空子集,模范 数的个数之和为_________. 9、对于 ≤ ≤ 1,当(1 + )5 (1 ? )(1 ? 2)2取得最大值时, =_______________. 10 、 函 数 () 满 足 : 对 任 意 实 数 , , 都 有 12、 在双曲线 = 1上, 横坐标为
+1 1 2 ()()?() 3

√3

= 1在第一象限上的动点,过点引圆 2 + 2 = 9的两条切线、, C
27 4

C

√2 , cos 2 √6 2

C 165

+ cos = D 1

D

√6 ,则sin( 2

173



+ )等于(



D

27 4

√3



(36) =_______________. 11、 正四面体的体积为1, 为为其中心. 正四面体′ ′ ′ ′与正四面体 ABCD 关于点 O 对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为_________________. . 的点为, ( , )是三角形 的外心,则1 + 2 + ? + 100 = _____________
4
+1

= + + 2 , 则

的点为 ,横坐标为

的点为 ( ∈ + ).记坐标为(1,1)

|| 15、 设集合和都是由正整数组成的集合, = 10, || = A G B D 9, 并且集合满足如下条件: 若, , , ∈ , + = + , 则{, } = {, }.令 + = { + | ∈ , ∈ }求证:| + | ≥ 50.(||表示集合的元素 个数)
I E

= 0的两实数根的绝对值均小于3,求 + + 的最小值.
1

13、如图,已知三角形的内心为, ≠ ,内切圆与边, , 分别相切于点 , , , = ∩ ,连结与内切圆的另一个交点为, C 过的切线交的延长线于点.求证: (1)△ ?△; (2) ⊥ 14、设, , 是正整数,关于的一元二次方程 2 + + 三、解答题:每小题 20 分,满分 60 分
F S M

5

一. 选择题 1. 对于 ∈ [0,1]的一切值, + 2 > 0是使 + > 0恒成立的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既非充分条件,也非必要条件 2. 方程
8 +27 12 +8

2006 年福建省高中数学预赛试题 (考试时间:150min)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多 2 3. 已知抛物线 = + + 与抛物线 = 2 ? 8 + 3关于点(3,4)对称,那么 + + 的 值为 (A)?28 (B)?4 (C)20 (D)18 4. 正方体 ? 1 1 1 1的棱长为 1,点为1 1 上的点,且1 : 1 = 3: 1,则和 平面1 1所成角的大小是,则sin 等于 5. 已知, ∈ ?0, ?, 则[] + []等于 (其中[] 且若tan2( + ) + cot2 ( + ) = 3 ? 2 ? 4, 2
1

= 的解的个数是
7 6

(A)

1 2

(B)

√3 2

(C)

5√53 53

(D)

5√51 51

表示不超过的最大整数) (A)0 (B)1 (C)2 6. 方程√ +
2006 √

(A)1 组 (B)2 组 (C)4 组 (D)8 组 二. 填空题 7. 有 10 张卡片,编号为1,2, ? ,10,一张一张有放回的抽取 3 张,这 3 张中至多有两张同 号的概率是_____________. 8. 设{ }是公比为的等比数列,其前项的积为 ,并且满足条件1 > 1, 99 100 ? 1 > 最小自然数等于 199。其中正确结论的编号是___________. 9. 函数 = √3 + 4 + √3 ? 4的最大值与最小值之和为______________. 10. 函数: ? → 满足:(1) = 1003且对任意正整数,都有(1) + (2) + ? + () = 2 (),则(2006)的值为______________. 11. 从一个由 88 条棱的多面体,切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥,得到一个新的 凸多面体。 这些被切去的棱锥的底面所在的平面在上或内部互不相交, 则凸多面体的棱 数是______________. 给出下列结论:1) < < 1;2)198 < 1;3) 99 101 < 1;4) < 1成立的 ( 0 ( ( ( 使 0, 99 ?1 < 0。
?1
100

= 2007的正整数解(, )的组数是 (D)3

12. 在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(?2√3, 0),右顶点 为(4,0)。设点的坐标是(2,1),过原点的直线交椭圆于点, ,则△面积的最大值是 ____________. 三. 解答题 13. 是圆内接四边形, 点是的中点, 对角线和相交于点, 过点且与相 切于点的圆与和分别相交于点和, 点在线段上, 使得 = , 过点且与 平行的直线交与点,求证: = .
6

14. 问:是否存在函数(), (), ?(),满足

合分成个两两不交的子集1 , 2 , ? , ,对于任一子集 (1 ≤ ≤ )中的任意 3 个数, , (可以是相同的)都有 ≠ + .

