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2016新课标创新人教A版数学选修4-4 1.2 极坐标系

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[核心必知] 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立 在平面内取一个定点 O,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个 极坐标系. (2)点的极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ )叫做点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数. 2.极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合; ③两种 坐标系取相同的长度单位. (2)互化公式
?x=ρcos θ , ? ? ?y=ρsin θ ; ?

ρ =x +y , ? ? ? y tan θ = (x≠0)W. ? x ? [问题思考]

2

2

2

1.平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗?为什么? 提示:不是.在极坐标系中,与给定的极坐标(ρ,θ)相对应的点是唯一确定的;反过 来,同一个点的极坐标却可以有无穷多个.如一点的极坐标是(ρ,θ)(ρ≠0),那么这一点也 可以表示为(ρ,θ+2nπ)或(-ρ,θ+(2n+1)π)(其中 n∈Z). 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

2.若 ρ>0,0≤θ <2π ,则除极点外,点 M(ρ,θ )与平面内的点之间是否是一一对应 的? 提示:如果我们规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐 标(ρ,θ)来表示,这时,极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系. 3.若点 M 的极坐标为(ρ,θ ),则 M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线 的对称点的极坐标是什么? 提示: 设点 M 的极坐标是(ρ, θ), 则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(-ρ, θ)或(ρ,

θ+π);M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,-θ);M 点关于过极点且垂直于极轴的直
线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或(-ρ,-θ).

π 已知定点 P?4, ?. 3? ? π (1)将极点移至 O′?2 3, ?处极轴方向不变,求 P 点的新坐标; 6? ? π (2)极点不变,将极轴顺时针转动 角,求 P 点的新坐标. 6 [精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法.解答本题需要根据题意要求建 立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标.

(1)设 P 点新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知|OO′|=2 3, π |OP|=4,∠POx= , 3 π ∠O′Ox= , 6 π ∴∠POO′= . 6

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在△POO′中,ρ2=42+(2 3)2-2· 4· 2 3· cos 即|O′P|=2. π ∴|OP|2=|OO′|2+|O′P|2,∠OO′P= . 2 π ∴∠OPO′= . 3 π π π ∴∠OP′P=π- - = . 3 3 3

π =16+12-24=4,∴ρ=2. 6

2π ∴∠PP′x= . 3

2π ∴∠PO′x′= . 3 2π ∴P 点的新坐标为(2, ). 3 (2)如图,设 P 点新坐标为(ρ,θ),

π π π 则 ρ=4,θ= + = . 3 6 2 π ∴P 点的新坐标为(4, ). 2 ————— —————————————

建立极坐标系的要素是(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和它的正方向.四 者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角 θ 的始边是极轴,它的终边随着 θ 的大小和正负而取得各个位置;θ 的正方向通常取逆时针方 向,θ 的值一般是以弧度为单位的量数;点 M 的极径 ρ 表示点 M 与极点 O 的距离|OM|,因 此 ρ≥0;但必要时,允许ρ <0.

1.边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点,极轴通过它的一边,求正六边形各顶点坐 标.

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解:由点的极坐标的定义可知,正六边形各顶点的极坐标分别为:(0,0)、(a,0)、( 3 π π π π π 2 a, )、(2a, )、( 3a, )、(a, π)或(0,0)、(a,0)、( 3a,- )、(2a,- )、( 3 6 3 2 3 6 3 π 2 a,- )、(a,- π). 2 3

若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. 5π (1)已知点 A 的极坐标?4, ?,求它的直角坐标; 3 ? ? (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2,-2)和(0,-15),求它们的极坐标.(ρ>0,0≤ θ <2π ) [精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化.解答此题只需将已知条件代入相关公 式即可. (1)∵x=ρcos θ=4· cos y=ρsin θ=4sin 5π =2. 3

5π =-2 3. 3

∴A 点的直角坐标为(2,-2 3). (2)∵ρ= x2+y2= 22+(-2)2=2 2, -2 tan θ= =-1. 2 且点 B 位于第四象限内, 7π ∴θ= . 4 7π ∴点 B 的极坐标为(2 2, ). 4 又∵x=0,y<0,ρ=15, 3π ∴点 C 的极坐标为(15, ). 2 ————— —————————————

(1)将极坐标(ρ,θ )化为直角坐标(x,y)的公式是:x=ρcos θ ,y=ρsin θ ; y (2)将直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ )的公式是:ρ2=x2+y2,tan θ = (x≠0),在利用 x 此公式时要注意 ρ 和 θ 的取值范围.