15. 非负实数, , 满足2 + 2 + 2 + = 4,求证: 0 ≤ + + ? ≤ 2. 16. 设 = {1,2, ? ,18}。求最小的正整数,使得可以把集

2 ? 3, < ?1, |()| ? |()| + ?() = ?12 + 7, ?1 ≤ ≤ 0, ?4 + 7, > 0.

D A T S R B C P Q M

7

2007 年福建省高中数学预赛试题 (考试时间:2007 年 9 月 16 日上午 8:00-10:30) 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分,以下每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其中有且只有一个是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、 多填或错填均得零分) 1 . 一 个 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长 为 , 满 足 不 等 式 C.6 D.√40 A.5 B.√30 2.数 812934756 是一个包含 1 至 9 每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质:数字 1 至 6 在其中是从小到大排列的, 但是数字 1 至 7 不是从小到大排列的. 这样的九位数共有( ) 个. A.336 B.360 C.432 D.504 3.一个三角形的最短边长度是 1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度 为( ). A.
2√10 5

?2 ? 6√2 + 19 + ?2 ? 4√3 + 16 ≤ 3,则这个直角三角形的斜边长为( )

B.

4.正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为 8,则这个正三棱锥的体积的最大值 为( ). A.18 B.36 C.72 D.144 5.对每一个正整数,设 = 1 + + ? + ,则(31 + 52 + 73 + +9949 ) ? 250049 等
1 2 1

3√5 5

C.√3

D.2

于( ) A.-1025 B.-1225 C.-1500 D.-2525 6.集合 = {1,2,3,4,5,6,7}的五元子集共有 21 个,每个子集的数从小到大排好后,取出中间 的数,则所有这些数之和是( ) A.80 B.84 C.100 D.168 二.填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分.请直接将答案写在题中的横线上) 7.函数() = 2 ? 2 + 3,若|() ? | < 2恒成立的充分条件是1 ≤ ≤ 2,则实数的取 值范围是_________________. 8.在直角坐标平面上,正方形的顶点, 的坐标分别为(12,19), (3,22),则顶点, 的 坐标分别为_____________. (, , , 依逆时针顺序排列) 9.已知1 , 2 分别是椭圆 11.设() =
2+5 1

12.设函数() = |1 ? 2| ? 3| + 1|,如果方程() = 恰有两个不同的实数根, ,满足 2 ≤ | ? | ≤ 10,则实数的取值范围是__________. 三、解答题: (共 4 小题,每小题 20 分,满分 80 分.要求写出解题过程) (2 ) + ,试求的最大值. 13 . 已 知 () = 2 + 2, () = 3 +
4 1

点,使得线段1的垂直平分线过点2 ,则的取值范围是__________. 10.方程100 + 3 = 1003的正整数解(, )有____________组. +
1+ 1? 1 2 1 5

2

2

+

2 2

= 1(0 < < 3)的左、右焦点.若在椭圆的右准线上存在一

,则不等式 ?( ? )? < 的解集为__________.

, 若 对 任 意 1 , 2 ∈ (0, +∞) 恒 有 (1 ) ≥

8

14. 已知1 , 2 分别是双曲线 2 ?

右两支分别于, 两点,过2 且与1垂直的直线2交双曲线的左、右两支分别于, 两点. (1)求的取值范围; (3)求四边形面积的最小值. 15.如图,在锐角三角形中,1 , 1 是两条角 平分线,, , 分别是△的内心,外心,垂心,连 接, 分别交,于点, . 已知, 1 , , 1四点共 圆. (1)求证:∠ = 60°; (2)求证: = + . 16.已知两个整数数列0 , 1 , 2 , ?和0 , 1 , 2 , ?满足 (1)对任意非负整数,有|+2 ? | ≤ 2; (2)对任意非负整数, ,有 + = 2+2 . 证明:数列0 , 1 , 2 , ?中最多只有 6 个不同的数. (2)设点(0 , 0 )是直线1 , 2的交点为,求证:0 2 +
2 0

2 3

= 1的左、 右焦点, 1 斜率为的直线1交双曲线的左、 过
3

> ;
4 3

C

A1 B1 H P A B Q I O

9

2008 年福建省高中数学预赛试题 一. 选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1. 已知0 < < , sin ? cos = 。 若tan +
2 4 tan 1

则 + + = (A)8 (B)32 (C)48 (D)50 2. 已知一个正三棱柱的底面边长为 1,且两个侧面的异面对角线互相垂直。则它的侧棱长 为 可以表示成 3. 在直角坐标平面中有点(5,0)对于某个正实数,存在函数() = 2 ( > 0),使 得∠ = ∠,其中?1, (1)?, (, ())。则的取值范围为 (A)(2, +∞) (B)(3, +∞) (C)[4, +∞) (D)[8, +∞) 2 2 4. 方程| ? 3 + 2| + | + 2 ? 3| = 11的实数解的个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 5. 已知函数()满足对所有的实数, , 都有() + (2 + ) + 5 = (3 ? ) + 2 2 + 1.则(10)的值为 (A)?49 (B)?1 (C)0 (D)25 6. 已知实数使得只有一个实数满足关于的不等式| 2 + 2 + 3| ≤ 2则满足条件的所 有的实数的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多 二. 填空题(每小题 6 分,共 36 分) (A)√2 (C)2 7. 若双曲线 的距离,则该双曲线两条渐近线所夹锐角的取值范围是_________. 8. 设 多 项 式 () = 15 ? 200814 + 2008 13 ? 200812 + 200811 ? ? + 2008 3 ? 2008 2 + 2008,则(2007) =_______________. + sin = 2008 9. 实数, 满足? (0 ≤ ≤ 2 ).则 + =___________. + 2008 cos = 2007
2 2

?



的形式 (, , 是正整数) 。

(B) 2

√2

(D) 2

√3

?

2 2

= 1( > 0, > 0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线
3 2

10. 在平面直角坐标系中, 设点(0,4), (3,8)。 若点(, 0)使得∠最大, 则 =_______. 11. 质数, , 满足 + = ,且( ? ) ? ( ? ) ? 27时一个完全平方数。则满足条件的 所有三元数组(, , ) =________. 12. 正整数 ≤ 500, 具有性质:从集合{1,2, ? ,500}中任取一个元素, 使得|的概率是
1

出的值;若不存在,请说明理由。 14. 如 图 1 , 已 知 锐 角 △ 的 外 接 圆 半 径 = 1, ∠ = 60°, △的垂心、 外心分别为, , 联结与的延长线交于点。求:
10

则的最大值是_____________. 三. 解答题(每小题 20 分,共 80 分) 13. 已知抛物线: = 2 ( > 0),直线 = + 2交抛物线于点, ,是线段的中点, 过作轴的垂线交抛物线于点。 A (1)证明:抛物线在点处的切线与平行。 ??????? ??????? (2)是否存在实数,使得 ? = 0?若存在,求
O H B C

100



P

(1)凹四边形的面积; (2) ? 的值。 15. 求最小的正实数,使得不等式

1 1 1 + + + ? + + ? ≥ 9 对所有的正实数, , 都成立。 16. 设1 , 2 , ?是不同的正实数。证明:1 , 2 , ?是一个等比数列的充分必要条件是对所有 整数( ≥ 2),都有1 ∑?1 =1

2 +1 2

=

2 2 ?1 2 2 2 ?1

.

11

2009 年福建省高中数学预赛试题 (考试时间:2009 年 9 月 13 日上午 9:00-11:30) 一、填空题:每小题 6 分
2 2

?????? ??????? ?????? ??????? 1 . 已 知 向 量 = ?2 cos ? + ? , ?1? , = ?? sin( ? ) , cos 2? , () = ? 。 若

6.在平面直角坐标系中,直线1 : 4 + 5 = 20与轴,轴分别交于点, ,直线2 与线 段, 分别交于点, ,且平分三角形的面积,则 2的最小值为________。 7. 若对于任意的实数, 函数() = 2 ? 2 ? | ? 1 ? | ? | ? 2| + 4的值都是非负实数, 则实数的最大值为______________。 8.集合{1,2,3, ? ,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为___________。 10.满足0 ≤ ≤ 20, = 1,2,3,4且1 + 3 = 2 + 4 的有序整数组(1 , 2 , 3 , 4 )的个数为 _______。 二、解答题:每小题 20 分 11.已知() = (1)设() =
5 2 +1 3?1