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2π 2.(1)把点 M 的极坐标?8, ?化成直角坐标; 3 ? ? (2)把点 P 的直角坐标( 6,- 2)化成极坐标.(ρ>0,0≤θ <2π ) 解:(1)x=8cos y=8sin 2π =-4, 3

2π =4 3, 3

因此,点 M 的直角坐标是(-4,4 3). (2)ρ= ( 6)2+(- 2)2=2 2, - 2 3 tan θ= =- , 3 6 11 又因为点在第四象限,得 θ= π. 6 11π 因此,点 P 的极坐标为(2 2, ). 6

2 ? π 在极坐标系中,已知 A?3,- ?,B? ?1,3π ?,求 A、B 两点之间的距离. 3? ? [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式.解答 此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解, 也可以先将极坐标化为直角坐标, 然后 利用两点间的距离公式求解. π 2π 法一: 由 A(3, - )、 B(1, )在过极点 O 的一条直线上, 这时 A、 B 两点的距离为|AB| 3 3 =3+1=4,所以,A、B 两点间的距离为 4. π 2π 法二:∵ρ1=3,ρ2=1,θ1=- ,θ2= , 3 3 由两点间的距离公式得
2 |AB|= ρ1 +ρ2 2-2ρ1ρ2cos (θ1-θ2)



π 2 32+12-2×3×1×cos (- - π) 3 3

= 10-6cos π = 10+6 = 16 =4.

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π 2π 法三:将 A(3,- ),B(1, )由极坐标化为直角坐标, 3 3 π π 3 对于 A(3,- )有 x=3cos (- )= , 3 3 2 π 3 3 y=3sin(- )=- , 3 2 3 3 3 ∴A( ,- ). 2 2 2π 2π 1 对于 B(1, )有 x=1×cos =- , 3 3 2 y=1×sin 2π 3 = , 3 2

1 3 ∴B(- , ). 2 2 ∴|AB|= 3 1 3 3 3 ( + )2+(- - )2= 4+12=4. 2 2 2 2

∴AB 两点间的距离为 4. ————— —————————————

对于这类问题的解决方法,可以直接用极坐标内两点间的距离公式 d=
2 ρ2 1+ρ 2-2ρ1ρ 2cos (θ1-θ2)求得;也可以把 A、B 两点由极坐标化为直角坐标,利用直

角坐标中两点间的距离公式 d= (x1-x2)2+(y1-y2)2求得;极坐标与直角坐标的互化 体现了化归的解题思想;还可以考虑其对称性,根据对称性求得.

5 ? π 3.在极坐标系中,如果等边三角形的两个顶点是 A?2, ?,B? ?2,4π ?,则求第三个 4? ? 顶点 C 的坐标. 解:由题设知,A、B 两点关于极点 O 对称,又|AB|=4,由正三角形的性质知,|CO|= π π 3 2 3,∠AOC= ,从而 C 的极坐标为(2 3, π)或(2 3,- ). 2 4 4

极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现. 本考题将极坐标与直角坐标的互化同 极坐标系中两点间的距离和简单的三角恒等变换相结合考查, 是高考模拟命题的一个新亮点. [考题印证] π π 已知极坐标系中, 极点为 O, 将点 A(4, )绕极点逆时针旋转 得到点 B, 且|OA|=|OB|, 6 4 则点 B 的直角坐标为________. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

[命题立意] 本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标与极坐标的转化. 5π [解析] 依题意,点 B 的极坐标为(4, ), 12 ∵cos = sin = 5π π π π π π π =cos ( + )=cos cos -sin ·sin 12 4 6 4 6 4 6

6- 2 2 3 21 · - ·= , 2 2 2 2 4 5π π π π π π π =sin ( + )=sin cos +cos ·sin 12 4 6 4 6 4 6 6+ 2 2 3 21 · + ·= , 2 2 2 2 4 6- 2 = 6- 2, 4

∴x=ρcos θ=4×

y=ρsin θ= 6+ 2. ∴点 B 的直角坐标为( 6- 2, 6+ 2). [答案] ( 6- 2, 6+ 2)

一、选择题 π 1.在极坐标系中,点 M?-2, ?的位置,可按如下规则确定( 6? ? )

π A.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 6 7π B.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 6 7π C.作射线 OP,使∠xOP= ,再在射线 OP 的反向延长线上取点 M,使|OM|=2 6 π D.作射线 OP,使∠xOP=- ,再在射线 OP 上取点 M,使|OM|=2 6 解析:选 B 当 ρ<0 时,点 M(ρ,θ)的位置按下列规定确定:作射线 OP,使∠xOP =θ,在 OP 的反向延长线上取|OM|=|ρ|,则点 M 就是坐标(ρ,θ)的点. 2.在极坐标平面内,点 M? π ? ? π ? ? π ? ? 3 ,200π ? , N ?- 3 ,201π ? , G ?- 3 ,-200π ? ,