4. 一个直径 = 2的半圆, A作这个圆所在平面的垂线, 过 在垂线上取一点, 使 = , 为半圆上一个动点, , N分别为A在, 上的射影。 M 当三棱锥 ? 的体积最大时, 与平面所成角的正弦值是__________。 5 . 若 定 义 在 上 的 奇 函 数 = () 的 图 象 关 于 直 线 = 1 对 称 , 且 当 0 < ≤ 1 时 , () = log3 ,则方程() = ? 3 + (0)在区间(0,10)内的所有实根之和为_______。
1

2.设 < ?1,变量满足 2 + ≤ ?,且 2 + 的最小值为? ,则 =___________。
1 2

, , 分别是锐角△中角, , 的对边,且满足() = 1, + = 5 + 3√2, = √13,则 △的面积 =__________________。

3.已知 5 个不同的实数,任取两个求和得到 10 个和数,其中最小的三个和数依次为 32、 36、37,最大的两个和数为 48 和 51,则这 5 个数中最大的数等于____________。

9.方程 [] = 的实数解是_____________。 (其中[]表示不超过的最大整数)
2 9

差数列{ }与{ }的前项和分别为 与 ,且


,方程() = ?4 + 8有两个不同的正根,且一根是另一根的 3 倍。等


(2)若1 = ,数列{ }的公差为 3,探究在数列{ }与{ }中是否存在相等的项。若有,

求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{ }的通项公式,若没有,请说明理由。 12.已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为(2,0),点的坐标为(, 0)( ≠ 0)。 (1)设过点斜率为 1 的直线1交抛物线于, 两点,若 < 0, 关于原点的对称点为。 求△面积的最大值。 (2)设过点斜率为( ≠ 0)的直线2交抛物线于, 两点,在轴上是否存在一点,使 得, 与轴所成的锐角相等?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由。 13. 如图, ⊙与线段相切于点, 与以为直径的半圆相切于点。 ⊥ 于点, 与 以为直径的半圆交于点,且与⊙相切于点,连接, 。
12

( = 1,2,3, ? ),求()的最大值。

= ()( = 1,2,3, ? )。

14 . 设 ∈ ?√2 ? 1, √2 + 1?, = 1,2, ? ,2010 。 令 = 1 2 + 3 4 + ? + 2009 2010。 (1)能否等于 2010?证明你的结论, (2)能取到多少个 不同的整数值? 15.已知正实数, , 满足 + + ≤ 3。求证: (1)3 >
+1 1

求 证 : 1 ) , , 三 点 共 线 , 2 ) = , 3 ) ( ( ( 2 = 2 × 。

C E F A D O M B

+

+1

1

+

+1

1

≥ , (2)
3 2

(+2)

+1

+

(+2)

+1

+

(+2)

+1

≥ 2。

13

10.如图,记从“田字型”网格(由 4 个边长为 1 的正方形构成)的 9 个交点 中任取 3 个点构成的三角形面积为 (当所取的三点共线时, = 0), 则的数学期望 =_____________. 二.解答题:(每小题 20 分,满分 100 分) 11.当实数为何值时,关于的方程 = 无解、一解、两解? 12.已知函数() = | ? 2| ,试求()在区间[0,1]上的最大值(). 13.如图,在锐角△中, = ,∠的平分线交于点 D,过 △的外心作的垂线交于点,过点作的平行线交 于点. (1)求证:, , , 四点共圆; (2)求证:, , 三点共线; (3)求证: = . 14. 已 知 双 曲 线 : 2 ? 2 = 1( > 0, > 0) 的 离 心 率 为 2, 过 点
2 2

5.如图,在四棱锥 ? 中,底面为正方形,△为等 边 三 角 形 , 为 边 中 点 , 且 ⊥ 平面 , 则 二 面 角 ? ? 的余弦值为_____________. D A 6.已知集合 = {| = 0 + 1 × 7 + 2 × 72 + 3 × 73},其中 O ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, = 0,1,2,3 ,且3 ≠ 0.若正整数, ∈ , 且 + = 2010, > , 则 符 合 条 件 的 正 整 数 有 B C _____________个. 7.函数() = 2 + 2 ( ∈ ? )的最小值_________________. 8.将方程 3 ? 3[] = 4的实数解从小到大排列得1 , 2 , ? , ,则1 3 + 2 3 + 3 3 + ? + 3 的值为____________.([]表示不超过的最大整数) 9.若正整数使得对任意一组满足1 2 34 = 1的正数1 , 2 , 3 , 4 都有1 + 2 + 3 + 1 1 1 1 4 ≥ + + + 成立,则正整数的最小值为_________.
P
1 2 3 4

2.在△中,若sin + = ? ,则cos2 =_________________. 3 3.在数列{ }中,已知1 = 2, +1 ? 2 = 2+1 ( ∈ ? ), 则使 > 10成立的最小正整数 的值为_____________. 4.已知()是定义在上的奇函数,对任意 ∈ 均有( + 2) = (),且 ∈ (0,1)时, () =
1

2010 年福建省高中数学预赛试题 一.填空题:(每小题 6 分,共 60 分) 1? 1.用区间表示函数() = ln( ? 1)的定义域为__________________.
+3

2,则 ?? ? + (1) =________________. 2
3

A

E D O F

(0, )( > 0) 斜 率 为 1 的 直 线 交 双 曲 线 于 , 两 点 , 且 ?????? ?????? ?????? ?????? B = 3, ? = 3. (1)求双曲线的方程; (2)设为双曲线右支上动点,为双曲线的右焦点,在轴负半轴上是否存在定点使得 ∠ = 2∠?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 15.数列{ }中,已知1 = 2,且对一切正整数都有+1 = 1 2 3 ? + 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 求证: + + + ? + ≥ + + + ? + 对一切正整数均成立.
1 2 3 2 4 8 2

C

14

2011 年福建省高中数学预赛试题 一. 填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1. 函数() = sin4 + sincos + cos4 的最大值为___________. 2. 已 知 , 分 别 是 等 差 数 列 { } 与 { } 的 前 项 的 和 , 且 =
3 +18 10

的实数, 均有( + ) ? ( ? ) = 2(1 ? )()。则 ?3? =_______.
1

4. 如图,在四面体 ? 中,已知 ⊥平面,△ 是边长为 2 的正三角形。则当二 面角 ? ? 的正切值为 2 时,四面体 ? 的体积 =_______. 5. 已知定义在上的函数满足: (1)(1) = 1;(2)当0 < < 1时,() > 0;(3)对任意

3. 若函数() = log (4 + )在区间[1,2]上为增函数,则的取值范围是_____.


+

6 +15

11

=_________.





2+1 4?2

( = 1,2, ? ) , 则

10. 在平面直角坐标系中,已知点集 = ?(, )?, 为整数, 且 0 ≤ ≤ 5,0 ≤ ≤ 5?,则以集 合中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为______. 二. 解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11. 已知1 , 2 分别是椭圆:
2 1 ???????? ???????? 1 + 2 = ,且2 = 2 ,求的值。 2 4

6. 已知实数, 满足条件3 2 + 4 2 = 48,则? 2 + 2 ? 4 + 4 + ? 2 + 2 ? 2 + 4 + 5 的最大值为_______. 7. 已 知 正 整 数 , , 满 足 条 件 = (14 ? )(14 ? )(14 ? ) , 且 + + < 28 , 则 2 + 2 + 2的最大值为_______. 8. 有 5 个乒乓球,其中有 3 个是新球,2 个是旧球(即至少用过一次的球) 。每次比赛,都 拿其中的 2 个球用,用完后全部放回。设第二次比赛时取到新球的个数为,则的数学期望 =________. 9. 对正整数,设 是关于的方程 3 + 2 ? = 0的实数根,记 = [( + 1) ]( = 2,3, ? )([]符号表示不超过的最大整数) 。则 +
2 3 1005 1

(2 + 3 + 4 + ? + 2011 ) =________.

14. 已知() = ? ? 1(为自然对数的底数) 。 (1)求证:() ≥恒成立; 求证: (1) (2)求证:? ? + ? ? + ? ? + + ? 2 2 2
1 3 5 2?1 2

13. 如图,设锐角△ 的外接圆为圆,过点, 作圆的两条切 线,相交于点。连接交于点,点, 分别在边, 上, 使得 ∥ , ∥ .


12. 已知二次函数() = 2 + 2 + ( > > ),其图像过点 (1,0),并与直线 = ?有公共点。求证:0 ≤ =
2 2

= 1的左、右焦点,点(1 , 1 ), (2 , 2 )在椭圆上。若
A

< 1.