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π H?2π + ,200π ?中互相重合的两个点是( 3 ? ? A.M 和 N B.M 和 G C.M 和 H

) D.N 和 H

解析:选 A 由极坐标定义可知,M、N 表示同一个点. 3.若 ρ1+ρ2=0,θ 1+θ2=π ,则点 M1(ρ1,θ 1)与点 M2(ρ2,θ 2)的位置关系是( A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.关于过极点垂直于极轴的直线对称 D.两点重合 解析:选 A 因为点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点为(-ρ,π-θ).由此可知点 (ρ1,θ1)和(ρ2,θ2)满足 ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,是关于极轴所在直线对称. 5π 4.已知极坐标平面内的点 P?2,- ?,则 P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标 3 ? ? 分别为( ) )

π A.?2, ?,(1, 3) 3? ? π B.?2,- ?,(1,- 3) 3? ? 2π C.?2, ?,(-1, 3) 3 ? ? 2π D.?2,- ?,(-1,- 3) 3 ? ? 5π 5π 解析:选 D 点 P(2,- )关于极点的对称点为(2,- +π), 3 3 2π 2π π 即(2,- ),且 x=2cos (- )=-2cos =-1, 3 3 3 -2π π y=2sin ( )=-2sin =- 3. 3 3 二、填空题 5.限定 ρ>0,0≤θ <2π 时,若点 M 的极坐标与直角坐标相同,则点 M 的直角坐标为 ________. 解析:点 M 的极坐标为(ρ,θ),设其直角坐标为(x,y),依题意得 ρ=x,θ=y, 即 x2+y2=x2. ∴y=θ=0,ρ>0, ∴M(ρ,0). 答案:(ρ,0) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

π 6.已知极坐标系中,极点为 O,0≤θ <2π ,M?3, ?,在直线 OM 上与点 M 的距离 3? ? 为 4 的点的极坐标为________. π 解析:如图所示,|OM|=3,∠xOM= ,在直线 OM 上取点 P、Q,使|OP|=7,|OQ| 3 π 4π =1,∠xOP= ,∠xOQ= ,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3 3 3 +1=4.

π 4π 答案:(7, )或(1, ) 3 3 π π 7.直线 l 过点 A?3, ?,B?3, ?,则直线 l 与极轴夹角等于________. 3? 6? ? ? 解析:

如图所示,先在图形中找到直线 l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角),然后根据点 A,B 的位置分析夹角大小. 因为|AO|=|BO|=3, π π π ∠AOB= - = , 3 6 6 π π- 6 5π 所以∠OAB= = . 2 12 π 5π π 所以∠ACO=π- - = . 3 12 4 π 答案: 4 4 π 8. 已知点 M 的极坐标为(5, θ ), 且 tanθ =- , <θ <π , 则点 M 的直角坐标为________. 3 2 4 π 解析:∵tan θ=- , <θ<π, 3 2 3 4 ∴cos θ=- ,sin θ= . 5 5 ∴x=5cos θ=-3,y=5sin θ=4. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴点 M 的直角坐标为(-3,4). 答案:(-3,4) 三、解答题 π 9.设点 A?1, ?,直线 L 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求出点 A 关于极轴,直 3? ? 线 L,极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0,-π <θ≤π ) 解:

如图所示:关于极轴的对称点为 π B(1,- ) 3 2π 关于直线 L 的对称点为 C(1, ). 3 2π 关于极点 O 的对称点为 D(1,- ). 3

?x′=2x, 10.已知点 P 的直角坐标按伸缩变换? 变换为点 P′(6,-3),限定 ρ>0,0≤ ?y′= 3y
θ ≤2π 时,求点 P 的极坐标. 解:设点 P 的直角坐标为(x,y),

?6=2x ?x=3, 由题意得? ,解得? ?-3= 3y ?y=- 3.
∴点 P 的直角坐标为(3,- 3).

ρ= 32+(- 3)2=2 3,tan θ= 3 ,
∵0≤θ<2π,点 P 在第四象限, 11π ∴θ= . 6 11π ∴点 P 的极坐标为(2 3, ). 6 π 11.在极轴上求与点 A?4 2, ?的距离为 5 的点 M 的坐标. 4? ?

- 3

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解:设 M(r,0),因为 A(4 2, 所以

π ), 4 π =5. 4

(4 2)2+r2-8 2r· cos

即 r2-8r+7=0. 解得 r=1 或 r=7. 所以 M 点的坐标为(1,0)或(7,0).

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