F O E

B

D

C

,(2)∠ = ∠.

P

15. 已知1 , 2 , 3 , ? , 35是平面内凸三十五边形的 35 个顶点,且1 , 2 , 3 , ? , 35中任何两点
15

? < ?1对一切正整数均成立。


之间的距离不小于√3。求证:从这 35 个点中可以选出 5 个点,使得这 5 个点中任意两点之 间的距离不小于 3.

16

2012 年福建省高中数学预赛试题 (考试时间:150min) 一、 填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1. 已知集合 = {|| ? 1| < 2}, = {| log2 > log3 },则 ∩ =___________.
2

2. 已知函数() = √3sin2 + 2cos 2 + ,若()在区间?0, ?上的最小值为?1,则的值为

为2,则1的值为____________.
2

____________. 3. 若关于的方程 3 ? 3 2 ? 9 = 在区间[?2,3]上恰有两个不同的实根, 则实数的取值范 围为___________. ?????? ?????? ?????? ?????? 4. 已知点在△内部,且3 + 2 + = 4,记△的面积为1 ,△的面积 5. 已知正三棱锥 ? 底面正三角形的边长为2√3,内切球半径为√2 ? 1,则三棱锥的体 积为______________. 6. 已知数列{ }中,1 = 1, +1 =
(+1) 2

7. 有 14 个大小、形状相同的小球,其中 7 个红球,7 个白球。它们分别装在甲乙两个盒子 内,其中甲盒子内装有 4 个红球、3 个白球,乙盒子内装有 3 个红球、4 个白球。现从甲盒 子内随机摸出 1 个小球放入乙盒子内, 再从乙盒子内随机摸出 1 个小球放回甲盒子内, 记此 时乙盒子内红球的个数为,则的数学期望 =_______________。 8. 不等式 2 + ln > 的解集为____________。 (用区间表示) 9. 函数() = 2√ ? 3 + √5 ? 的最大值为_____________.


( ∈ ? ),则数列{ }的前项和为_________.

10. 对正整数, 记 = ? ? + ? 2 ? + ? 3 ? + ? + ? ?, 其中为满足2 ≥ 的最小整数, 符号[] 97, ? = 100 ? 97 = 3,因此,数 100 的“亏损数”为 3)则“亏损数”为 9 的最小正整数为 ______________。 二、 解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11. 已知数列{ }为等差数列,且2 = 5, 8 = 23。数列{ }是各项均为正数的等比数列, 12. 已知双曲线: 2 ? 2 = 1( > 0, > 0)的离心率 = √3,
2 2

表示不超过的最大整数。与的差,即 ? 称为正整数的“亏损数”。 (如, = 100时, = ?
100 2

?+?

100 22

?+?

100 23

?+?

2

100 24

2



?+?

100 25

2



?+?

100 26

?+?

2



100 27

? = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 =

1 = 2且对任意正整数, 都有+ = ? 成立。 (1)求数列{ }, { }的通项公式; (2)求证:数列{ }中有无数多项在数列{ }中。

B

其左焦点1 到渐近线的距离为√2。 A (1)求双曲线的方程; (2)若过点(2,0)的直线交双曲线于, 两点,且以为 直径的圆过坐标原点。求直线的方程。 13. 如图, 四边形是圆内接四边形, 且 ? = ? , 是对角线上一点。 (1)若是中点,求证:∠ = ∠; (2)若∠ = ∠,试问是否为中点?说明理由。
17

E

C

D

的子集,符号||表示集合中元素的个数,()表示集合中所有元素的和。 (1)若集合中任意两个数的差都不是 101 的倍数,求||的最大值; (2) 若集合中任意两个数的差都不是 101 的倍数, 且任意两个数的和也不是 101 的倍数, 求||的最大值; (3) 若集合中任意两个数的差都不是 101 的倍数, 且任意两个数的和也不是 101 的倍数, 同时() = 2012,求||的最大值。

(1)当 = 1时,求()的最小值; (2)若 ∈ [0,2]时,() ≥ 0恒成立,求实数的取值范围。 15. 已知集合是由不超过 2012 的正整数组成的集合, 即 = {1,2,3, ? ,2012}。 集合是集合

14. 已知函数() = ln( + 1) +

+1

2

+ ? 2(其中 > 0) 。

18


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